Lógica Binária

Lógica Binária
Lógica Binária
Proposição é toda a expressão da qual faz sentido dizer que é
verdadeira ou falsa. Cada proposição tem um e um só valor lógico,
Verdadeiro (1) ou Falso (0).
Princípios
• Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
• Princípio do terceiro excluído: uma proposição é verdadeira ou
falsa.
Uma proposição diz-se simples ou atómica se não contem nenhuma
parte como parte integrante de si mesma. As proposições compostas
são construídas a partir das simples ligando-as por operadores
(conectivos) lógicos.
Lógica Binária
Negação ¬p (não p)
•
0
1
p
q
p∧q
1
1
1
1
1
1
Conjunção p ∧ q (p e q)
1
Disjunção p ∨ q (p ou q)
0
Implicação p ⇒ q (se p então q)
p é condição suficiente para que q
0
q é condição necessária para que p
Equivalência p ⇔ q (p é equivalente a q)
p se e só se q
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
Operações binárias
•
•
•
1
¬p
0
p
p∨q p→q p↔q
Lógica Binária
A cada variável proposicional, representada por uma das letras p,q,r,…,
é atribuída um valor lógico:
1 ou 0.
Uma fórmula bem formada (fbf) é construída a partir de: símbolos 1 ou
0, variáveis proposicionais, operadores lógicos, símbolos de
parênteses.
Convenção: as operações lógicas são consideradas pela seguinte
ordem de prioridade:
¬, ∧, ∨, →, ↔
Na ausência de parênteses as operações são realizadas da esquerda
para a direita.
Lógica Binária: Exercícios
1. Estabeleça a negação de cada uma das seguintes proposições:
a)
O computador é um instrumento de trabalho
b)
Todas as casas têm janelas.
c)
Nenhuma casa é barata
d)
Alguns homens são espertos
e)
2=5
f)
3<4
g)
7 + 2 = 10
h)
8>3
i)
3<1
j)
2<3<5
2. Estabeleça com uma Tabela de Verdade o valor lógico da seguinte
proposição:
P: Não é verdade que Bento de Jesus Caraça não tenha sido
matemático.
Lógica Binária: Exercícios
3. Simbolize as seguintes proposições:
a)
O Luís não é parvo; além disso gosta da sua mulher.
b)
O Luís não só é chato como também ingénuo.
c)
A lua é um satélite da terra e 2 + 2 ≠ 5.
4. Negue as seguintes proposições, simbolicamente e, quando
possível, também em português:
a)
p∧¬q
b)
¬p∧q
c)
O João estuda e trabalha.
d)
O João nem estuda nem trabalha.
Lógica Binária: Exercícios
5. Designando por p e q as proposições:
p: João Barata é um corredor português
q: Joaquim Agostinho é um corredor português
5.1. Traduza simbolicamente:
a)
João Barata e Joaquim Agostinho são corredores.
b)
Joaquim Agostinho é corredor português e João Barata não.
c)
Nem João Barata nem Joaquim Agostinho são corredores
portugueses.
d)
Não é verdade que nem João Barata nem Joaquim Agostinho
sejam corredores.
5.2. Considerando que Joaquim Agostinho foi de facto um corredor
português e João Barata não, diga quais são, de entre as
proposições anteriores, aquelas a que se deve atribuir o valor lógico
Verdade.
Lógica Binária: Exercícios
6. Traduza simbolicamente:
a) Ninguém é simultaneamente altruísta e egoísta.
b) As pessoas são boas e altruístas; ou são egoístas, mas nunca
ambas as coisas.
c) Não é verdade que João fume ou beba, e tenha boa saúde.
d) Ou um número é par ou ímpar, ou não é um número natural.
e) Não vale o seguinte: um número é par e é ímpar.
f) Não se dá, ao mesmo tempo, que João não concorra ao cargo de
formador e não seja escolhido.
Lógica Binária: Exercícios
7. Sendo p e q proposições verdadeiras e r uma proposição falsa,
indique o valor lógico de:
a) (p ∧ q) V r
b) p V q V r
c) (p ∧ ¬ q) ∨ ¬ r
d) ¬ (p ∧ q) ∨ ¬ r
8.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual o valor lógico de:
Mozart foi compositor ou filósofo.
Lisboa tem oito milhões ou nove milhões de habitantes.
O Sol gira à volta da Terra e o Sol é uma estrela.
A equipa do Boavista não é de Coimbra.
O camarão não é peixe.
Paris não é a capital de França.
Lógica Binária: Exercícios
9. Indique o valor lógico de p, qualquer que seja o valor lógico de q:
a) sendo ¬ p ∧ q uma proposição falsa.
b) sendo ¬ p ∨ q uma proposição falsa.
c) sendo ¬ (¬ p ∨ q) uma proposição falsa.
10. Sabendo que são, respectivamente, V e F os valores lógicos das
proposições p e p ∧ q, determine o valor lógico da proposição:
a) q
b) p ∨ q
c) p ∧ ¬ q
d) ¬ q ∨ p
11. Negue as seguintes proposições:
a) p ∨ ¬ q
b) ¬ p ∨ q
c) O João não estuda ou não está atento
Lógica Binária: Exercícios
13. Considere as proposições seguintes:
a: O comboio desloca-se sobre carris.
b: O automóvel funciona a gasolina.
c: A bicicleta tem duas rodas.
d: O João sabe que os carros Toyota são caros.
e: O João fica sempre junto do António.
f: O João é ciumento.
g: O João sabe que os carros Toyota são duradouros.
h: O João gosta da Maria.
13.1. Traduza as seguintes proposições:
a) b ∧ c
b) e ∧ f
13.2. Traduza simbolicamente as seguintes proposições :
a) O João não só sabe que os carros Toyota são caros, como
também que são duradouros.
b) O João é ciumento; além disso, gosta da Maria.
13.3. Traduza em linguagem corrente o significado das seguintes
expressões:
a) a ∧ b
b) c ∧ d
Lógica Binária: Exercícios
14. Considera as seguintes proposições:
a: Como pão
b: Como fruta
f: A Joana visitou a França
e: A Joana visitou a Espanha
l: A Joana visitou a Alemanha
c: Esta noite, às 9 h, estarei de partida para Paris no comboio.
v: Esta noite, às 9 h, estarei de partida para Paris de avião.
q: Quando vou a Lisboa janto com amigos.
n: Quando vou a Lisboa janto com a namorada.
z: Numa operação de divisão, o resto é zero.
d: O seguro ser-me-á pago em caso de incêndio.
r: O seguro ser-me-á pago em caso de roubo.
Lógica Binária: Exercícios
14.1. Traduza para linguagem simbólica:
a) Como pão ou como fruta, mas não as duas coisas.
b) Como pão ou fruta.
c) Espanha, França, Alemanha, um destes países foi visitado por Ana.
d) Esta noite, às 9 horas, estarei de partida para Paris no comboio ou
de avião.
e) Numa operação de divisão, o resto é zero ou diferente de zero.
f) Quando vou a Lisboa janto com amigos ou com a minha namorada.
14.2. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:
a)
f∨e
b)
d∨r
Lógica Binária: Exercícios
15. Considere as seguintes proposições:
n: Neva
b: O sol brilha
c: Faz calor
p: Ganha um prémio
q: Porta-se bem
r: Porta-se mal
Escreva simbolicamente:
a) Se o sol brilha, então faz calor.
b) Se neva, então não faz calor.
c) Se não neva e o sol brilha, então faz calor.
d) Ganha um prémio, se se portar bem.
e) Ganha um prémio, excepto se se portar mal.
Lógica Binária: Exercícios
16. Considere as proposições:
a: Pedro estuda matemática.
b: Pedro quer seguir ciências.
c: Pedro quer seguir letras.
d: Pedro estuda filosofia.
16.1. Traduza em linguagem corrente:
a) a ⇔ b
b) a ⇔ ¬ c
c) (a ∧ ¬ d) ⇒ ¬ c
17. Traduza para linguagem simbólica:
a) Irei ao clube se e só se você vier.
b) Um animal é grande ou pequeno se e somente se tem mais ou
menos de um metro.
c) Para que isto não seja ácido nem base é necessário e suficiente
que não seja água e não tenha ph igual a 7.
Lógica Binária: Exercícios
17. Construa uma Tabela de Verdade para verificar os valores lógicos
da proposição
¬ (a ∨ b) ∨ (¬ c ⇒ ¬ b)
18. Construa uma Tabela de verdade para demonstrar a seguinte
equivalência: p ⇒ q = ¬ p ∨ q
19. Sabendo que a proposição p ⇒ q tem o valor lógico falsidade, qual
o valor lógico da proposição p ∧ q ?
20. Verifique quais os valores de p e de q sabendo que:
p ∧ q = 0 e p ⇒ q = 1.
Lógica Binária: Exercícios
21. Sabendo que a é uma proposição falsa e a proposição a ⇔ b é uma
proposição verdadeira, diga qual o valor lógico da seguinte proposição:
a∨¬b
22. Considerando as proposições:
p: O João ficou dispensado do exame de Filosofia
q: O João ficou dispensado do exame de Matemática.
r: O João ficou dispensado do exame de Lógica
Verifique pelo Método das Tabelas de Verdade se o João dispensou a
alguma disciplina, sabendo que é verdadeira a seguinte proposição:
¬ (¬ p ⇒ ¬ q) ∧ ¬ r
Lógica Binária: Exercícios
23. Utilize Tabelas de Verdade para mostrar que, quaisquer que sejam
os valores lógicos de p e q, a expressão seguinte é verdadeira:
p ⇒ (¬ p ⇒ q)
24. Supondo verdadeiras as três proposições seguintes:
a
a⇒b
¬ ( b ∧ c)
Que pode dizer acerca do valor lógico de b e de c?
Quantificadores universais e
existenciais
Exemplo 1: Uma bandeira verde e vermelha foi hasteada.
Esta frase não é uma conjunção das frases “Uma bandeira verde foi
hasteada” e “Uma bandeira vermelha foi hasteada”.
É o mesmo objecto que é uma bandeira, é verde, é vermelho e foi
hasteado.
Semiformalização:
∃x (x é uma bandeira ∧ x é verde
∧ x é vermelha ∧ x foi hasteada)
Dicionário:
“__ é bandeira”: “B__”
“__ é verde”: “V__”
“__ é vermelha”: “R__”
“__ foi hasteada”: “H__”
Formalização:
∃x (Bx ∧ Vx ∧ Rx ∧ Hx)
Quantificadores universais e
existenciais
Exemplo 2: Nem tudo o que reluz é ouro.
A frase, menos a negação (“nem”), afirma de todo o x que, se x reluz,
então x é ouro.
É preciso, assim, prefixar a negação a esta afirmação – ou seja, negar
que é o caso que, para todo o x, se x reluz, então x é ouro.
Semiformalização:
~∀x (x reluz → x é ouro)
Dicionário:
“__ reluz”: “R__”
“__ é ouro”: “O__”
Formalização:
~∀x (Rx → Ox)
Quantificadores universais e
existenciais
Exemplo 3: Só os apaixonados e os cardíacos sofrem do coração.
Esta frase, menos o “só”, diz acerca de qualquer indivíduo, x, que se x
é apaixonado ou x é cardíaco, então x sofre do coração.
Note-se que nesta afirmação o “e”, que surgia no contexto “os
apaixonados e os cardíacos”, deu lugar ao “ou”, em “x é apaixonado ou
x é cardíaco”.
Semiformalização:
∀x (x sofre do coração → (x é apaixonado
∨ x é cardíaco)
Dicionário:
“__ sofre do coração”: “S__”
“__ é apaixonado”: “A__”
“__ é cardíaco”: “C__”
Formalização:
∀x (Sx → (Ax ∨ Cx)
Quantificadores universais e
existenciais
Exemplo 4: Se todos os futebolistas são desportistas, então alguns
desportistas são ricos.
Nesta frase encontramos uma condicional (se… então…), que tem
como antecedente uma quantificação universal (“todos”) e como
consequente uma quantificação existencial (“alguns”).
Semiformalização:
∀x (x é futebolista → x é desportista)
→ ∃x (x é desportista ∧ x é rico)
Dicionário:
“__ é futebolista”: “F__”
“__ é desportista”: “D__”
“__ é rico”: “R__”
Formalização:
∀x (Fx → Dx) → ∃x (Dx ∧ Rx)
Quantificadores universais e
existenciais: Exercícios
1. Traduza em linguagem simbólica:
a) Os únicos animais desta casa são gatos.
b) Todo o animal é adequado para animal de estimação, se ele gosta de
contemplar a Lua.
c) Quando eu detesto um animal, evito-o.
d) Nenhum animal é carnívoro, a não ser que ele vagueie à noite em busca
da presa.
e) Nenhum gato deixa de matar ratos.
f) Nenhum animal me agrada nunca, à excepção dos que estão nesta casa.
g) Os cangurus não são adequados para animais de estimação.
h) Nenhuns animais a não ser os carnívoros matam ratos.
i) Eu detesto os animais que não me agradam.
j) Os animais que vagueiam à noite em busca da presa gostam sempre de
contemplar a Lua.
k) Eu evito sempre um canguru.
Quantificadores universais e
existenciais: Exercícios
2. Traduza em linguagem simbólica:
a)
b)
c)
d)
Alguns músicos são pianistas alemães.
Todos os homens amam alguma mulher.
Uma mulher casada só ama homens.
Alguns filósofos desprezam todos os deuses gregos.