Definição: Sejam dois números naturais. Uma matriz real é uma

Unesp
ALGEBRA DAS MATRIZES – 4100A
AULA 01 – MATRIZES
Profa Dra Emília M. R. Marques
Faculdade de Ciências - Depto de Matemática
Definição: Sejam dois números naturais. Uma matriz real é uma
tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como
abaixo:
 a11

 a21
 ....

 am1
a12
a22
....
am 2
... a1n 

... a2 n 
= ( aij ) 1 ≤

... ....
1 ≤

... amn 
i ≤ m
j ≤ n
Cada elemento da matriz é chamado termo ou entrada.
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Tipos de Matrizes:
- Quadrada:
m=n
- Identidade:
- Simétrica:
I n = ( aij )n x n
 aij = 1, se i = j
onde aij = 0, se i ≠ j
aij = a ji
- Anti-Simétrica: aij = − a ji
- Diagonal: aij = 0,
se i ≠ j
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- Triangular:
- Superior: aij = 0,
se i > j
- Inferior: aij = 0, se i < j
- Inversíveis:
∃ A−1 ∈ M n x n (R) A. A−1 = I n = A−1. A
- Retangulares:
m≠n
- Coluna:
n = 1 e m qualquer
- Linha:
m = 1 e n qualquer
- Outras: Nula: aij = 0,
∀ij
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Operações:
1. Igualdade: Dadas duas matrizes
A, B ∈ M m x n (R ) , A = ( aij ) e B = ( bij ) então:
A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1,..., m e j = 1,..., n
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2. Adição:
Dadas
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A, B, C ∈ M m x n (R)
C = (cij ) = A + B ⇔ cij = aij + bij , ∀i = 1,..., m e
Ou seja,
 a11 + b11

C = A + B =  ...
a +b
 m1 m1
a12 + b12 ... a1n + b1n 

...
...
... 
am 2 + bm 2 ... amn + bmn 
,
j = 1,..., n
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3. Multiplicação por escalar:
Dada
A, B ∈ M m x n (R) e
α ∈ R,
B = (bij ) = α A ⇔ bij = α aij , ∀i = 1,..., m e
ou seja,
 α . a11 α . a12

α . A =  ...
...
α . a
m1 α . a m 2

... α . a1n 

...
... 
... α . a mn 
j = 1,..., n
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3.1.
Propriedades:
Para
A, B ∈ M m x n (R) , temos que:
a)
(α .β )
A = α ( β . A)
b)
(α
c)
α ( A + B) = α A + α B
d)
1.A = A
+ β ) A =α A + β A
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4. Multiplicação de Matrizes:
A ∈ M m x n ( R) ,
B ∈ M n x p (R)
Sejam
matrizes. Então podemos definir
C = A.B = ( cij )m x p
e
C ∈ M p x q (R)
n
com cij = ∑ aik .bkj
k =1
.
Obs: Note que o produto só é possível quando o número de colunas
da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.