n ¡ N ñ xn P U ) B(x, 1 ) . x com B1 B2 . Para

Sucessões
Definição 1. Uma sucessão em X é uma função x : N Ñ X que representamos por
(xn )nPN . Dizemos que uma sucessão converge para a P X se, dada qualquer vizinhança
U de a existir um N P N tal que n ¡ N ñ xn P U
Definição 2. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é sequencialmente contínua num
ponto a P X se, dada qualquer sucessão xn con limite a, se tiver lim f (xn ) = f (a).
Definição 3. Dizemos que um ponto a P X é sequencialmente aderente a um conjunto A € X se existir uma sucessão (xn ) de termos em A com limite a.
Uma função contínua é sequencialmente contínua e um ponto sequencialmente aderente é aderente, mas os recíprocos não são necessariamente verdade.
Definição 4. Dizemos que X tem o primeiro axioma de numerabilidade se todo o
x P X tiver uma base de vizinhanças contável.
Exemplo 1. Num espaço métrico, as bolas B(x, 1/n) formam uma base contável de
vizinhanças de x.
No exemplo anterior temos B(x, 1)  B(x, 12 )  B(x, 13 )  .
Teorema 1. Dada uma base contável Bx existe uma base de vizinhanças tBn u tais que B1 
B2  B3  (ou seja, (tBn u, ) é isomorfa a (N, ) como conjuntos ordenados). Qualquer
sucessão (xn ) que satisfaça xn P Bn converge para x.
Podemos agora verificar que:
Teorema 2. Seja X um espaço topológico com o primeiro axioma de numerabilidade. Então uma
função é contínua se e só se for sequencialmente contínua e um ponto é aderente a um conjunto se e só se
for sequencialmente aderente.
Demonstração. Seja x P A e seja tBn u uma base local em x com B1  B2  . Para
cada n P N podemos tomar xn P Bn X A H. Então xn P A e xn Ñ x logo x é
sequencialmente aderente a A.
Seja agora f : X Ñ Y uma função sequencialmente contínua. Vamos mostrar que
f (A) € f (A). Seja x P A. Tomando uma sucessão (xn ) em A tal que xn Ñ x temos
f (xn ) P f (A) e f (xn ) Ñ f (x) logo f (x) P f (A).
Terminamos com dois resultados importantes sobre produtos.
±
Teorema 3. Dada uma colecção de conjuntos tXα uαPJ , uma sucessão (xn ) em Xα converge
para x sse para qualquer coordenada β P J , a sucessão pβ (xn ) convergir para pβ (x). Em particular,
uma sucessão de funções fn : X Ñ Y converge para f sse para qualquer x P X a sucessão fn (x)
convergir para f (x).
1
2
Teorema 4. Seja X um espaço topológico e seja Y um espaço métrico. Se uma sucessão de funções
contínuas fn : X Ñ Y convergir para uma função f na topologia uniforme, então f é também uma
função contínua.
Demonstração. Vamos mostrar que para qualquer a P X a função f é contínua em a .
(
)
Dado um ε ¡ 0, queremos encontrar uma vizinhança U de a tal que d f (x), f (a) ε
para qualquer x P U . Como fn Ñ f podemos escolher um N P N tal que para n ¡ N
(
)
temos supx d fn (x), f (x) ε/3. Fixando um n ¡ N , como fn é contínua existe uma
(
)
vizinhança U de x tal que d fn (x), fn (a) ε/3 para qualquer x P U . Assim, se x P U
temos
(
)
(
)
(
)
(
)
d f (x), f (a) ¤ d f (x), fn (x) + d fn (x), fn (a) + d fn (a), f (a) ε
o que termina a demonstração.
Exercícios.
(1) Descreva as sucessões convergentes e os seus limites na topologia indiscreta: T =
tH, X u.
(2) Na topologia cofinita em R, para que ponto (ou pontos) converge a sucessão xn =
1/n? E a sucessão yn = (1)n ?
(3) Seja X um espaço topológico com a topologia cocontável (os fechados são os conjuntos contáveis e o X ). Mostre que uma sucessão (xn ) em X converge para um
ponto a P X sse existir um N P N tal que xn = a para qualquer n ¡ N . Aproveite
para calcular o fecho e o fecho sequencial dum conjunto A € X .
(4) Descreva as sucessões convergentes em R` .
(5) Para cada n P N seja fn : [0, 1] Ñ R a função definida por fn (x) = xn . Calcule
f = lim fn na topologia produto e mostre que fn não converge para f na topologia
uniforme.
2
(6) Para cada n P N seja fn : [0, 1] Ñ R a função definida por fn (x) = e(xn) .
Calcule f = lim fn na topologia produto e mostre que fn não converge para f na
topologia uniforme, apesar de f ser contínua.
(7) Seja X um espaço topológico, a P X .
(a) Mostre que, se B é uma base da topologia, uma sucessão xn converge para a sse
dado qualquer B P B com a P B , existir um N P N tal que n ¡ N ñ xn P B .
(b) Mostre que, se S é uma subbase da topologia, uma sucessão xn converge para
a sse dado qualquer S P S com a P S , existir um N P N tal que n ¡ N ñ
xn P S .
(c) Mostre que, na topologia produto, uma sucessão (xn )nPN converge para x sse
(
)
as sucessões das coordenadas πα (xn ) nPN convergirem para πα (x) para todo
o α.
3
(8) Seja X um espaço com uma base de vizinhanças Ba contável num ponto a P X .
Mostre que uma função f : X Ñ Y é contínua em a sse para qualquer sucessão
(xn ) que converge para a se tiver lim f (xn ) = f (a) . Sugestão: assuma que f não é
contínua em a e construa uma sucessão xn Ñ a tal que f (xn ) Ñ f (a).
(9) Pag. 127, exercício 4b.
(10) Pag. 134, exercícios 8 e 9.
Numerabilidade
Já encontrámos o primeiro axioma de numerabilidade.
Definição 5. Dizemos que um espaço topológico X satisfaz o segundo axioma da
numerabilidade se X possuir uma base contável B .
Exemplo 2. A colecção B = t]a, b[ : a, b P Qu é uma base contável de R.
Dizemos que uma colecção de abertos U é uma cobertura aberta dum conjunto
A € X se a união dos abertos contiver A.
Teorema 5. Seja X um espaço com uma base contável B . Então:
(1) X tem o primeiro axioma da numerabilidade.
(2) Existe um subconjunto A € X contável tal que A = X (dizemos que A é denso em X ).
(3) Qualquer cobertura aberta de X tem uma subcobertura contável.
Em espaços métricos, (2) e (3) são equivalentes à existência duma base contável em X .
Demonstração.
(1) Basta observar que B X Vx é uma base de vizinhanças de x.
(2) Basta escolher um ponto em cada B P B .
(3) Dada uma cobertura aberta U , seja B̃ € B a colecção dos conjuntos B P B
contidos nalgum U P U . Para cada B P B̃ escolhemos um UB P U tal que
B € UB . Então a colecção tUB u é uma subcobertura contável de U .
Se a condição (2) se verificar, dizemos que X é separável. Se a condição (3) se verificar dizemos que X é Lindelöf.
Exercícios.
(1) Verifique quais dos axiomas de numerabilidade são satisfeitos pelas seguintes topologias em R:
(a) A topologia indiscreta: T = tH, Ru.
(b) A topologia discreta.
(c) A topologia T = tA € R : 0 P A ou A = Hu.
(d) A topologia T = tA € R : 0 R A ou A = Ru.
(e) A topologia T = t]8, a[ : a P Ru Y tHu.
4
(2) Sejam Tf e Tc respectivamente as topologias cofinita e cocontável em R.
(a) Mostre que Tf e Tc são Lindelöf.
(b) Averigue se Tf e Tc são ou não separáveis.
(c) Mostre que Tf e Tc não obedecem ao primeiro axioma de numerabilidade. Sugestão: assuma que existia uma base local contável tAk u e comece por mostrar
“
que k Ak é um aberto.
(d) Quais dos axiomas de numerabilidade são satisfeitos pelo produto da topologia
cofinita pela topologia discreta em R R?
(3) Recorde que SΩ é um conjunto bem ordenado não contável tal que, para qualquer
a P SΩ , o conjunto tx P SΩ : x au é contável. Acrescentando um elemento
máximo Ω a SΩ obtemos um comjunto bem ordenado S Ω = SΩ Y tΩu. Damos a
estes conjuntos a topologia da ordem.
(a) Mostre que SΩ e S Ω não são separáveis. Sugestão: recorde que qualquer subconjunto contável C € SΩ é majorado.
(b) Mostre que SΩ satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade.
(c) Mostre que Ω P S Ω não tem nenhuma base local contável. Sugestão: assuma
que existia uma base local contável tAk u e considere o conjunto tmin Ak ukPN .
(d) Mostre que S Ω é Lindelöf.
(e) Mostre que SΩ não é Lindelöf. Sugestão: considere a cobertura pelos abertos
Sa = tx P SΩ : x au, com a P SΩ .
(4) Representamos por R` o conjunto R com a topologia gerada pela base t[a, b[ : a, b P
Ru. Considere também o produto R` R` .
(a) Mostre que R` e R` R` satisfazem o primeiro axioma de numerabilidade.
(b) Averigue se R` e R` R` são ou não separáveis.
(c) Mostre que R` R` não é Lindelöf. Sugestão: considere os abertos Ax =
[x, +8[ [x, +8[.
(d) Mostre que R` é Lindelöf. Sugestão: dada uma cobertura tAα u seja Uα o in”
terior de Aα na topologia usual de R e seja X = α Uα ; justifique que X é
Lindelöf com a topologia usual como subespaço de R, e que R X é contável.
Resolvido como exemplo no Munkres.
(e) Mostre que R` não satisfaz o segundo axioma de numerabilidade. Sugestão: se
B é uma base, para cada x P R tem que existir um B P B tal que min B = x.
(5) Seja X um espaço topológico, Y € X um subespaço.
(a) Mostre que se X tiver o primeiro axioma de numerabilidade, Y também o tem.
(b) Mostre que se X tiver o segundo axioma de numerabilidade, Y também o tem.
(c) Mostre que se X for Lindelöf e Y for fechado em X , então Y também é Lindelöf.
(d) Mostre que se X for separável e Y for aberto em X , então Y também é separável.
(6) Pag. 194, exercícios 3, 5, 9, 11, 12, 13.
5
Axiomas de separação
Os axiomas de separação são:
T1: Dados x, y P X existe uma vizinhança de y que não contém x.
T2: Dados pontos x, y P X existem abertos disjuntos U , V tais que x P U e y P V .
T3: X satisfaz T1 e dado um fechado F e um ponto x R F , existem abertos
disjuntos U , V tais que x P U e F € V .
T4: X satisfaz T1 e dados fechados disjuntos F , G existem abertos disjuntos U ,
V tais que F € U e G € V .
Um espaço T2 também se diz de Hausforff, um espaço T3 também se diz regular e
um espaço T4 também se diz normal.
Teorema 6. Num espaço de Hausdorff há unicidade de limite de sucessões.
Demonstração. Se xn
Ñ x e xn Ñ y, x e y não podem ter vizinhanças disjuntas.
Teorema 7. Um espaço métrico é normal.
Demonstração. Dados fechados disjuntos F, G € X , para cada x P F existe um δx
”
tal que B(x, δx ) X G = H. Seja U = xPF B(x, δx /2). Analogamente, seja V =
”
y PY B(y, δy /2), em que B(y, δy ) X F = H. Claramente F € U e G € V pelo que
basta provar que U X V = H, o que deixamos como exercício.
Teorema 8. Um espaço regular com base contável é normal.
Demonstração. Dados fechados disjuntos F , G, para cada x P F tomamos um U P B
tal que U X G = H e para cada y P G tomamos um V P B tal que V y X F = H.
Como B é contável, obtemos assim coberturas abertas contáveis tUn u e tVn u de F e
G respectivamente. Então os abertos
)
)
” (
” ¤(
e
Vn (U 1 Y Y U n )
n Un (V 1 Y Y V n )
n
n
são abertos disjuntos que contém respectivamente F e G.
Exercícios.
(1) Mostre que um espaço é T1 sse todos os conjuntos com um só ponto forem fechados.
(2) Seja X um espaço topológico, uma relação de equivalência. Mostre que o quociente X/ é T1 sse as classes de equivalência forem conjuntos fechados.
(3) Seja X um espaço T 1. Mostre que um ponto a é ponto de acumulação dum conjunto A sse qualquer vizinhança de a contiver um número infinito de pontos de
A.
(4) Seja X um espaço topológico, Y € X um subespaço.
(a) Mostre que se X é T2 então Y é também T2.
(b) Mostre que se X é T3 então Y é também T3.
6
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(c) Mostre que se X é T4 e Y é fechado em X então Y é também T4.
Seja TK a topologia em R gerada pelos intervalos ]a, b[ com a, b P R, e por R t1, 21 , 13 , 14 , . . .u. Mostre que, com esta topologia, R é Hausdorff mas não é regular.
Mostre que um espaço topológico X é regular sse dado um ponto x P X e uma
vizinhança U P Vx , existir uma vizinhança V P Vx tal que V € U .
Mostre que a topologia da ordem é sempre regular.
Seja X um conjunto bem ordenado. Mostre que X é normal com a topologia da
ordem. Sugestão: dados fechados disjuntos F e G, para cada x P F tome uma
vizinhança ]a, x] que não intersecta G e faça o mesmo para os pontos de G.
Seja tXα u uma família de espaços topológicos.
±
(a) Mostre que se Xα é Hausdorff para todo o α então Xα é também Hausdorff.
±
(b) Mostre que se Xα é regular para todo o α então Xα é também regular.
Seja X um espaço de Hausdorff, Y € X . Mostre que se existir uma função contínua
r : X Ñ Y tal que r(y) = y para todo o y P Y (r diz-se uma retracção), então Y é
fechado em X . Sugestão: dado x P Y , assuma que r(x) x e use a continuidade
de r em x.
Mostre que SΩ S Ω não é normal na topologia produto. Sugestão: Munkres,
pag. 203.
Pag. 101, exercício 13.
Pag. 112, exercício 13.
Pag. 199, exercícios 1, 2, 5, 6, 7ab, 8.
O Lema de Urysohn
Teorema 9 (Lema de Urysohn). Seja X um espaço normal, F, G € X fechados disjuntos.
Então existe uma função contínua f : X Ñ [0, 1] tal que f (x) = 0 para x P F e f (x) = 1 para
x P G.
Teorema 10 (Teorema de Tietze). Seja X um espaço normal, F
Então:
€ X um conjunto fechado.
(1) Qualquer função contínua f : X Ñ [a, b] pode ser prolongada para uma função contínua
f˜: X Ñ [a, b].
(2) Qualquer função contínua f : X Ñ R pode ser prolongada para uma função contínua
f˜: X Ñ R.
Definição 6. Dizemos que um espaço topológico X é metrizável se existir uma distância d em X tal que a topologia de X é a topologia induzida por d.
Teorema 11. Seja I = [0, 1] € R com a topologia usual. O espaço das sucessões I N =
I I I com a topologia produto é metrizável.
7
Demonstração. Dadas sucessões x = (xn ), y = (yn ) definimos a distância d(x, y) =
supn |xn yn |/n. Então a topologia induzida por d é a topologia produto.
Teorema 12. Um espaço topológico regular e com uma base contável é metrizável.
Demonstração. Ver Munkres.
Exercícios.
(1) Mostre que um espaço topológico satisfaz o Lema de Urysohn sse satisfaz o Teorema
de Tietze sse dados quaisquer fechados disjuntos F e G existirem abertos disjuntos
U e V tais que F € U e G € V (o espaço não precisa de ser T1).
(2) Um espaço topológico X diz-se completamente regular se dado um ponto x P X
e uma vizinhança U P Vx de x existir uma função contínua f : X Ñ [0, 1] tal que
f (x) = 1 e f (x) = 0 para qualquer x R U .
(a) Mostre que um espaço normal é completamente regular.
(b) Mostre que um espaço completamente regular é regular.
(c) Mostre que um subespaço dum espaço completamente regular é também completamente regular.
±
(d) Mostre que um produto Xα de espaços completamente regulares é também
completamente regular.
(3) Decida se os espaços SΩ , S Ω e Io2 são metrizáveis.
(4) Quais das topologias discreta, indiscreta, cofinita e cocontável são metrizáveis?
(5) Decida se RJ é metrizável com a topogia produto, em que J é um conjunto finito,
contável ou não contável.
(6) Termine a demonstração do Teorema 11.
(7) Generalize a demonstração do Teorema 11 para mostrar que o produto contável de
espaços metrizáveis é metrizável.
(8) Pag. 212, exercício 3.
(9) Pag. 218, exercícios 1, 2.
(10) Pag. 223, exercício 7.
Compactos
Definição 7. Um espaço topológico X diz-se compacto se qualquer cobertura aberta
de X tiver uma subcobertura finita.
Teorema 13. Um subespaço Y € X é compacto se e só se dada qualquer colecção U de abertos
”
de X tais que Y € U , existirem U1 , . . . , Uk P U tais que Y € U1 Y Y Uk .
Começamos por ver alguns exemplos de espaços compactos.
Teorema 14. Seja X um conjunto totalmente ordenado satisfazendo o axioma do supremo. Então
qualquer intervalo [a, b] € X é compacto.
8
Demonstração. Seja U uma cobertura de [a, b]. Seja A € [a, b] o conjunto dos pontos
x P [a, b] tais que [a, x[ é coberto por um número finito de abertos de U . Claramente
a P A logo A H. Seja s = sup A. Como a P U para algum U P U , existe um x ¡ a
tal que [a, x[€ U logo x P A. Assim, s ¡ a.
Agora, s P V para algum V P U . Como s ¡ a, existe um c s tal que ]c, s] € V .
Como s é o menor dos majorantes, c não é um majorante de A logo existe um x P A
tal que x ¡ c. Então existem U1 , . . . , Uk P U tais que [a, x[ € U1 Y Y Uk e como
]c, s] € V , temos [a, s] € U1 Y Y Uk Y V . Para terminar a demonstração basta
observar que s = b: caso contrário existiria um d ¡ s tal que [s, d[ € V donde seguiria
que [a, d[ € U1 Y Y Uk Y V logo d P A, o que é uma contradição pois s = sup A. Teorema 15. Seja f : X
ÑY
contínua, K
€ X compacto. Então f (K) é compacto.
Por exemplo, o círculo S 1 é compacto pois é a imagem de [0, 1] pela função contínua
(
)
f (t) = cos(2πt), sin(2πt) .
Teorema 16. Seja X um espaço compacto. Então qualquer subconjunto F fechado em X é compacto.
Em particular, qualquer subconjunto de R fechado e limitado é compacto, pois está
contido num intervalo [a, b]. Reciprocamente, um compacto K € R é limitado pois a
cobertura t]n, n[u de K tem uma subcobertura finita. Para ver que K € R é fechado
precisamos do teorema seguinte:
Teorema 17. Seja X um espaço de Hausdorff, K € X um compacto. Então, dado um ponto
a R K , existem abertos U , V disjuntos tais que K € U e a P V .
Demonstração. Para cada x P K tomamos vizinhanças disjuntas Ux P Vx e Vx P Va . A
colecção tUx u cobre K pelo que podemos tomas uma subcobertura finita tUn u. Então
”
“
podemos tomar U = Un e V = Vn .
Como corolários imediatos temos:
Teorema 18. Seja X um espaço de Hausdorff, K
€ X um compacto. Então K é fechado em X .
Demonstração. O Teorema 17 mostra que X K é aberto.
Teorema 19. Um conjunto K
€ R é compacto sse for limitado e fechado.
Teorema 20 (Weierstrass). Se X é um espaço compacto, qualquer função f : X
máximo e mínimo.
Demonstração. f (X) é limitado e fechado.
Teorema 21. Um espaço compacto de Hausdorff é normal.
Ñ
R tem
9
Demonstração. Como os fechados em X são compactos, o Teorema 17 mostra que X é
regular. Como X é Lindelöf, X é normal.
Teorema 22. Seja f : X
ÑY
uma função contínua, X compacto e Y de Hausdorff. Então:
(1) Se f for injectiva, f é um mergulho.
(2) Se f for sobrejectiva, f é uma função perfeita.
(3) Se f for bijectiva, f é um homeomorfismo.
Demonstração. Basta observar que f é fechada: se F
logo f (F ) é compacto, e portanto fechado.
€ X é fechado, então é compacto,
Teorema 23 (Tychonof). Dada uma família tXα u de espaços compactos, o produto
também compacto.
Demonstração. Ver Munkres.
±
Xα é
Exercícios.
(1) Mostre que R não é compacto.
(2) Em quais das seguintes topologias em R é o intervalo [0, 1] compacto?
(a) Topologia cofinita.
(b) Topologia discreta.
(c) A topologia RK .
(3) Seja (xn ) uma sucessão convergente em X . Mostre que o conjunto txn : n P
Nu Y tlim xn u é compacto.
(4) Considere a topologia em R cujos abertos, para além de H e R, são os intervalos
] 8, a[. Mostre que um subespaço Y € R é compacto sse tiver máximo.
(5) Dizemos que uma função f : X Ñ Y é localmente limitada se qualquer ponto x P
X tiver uma vizinhança U tal que f |U é limitada. Mostre que se X é compacto,
qualquer função localmente limitada é limitada.
(6) Dizemos que um conjunto A € X é localmente finito se qualquer ponto x P X tiver
uma vizinhança U tal que A X U é finito. Mostre que se X é compacto, qualquer
conjunto localmente finito é finito.
(7) Seja B uma base de X . Mostre que X é compacto sse qualquer cobertura de X por
elementos de B tiver uma subcobertura finita.
(8) Mostre que os espaços Io2 e S Ω S Ω são normais.
(9) Seja p : X Ñ Y uma função contínua e sobrejectiva.
(a) Mostre que p é fechada sse dado qualquer y P Y e qualquer aberto U € X tal
( )
que p1 ty u € U existir uma vizinhança V P Vy tal que p1 (V ) € U .
( )
(b) p diz-se uma função perfeita se for fechada e para cada y P Y , p1 ty u for
compacto. Mostre que se p for perfeita, então X é compacto sse Y for compacto.
Sugestão: dada uma cobertura aberta U de X , para cada y P Y seja Uy uma
( )
”
subcobertura finita de p1 ty u e seja Uy = Uy .
10
(c) Mostre que, se K for uma espaço compacto, então a projecção p : K Y
é uma função perfeita.
(d) Mostre que o produto finito de espaços compactos é compacto.
(10) Mostre que o subespaço de R3 :
(
(a
)2
X = (x, y, z) P R3 :
x2 + y 2 2 + z 2 = 1
(11)
(12)
(13)
(14)
ÑY
é homeomorfo a S 1 S 1 .
Mostre que a função f : S 2 Ñ R4 definida por f (x, y, z) = (x2 , y 2 , xy, xz) induz
um mergulho de P2 em R4 .
Pag. 171, exercícios 1 a 8, 12.
Pag. 194, exercício 4.
Pag. 199, exercício 7ab.
Espaços localmente compactos; compactificações.
Definição 8. Uma compactificação dum espaço topológico X é um espaço Y compacto de Hausdorff tal que X € Y e X = Y . Mais geralmente, dizemos que um
espaço compacto de Hausdorff Y é uma compactificação de X se existir um mergulho
f : X Ñ Y tal que f (X) = Y .
Exemplo 3. O intervalo [0, 1] é uma compactificação de ]0, 1[. O círculo S 1 é também uma compactificação pois temos um mergulho f : ]0, 1[ Ñ S 1 dado por f (t) =
(
)
cos(2πt), sin(2πt) .
Nem todos os espaços admitem uma compactificação. Em particular, como Y é
normal, logo regular, X tem também de ser regular. No caso de X ser aberto em Y ,
qualquer x P X tem uma vizinhança V tal que V € X . Como Y é compacto, V é
também compacto.
Definição 9. Dizemos que um espaço topológico X é localmente compacto se para
qualquer ponto x P X existir um compacto K € X tal que x P int K .
É comum generalizar a noção de vizinhança: dizemos que um conjunto A € X , não
necessariamente aberto, é uma vizinhança dum ponto a P X se a P int A. Um espaço
localmente compacto é então um espaço em que qualquer ponto tem uma vizinhança
compacta.
Já vimos que, se X admite uma compactificação Y tal que X é aberto em Y , então
X é localmente compacto. Reciprocamente, temos:
Teorema 24. Seja X um espaço de Hausdorff localmente compacto (mas não compacto). Então
existe uma compactificação Y de X tal que o conjunto Y X tem apenas um ponto.
Demonstração. Tomamos Y = X Y t8u e dizemos que um conjunto A € Y é aberto se,
ou A € X for aberto em X , ou Y A for compacto. Ver Munkres.
11
Chamamos a Y a compactificação de Alexandrov (ou one point compactification) de X .
Esta compactificação é única a menos de homeomorfismo (ver exercícios).
Exemplo 4. S 1 é a compactificação de Alexandrov de ]0, 1[.
Exercícios.
(1) Mostre que se X é compacto, a única compactificação de X é o próprio X .
(2) Mostre que um espaço de Hausdorff é localmente compacto sse qualquer ponto
tiver uma vizinhança cujo fecho é compacto.
(3) Mostre que um espaço localmente compacto de Hausdorff é regular.
(4) Mostre que qualquer conjunto ordenado com o axioma do supremo é localmente
compacto na topologia da ordem.
(5) Mostre que num espaço localmente compacto de Hausdorff qualquer vizinhança
dum ponto contem uma vizinhança compacta desse ponto (ou seja, qualquer ponto
tem uma base de vizinhanças compactas).
(6) Seja X um espaço localmente compacto de Hausdorff. Mostre que qualquer subespaço de X que seja aberto ou fechado é também localmente compacto de Hausdorff.
(7) Mostre que um espaço métrico X é localmente compacto sse para qualquer x P X
existir um δ ¡ 0 tal que a bola fechada ty P X : d(x, y) ¤ δ u é compacta.
(8) Mostre que Q não é localmente compacto. Sugestão: se (xn ) é uma sucessão em Q
convergindo para um número irracional, o conjunto txn : n P Nu é fechado mas
não é compacto.
(9) Mostre que o espaço [0, 1]N das sucessões no intervalo [0, 1] com a topologia uniforme não é localmente compacto.
(10) Dizemos que uma função contínua f : X Ñ Y é própria se para qualquer compacto
K € Y , f 1 (K) for também compacto.
(a) Sejam X , Y espaços localmente compactos de Hausdorff. Mostre que uma
função f : X Ñ Y é própria sse o prolongamento f˜: X Y t8X u Ñ Y Y t8Y u
às compactificações de Alexandrov definido por f˜(8X ) = 8Y for uma função
contínua.
(b) Mostre que uma função própria e bijectiva entre espaços localmente compactos
de Hausdorff é um homeomorfismo.
(11) Mostre que um espaço topológico X possui uma compactificação sse X for completamente regular. Sugestão: seja J o conjunto das funções contínuas de X para
[0, 1]; imite a demonstração do Teorema de metrização de Urisohn e construa um
mergulho de X para [0, 1]J . Ver Munkres, secção 38.
(12) Pag. 186, exercícios 1 a 8.
(13) Pag. 218, exercícios 4, 5.
12
Variedades
Definição 10. Chamamos variedade de dimensão n a um espaço de Hausdorff com
uma base contável em que cada ponto é homeomorfo a Rn .
Exemplo 5. Qualquer aberto U
€ Rn é uma variedade de dimensão n.
Teorema 25. Qualquer variedade compacta X pode ser mergulhada em RN , para N suficientemente grande.
Demonstração. Para cada x P X tomamos uma vizinhança Ux homeomorfa a Rn ; seja
gx : Ux Ñ Rn um homeomorfismo. Como X é normal podemos tomar Vx , Wx P Vx
tais que W x € Vx e V x € Ux . Seja Wx1 , . . . , Wxk uma subcobertura de X . Pelo lema
de Urysohn existem funções φi : X Ñ [0, 1] tais que φi = 1 em W i e φi = 0 em X Vi .
Seja hi : X Ñ Rn a função definida por
$
&φi (x)gi (x) x P V i
hi (x) =
%0
x P X Vi
Então a função f = (f1 , . . . , fk , λ1 , . . . , λk ) : X Ñ Rnk+k é contínua e bijectiva.
Como X é compacto e Rnk+k é Hausdorff, f é um mergulho.
Chamamos suporte duma função f : X Ñ R ao conjunto supp f = tx P X : f (x) 0u.
°
As funções φi acima têm a propriedade que supp φi € Ui e φi (x) ¡ 0 para qualquer
°
°
x P X . Se definirmos ψi = φi /( φi ) então supp ψi € Ui e ψi = 1.
Definição 11. Seja tU1 , . . . , Un u uma cobertura aberta de X . Uma partição da unidade subordinada à cobertura é uma colecção de funções φ1 , . . . , φn : X Ñ R tais
que:
(1) supp φi € Ui .
°
(2) Para qualquer x P X , ni=1 φi (x) = 1.
Exercícios.
(1) Mostre que um ponto x P X tem uma vizinhança homeomorfa a Rn sse x tiver uma
vizinhança homeomorfa a um aberto em Rn . Sugestão: comece por mostrar que a
função f : B(0, 1) Ñ Rn definida por f (x) = x/(1 }x}) é um homeomorfismo.
(2) Mostre que, se X é uma variedade de dimensão n, e Y é uma variedade de dimensão
m, então X Y é uma variedade de dimensão n + m.
(3) Mostre que um subespaço aberto duma variedade é também uma variedade.
(4) Mostre que a esfera S n = tx P Rn+1 : }x} = 1u é uma variedade.
(5) Mostre que o plano projectivo P2 é uma variedade. Sugestão: comece por mostrar
que a projecção p : S 2 Ñ P2 é aberta e fechada. Ver Munkres, pag. 372.
(6) Mostre que qualquer variedade é localmente compacta.
13
(7) Mostre que qualquer variedade é metrizável.
(8) Mostre que o produto SΩ ]0, 1] satisfaz todas as condições para ser uma variedade,
excepto que não tem uma base contável.
(9) Sejam X e Y variedades de dimensão n, e sejam φ : U € X Ñ Rn e ψ : V € Y Ñ
Rn homeomorfismos de abertos em X e em Y com Rn . Seja B n € Rn a bola de
raio um centrada na origem e seja S n1 € Rn a esfera de raio um. Chamamos
soma conexa de X e Y ao quociente
(
) ²(
)
X φ1 (B n )
Y ψ 1 (B n )
X#Y =
,
em que é a relação de equivalência gerada por φ1 (t) ψ 1 (t), com t P S n1 .
(a) Mostre que, se U = V = X = Y = Rn e φ e ψ são a identidade então X#Y é
homeomorfo a S n1 R.
(b) Mostre que X#Y é uma variedade de dimensão n.
(10) Mostre que num espaço normal, qualquer cobertura finita tem uma partição da
unidade a ela subordinada. Sugestão: Munkres, pag. 225.
(11) Pag. 227, exercício 5.
Compacidade sequencial
Uma sucessão (yk ) é uma subsucessão de (xn ) se yk = xnk em que nk é uma sucessão
estritamente crescente de números naturais.
Definição 12. Seja X um espaço topológico. Dizemos que:
(1) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass se qualquer subconjunto infinito
de X tiver um ponto de acumulação.
(2) X é sequencialmente compacto se qualquer sucessão em X tiver uma subsucessão convergente.
Definição 13. Dizemos que um espaço métrico X é totalmente limitado se para qualquer δ ¡ 0 X for a união dum número finito de bolas de raio δ .
Um espaço totalmente limitado é limitado, pois é a união finita de conjuntos limitados, mas o recíproco não é em geral verdade.
Teorema 26. Seja X um espaço métrico sequencialmente compacto. Então X é totalmente limitado.
Demonstração. Se X não for sequencialmente compacto existe um δ ¡ 0 tal que X não
pode ser coberto por um número finito de bolas de raio δ . Definimos uma sucessão por
recorrência do seguinte modo: tomamos um qualquer x1 P X e, supondo já definidos
x1 , . . . , xk , escolhemos um ponto xk+1 que não pertença à união B(x1 , δ) Y Y
B(xk , δ). Então d(xk , xn ) ¥ δ para quaisquer k, n P N pelo que a sucessão não pode
ter nenhuma subsucessão convergente.
14
Definição 14. Dizemos que um número real δ ¡ 0 é número de Lebesgue duma
cobertura aberta U se qualquer bola de raio δ estiver contida num dos abertos de U .
Teorema 27. Seja X um espaço métrico sequencialmente compacto. Então qualquer cobertura
aberta de X tem número de Lebesgue.
Demonstração. Provamos por contradição. Vamos supor que existia uma cobertura U
sem número de Lebesgue. Então para qualquer n P N existe uma bola B(xn , 1/n) que
não está contida em nenhum aberto de U . Tomemos uma subsucessão convergente
(xnk ), com limite x. Então x P U para algum U P U , pelo que existe um δ ¡ 0 tal
que B(x, δ) € U . Mas isto é uma contradição pois para k P N suficientemente grande,
B(xnk , 1/nk ) € B(x, δ).
Teorema 28. Um espaço métrico X são equivalentes:
(1) X é compacto.
(2) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass.
(3) X é sequencialmente compacto.
Demonstração.
1 ñ 2 Seja A € X um conjunto infinito sem pontos de acumulação. Então A é fechado. Para cada x P A podemos tomar uma vizinhança Ux tal que Ux X A =
txu. A cobertura tUx uxPA Y tX Au não tem subcoberturas finitas.
2 ñ 3 Seja X um espaço com a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Seja (xn ) uma
sucessão e seja A = txn : n P Nu o conjunto dos termos da sucessão. Se A é
finito então (xn ) tem pelo menos uma subsucessão constante. Se A é infinito
então tem um ponto de acumulação x. Vamos construir por recorrência uma
subsucessão (xnk ) com limite x. Escolhemos n1 de modo a xn1 P B(x, 1) X
(A txu). Assumindo que já escolhemos xn1 , . . . , xnk1 , seja U = B(x, 1/k) tx1 , x2 , . . . , xnk1 u; então escolhemos um ponto xnk P U X (A txu); por definição de U , nk ¡ nk1 . Como, para qualquer k P N, temos xnk P B(x, 1/k),
necessariamente xnk Ñ x.
3 ñ 1 Seja X sequencialmente compacto, seja U uma cobertura aberta de X e seja δ
um número de Lebesgue da cobertura. Como X é totalmente limitado, existem
pontos x1 , . . . , xn P X tal que B(x1 , δ) Y Y B(xn , δ) = X . Por definição
de número de Lebesgue, para cada i = 1, . . . , n existe um aberto Ui P U tal
que B(xi , δ) € Ui . Mas então X = U1 Y Y Un .
Exercícios.
(1) Mostre que em qualquer espaço topológico X , compacidade e compacidade sequencial ambas implicam a propriedade de Bolzano-Weierstrass.
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(2) Mostre que um espaço X com o primeiro axioma de numerabilidade é sequencialmente compacto sse tiver a propriedade de Bolzano-Weierstrass.
(3) Mostre directamente que um espaço métrico e compacto é totalmente limitado.
(4) Dizemos que um espaço X é contavelmente compacto se qualquer cobertura numerável de X tiver uma subcobertura finita.
(a) Mostre que um espaço contavelmente compacto tem a propriedade de BolzanoWeierstrass.
(b) Mostre que um espaço sequencialmente compacto é contavelmete compacto.
Sugestão: dada uma cobertura numerável tUn u sem subcoberturas finitas, para
cada n P N tome xn R U1 Y . . . Un .
(c) Seja X um espaço T1. Mostre que X é contavelmente compacto sse X tiver
a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Sugestão: adapte a demonstração da
alínea anterior.
(d) Seja X um espaço satisfazendo o segundo axioma de numerabilidade. Mostre
que X é compacto sse X for contavelmente compacto, sse X tiver a propriedade
de Bolzano-Weierstrass, sse X for sequencialmente compacto.
(5) Mostre que SΩ é sequencialmente compacto mas não é compacto.
(6) Seja X o espaço das funções f : R Ñ t0, 1, . . . , 9u. Mostre que, na topologia
produto, X é compacto mas não é sequencialmente compacto. Sugestão: seja
fn : R Ñ t0, . . . , 9u a função tal que fn (x) é a casa decimal n da expansão decimal de x.
(7) Mostre que um subespaço dum espaço totalmente limitado é também totalmente
limitado.
(8) Mostre que [0, 1]N com a métrica uniforme é limitado mas não totalmente limitado.
(9) Mostre que um subespaço de Rn é limitado sse for totalmente limitado.
(10) Seja X um espaço topológico, f : [0, 1] Ñ X uma função contínua, e U uma cobertura de X . Mostre que existe uma partição 0 = t0 t1 tn = 1 do intervalo
[0, 1] e abertos U1 , . . . , Un P U tal que a imagem por f de cada intervalo [ti1 , ti ]
está contida em Ui .
(11) Pag. 181, exercícios 2, 3, 5, 6.