Exercícios extras – Matemática Aplicada – Números Complexos

SECRETARIA DE SEGURANÇA PÚBLICA/SECRETARIA DE EDUCAÇÃO
POLÍCIA MILITAR DO ESTADO DE GOIÁS
COMANDO DE ENSINO POLICIAL MILITAR
COLÉGIO DA POLÍCIA MILITAR SARGENTO NADER ALVES DOS SANTOS
SÉRIE/ANO: 3°
TURMA(S): A, B e C
DISCIPLINA: Matemática Aplicada
PROFESSOR: Me José Roberto
ALUNO (A):_____________________________________________________________________________ Nº_______
DATA:
____ / ____ / 2015
ATIVIDADE
COMPLEMENTAR
Exercícios extras – Matemática Aplicada – Números Complexos
Questão 01 - (MACK SP/2015)
(1  i ) 1
Se i é a unidade imaginária e M  
 i2
respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
b 
 tem determinante igual a 3i, os valores de a e b são,
 2a 
6e3
3e1
0e6
2e4
4e2
Questão 02 - (UNICAMP SP/2015)
Sejam x e y números reais tais que x  yi  3  4i , onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a
a)
b)
c)
d)
–2
–1
1
2
Questão 03 - (UEPA/2015)
Um dos resultados importantes da produção de conhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer a
interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo é um bom exemplo dessa possibilidade
exploratória da produção científica, ao permitir relações com álgebra, geometria plana, geometria analítica,
trigonometria, séries e aritmética. Neste sentido, considere os números complexos z1 = 2 + 2.i, z2 = 5 – 6.i,
z3 = – 4 +18.i e os números reais k1 e k2 tais que a soma dos números complexos k1z1 e k2z2 resulta o
complexo z3. Nestas condições, o valor de (k 1 ) k 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
9
8
1
1/8
1/9
Questão 04 - (UERN/2015)
Considere a igualdade 2 z  i  z  1 . É correto afirmar que o número complexo z, da forma z = a + bi, é
a)
i
1 .
3
i
.
2
c) 1 + 3i.
d) 3 + 2i.
b)
2
Questão 05 - (UNICAMP SP/2014)
O módulo do número complexo z = i2014 – i1987 é igual a
2
a)
b) 0
3
c)
d) 1
Questão 06 - (FGV /2014)
Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(z) = iz, onde i é a unidade imaginária.
Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z) = z , onde z é o conjugado de z.
Questão 07 - (FGV /2014)
Com relação ao polinômio de coeficientes reais dado por P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, sabe-se que P(2i)
= P(2 + i) = 0, com i2 = –1.
Nessas condições, a + b + c + d é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
–2.
–1.
6.
8.
9.
TEXTO: 1 - Comum à questão: 8
A figura a seguir ilustra, no sistema de coordenadas xOy, alguns pontos relativos ao esboço de um
biombo de chumbo usado para proteção durante as seções de raio X. O biombo apresenta uma abertura na
forma de elipse, onde será colocado um visor de vidro.
Questão 08 - (ESCS DF/2014)
Considere que cada ponto (x, y) do sistema de coordenadas apresentado seja identificado por um número
complexo z = x + iy, em que i é a unidade imaginária (i2 = –1). Nessa situação, se os números complexos zA
z
e zC correspondem, respectivamente, aos pontos A e C, então a relação A é igual a
zC
a)
b)
c)
d)
66  2i
265
2  23i
23
33  2i
23
46  2i
265
Questão 09 - (UECE/2014)
Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo
x  iy
z
é igual a
x  iy
a)
b)
c)
d)
1.
2.
x2 +y2.
|xy|.
Questão 10 - (IFPE/2014)
O gráfico abaixo é a representação geométrica de um número complexo Z. Com base nisso, assinale a
alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
e)
Z = –3 + 2i
Z = 3 – 2i
Z = 3 + 2i
Z = –2 + 3i
Z = 2 – 3i
Questão 11 - (MACK SP/2014)
O número complexo z = a + bi tal que z,
a)
b)
1
3

i
2 2
z  2 3i
z
1
e 1 – z tenham o mesmo módulo é
z
c)
z  1 3 i
d)
z
e)
2

3
1
z 
3
3
i
3
2
i
3
Questão 12 - (PUC RS/2014)
A área da figura representada no plano de Argand Gauss pelo conjunto de pontos {z  C : |z|  1} é
1
2
b) 1
a)
c)
d)
e)

2

2
Questão 13 - (UECE/2014)
Sejam x um número real e i o número complexo tal que i2 = –1.
Se p = x + i e q = x – i, então, p + q + pq é igual a
a)
b)
c)
d)
x2
(x + 1)2
(x – 1)2
x2 + 1
Questão 14 - (UERN/2014)
Considere S o conjunto dos valores reais de x, tal que (x2 – 9) + (x – 3)i seja um número imaginário puro.
É correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
S = {x  R | x = 3}.
S = {x  R | x  3}.
S = {x  R | x = – 3}.
S = {x  R | – 3  x  3}.
Questão 15 - (UFG GO/2014)
Considerando os números complexos z e w tais que
z + w = (9 – 3 3 ) + i(9 – 3 3 )
e
z – w = (–3 + 3 3 ) + i(3 – 3 3 ), determine a área do paralelogramo de lados z e w, sabendo-se que o

ângulo entre eles é .
3
Questão 16 - (UESPI/2014)
Se i é a unidade imaginária, isto é, i   1 , o valor da soma i + i2 + i3 + … + i2013 é:
a) i
b) –i
c) 1
d) –1
e) 0
Questão 17 - (FGV /2013)
A equação x–4 = 16 tem
a)
b)
c)
d)
duas raízes reais e duas raízes imaginárias conjugadas.
pelo menos duas raízes iguais.
uma única raiz imaginária.
quatro raízes reais.
1
e) quatro raízes cujo produto é  .
4
Questão 18 - (FGV /2013)
No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1,
Z2, Z3, Z4, e Z5.
Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da
circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é
a)
b)
c)
d)
e)
Z1.
Z2.
Z3.
Z4.
Z5.
Questão 19 - (MACK SP/2013)
x 1
Em C, o conjunto solução da equação 2 x
1
a)
b)
c)
d)
{2 + 2i, 2 – 2i}
{–1 – 4i, –1 + 4i}
{1 + 4i, 1 – 4i}
{–1 + 2i, –1 – 2i}
x
2x
1
x 1
2x  x 2  2x  5 é
1
e) {2 – 2i, 1 + 2i}
Questão 20 - (UFPE/2013)
Encontre o menor inteiro positivo n tal que a potência

3 i

n
seja um número real.
Questão 21 - (UNICAMP SP/2013)
Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i2 = –1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 + … + i2013 vale
a)
b)
c)
d)
0
1
i
1+i
Questão 22 - (UFBA/2013)
Sendo os afixos dos números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = – 1 – 3i os vértices não consecutivos de um
quadrado, determine o volume do sólido gerado pela rotação desse quadrado em torno de um de seus lados.
Questão 23 - (UFG GO/2013)
Com base no polinômio p(x) = x4 – 25,
a) determine os valores de x, no conjunto dos números reais, tais que p(x) < 0;
b) escreva p(x) como um produto de três polinômios com coeficientes reais;
c) considerando-se a representação dos números complexos em um plano cartesiano, calcule a área do
polígono cujos vértices são as raízes de p(x).
Questão 24 - (UEPA/2013)
Um projeto de paisagismo de uma residência previa a construção de um jardim de formato de um polígono
regular P1, cujos vértices podem ser representados no plano complexo pelas raízes da equação x 4 – 1 = 0.
Ao final da execução do projeto, observou-se que o jardim construído não foi o previsto, visto que, cada
uma das raízes da equação foi multiplicada por 2.i, resultando um novo polígono P2. A razão entre as áreas
dos polígonos P1 e P2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/4
1/2
1
2
4
Questão 25 - (Unifev SP/2013)
Considere o plano complexo bem como a representação dos afixos de cinco números complexos.
Sejam os números complexos z1 = 2 – 7i, z2 = 1 + 5i e z3 = –1 + 3i. O afixo do número complexo (z1 + z2 +
z3)2 é
a)
b)
c)
d)
e)
R.
S.
Q.
T.
P.
GABARITO:
1) Gab: A
2) Gab: D
3) Gab: E
4) Gab: A
5) Gab: A
6) Gab: z  2 2  2i 2 e z  2 2  2i 2
7) Gab: E
8) Gab: D
9) Gab: A
10) Gab: A
11) Gab: A
12) Gab: D
13) Gab: B
14) Gab: C
15) Gab: 24 3  36
16) Gab: A
17) Gab: A
18) Gab: B
19) Gab: D
20) Gab: 6
21) Gab: D
22) Gab: Vsólido = 40 5 u.v.
23) Gab:
a)  5  x  5
b) Fatorando-se a diferença de quadrados, obtém-se
e o último fator à direita não possui raízes reais, logo é irredutível no conjunto dos números reais.
c) A área do polígono que tem por vértices as raízes do polinômio é de 10 unidades de área.
24) Gab: A
25) Gab: E