Slide 1 - CCTA/UFCG

Lei de Gauss
José Roberto
1. Uma nova formulação para a Lei de Coulomb
• Na Física faz sentido, sempre que possível, tentarmos expressar
as suas leis em formas que nos permitam tirar o máximo de
proveito das simetrias existentes.
• A Lei de Coulomb não está expressa numa forma que possa
simplificar o trabalho em situações que envolvem simetrias.
• A Lei de Gauss é uma nova formulação da Lei de Coulomb. Ela
pode facilmente tirar vantagens das simetrias existentes.
Lei de Coulomb
Lei de Gauss
Pouca ou nenhuma
simetria
Elevado grau de
simetria
2. Do que trata a Lei de Gauss
• A figura principal da Lei de Gauss é uma superfície fechada
imaginária, chamada de superfície gaussiana.
• A Lei de Gauss relaciona os campos na superfície gaussiana e
as cargas no interior dessa superfície.
A partir da lei de Gauss
podemos calcular com
precisão a quantidade de
carga líquida que está no
interior da superfície.
3. Fluxo
Consideremos que se dirija uma corrente de ar de velocidade

constante vpara uma pequena malha quadrada de área A, e seja Φ
a vazão volumétrica.
1º Caso:
  vA
2º Caso:
  Av cos
3. Fluxo
A equação para o segundo caso pode ser reescrita por:
 
vA
Obs.:
O Φ na equação acima pode ser interpretado como o fluxo
do campo de velocidade através da área A. Neste caso, o
fluxo significa a quantidade de um campo que uma área
intercepta
4. Fluxo do campo elétrico
Consideremos um
campo
atravessando um
volume, como
mostra a figura.
4. Fluxo do campo elétrico
Uma definição provisória para o fluxo do campo através da
superfície, de área A, é:
 
   E A
(1)
 
   E  dA
(2)


A definição exata é obtida quando A aproxima-se de dA. Neste
caso, a expressão acima torna-se:
Obs.: 1) O círculo na integral indica que a integração é feita sobre
uma superfície fechada.
2) A unidade de fluxo, no S.I., é: Nm2/C.
4. Fluxo do campo elétrico
• Exemplo:
A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana na forma
de

um cilindro de raio R imerso num campo elétrico uniforme E , com
o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo do campo
elétrico através da superfície fechada?
5. Lei de Gauss
A lei de Gauss diz que:
 0  q
onde:
(3)
Ф – fluxo do campo elétrico através de uma superfície
fechada,
q – carga líquida envolvida por esta superfície,
ε0 = 8,85 x 10-12 C2/Nm2 – constante de permissividade.
Podemos ainda escrever a Lei de Gauss como

q
0

  q
 E  dA 
0
(4)
5. Lei de Gauss
• Carga líquida é a soma de todas as
cargas dentro da superfície
(positivas e negativas).
• Quando q > 0 o fluxo está saindo;
quando q < 0 o fluxo está entrando.
• O campo elétrico na equação (4) é o
campo elétrico resultante de todas
as cargas (internas e externas à
superfície gaussiana).
5. Lei de Gauss
• Exemplo:
A figura abaixo mostra cinco pedaços de plástico carregados e
uma moeda eletricamente neutra. A seção transversal da superfície
gaussiana S está indicada. Qual é o fluxo do campo elétrico
através da superfície S? Suponha q1 = 3,1nC, q2 = - 5,9nC, q3 = 3,1nC, q4 = 1nC e q5 = - 2nC.
6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
A figura abaixo mostra uma carga puntiforme positiva q, em
torno da qual desenhamos uma superfície gaussiana esférica de
raio r.

dA
Superfície
gaussiana
q

E
+
r


Obs.: O ângulo entre dA e o campo elétrico E é nulo.
6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
De acordo com a figura, podemos escrever a Lei de Gauss
como:
 
 0  E  dA   0  E dA  q
(5)
Embora o campo varie com a distância medida a partir de q, ele tem
o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (5)
obtemos o seguinte resultado:
q
 0 E  dA  q   0 E 4r   q  E 
40 r 2
2
1
A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb
(6)
7. Um condutor carregado isolado
A Lei de Gauss nos permite mostrar o seguinte teorema:
Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado
se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum
excesso de carga será encontrado no interior do corpo condutor.
• Prova:
Condutor
com uma
carga q
suspenso
por um fio
isolante

Eint  0
0
qint  0
Carga sobre a superfície
7. Um condutor carregado isolado
Campo elétrico externo a um condutor
Consideremos uma seção da superfície do condutor que seja
suficientemente pequena para que possamos desprezar qualquer
curvatura e considerá-la plana. Além disso, consideremos uma
superfície gaussiana conforme mostra a figura abaixo.
7. Um condutor carregado isolado
Neste caso, o fluxo através da superfície gaussiana é:
  S1  S2  S3
(7)
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e
externa, respectivamente.
O campo elétrico é nulo na superfície S2, paralelo à superfície
S1 e perpendicular a S3. Além disso, como a base S3 é pequena,
podemos considerar que o campo é constante em todos os seus
pontos. Assim,
 
   S3   E  dA    E  dA 
S3
S3
  EA
(8)
7. Um condutor carregado isolado
Então, substituindo este resultado na Lei de Gauss, obtemos:
 0 EA  q 
q
E

0 A
E

0
(9)
onde σ é a densidade superficial de cargas.
• Exemplo:
O campo elétrico normalmente presente na atmosfera
terrestre, imediatamente acima da superfície da Terra, tem módulo
aproximadamente igual a 150 N/C e aponta diretamente para
baixo. Qual é a carga total líquida na superfície da Terra?
Considere a Terra como um condutor com densidade superficial de
carga uniforme.
Consideremos uma barra fina de
plástico, infinitamente longa, carregada
uniformemente, com densidade de carga λ.
Devido a simetria do problema, vamos
escolher uma superfície gaussiana conforme
mostra a figura.
+++++++++++++++
8. Lei de Gauss com simetria cilíndrica
Aplicando a lei de Gauss, temos:
  q
 E  dA  
0
 
 
  q
 E  dA   E  dA   E  dA 
S1
S2
S3
0
(10)
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e
externa, respectivamente.
8. Lei de Gauss: simetria cilíndrica

Nas superfícies S2 e S3, o campo elétrico E é perpendicular ao
elemento de área dA. Por outro lado, na superfície S1 o campo é
perpendicular. Então, da equação (10), temos:
q
 EdA  
S1
0

h
S EdA   0
(11)
1
Embora o campo varie com a distância medida a partir da barra, ele
tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (11)
encontramos o seguinte resultado:
h
E  dA 

0
S
1
h
E 2rh 

0

E
20 r
(12)
Mesmo resultado que seria obtido a partir da Lei de Coulomb
9. Lei de Gauss: simetria plana
• Chapa não-condutora
Consideremos uma chapa fina, isolante e
infinita, com densidade superficial de carga
constante σ. Além disso, consideremos uma
superfície gaussiana conforme mostra a figura.
De acordo com a Lei de Gauss, temos:
  q
 E  dA 
0
onde q é a carga elétrica contida no interior da superfície gaussiana.
9. Lei de Gauss: simetria plana
Assim,
  A
 E  dA  
0
 
 
  A
 E  dA   E  dA   E  dA 
S1
S2
S3
0
(13)
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases do cilindro.
O campo elétrico é paralelo à superfície S1 e perpendicular às
superfícies S2 e S3. Então, da equação (13), temos:
A
S EdA  S EdA   0
2
(14)
3
O campo possui módulo constante sobre a superfície A, pois a
distribuição é uniforme. Portanto, da equação (14), obtemos:
A
A
E  dA  E  dA 
 2 EA 

0
0
S
S
2
3

E
2 0
(15)
9. Lei de Gauss: simetria plana
• Placa condutora
Consideremos duas placas finas condutoras e infinitas
carregadas positivamente e negativamente, com densidade
superficial σ, conforme mostram as figuras abaixo.
Como sabemos, o campo elétrico gerado por cada placa possui
módulo dado por:
1
E
0
(16)
9. Lei de Gauss: simetria plana
Colocando as duas placas como na figura abaixo,
as cargas se reorganizarão e a densidade superficial nas faces
internas das placas será σ = 2σ1. Com isso, o campo elétrico entre
as placas terá módulo
E
2 1
0


E
0
(17)
9. Lei de Gauss: simetria plana
• Exemplo:
A figura abaixo mostra partes de duas chapas grandes, nãocondutoras, cada uma delas com carga uniformemente distribuída
sobre um lado. Os módulos das densidades superficiais de carga
são σ(+) = 6,8 μC/m2 para a chapa carregada positivamente e σ(-) =
4,3 μC/m2 para a chapa carregada negativamente. Determine o
campo elétrico (a) à esquerda das chapas, (b) entre as chapas e
(c) à direita das chapas.
10. Lei de Gauss: simetria esférica
 Uma casca uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada
situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca
estivesse situada no centro.
 Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca
uniforme de cargas, a casca não exerce nenhuma força eletrostática
sobre a partícula.
Consideremos uma casca esférica
carregada de carga total q e raio R e duas
superfícies concêntricas, S1 e S2. Aplicando a
lei de Gauss para S2, onde r ≥ R, temos:
1
q
E
40 r 2
(18)
Aplicando a lei de Gauss para
S1, onde r < R, temos:
E 0
(19)
10. Lei de Gauss: simetria esférica
Na figura ao lado, parte (a), temos que
todas as cargas estão no interior de uma
superfície gaussiana, r > R, então:
1
q
E
40 r 2
(20)
Na parte (b) da figura, temos que nem
todas as cargas estão no interior da
superfície gaussiana, r < R, então:
1
q'
E
40 r 2
(21)
10. Lei de Gauss: simetria esférica
carga envolvida por uma esfera de raio r
carga total

volume envolvido por uma esfera de raio r
volume total
qr 3

 q'  3
4 3 4 3
R
r
R
3
3
q'
q
Substituindo q’ na eq. (21), temos:
 1 q 
r
E  
3 
 40 R 
(22)