Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 36 – A LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY
13. Um campo magnético uniforme B está variando em módulo à taxa constante dB/dt. Uma dada
massa m de cobre é transformada em um fio de raio r e com ele construímos uma espira circular
de raio R. Mostre que a corrente induzida na espira não depende do tamanho do fio ou da espira
e, considerando B perpendicular ao plano da espira, esta corrente é dada por
i=
m
dB
4πρδ dt
onde ρ é a resistividade e δ a densidade do cobre.
(Pág. 191)
Solução.
Precisamos encontrar uma função que relacione a fem ε gerada na espira com a corrente elétrica i
para, em seguida, utilizar a lei da indução de Faraday para obter a expressão procurada. A fem
induzida é dada por (utilizamos o símbolo estilizado ℜ para a resistência para que não haja
confusão com o raio R da espira):
ε = iℜ
(1)
A resistência da espira é dada por (2), em que ρ é a resistividade do fio, l é o seu comprimento e a é
a área da seção reta do fio:
l
(2)
ℜ =ρ
a
Podemos calcular o comprimento do fio por meio de sua relação com a densidade δ (não foi usado o
símbolo tradicional ρ para não entrar em conflito com a resistividade do fio):
m m
δ= =
V la
m
(3)
l=
δa
Substituindo-se (3) em (2):
m
(4)
ℜ =ρ 2
δa
Substituindo-se (4) em (1):
iρm
(5)
ε= 2
δa
A obtenção de (5) completa a primeira parte da solução. Agora vamos obter o fluxo do campo
magnético através da espira:
=
φ BA
= Bπ R 2
(6)
O raio da espira pode ser obtido a partir da sua circunferência, que é igual ao seu comprimento,
dado por (3):
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 36 – A Lei da Indução de Faraday
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2π R = l =
R=
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m
δa
m
2πδ a
Substituindo-se (7) em (6):
(7)
m2 B
(8)
4πδ 2 a 2
Finalmente podemos relacionar o fluxo de campo (8) com a fem (5), por meio da lei da indução,
para obter a expressão desejada:
φ=
dφ
m 2 dB
ε =
=
dt 4πδ 2 a 2 dt
Substituindo-se (5) em (9):
(9)
iρm
m 2 dB
=
δ a 2 4πδ 2 a 2 dt
m dB
i=
4πρδ dt
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
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