Aula 4

  E  J
Energia
•
As
ondas
~
electromagnéticas
  H  J
~
transportam energia electromagnética
•
~
B
~
t
D
~
~
t

Sf
E H . dS   t
Sf
V
~
~
~
^
n
~

~

~
t
~
2
~

 dV 

Energia armazenada nos campos
eléctricos e magnéticos no volume V.
~
~
D
~
t


E 2 dV
V
Energia ohmica dissipada
em V
^
dS  dS n
~
•
1
1
2

E

H

 2
2
~
E . J  E.   H  E .
Meios simples ε, μ, σ não variam no tempo

J  H 
D
~
Princípio de conservação da energia
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1
Vector de Poynting

E H . ds
Sf ~
•
~
~
Fluxo de potência electromagnética através de Sf calculada pelo fluxo do vector
de Poynting
S  E H
~
~
~
• S
densidade superficial de potência electromagnética?
~
S  S   F
'
~

Sf
•
~
~
E H    F . dS   E H . dS  
~
~
~
~
Sf
~
~
~
V 0
. F dV
~
Não é possível saber onde “está” a energia.
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2
Energia Potencial
h
Sabe-se a energia potencial total mas a “distribuição” da energia não se pode
conhecer.
• .Energia electromagnética
S  E H
~
~
~
É uma medida do fluxo de potência electromagnética por unidade da área num
dado ponto P.
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3
Fluxo de Potência Electromagnética numa Onda Plana Uniforme
_
^
^
~
~
~
E ( z )  x Ex ( z )  x E0e(  j ) z
^
E ( z, t )  x E0e z e  jz
~
~
_
^
^
~
~
~
H ( z)  y H y ( z)  y
Z
j
 Z e j z
  j
^
H ( z, t )  y
~
E0 z  j ( z  z )
e e
Z
~
E0 z
e cos(t  z   z )
Z
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4
• Vector de Poynting  operação não linear
__
 __

 __

 __

Re  E ( z )e jt   Re  H ( z )e jt   Re  E ( z )  H ( z ) e jt 
~
 ~

 ~

 ~

S z, t   E z, t  H z, t 
~
~
~
 __

 __

 Re  E ( z )e jt   Re  H ( z )e jt 
 ~

 ~

E02  2z
cos  z  cos2t  2z   z 
z
e
~ 2Z
^
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5
Valor médio da densidade de potência transmitida pela onda electromagnética
^ E2
1 T
S
( z )   S ( z, t )dt  z 0 e  2z cos z
~ 2Z
T 0 ~
médio
_
T
2

( T - período da onda)
Densidade de potência média numa onda plana e uniforme
_
_
1
Smédio ( z )  Re ( E x H *)
~
~
2
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6
Condições fronteiras
•
Na prática os meios são limitados e o estudo da fenomenologia electromagnética envolve as
condições nas fronteiras.
•
As c.n.f.:
o dizem-nos quais as relações que têm que ser satisfeitas pelos campos nos 2 meios num
ponto qualquer da superfície interface.
o têm que ser respeitadas em qualquer ponto da interface e em qualquer instante de tempo.
o determinam-se aplicando as eqs. de Maxwell na forma integral a uma pequena região na
interface dos 2 meios.
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 Div
E produzida pela carga eléctrica.
~
Lei de Gauss
  0 E que sai dum volume V limitado pela superficie S é igual à
Fluxo total de D
~
~
carga eléctrica total contida no interior desse volume.
 D . ds
Sf
~
~

q
V
dv
Teorema da divergência do cálculo vectorial (Teorema de Gauss)
Fluxo de um campo vectorial U que sai de uma superficie fechada Sf é igual ao integral no
volume V da divergência de U.
^
n
~
Sf = S1 + S 2 + Sl

Sf

D . ds 
~
V
~
S1
 . D dv
~
~
^
Sl
n
~
 D
~
S2
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^
n
~
^
Componentes normais à fronnteira
n
~1
 D . ds  
Sf
~
~
V
S1
 dv
1
2
 B . ds  o
Sf
~
S3
h
S2
~
^
n
~2
As componentes normais da indução magnética numa superfície fronteira e ao atravessar a
superficie de separação dos 2 meios são contínuas.

^
n. B  B
~
~ 1
~ 2
 o
As componentes normais de ao atravessar a superfície de separação de 2 meios são descontínuas,
diferindo do valor da densidade de carga superficial.
^

n. D  D
~
~ 1
~ 2
 
s
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Componentes tangenciais à fronteira
l

f
E . dl  
~
~

A
B
~
t
. dA
~
h1
1
h2
2
f
A componente tangencial do campo eléctrico através da interface entre os 2 meios é contínua.
^

n E  E
~
~1
~ 2
 o
A componente tangencial do campo magnético ao atravessar uma interface entre 2 meios é
descontínua, no caso de haver uma densidade de corrente superficial (película de corrente de
espessura infinitesimal), sendo a diferença dada pelo valor de Js.
^

n H  H
~
~ 1
~ 2
 J
~s
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Fronteira dieléctrico/condutor perfeito
 Um meio com condutividade eléctrica perfeita: condutor eléctrico perfeito impede a
existência de quaisquer campos electromagnéticos no seu interior.
 O campo eléctrico é ortogonal á superfície condutora perfeita.
 A indução magnética é tangencial á superfície condutora perfeita.
• EeB
~
~
sobre a superfície condutora suportam-se respectivamente, na densidade
linear de corrente (ortogonal ao campo magnético tangencial) e na densidade de carga
superficial.
E
~
^
H
x ~
J
~s
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n
~
σ=∞