arestas vértices

ÂNGULOS
1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS
38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’
38o 29’ 51’’
+ 15o 45’ 24’’
53º 74’ 75’’
54º 15’ 15’’
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo agudo:
  90º
Ângulo reto:
 = 90º
Ângulo obtuso:
 > 90º
Ângulo raso:
 = 180º
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo nulo:
(lados coincidentes)
Ângulo de 1 volta:
Ângulos adjacentes:
Ângulos consecutivos:
 = 0o
 = 360o
Mesmo vértice e um lado
comum entre os lados não
comuns
Mesmo vértice e, dois a dois, um
lado comum.
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulos complementares:

Ângulos suplementares:
Ângulos replementares:



 +  = 90º


 +  = 180º
 +  = 360º
3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS
E UMA TRANSVERSAL.
t
b
c
f
g
e
h
a
r
d
s
Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.
Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.
Alternos internos: d e f; c e e.
Alternos externos: a e g; b e h.
Colaterais internos: d e e; c e f.
Colaterais externos: a e h; b e g.
Questão 3:
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:
a) 45o
b) 48o 30’
c) 56o 15’
d) 60o
e) 78o 45’
Questão 3:
Solução:
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do
suplemento deste ângulo.
1
3.(90  x)  .(180  x)
3
1
270  3x  .(180  x)
3
810  9 x  180  x
8 x  630
x  78o 45'
x 60’
630º
6º
360º
0
8
78º
8
45’
Questão 13:
(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então
3 +  vale:
a) 225o
b) 195o
c) 215o
d) 1750
e) 1850
Questão 13:
Solução:
= 45º
 = 60º
15º
30º
3    3.45  60
3    195o
30º
60º
60º
Questão 16:
(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:
a) 50o
b) 60o
c) 70o
d) 75o
e) 80o
Questão 16:
Solução:
AC = CB = BD
50º
130º
50º
25º
80º
75º
POLÍGONOS
1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS
CONVEXO
NÃO-CONVEXO
2) SOMA DOS ÂNGULOS
n=3
1 x 180º
Si = 180º
n=4
2 x 180º
Si = 360º
n=5
3 x 180º
Si = 540º
Si = (n – 2).180o
2) SOMA DOS ÂNGULOS



 

Se = 360o
3) NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais determinadas a partir
de 1 vértice: (n – 3)
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
n.(n  3)
d
2
Questão 2:
(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então
a soma dos ângulos assinalados na figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
90o
120o
144o
154o
180o
Si  (n  2).180 o
Questão 2:
Solução:
Si  (5  2).180 o
Si  540o
180º – C – E
180º – B – D
180º – A – C
180º – A – D
180º – B – E
180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540
2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360
2.(A + B + C + D + E) = 360
(A + B + C + D + E) = 180º
Questão 4:
(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de
diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual
ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é
igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Questão 4:
Solução:
O número de diagonais determinadas a partir de um de seus
vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.
Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)
Diagonais de um hexágono:
n.(n  3)
d
2
6.(6  3)
d
2
d 9
Então:
n–3=9
n = 12
Questão 6:
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o
quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um
ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
a) 100o
b) 110o
c) 120o
d) 130o
e) 140o
Questão 6:
Solução:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo
EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas
bissetrizes de ABC e EFA.
4x
x
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
5x + 520 = 720
5x = 200
x = 40
Questão 6:
Solução:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo
EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas
bissetrizes de ABC e EFA.
80º
20º

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
5x + 520 = 720
5x = 200
x = 40
 + 20 + 160 + 80 = 360
 = 100º
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de  é:
a) 90o
b) 95o
c) 100o
d) 110o
e) 120o
Questão 8:
Solução:
75º
110º
TRIÂNGULOS
1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e
maior que a diferença entre os outros dois.
b
c
a
b - c  a  b + c
2) ELEMENTOS
Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto,
perpendicularmente.
Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois
ângulos de medidas iguais.
AB
BP

AC
PC
2) ELEMENTOS
Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado
oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
A
B
P
C
AB AC

BP PC
2) ELEMENTOS
Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto
médio do lado oposto.
Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois
segmentos de mesma medida.
2) ELEMENTOS
Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.
OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3
a partir do vértice.
2) ELEMENTOS
Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita
no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do
triângulo.
2) ELEMENTOS
Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos
vértices do triângulo.
2) ELEMENTOS
Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
2) ELEMENTOS
OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro,
circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos
distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados
(Reta de Euller).
Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro,
incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
2) ELEMENTOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados
homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de
mesmas medidas.
*
lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
3 cm
2 cm
45o
60o 45o
50o 3 cm
60o
4 cm
2 cm
8 cm
3 cm
4 cm
50o
6 cm
4,5 cm
4) RELAÇÕES
RETÂNGULO
MÉTRICAS
A
b
C
NO
b2 = a.m
c
h
m
n
a
h2 = m.n
B
a.h = b.c
a2 = b 2 + c 2
TRIÂNGULO
c2 = a.n
5) RELAÇÕES
QUALQUER
MÉTRICAS
NUM
TRIÂNGULO
Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o
quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o
produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
C
b
A
m
c
h
a
n B
a2 = b2 + c2 - 2c.m
5) RELAÇÕES
QUALQUER
MÉTRICAS
NUM
TRIÂNGULO
Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o
quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o
produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
C
h
a2 = b2 + c2 + 2c.n
a
b
n
c
A
m
B
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
C
hipotenusa
B
cateto oposto

cateto adjacente A
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
cos  
hipotenusa
cateto oposto
tg 
cateto adjacente
sen 
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen
30o
1
2
45o
2
2
60o
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
7) LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
a
b
c


 2.r
senA senB senC
8) LEI DOS COSSENOS
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à
soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos
o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo
cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
Questão 3
(COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050,
10100 – 1 e 10100 + 1:
a) é isósceles
b) é retângulo
c) tem área 10150 – 1
d) tem perímetro 4.10150
e) é acutângulo
Solução:
(10100  1) 2  (10100  1) 2  (2.1050 ) 2
10 200  2.10100  1  10 200  2.10100  1  4.10100
O triângulo é retângulo.
Questão 4
(COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada
de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A
extremidade inferior da escada está a uma distância de
0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica
que pode ser transportada pela região limitada pela escada e
pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os
centésimos)
Questão 4
y 2  0,7 2  2,52
y 2  0,49  6,25
y 2  5,76  y  2,4m
2,4 – x
x
x
0,70m
2,4  x
x

2,4
0,7
1,68  0,7.x  2,4.x
3,1.x  1,68  x  0,54m
Questão 8
(COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um
diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e
BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à
circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.
6
x
8
6
8
8
Solução:
x 2  6 2  82
x 2  100  x  10
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é
bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo
externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo
interno Â.
a) 60o
b) 70o
c) 800
d) 90o
e) 100o
OBSERVAÇÃO:

x 



x+=+
x+=++
x = 2.
 
=+
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é
bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo
externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo
interno Â.
a) 60o
b) 70o
c) 800
d) 90o
e) 100o
X
Questão 13
(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes
dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB
mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?
a) 43
X
b) 41
c) 40
d) 44
e) 42
Questão 17
(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo
ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados
medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do
triângulo ABC medem:
a) 5 e 13
b) 6 e 12
c) 7 e 11
d) 8 e 10
e) 9 e 9
Solução:
x + y = 10
4
4
x
4
4
y
4 x 4

4 y y
4. y  x. y  16  4. y
x. y  16
8
x=8 e y=2
Os lados valem 6cm e 12cm
Questão 18
(Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os
ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB
e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede
2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em
dm:
a) 6 e 3
b) 5 e 3
c) 6 e 2
d) 6 e 5
e) 3 e 5
OBSERVAÇÃO:
cat. oposto
hipotenusa
30o
cat. adjacente
sen30o 
cat.oposto 1
1

 cat.oposto  .hipotenusa
hipotenusa 2
2
cat.oposto
3

cat.adjacente 3
3.cat.oposto
cat.adjacente 
 cat.adjacente  3.cat.oposto
3
tg30o 
OBSERVAÇÃO:
4
8
5
10
30o
30o
4. 3
6
5. 3
12
7
30o
6. 3
14
30o
7. 3
Solução:
2 .3 = 6
30o
45o
Questão 19
(UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC,
com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e
seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a
área de um quadrado de lado MP, determine x.
Solução:
x 2  32  4 2  2.3.4. cos 60o
1
2
x  9  16  24.
2
x 2  13
B
2
P
6
4
x
60o
A
3
M
3
C
Questão 20
(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do
ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.
a)
b)
c)
d)
e)
15o
20o
30o
40o
50o
OBSERVAÇÃO:

Solução:
50o
60o
40o
20o
80o
60o
20o