lei da gravitação universal de newton

TÓPICOS DE
ASTRONOMIA
Curso - Licenciatura em Física – EAD
Profº. M.Sc. Marcelo O’Donnell Krause
ILHÉUS - BA
CONTEÚDOS PARA ESTE MATERIAL
• ESTE
MATERIAL
COMPREENDE
OS
TÓPICOS
REFERENTES À UNIDADE I – GRAVITAÇÃO NEWTONIANA.
• AULA 1 – FUNDAMENTOS DA GRAVITAÇÃO NEWTONIANA
• AULA 2 – O EXPERIMENTO DE SCHIEHALLION
• AULA 3 – AS LEIS DE KEPLER
• AULA 4 – LEIS DE KEPLER APLICADAS
INTRODUÇÃO
HISTÓRICA
LEIS DE KEPLER
LEI DA GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL DE NEWTON
INTRODUÇÃO
Os primeiros a descreverem sistemas planetários
explicando os movimentos de corpos celestes
foram os gregos.
O mais famoso sistema planetário grego foi o de
Cláudio Ptolomeu (100-170), que considerava a
Terra como o centro do Universo (sistema
geocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma
órbita circular cujo centro descreveria outra órbita
circular em torno da Terra.
MODELO DE PTOLOMEU
SISTEMA
PLANETÁRIO
DE
CLÁUDIO
PTOLOMEU(100-170), GEOCÊNTRICO, COM A
TERRA NO CENTRO DO UNIVERSO
INTRODUÇÃO
Nicolau
Copérnico
(1473-1543),
astrônomo
polonês, criou uma nova concepção de Universo,
considerando o Sol como seu centro (sistema
heliocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a
Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol.
Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito
pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (15461601), segundo o qual o Sol giraria em torno da
Terra e os planetas em torno do Sol.
MODELOS DE COPÉRNICO E
TYCHO BRAHE
SISTEMA HELIOCÊNTRICO, COM O SOL,
E NÃO A TERRA, O CENTRO EM TORNO
DO QUAL OS PLANETAS DEVEM
GRAVITAR EM ÓRBITAS CIRCULARES.
TYCHO PROPÔS SEU MODELO, EM
QUE
TODOS
OSP
LANETAS
GIRAVAM EM TORNO DO SOL,
COM EXCEÇÃO DA TERRA. O SOL
E A LUA GIRAVAM EM TORNO DA
TERRA.
INTRODUÇÃO
Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu
discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou,
em vão, explicar o movimento dos astros por meio
das mais variadas figuras geométricas.
Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e
após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão
de que os planetas seguiam uma órbita elíptica
em torno do Sol e, após anos de estudo,
enunciou três leis.
MODELO DE KEPLER
LEIS DE KEPLER
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol são
elipses nas quais ele ocupa um dos focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das
distâncias aos focos é constante.
LEIS DE KEPLER
a+b=c+d
b
a
Foco
Foco
d
c
ELIPSE
LEIS DE KEPLER
2.ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha
imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente
proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”
Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas são descritas.
LEIS DE KEPLER
3.ª LEI DE KEPLER (LEI DOS PERÍODOS)
Os quadrados dos períodos orbitais dos planetas são
proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das
órbitas
2
3
T  KR
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
DE NEWTON
Analisando as leis de Kepler, Newton notou que
as velocidades dos planetas variam ao longo da
órbita em módulo e direção. Como a variação da
velocidade é devida a forças, Newton concluiu
que os planetas e o Sol interagem a distância,
com forças chamadas gravitacionais.
G.M 1 .M 2
F 
2
d
REPRESENTAÇÃO DA LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE
GRAVITACIONAL G
A constante de proporcionalidade é chamada, constante
gravitacional. A constante gravitacional é uma constante física
fundamental que aparece na lei de gravitação universal de Newton.
Seu valor expressa a atração gravitacional que se produz entre dois
objetos de um kg cada um, separados por um metro de distância.
Em unidades SI, o valor recomendado em 2002 pelo Committee on
Data for Science and Technology (CODATA) para a constante
gravitacional é G = 6,7 x 10-¹¹ N.m² / kg². Trata-se de uma das
constantes físicas cujo valor é menos preciso. A massa do Sol ,
como é calculada a partir desta constante é, portanto, também
calculada com alguma incerteza. A primeira medição do seu valor foi
efetuada por Henry Cavendish, na sua obra Philosophical
Translations, de 1798.
CÁLCULO DO CAMPO
GRAVITACIONAL g
P = Fg
M1.g = G.M1.M2
d²
g= G.M2
d²
ONDE M1 É A MASSA DE PROVA
M2 É A MASSA DO PLANETA
d É A DISTÂNCIA ENTRE A MASSA DE PROVA E O
PLANETA.
VELOCIDADE LINEAR DE
TRANSLAÇÃO DE UM SATÉLITE
Fcp = Fg
m.v² = G.m.M
R
R²
v = √G.M
R
ONDE v É A VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DO
SATÉLITE E m A MASSA DO SATÉLITE
M É A MASSA DO PLANETA
R É O RAIO DA ÓRBITA DO SATÉLITE
ENERGIA CINÉTICA
SENDO v = √G.M
R
E
Ec = m.v²
2
ASSIM
Ec = G.M.m
2R
ENERGIA POTENCIAL
Epg = m.g.h
MAS g=
G.M e h=d
d²
ASSIM
Epg = - G.M.m
d
O fato da energia ser negativa quer dizer que em todos os
pontos do campo a energia potencial é menor do que no
infinito.
COMPARANDO AS ENERGIAS
PELO QUE VIMOS, TEMOS QUE
Epg = -2Ec
ASSIM A ENERGIA MECÂNICA FICA:
Em = -Ec
Em = - G.M.m
2R
SATÉLITE RASANTE
PARA UM SATÉLITE RASANTE, JUNTO DA SUPERFÍCIE
TERRESTRE, DESPREZANDO A RESISTÊNCIA DO AR,
TEMOS:
P = Fcp
m.g = m.v²
R
ASSIM
v = √g.R
SUBSTITUINDO SEUS RESPECTIVOS VALORES
v = 8,0 km/s
VELOCIDADE DE ESCAPE
A ENERGIA DE ESCAPE É A QUANTIDADE DE ENERGIA
MECÂNICA MÍNIMA PARA QUE UM CORPO POSSA
ESCAPAR DO CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE.
Ec ≥ Epg
m.v² ≥ m.g.R
2
v = √2.g.R OU v = √2G.M
R
EXERCÍCIOS
Sabe-se que a atração gravitacional da lua sobre a camada de água é a principal
responsável pelo aparecimento de marés oceânicas na Terra. A figura mostra a
Terra, supostamente esférica, homogeneamente recoberta por uma camada de
água. Nessas condições, considere as seguintes afirmativas:
I. As massas de água próximas das regiões A e B experimentam marés altas
simultaneamente.
II. As massas de água próximas das regiões A e B experimentam marés opostas,
isto é, quando A tem maré alta, B tem maré baixa e vice-versa.
III. Durante o intervalo de tempo de um dia ocorrem duas marés altas e duas marés
baixas.
RESPOSTA
I- Verdadeiro.
A atração no ponto A é maior que em C que por sua vez é maior que em B.
Logo, teremos:
II- Falso. Contradiz o item I.
III- Considerando desprezível o ângulo que a Lua translada ao redor da Terra
(que vale aproximadamente 360º/30dias = 12º/dia) em um dia, pode-se dizer
que haverá 2 marés baixas e duas marés altas, já que a Terra gira 360º em
um dia.
EXERCÍCIOS
Uma estrela mantém presos, por meio de sua
atração gravitacional, os planetas Alfa, Beta e
Gama. Todos descrevem órbitas elípticas, em
cujo foco comum se encontra a estrela, conforme
a primeira lei de Kepler. Sabe-se que o semi-eixo
maior da órbita de Beta é o dobro daquele da
órbita de Gama. Sabe-se também que o período
de Alfa é √2 vezes maior que o período de Beta.
Nestas condições, pode-se afirmar que a razão
entre o período de Alfa e o de Gama é:
RESPOSTA
EXERCÍCIOS
• ESTUDE E FAÇA A DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DO
EXPERIMENTO DE SCHIEHALLION.
OBRIGADO PELA ATENÇÃO
•BONS ESTUDOS!!