GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulo Resumo © antónio de campos, 2010 GENERALIDADES - Ângulos Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com direcções diferentes e a mesma extremidade. GENERALIDADES – Ângulo entre duas Rectas O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas. O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado. C’ s r A B’ B C Os ângulos BÂC e B’ÂC’ são ângulos verticalmente opostos e são geometricamente iguais – têm a mesma amplitude. Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados directamente paralelos e são geometricamente iguais. C’ Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ são ângulos de lados inversamente paralelos e são geometricamente iguais. s r A B’ B C O P Q r’ Duas rectas paralelas entre si formam, com uma terceira recta concorrente com aquelas, ângulos geometricamente iguais. m αº n αº o αº r ÂNGULO ENTRE DUAS RECTAS ENTRE DUAS RECTAS - rectas frontais ou horizontais concorrentes Determinar o ângulo entre as rectas nas projecções com V.G. ENTRE DUAS RECTAS - rectas frontais ou horizontais enviesadas Para transformar duas rectas enviesadas, é necessário primeiro obter uma recta paralela a uma das rectas e concorrente com a outra recta. Depois determinar o ângulo entre a recta paralela e a outra dada nas projecções com V.G. ENTRE DUAS RECTAS – rectas não projectantes e concorrentes Utilizar o plano formado pelas duas rectas concorrentes dadas, e rebater o plano para um dos Planos de Projecção, para obter as rectas e o ângulo em V.G. ENTRE DUAS RECTAS – rectas não projectantes e enviesadas Primeiro é necessário transformar duas rectas enviesadas, obtendo uma recta paralela a uma das rectas e concorrente com a outra recta. Utilizar o plano formado pela recta paralela e a outra dada, e rebater o plano para um dos Planos de Projecção, para obter as rectas e o ângulo em V.G. Ângulo entre Duas Rectas Horizontais Concorrentes Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano horizontal). P2 A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a1 e b1, com o vértice em P1. x P1 b1 αº a1 a2 ≡ b2 Ângulo entre Duas Rectas Frontais Enviesadas Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. b2 b’2 Para transformar duas rectas frontais enviesadas, é necessário obter uma recta b’ paralela à recta b e concorrentes com a recta a, no ponto P. A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b’ está no ângulo menor formado entre a2 e b’2, com o vértice em P2. a2 αº P2 x P1 a1 ≡ b’1 b1 Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Concorrentes Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. r2 s2 P2 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano θ. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção. H’2 H2 x ≡ e2 A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr. Pr1 P1 H1 ≡ Hr e1 r1 αº sr Pr rr s1 H’1 ≡ H’r Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Enviesadas Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. rr αº s’r Pr Primeiro é necessário obter uma recta s’ paralela à recta s e concorrentes com a recta r, no ponto P. s2 N 2 ≡ N r e2 s’2 M2 ≡ Mr P2 Pr1 Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s’ é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ. A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e s’r, com o vértice em Pr. r2 x P1 N1 (hφ) ≡ e1 s1 s’1 M1 r1 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p. p1 ≡ p2 Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta p e concorrentes com a recta r, no ponto A. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e pr, com o vértice em Pr. r2 A2 (fυ) ≡ e2 B2 r’2 x C2 C1≡ Cr A1 r1 B1 ≡ Br r’1 Ar1 Ar e1 r’r αº pr GENERALIDADES – Ângulo entre uma Recta e um Plano O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano. p r P I θº r’ P’ α ÂNGULO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - geral 1 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado; 2 - Determinar a projecção ortogonal da recta sobre o plano: a) Conduzir uma recta ortogonal ao plano, passando por um ponto da recta dada; b) Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado; c) Determinar a projecção ortogonal da recta sobre o plano, que será entre os dois pontos de intersecção; 3 - O ângulo entre a recta dada e o plano dado é o ângulo entre a recta dada e a sua projecção ortogonal no plano. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - rectas não projectantes e planos projectantes Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque o ângulo não está em V.G., devido ao factor não projectante. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - rectas e planos não projectantes Para estes casos é mais adequado o método do ângulo complementar: 1 - Conduzir por um ponto qualquer da recta dada, uma recta ortogonal ao plano dado; 2 - Determinar o ângulo formado pelas duas rectas, a dada e a ortogonal; 3 – O ângulo formado pelas duas rectas é o ângulo complementar do ângulo entre a recta dada e o plano dado. Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p. 90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α. r p s θº P 90º - θº I θº r’ P’ α Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de Projecção Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o Plano Frontal de Projecção. h2 F2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta h e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. x F1 αº h1 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano horizontal υ. r2 A2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r. O ângulo entre a recta r e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a rr e a r1r. (fυ) H2 x ≡ e2 A1 αº rr Ar H1 ≡ Hr r1 ≡ e1 ≡ r1r Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo, Método do Ângulo Complementar via o Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano oblíquo δ. r2 Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano δ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, via rebatimento. 90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano δ. pr p2 rr Pr Pr1 P2 βº fδ 90º-βº e2 B2 ≡ Br A2 ≡ Ar x B1 (hφ) ≡ e1 A1 P1 r1 p1 hδ GENERALIDADES – Ângulo entre dois Planos O ângulo entre dois planos é o rectilíneo do menor diedro formado entre os dois planos, utilizando rectas dos planos e perpendiculares a recta de intersecção entre os planos. α r i A θº s β ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS ENTRE DOIS PLANOS – 1.º processo O 1.º processo é para ser utilizado quando o plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro for um plano projectante e tenha determinação imediata. Nos outros casos, será utilizado o 2.º processo. 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos dados; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos. ENTRE DOIS PLANOS – 2.º processo 1 – Conduzir por ponto exterior aos dois planos dados, duas rectas ortogonais aos dois planos; 2 – O ângulo entre as duas rectas ortogonais é o ângulo entre os dois planos dados. 1.º PROCESSO O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e β; 2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, as rectas r e s; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos. α δ r i A θº s β O 1.º processo é para ser utilizado quando o plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro for um plano projectante e tenha determinação imediata. Nos outros casos, será utilizado o 2.º processo. 2.º PROCESSO O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos. α p δ r B 180º - θº i A P θº s θº C p’ β Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano Horizontal de Projecção. fγ ≡ e2 ≡ fγr Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: d2 F2 ≡ Fr 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será hα; dr 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano vertical γ; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços horizontais dos dois planos, ou seja as rectas d e hγ ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, d e hγ , será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fα θº H2 F1 ≡ (e1) x≡ hγr H1 hγ ≡ d 1 hα Hr Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano oblíquo α. fα fγ P2 p’2 ≡(fν) ≡ e2 Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p’; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. p2 A2 x Ar1 A1 P1 ≡ Pr θº hα hγ p’1 ≡ e1 ≡ p’r p1 Ar pr