Vamos usar C - Professores da UFF

Lista de Probabilidade Básica com gabarito
1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação
ao sexo das mesmas, segundo a ordem de nascimento.
(a)Determine o espaço amostral desta experiência.
FFF, FFM, FMF, MFF, FMM, MFM, MMF, MMM
(b) ocorrência de dois filhos do sexo masculino;
evento A ={ FMM, MFM, MMF}
(c) ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino;
evento B ={ FFM, FMF, MFF, FMM, MMF,MFM,MMM }
(d) ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino;
evento C ={MMM, FMM, MFM, MMF,FFM,FMF,MFF}
(e) ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino;
evento D ={ MMM}
(f) ocorrência de somente crianças do sexo feminino.
evento E ={ FFF}
2. Defina o espaço amostral associado a cada um dos seguintes experimentos aleatórios
(a) Lança-se uma moeda até que apareça cara ou que se chegue ao quinto lançamento sem
sua ocorrência.
Vamos usar C: cara e K:coroa
1° 2° 3° 4° 5°
C
KC
KKC
KKKKC
KKKKK
(b) Um fichário com 5 nomes, contém 3 nomes femininos. Seleciona-se ficha após ficha, até o
último nome de mulher ser selecionado. Anota-se o n.º de fichas selecionado.
Vamos considerar os nomes femininos A,B,C e o nomes masculinos D,E então:
Podemos ir da melhor situação a pior situação, isto é, pode acontecer que os três primeiros
nomes sejam femininos portanto não precisa retirar mais nenhum nome
1° 2° 3° 4° 5°
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Pode ser agora que apenas o primeiro nome seja masculino e os demais femininos, isto é,
1° 2° 3° 4° 5°
DABC
DACB
DBAC
DBCA
DCAB
DCBA
EABC
EACB
EBAC
EBCA
ECAB
ECBA
Note que pode acontecer, que os dois primeiros nomes sejam masculino, isto
1° 2° 3° 4° 5°
EDABC
EDACB
EDBAC
EDBCA
EDCAB
EDCBA
DEABC
DEACB
DEBAC
DEBCA
DECAB
DECBA
Dessa forma cobrimos todos os resultados possíveis .
3. Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostra S, expresse em termos de
operações entre eventos:
(a) A ocorre mas B não ocorre; A - B
(b) Exatamente um dos eventos ocorre;
(A∩nãoB)∪(nãoA∩B)
(c) Nenhum dos eventos ocorre. nãoA∩nãoB
4. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um
prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das
mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H: o freguês é homem; A: O freguês prefere salada; M: O freguês é mulher e B: O freguês
prefere carne. Calcular:
P(H)=0,75 e P(M)=0,25
P(A|H)=0,20 P(B|M)=0,30
a) A probabilidade de um homem preferir carne
P(B|H) = 1-0,20 = 0,80
b) A probabilidade de uma mulher preferir salada
P(A|M) = 1-0,30 = 0,70
5. Três moedas são lançadas simultaneamente, determine a probabilidade de ocorrer:
Lembrando que probabilidade é igual nro de resultados favoráveis / total de resultados.
Total de resultados = 8
(a) nenhuma coroa; {CCC} 1/8
(b) uma cara; {CKK,KCK,KKC} 3/8
(c) no máximo uma cara; isto é, nehuma cara ou 1 cara={KKK,CKK,KCK,KKC} (1+3)/8 =1/2
(d) pelo menos duas caras; 2 ou mais caras {CCK,CKC,KCC,CCC} (1+3)/8 =1/2
(e) não mais de uma cara;
não ter mais de 1 cara , ou seja nenhuma ou 1 cara {KKK,CKK,KCK,KKC} (1+3)/8 =1/2
(f) no mínimo duas caras; 2 ou mais caras {CCK,CKC,KCC,CCC} (1+3)/8 =1/2
6. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e
1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:
Homens Mulheres
Usaram o hospital
100
150
Não usaram o hospital 900
850
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
Numero de pessoas que usam / numero de pessoas seguradas 250/2000
(b) O uso do hospital independe do sexo do segurado?
A probabildade de uma mulher usar é 150 mulheres q usam/1000 mulheres
A probabildade de um homem usar é 100 homens q usam/1000 homens
Os valores indicam que há influência do sexo no uso do hospital. As mulheres usam com maior
frequência do que os homens.
7. Considere o lançamento de dois dados e associado a ele os eventos:
A: “ Soma dos números obtidos igual a 9”
B: “ O número do 1º dado maior ou igual a 4”
Enumere os eventos: (a) A ∪ B ( b) A ∩ B (c) A (d) B – A
8. Dos funcionários de uma empresa, 60% são do sexo masculino, 30% tem curso superior
completo, e 20% são do sexo masculino e tem curso superior completo. Se um funcionário é
selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que seja do sexo masculino ou tenha
curso superior completo? R:0,70
Considere M: masculino S: curso superior MS: Masculino e Superior
P (M ∪ S) = P(M)+P(S)-P(M∩s)= 0,60 +0,30 -0,20 = 0,90 – 0,20=0,70
9. Suponhamos que uma organização de pesquisa junto a consumidores tenha estudado os
serviços prestados dentro da garantia por 200 comerciantes de pneus de uma grande cidade,
obtendo os resultados resumidos na tabela seguinte:
Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia
Vendedores de
determinada
marca de pneus
Vendedores de
qualquer marca
indiscriminadamente
64
42
16
78
Selecionado aleatoriamente um desses vendedores de pneus, (isto é, cada vendedor tem a
mesma probabilidade de ser selecionado), determine a probabilidade de:
(a) escolher um vendedor de determinada marca ; R: 0,40
veja que temos (64+16) =80 vendedores de determinada marca e temos no total 200
vendedores, logo P(escolher um vendedor de determinada marca)= 80/200=0,4
(b) escolher um vendedor que presta bons serviços dentro da garantia; R:0,53
veja que temos (64+42)=106 vendedores vendedor que presta bons serviços dentro da
garantia e temos no total 200 vendedores, logo P(vendedor que presta bons serviços dentro da
garantia)= 106/200=0,53
(c) escolher um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da
garantia; R:0,32
temos 64 um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia e
temos no total 200 vendedores, logo P(um vendedor de determinada marca e que presta bons
serviços dentro da garantia)= 64/200=0,32
(d) sabendo-se que o vendedor escolhido é de determinada marca, prestar bons serviços
dentro da garantia; R: 0,80
como temos um condição a ser cumprida então o espaço amostral muda de 200 para 80 total
de vendedores de determinada marca, logo P(prestar bons serviços dentro da garantia / é de
determinada marca) = 64/80=0,80
(e) um vendedor prestar bons serviços sob a garantia, dado que não é vendedor de uma única
marca determinada. R: 0,35
como temos um condição a ser cumprida então o espaço amostral muda de 200 para 120 total
de vendedores que não vendem uma determinada marca, logo P(prestar bons serviços dentro
da garantia / não é de determinada marca) = 42/120=0,35
10. A probabilidade de que as vendas de automóveis aumentem no próximo mês (A) é
estimada em 0,40. A probabilidade de que aumentem as vendas de peças de reposição (R) é
estimada em 0,50. A probabilidade de que ambas aumentem é de 0,10. Qual a probabilidade
de que aumentem as vendas de automóveis durante o mês, dado que foi informado que as
vendas de reposição aumentaram? R: 0,20
Considera P(A) =0,40 P(R)=0,50 P(A ∩ R)=0,10 , como queremos P(A / R) , usamos a fórmula
P( A / B )=P( A ∩ B )/P( B ) , que para estes valores fica P(A / R)=P(A ∩ R )/P( R ) =
0,10/0,50=0,20
11. As probabilidades de dois motoristas guiarem até em casa, independentemente, com
segurança, depois de beber, são 0,25 e 0,20, respectivamente. Se decidirem guiar até em
casa, após beberem numa festa, qual a probabilidade:
Considere A: matorista 1 B: Motorista 2
(a) dos dois motoristas sofrerem acidentes? R: 0,05
P( A ∩ B )=P(A).P(B) = 0,25*0,20 = 0,05
(b) de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? R:0,40
P (A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0,25 +0,20 -0,05 =0,40
12. A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do
outro B resolvê-la é 0,6. Qual a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam
resolvê-la independentemente. R:0,92
Note que não é pedido a probabilidade de ambos os alunos resolverem a questão e sim da
questão ser respondida ou seja se um ou outro aluno responder a questão será resolvida logo,
como os eventos são independentes P(A∩B)= 0,8*0,6=0,48 e como queremos P (A ∪ B) =
P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0,8+0,6- 0,48=0,92
13. Suponha duas estações meteorológicas A e B, em certa região. As observações mostraram
que a probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4 .A probabilidade de ocorrência de
chuva simultânea nas duas regiões é 0,25. Determine a probabilidade de
(a) não ocorrer chuva em A; R:0,45
Como a não ocorrência de um evento é complementar da ocorrência, então P(não ocorrer A) =
1-0,55 =0,45
(b) ocorrer chuva em pelo menos uma das duas regiões A ou B. R:0,70
P (A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0,55+0,40-0,25=0,70
14. Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um
experimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas.
(a) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para
distinguir?
Como ele não possui habilidade de distinguir, então ele irá acertar ou errar de forma totalmente
ao acaso logo temos o seguinte espaço amostral, usando A: acertar o vinho e E: errar o vinho.
S={EEE;EEA;EAE;AEE;EAA;AEA;AAE;AAA}
Logo a probabilidade de acertar os três vinhos (AAA) é de 1 chance em 8 possíveis resultados ,
isto é,1/8
(b) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa?
A probabilidade de acertar os três com 90% de chance em cada um significa que queremos
P(acerta o vinho 1 e acertar o vinho 2 e acertar o vinho3)=P(A∩A∩A)=P(A).P(A).P(A)= (0,9).
(0,9). (0,9)=0,729
15. Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando problemas com
probabilidades de 0,95 e 0,90. Determinar a probabilidade de que dado um problema, este seja
detectado por somente um dos aparelhos.
Como queremos que somente um aparelho detecte o problema então queremos que somente
o alarme A detecte e o alarme B não, ou então apenas o B detecte e o aparelho A não, isto é,
P (Ae não B) + P (não Ae B) = P(A)*P(não B) + P(não A)*P( B) =
=P(A) *(1-P( B) ) +(1-P( A) ) *P(B) =
= 0,95 *(1 - 0,90) + (1 -0,95) * 0,90 =
0,95 *0,10 + 0,05 *0,90 = 0,095 + 0,045 = 0, 14
16. Numa classe de 35 alunos loiros ou morenos, 20 são homens, dos quais quatro são loiros.
Dentre as mulheres há oito loiras. Sorteando-se ao acaso, um dos alunos dessa classe, qual é
a probabilidade de se sortear:
Podemos pensar numa tabela e preencher os dados da seguinte forma:
loiros
morenos
total
homens
4
?
20
mulheres
8
?
?
total
12
?
35
Agora usando a lógica temos que se 4 homens são loiros e o total de homens é 20 então 16
são morenos. Da mesma forma, se o total de alunos é 35 e 20 são homens então temos 15
mulheres e se das 15 mulheres 8 são loiras então 7 são morenas e finalizando, total de
pessoas loiras são 12 e de morenas são 23. isto é:
loiros
morenos
total
homens
4
16
20
mulheres
8
7
15
total
12
23
35
Agora baseado na tabela acima podemos calcular o que se pede a seguir
(a) uma mulher ∪ uma pessoa loira?
P(uma mulher ou uma pessoa loira)= P(uma mulher) + P(pessoa loira) - P(uma mulher ∩ uma
pessoa loira)= 15/35 + 12/35 - 8/35 = 19/35= 0,5419
(b) um homem moreno?
P(um homem moreno)= 16/35 = 0,4571
(c) uma mulher morena ou um homem?
P(uma mulher morena ou um homem)= P(uma mulher morena) + P(homem) = 7/35 + 20/35 27/35= 0,7714