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Matemática 3
3
Triângulos
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1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS BÁSICOS
Considere três pontos distintos não-colineares A, B e C. Os segmentos formados AB, AC e BC são chamados de lados do triângulo
e da união destes segmentos temos o triângulo.
Um triângulo qualquer possui tais elementos:
onde:


são os ângulos internos;
a, b e c: são as medidas dos lados;

são os ângulos externos
2. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Existem duas formas de classificação.
a) Lados
Escaleno: 3 lados diferentes
Isósceles: 2 lados iguais
Eqüilátero: 3 lados iguais
b) Ângulos
Retângulo: um ângulo reto
Acutângulo: três ângulos agudos
Obtusângulo: Um ângulo obtuso
3. CEVIANAS DE UM TRIÂNGULO
É qualquer segmento que une o vértice até um ponto do lado oposto do triângulo. Basicamente, temos quatro cevianas:
a) Altura
Ceviana que é perpendicular ao lado do triângulo.
Obs: Num triângulo retângulo, um dos lados também é altura.
b) Mediana
Ceviana que une um vértice até o ponto médio do lado oposto.
c) Bissetriz interna ( b )
Ceviana que pertence à bissetriz do ângulo interno do triângulo. Ex:
a
d) Bissetriz externa ( b´ )
Ceviana que pertence à bissetriz do ângulo externo do triângulo. Ex:
a
4. POSTULADO DA DISTÂNCIA MÍNIMA
“A menor distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que une os pontos.”
5. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO TRIÂNGULO
“Seja a, b e c a medida dos três lados de um triângulo. Assim, qualquer lado do triângulo é maior que a diferença e menor que a
soma dos outros lados”, ou seja:
6. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Triângulos congruentes são triângulos iguais, ou seja, todos os seus elementos (lados e ângulos) devem ser iguais.
onde:
a = a´
b = b´
c = c´
e
h = h´
2p = 2p´
Obs: Conseqüentemente seus ângulos também serão iguais.
7. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
a) LAL ( lado – ângulo – lado )
“Se um triângulo possuir dois lados congruentes e seu ângulo interno correspondente também for igual, os triângulos serão
congruentes.”
Pode-se demonstrar algumas propriedades importantes para o triângulo isósceles utilizando-se do critério estudado acima.
1. Traça-se a bissetriz interna de Â;
2. CAD  BAD (critério LAL);
3. Como os triângulos são congruentes,
. Assim, CD = DB, ou seja, AD é a mediana do triângulo.
b) ALA ( ângulo – lado – ângulo )
“Dois triângulos que possuem ordenadamente um lado e dois ângulos adjacentes a este lado, são congruentes.”
onde:
a = a´
c) LAAo ( lado – âng. adjacente – âng. oposto )
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses
triângulos são congruentes.”
onde:
a = a´
Obs: Este critério é uma conseqüência do critério ALA, devido a soma dos ângulos internos de um triângulo ser sempre 180º.
d) LLL ( lado – lado – lado )
“Se dois triângulos possuem os três lados congruentes, então ambos são congruentes.”
-------------------------------------------------------------------------------------EXERCÍCIOS
1. P está no interior do ABC, de perímetro s. Então:
( ) 0 < s < 15
( ) 0 < s < 25
( ) s = 15
( ) 8 < s < 20
( ) 8 < s < 30
2. Se o ABC é isósceles de base BC, determine x e y.
3. M e N são pontos da base BC de um triângulo isósceles ABC, tais que MB = NC. Classifique o triângulo.
4. Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm, qual é a medida do terceiro lado desse triângulo?
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