GEOMETRIA FRACTAL

GEOMETRIA FRACTAL
O JOGO DO CAOS
Como jogar
• Um dado
• Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C
C
A
B
• A cada um dos vértices atribuímos dois
dos seis possíveis resultados
procedentes do lançamento do dado.
•Por exemplo:
A é o “vencedor” se sair um 1 ou um 2.
B é o “vencedor” se sair um 3 ou um 4.
C é o “vencedor” se sair um 5 ou um 6.
• Início:
Lançamos o dado.
Marcamos o vértice
“vencedor”. Digamos que saiu o 5.
Então, começamos no vértice C.
C
A
B
• Passo 1:
Lançamos o dado novamente.
Digamos que sai o 2.
Então o “vencedor” é o vértice A.
Agora movemo-nos da nossa posição
em direcção ao vértice “vencedor” mas
paramos no ponto médio destes dois
pontos. Marcamos a nova posição.
Chamemos-lhe M1.
C
M1
A
B
• Passo 2:
Lançamos o dado mais uma vez.
Vamos mover-nos da última posição
em direcção ao vértice “vencedor”
mas paramos a meio. Marcamos a
nova posição. Seja ela M2.
Por exemplo, se sair 3, a nova posição
M2 será o ponto médio de M1 e B.
C
M1
M2
A
B
• Passos 3, 4, etc.
Continuamos a lançar o dado,
movendo-nos, de cada vez, para o
ponto médio da última posição e do
vértice “vencedor”.
As figuras seguintes mostram,
progressivamente, os resultados
da evolução do Jogo do Caos:
O padrão é inconfundível: uma Gaxeta
de Sierpinski!
Após 10000 jogadas, seria impossível
notar a diferença entre o grupo de
pontos e a Gaxeta de Sierpinski
original.
Vamos jogar utilizando a
Assumamos que todos os triângulos
brancos da Gaxeta de Sierpinski são
os triângulos que foram
sucessivamente removidos ao
triângulo original necessário para a
sua construção.
Suponhamos que começamos com
um ponto algures no meio do
triângulo branco maior, removido da
Gaxeta de Sierpinski.
O ponto mover-se-á para um dos três
triângulos imediatamente mais
pequenos, já que estes triângulos
representam todos os pontos que
estão a metade da distância dos três
vértices aos pontos do triângulo maior
que foi removido.
Após mais uma jogada, o ponto movese para um dos nove triângulos
imediatamente mais pequenos.
E assim por diante.
O ponto continuará a mover-se para os
triângulos removidos, sucessivamente
menores.
Eventualmente, depois de mais
algumas jogadas, o ponto mover-se-á
para um triângulo tão pequeno que seja
praticamente invisível.
Na realidade, a órbita de um ponto que
comece em qualquer um dos triângulos
removidos, nunca “alcançará” o
triângulo de Sierpinski!
É uma simples variação da gaxeta de
Sierpinski original.
• Início:
A construção começa exactamente
como a da Gaxeta de Sierpinski
original.
Começamos, então, com um triângulo
arbitrário.
• Passo 1:
Aplicar o procedimento TSG ao
triângulo.
Consiste em:
-Cortar
Remover o triângulo médio do
triângulo original.
-Modificar
Deslocar cada um dos pontos médios
dos lados do triângulo, para baixo ou
para cima, de forma aleatória.
Aqui temos um possível resultado
Depois de concluído o Passo 1,
obtemos 3 triângulos sólidos e um
“buraco” no meio, com uma forma
triangular.
• Passo 2:
Para cada um dos triângulos sólidos
obtidos no passo anterior, repetimos o
Procedimento TSG.
Ficamos, assim, com nove triângulos
sólidos e com quatro “buracos” de
forma triangular.
• Passos 3, 4, etc.
Aplicamos repetidamente o
Procedimento TSG a cada um dos
triângulos sólidos.
Quando o Procedimento TSG é
repetido ao infinito, obtemos a Gaxeta
de Sierpinski Modificada.
A figura seguinte mostra um exemplo
de uma Gaxeta de Sierpinski
Modificada depois de oito passos.
Podemos constatar que a Gaxeta de
Sierpinski Modificada tem o
inconfundível aspecto de uma montanha.
Adicionando alguns efeitos de cor, luz
e sombra, podemos obter algo muito
semelhante a uma montanha real.
Mudando a forma do triângulo original,
podemos mudar a forma da montanha e
mudando as regras da distância
permitida para os movimentos
aleatórios, é possível alterar a textura
da montanha.
No entanto, tal como nas verdadeiras
montanhas da natureza, obtemos
sempre o inconfundível “aspecto de
montanha”.
O mais notável de tudo é que estas
complicadas formas geométricas
podem ser descritas em duas linhas,
através de uma simples regra de
substituição recursiva.
• Começamos com um triângulo
arbitrário.
• Onde virmos um triângulo preto,
aplicamos o procedimento TSG.
Não exactamente.
Sempre que ampliarmos uma parte da
Gaxeta de Sierpinski Modificada, não
vemos exactamente o mesmo, mas sim
pequenas variações da estrutura
ampliada.
Aquele aspecto característico de
montanha vai aparecer em todas as
escalas!
QUANDO OLHAMOS PARA UM
OBJECTO (OU FORMA) E PARA
PARTES DESSE OBJECTO (OU FORMA)
EM DIFERENTES ESCALAS E VEMOS
ESTRUTURAS RECONHECIDAMENTE
IDÊNTICAS, MAS NÃO SIMILARES,
DIZEMOS QUE ESSE OBJECTO
POSSUI AUTO-SIMILARIDADE
APROXIMADA.
A Auto-Similaridade Aproximada é uma
propriedade comum de vários objectos
e formas naturais: montanhas, árvores,
plantas, nuvens, sistema vascular
humano…
Vamos, então, ver alguns destes exemplos..