Primitivação por frações parciais - E-Calculo

Primitivação por frações parciais
Esta técnica é utilizada quando precisamos encontrar a família de primitivas de
uma função que é dada por uma fração racional, isto é, pelo quociente de dois
polinômios. Os primeiros exemplos são muito simples e, na verdade, não
apresentam nada de novo.
O primeiro exemplo envolve uma substituição bem fácil:
Exemplo 1:
1
 1  x dx  ln 1  x  C
O segundo é um exemplo importante, mas também é fácil pois é uma primitiva
imediata.
Exemplo 2:
1
 1 x
2
dx  arc tg x  C .
Um exemplo um pouco mais geral pode ser o seguinte:
Exemplo 3:
1
4x
2
dx 
1
x
arc tg  C .
2
2
No exemplo a seguir, a função integrando é uma fração racional e resolvemos a
integral através de uma substituição, já que, no numerador temos “quase” a
derivada da função que aparece no denominador.
Exemplo 4:
x
 1 x
2
dx 


1
ln 1  x 2  C .
2
No exemplo seguinte precisamos da nova técnica:
1
Exemplo 5:
4x
Exemplo 6:
x
2
2
dx 
1 2 x
ln
C.
4 2x
1
1
x
1
dx 
ln

C.
16 4  x 4x
(4  x)
Exemplo 7:
x
2
1
2
2 
1
dx 
arc tg
x    C .
2
x2
7
7


x 1
1
1
3
2 
1 
Exemplo 8: 
dx  ln

arc tg
 x    K .
4  x 2  x  2 12
2
( x  1)( x 2  x  2)
7
7


Exemplo 9:
x 3  2x  1
x2
3
6
2 
1 
dx

 x  ln x 2  x  2 
arc tg
 x    K
 x2  x  2
2
2
2 
7
7
De modo geral, uma função racional pode ser decomposta numa soma de frações
mais simples e, por isso, dizemos que fazemos a decomposição em frações
parciais. Evidentemente, se o grau do polinômio do numerador for maior ou igual
ao grau do polinômio do denominador, em primeiro lugar, efetuamos a divisão dos
polinômios, para separar a “parte inteira”. Depois decompormos a fração
resultante em frações parciais.
A decomposição é feita com base em quatro Teoremas de Existência que,
basicamente, resolvem o problema:
Teorema 1: Sejam a, b, α , β , números reais, com α  β . Então, existem números
reais A e B, tais que:
ax  b
A
B


( x  α).( x  β) x  α x  β
Teorema 2: Sejam α , β , números reais, com α  β e P um polinômio cujo grau é
estritamente menor que 3. Então, existem números reais A, B e D, tais que:
P( x )
A
B
D



2
x  α x  β ( x  β) 2
( x  α).( x  β)
Teorema 3: Sejam b, c, α , números reais e P um polinômio cujo grau é
estritamente menor que 3. Suponhamos ainda que x 2  bx  c não admite raízes
reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A,
B e D, tais que:
P( x )
A
Bx  D

 2
2
( x  α).( x  bx  c ) x  α x  bx  c
Teorema 4: Sejam b, c, α , números reais e P um polinômio cujo grau é
estritamente menor que 5. Suponhamos ainda que x 2  bx  c não admite raízes
reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A,
B, D, E e F, tais que:
P( x )
A
Bx  D
Ex  F

 2
 2
2
2
x  α x  bx  c ( x  bx  c ) 2
( x  α).( x  bx  c )
Precisamos observar que o polinômio do denominador sempre pode ser
decomposto num produto de fatores do primeiro ou do segundo graus. Os fatores
de primeiro grau aparecem quando existem raízes reais; as raízes complexas são
responsáveis pelos fatores de segundo grau.
Evidentemente, todos esses teoremas poderiam ser enunciados numa forma mais
geral. O que precisa estar claro é que o grau do polinômio do numerador deve ser
estritamente menor do que o grau do polinômio do denominador, para podermos
efetuar a decomposição em frações parciais. Se esse não for o caso, primeiro
fazemos a divisão de polinômios, a fim de tornar o problema mais simples, como
no Exemplo 9.
Exercícios: