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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
Programa de Mestrado Prossional em
Matemática em Rede Nacional
PROBABILIDADE - UMA PROPOSTA DE
ENSINO - O Uso do Teorema da Multiplicação
de Probabilidades como um Facilitador e
Integrador de Diversas Abordagens deste
Assunto
por
Vanessa Jacob da Fonseca
Goiânia
2013
Vanessa Jacob da Fonseca
PROBABILIDADE - UMA PROPOSTA DE
ENSINO - O Uso do Teorema da Multiplicação
de Probabilidades como um Facilitador e
Integrador de Diversas Abordagens deste
Assunto
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto de Matemática e Estatística
da Universidade Federal de Goiás, como parte dos requisitos para obtenção do grau de
Mestre em Matemática.
Área de Concentração: Matemática do Ensino Básico
Orientador: Prof. Dr. Mário José de Souza.
Goiânia
2013
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
GPT/BC/UFG
F676p
Fonseca, Vanessa Jacob da.
Probabilidade – uma proposta de ensino – o uso do
teorema da multiplicação de probabilidades como facilitador e
integrador de diversas abordagens deste assunto [manuscrito] /
Vanessa Jacob da Fonseca. – 2013.
48 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Mário José de Souza.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística, 2013.
Bibliografia.
Inclui lista de tabelas e figuras.
1. Probabilidade – Ensino. 2. Teoremas. 3. Eventos
independentes. 4. Distribuição Binominal. I. Título.
CDU: 519.2
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho sem
a autorização da universidade, do autor e do orientador.
Vanessa Jacob da Fonseca graduou-se em Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro e atualmente é Professora do Ensino Básico do Colégio Militar
de Brasília.
Dedico este trabalho a meus lhos Diogo, Rodrigo e Pablo cuja
existência me impulsiona a crescer, a meu neto Davi e a meus
pais, Edavi e Yvonne, pelas presenças amorosas incondicionais tão
importantes nessa etapa da minha vida.
Agradecimentos
A Deus, acima de todas as coisas.
Aos familiares e amigos pela compreensão de algumas ausências.
A meus pais, Edavi e Yvonne, que desde a minha infância foram incentivadores e facilitadores de minha vida acadêmica.
Ao professor Mário José de Souza, pela sábia e tranquila orientação, pela amizade, apoio,
paciência e presença constante desde o início do curso.
Aos colegas do polo de Anápolis, pelo companheirismo, amizade e ambiente maravilhoso
de aprendizagem.
À Karina, minha grande amiga de muitos anos, colega de trabalho e companheira de
curso, pelo incentivo nos momentos difíceis e pelos dias agradáveis de estudos juntas.
Ao Hugo, pela carona de nossas viagens Brasília-Anápolis, sempre com a mesma tranquilidade, boa vontade, educação e simpatia.
Aos companheiros de viagem, Hugo, Glauber e Karina, pelos momentos de discussão,
aprendizagem e diversão.
Ao Ronan, querido amigo, pela preocupação, interesse e dedicação aos colegas de curso.
Resumo
Este trabalho tem como objetivo estabelecer as ligações entre as diferentes formas possíveis de resolver algumas questões envolvendo o cálculo da probabilidade de um evento
ocorrer, mediante o uso do Teorema da Multiplicação das Probabilidades (Teorema 2) e,
a partir dele, demonstrar que podemos resolver problemas que envolvam retiradas simultâneas, inicialmente resolvidos por Análise Combinatória, substituindo-as por retiradas
sucessivas e sem reposição, considerando a ordem dos grupamentos possíveis (Teorema
4). Destacar alguns precursores e suas contribuições para o desenvolvimento da Teoria
das Probabilidades, tais como, Cardano, Pascal, Laplace e Kolmogorov, dentre outros.
Exemplicar, através da resolução de problemas, aplicações do Teorema 4 para mostrar
a simplicação dos cálculos das probabilidades pedidas, bem como propor atividades que
favoreçam debates em sala de aula, com o objetivo de claricar, com a intervenção do
professor, conceitos como Eventos Independentes e o uso da Distribuição Binomial.
PALAVRAS-CHAVE: Probabilidade, Eventos, Condicional, Independentes, Distribuição.
Abstract
This work aims to establish links between the dierent possible ways to resolve some issues involving the calculation of the probability of an event occurring through the use of
the Multiplication of Probability Theorem (Theorem 2) and, from it, to show that we can
solve problems involving simultaneous withdrawals, originally settled by Combinatorial
Analysis, replacing them by successive withdrawals without replacement, considering the
range of possible clusters (Theorem 4). Highlighting some precursors and their contributions to the development of Probability Theory, such as Cardano, Pascal, Laplace and
Kolmogorov, among others. Exemplify, through problem solving, application of Theorem
4 to show the simplication of the calculation of probabilities applied, and propose activities that encourage discussion in the classroom, in order to clarify with the teacher's
intervention, concepts such as Independent Events and using the Binomial Distribution.
KEYWORDS: Probability, Events, Conditional, Independent, Distribution.
Sumário
Resumo
6
Abstract
7
Introdução
10
1 Probabilidade na Linha do Tempo
12
1.1 Os Jogos de Azar na Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 O Desenvolvimento da Teoria da Probabilidade ao Longo do Tempo . . . . 13
2 Uma proposta para o ensino de probabilidade
16
2.1 Conceitos da Teoria das Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Experimentos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Espaço Amostral (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Conceito de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Denição de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Aplicações do Teorema 4
29
3.1 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Considerações sobre os problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Atividades Propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Considerações Finais
44
8
Lista de Figuras
1
Jogo de Senet - Museo do Louvre, Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
Cronologia da Teoria da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3
Tabela de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4
1o Diagrama em árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5
2o Diagrama em árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9
Introdução
O objetivo deste trabalho é mostrar as vantagens da utilização do Teorema da Multiplicação de Probabilidades (Teorema 2) na resolução de diversos problemas propostos para
os alunos de ensino médio, bem como mostrar a necessidade de reforçar alguns conceitos estudados durante o curso de probabilidade, retomando-os e permitindo aos alunos
descobrirem as diversas conexões entre os mesmos.
Temos um olhar construtivista sobre o ensino desse assunto reforçado em nossa pesquisa
pela dissertação de Mestrado da professora Cileda Coutinho, referenciada em [9], que traz
um estudo da abordagem frequentista do ensino de Probabilidade mostrando a necessidade
de tornar nosso aluno agente de seu aprendizado. Propusemos atividades que, discutidas
em grupos, levam à construção do conhecimento com o confronto de percepções sobre
este tema, sempre buscando claricar conceitos que, de nossa experiência, sabemos causar
muitas dúvidas e confusões.
Como metodologia, foram propostas atividades em grupo como Estudo Dirigido sendo
instrumento para conduzirem os alunos a construírem seus próprios conceitos a partir das
discussões e esclarecimentos do professor.
O tratamento da informação, tão importante para a inserção do cidadão na sociedade,
nos leva a priorizar o ensino do cálculo das probabilidades, ferramenta importante para
os cálculos estatísticos com aplicações nas diversas ciências. Segundo [21], p.66:
(...) Nos Parâmetros Curriculares Nacionais, o ensino da Probabilidade aparece inserido
no bloco de conteúdos denominado Tratamento das Informações , o qual é justicado
pela demanda social e por sua constante utilização na sociedade atual, pela necessidade de
o indivíduo compreender as informações veiculadas, tomar decisões e fazer previsões que
inuenciam sua vida pessoal e em comunidade. Nesse bloco, além das noções de estatística
e probabilidade, destacam-se também as noções de combinatória. (...)
Esta proposta de ensino visa contribuir para facilitar a resolução e compreensão dos problemas que envolvem os cálculos das probabilidades e favorecer um olhar mais abrangente
desta teoria pelos alunos.
No Capítulo I, descrevemos dentro de um contexto histórico e cronológico, as contribuições
de seus precursores para o desenvolvimento da Teoria das Probabilidades.
No Capítulo II, discorremos sobre os conceitos da Teoria das Probabilidades conforme a
ordenação seguida pela maioria dos livros didáticos. Ao nal do capítulo, demonstramos
(Teorema 4) que podemos utilizar o Teorema 2 para resolvermos problemas que envolvam
retiradas simultâneas, inicialmente resolvidos por análise combinatória, substituindo retiradas simultâneas por retiradas sucessivas e sem reposição , considerando a ordem dos
10
grupamentos possíveis. Consideramos que a aplicação deste Teorema é um facilitador dos
cálculos envolvidos na resolução das situações problemas. Baseamos nossa proposta em
nossa experiência, pois mostra outra forma de lidar com problemas que envolvem Análise
Combinatória.
No Capítulo III, exemplicamos aplicações do Teorema 4 com a resolução de exercícios, assim como a importância da diferenciação dos conceitos de eventos dependentes
e independentes e sua correlação com a Distribuição Binomial. Terminamos o Capítulo
propondo atividades para serem desenvolvidas em sala de aula, por grupos de alunos,
para claricar esses conceitos.
Finalmente, como considerações nais, destacamos a importância de estabelecer claramente, para o aluno, as diversas formas de resolver um mesmo problema, onde buscamos
integrar as diversas abordagens deste assunto.
11
1 Probabilidade na Linha do Tempo
Os jogos de azar são aqueles em que a habilidade não faz a diferença: roleta, dados,
máquinas caça-níqueis, pôquer, etc. A origem do nome vem da palavra árabe al zahr que
traduzida quer dizer dados.
1.1 Os Jogos de Azar na Antiguidade
Numa descoberta arqueológica no início do século XX , pinturas em tumbas da civilização
sumeriana, que dominou a mesopotâmia em torno de 3.500 a.C, retratam jogos com o
astrágalo ou talus que era uma espécie de dado de osso com seis faces moldados em
formato piramidal para que pudessem cair em quatro posições diferentes.
Figura 1: Jogo de Senet - Museo do Louvre, Paris
Num período posterior, foram descobertas (...) na tumba do jovem faraó Tutankhamon,
que reinou sobre o Egito Antigo por volta dos anos de 1300 a.C., um complexo jogo de
tabuleiro com dados em forma de hastes chamado senet (Figura 1), jogado com base numa
aposta que poderia ser um bem ou uma promessa. (...) [6]
Ainda no Egito foram encontrados vasos com guras de jovens atirando dados para dentro
de um círculo. Os jogadores egípcios compulsivos eram punidos sendo forçados a polir
pedras para as pirâmides. A noção de acaso nasceu na primeira dinastia da civilização
egípcia e tinha uma conotação lúdica.
(...) O jogo de apostas também era muito comum na Roma Antiga. Relatos do historiador
Tácito, que viveu entre os anos 55 d.C. e 120 d.C., dão conta de um jogo de dados muito
apreciado pelos romanos de nome razar, que só terminava após um dos participantes apostar
suas últimas posses, isto é, apenas após a sua falência, sendo que, muitas vezes, não tendo
mais o que oferecer, este apostava no jogo a sua própria liberdade, resignando-se em caso
de derrota a se tornar escravo do oponente. (...) Ibid [6]
12
1.2 O Desenvolvimento da Teoria da Probabilidade ao Longo do
Tempo
Apresentamos abaixo um esquema cronológico baseado em [9], p.29, que será o nosso
roteiro para darmos um panorama geral da história do desenvolvimento da Teoria da
Probabilidade e seus principais precursores.
Figura 2: Cronologia da Teoria da Probabilidade
Segundo [12], Girolamo Cardano ou Gerônimo Cardano ( 1501−1576) participava de jogos
apostados para conseguir manter-se na faculdade de medicina. Foi assim que Cardano
percebeu sua vocação para o jogo e passou a apostar diariamente por muito tempo de sua
vida. Ele se valia de seus conhecimentos para vencer as apostas.
De acordo com [23] apud [17]:
(...) A partir da análise de suas jogadas, Cardano começou estudar aleatoriedade dos jogos
regidos pelo puro acaso e, paralelamente, a escrever um tratado de 32 capítulos, no qual
trata da sistematização de dados, das possibilidades dos pontos combinados, da razão entre
eventos favoráveis e eventos possíveis (regra geral de Cardano), entre outras questões. (...)
Girolamo Cardano foi a primeiro a escrever as ideias que deram origem à teoria da pro13
babilidade, mas caiu em esquecimento durante um século. Este trabalho só foi publicado
em 1663 com o título de O livro dos jogos de azar .
Blaise Pascal (1623 − 1662), em 1654, foi desaado por seu amigo Antoine Gomboud,
jogador prossional e conhecido por Cavaleiro De Méré, com questões como esta: Em
oito lances de um dado um jogador deve tentar lançar um, mas depois de três tentativas
infrutíferas o jogo é interrompido. Como deveria ele ser indenizado? Conforme [5].
Na época Pascal trabalhava em sua obra As Cônicas. Escreveu a Pierre de Fermat
(1601 − 1665) sobre estas questões. A troca de correspondência entre eles deu início a
teoria das probabilidades, porém eles não publicaram seus resultados. Foi Christian
Huygens (1629 − 1695) que, em 1657, publicou De ratiociniis in ludo alae (Sobre o
raciocínio em jogos de dados), um pequeno folheto expondo a teoria desenvolvida por
eles. Durante este período, Pascal havia percebido a conexão do triângulo aritmético, que
tinha mais de 600 anos, com o cálculo de probabilidade e enunciou propriedades novas.
A partir daí o triângulo aritmético passou a chamar-se triângulo de Pascal.
Jaques Bernoulli (1654 − 1705) com seu tratado Ars Conjectandi (Arte de Conjeturar),
publicado em 1713, oito anos após sua morte, deixou-nos o legado do volume substancial
mais antigo sobre a teoria das probabilidades. Neste trabalho desenvolveu a abordagem
frequentista onde a probabilidade de um evento é calculada por aproximações observando
a frequência de ocorrência de um evento após um grande número de repetições.
A contribuição de Thomas Bayes (1702 − 1761) para a Teoria das Probabilidades deu-se
em La Doctrine des Chances , publicado em 1763, dois anos após sua morte. Ele foi o
primeiro a utilizar e estabelecer uma base para fazer inferência probabilística a partir
da atribuição de probabilidade de um evento que já ocorreu, observando sua frequência.
Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes e é também denominado fórmula das
probabilidades das causas (ou dos antecedentes).
A partir de 1774, Pierre Simon Laplace (1749 − 1827) escreveu muitos artigos sobre
probabilidade que incorporou posteriormente em seus livros. Com as obras Teoria Analítica da Probabilidade (1812) e Ensaio Filosóco sobre Probabilidade (1825), entre outras,
Laplace eleva este assunto ao status de Matemática. Desenvolveu sua Teoria da Probabilidade baseado em dez princípios dos quais destacamos: O primeiro destes princípios é a
denição de probabilidade, que podemos escrever como sendo a razão entre o número de
casos favoráveis e o número de casos possíveis. (Citado em [10] apud[15], p.12).
Laplace dene o sétimo princípio como esperança matemática :
A probabilidade dos acontecimentos serve para determinar a esperança ou temor das pessoas
interessadas em uma eventual realização. A palavra Esperança pode estar relacionada com
14
vantagem; e esta vantagem, na teoria combinatória, é o produto da soma esperada pela
probabilidade de obtê-la (Ibid., p.30.)
A teoria das probabilidades deve mais a Laplace que a qualquer outro. ([5], p.340).
As contribuições de Laplace sobre a Teoria das Probabilidades foram aplicadas a outras
ciências tais como a Física, Estatística dentre outras.
Siméon-Denis Poisson (1781 − 1840) foi um grande pesquisador com mais de trezentas
publicações ao longo de sua vida. Em 1837, em seu trabalho Recherches sur La probabilité
des jugments em matière criminalle et matière civili evidencia-se
(...) a generalização da lei dos grandes números de Bernoulli e a distribuição que leva o
seu nome. A distribuição de Poisson é útil para descrever as probabilidades do número de
ocorrências num campo ou intervalo e tempo (ou espaço) (...) (Conforme [10]).
Por outro lado, em [5]
(...) A teoria dos conjuntos e a teoria da medida durante o século vinte invadiram uma
parte sempre maior da matemática, e poucos ramos foram tão completamente inuenciados
por essa tendência quanto a teoria das probabilidades (...).
A Teoria das Probalidades contou com a contribuição de Émile Borel (1871 − 1956)
em Eléments de La théorie des probabilités , publicado em 1909. Em 1914, Borel, em sua
obra Le Hasard forneceu uma das primeiras contribuições à axiomatização do cálculo
das probabilidades, mas foi com Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 − 1987) e
sua abordagem teórica em Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung , publicado em
1933, que a teoria da probabilidade foi construída de uma forma rigorosa a partir de
axiomas fundamentais.
15
2 Uma proposta para o ensino de probabilidade
O objetivo deste capítulo é demonstrar como o Teorema da Multiplicação de Probabilidades aplicada a problemas que envolvem eventos com ocorrência simultânea podem ter seus
cálculos facilitados transformando-os em problemas em que os eventos sejam considerados
um conjunto ordenado de eventos unitários que ocorram sucessivamente e sem reposição
(considerando a ordem dos grupamentos possíveis). Por isso, a seguir, apresentamos três
situações que, quando analisadas, lidam com alguns conceitos da Teoria da Probabilidade
que serão formalizados ao longo deste trabalho.
Situação 1. Quais as chances 1 de obtermos cara na face voltada para cima ao lançarmos uma
moeda? E de obtermos coroa?
Situação 2. Ao lançarmos um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, qual a chance de obtermos
o número 5 ou qualquer outro número do dado na face voltada para cima?
Situação 3. Num baralho comum com 52 cartas onde temos 4 naipes, dois vermelhos, Copas e
Ouros, e dois pretos, Espadas e Paus, com 13 cartas cada: Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, J (valete), Q (dama), K (rei), qual a chance de retirarmos um valete sabendo
que a carta retirada é preta?
Não é preciso muito esforço para darmos as respostas corretas e intuitivas a cada pergunta
formulada anteriormente. É claro que temos a mesma chance de obtermos cara ou coroa
no lançamento de uma moeda e, portanto uma possibilidade em duas para a obtenção
de cara e uma possibilidade em duas para a obtenção de coroa. Ao lançarmos um dado,
cada face tem uma possibilidade em seis de ocorrer. Logo, por exemplo, a chance de
obtermos o número 2 na face voltada para cima é igual à chance de obtermos o número
5 na face voltada para cima, que é de uma possibilidade em seis. Já no experimento
3, que envolve a retirada de uma carta de um baralho comum, devemos estar atentos
ao fato de que sabemos que a carta retirada foi preta, logo nosso espaço amostral cou
reduzido às cartas pretas, que são 26. Dentre estas 26 cartas pretas há um valete de paus
e um valete de espadas. Logo temos duas possibilidades em vinte e seis de retirarmos um
valete sabendo que a carta retirada é preta (Cálculos justicados posteriormente com a
abordagem Laplaciana e a denição de Probabilidade Condicional).
1 No
contexto deste trabalho, a palavra chance signica probabilidade.
16
2.1 Conceitos da Teoria das Probabilidades
2.1.1 Experimentos Aleatórios
As situações propostas inicialmente são repetidas sempre sob as mesmas condições, porém os resultados podem ser diferentes. Observe que o lançamento de uma moeda, o
lançamento de um dado e a observação do número que ca na face voltada para cima, a
retirada de uma carta de um baralho comum são exemplos de ações em que o resultado
é incerto. Em probabilidade, chamamos estes experimentos de Experimentos Aleatórios,
isto é, são experimentos que não podemos determinar o resultado apesar de sabermos
quais são suas possibilidades [2].
2.1.2 Espaço Amostral (S)
Ao listarmos todos os resultados possíveis de um experimento aleatório formamos um
conjunto que denominamos Espaço Amostral (S), baseado em [13], p. 112. Por exemplo,
na situação 1, o espaço amostral é S = {cara, coroa} . Na situação 2, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
já na situação 3, o nosso espaço amostral S = {cartas pretas}.
Quando os elementos de um mesmo espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer, o
espaço amostral é chamado equiprovável [7]. Por exemplo, ao lançarmos um dado, todos
os resultados S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} têm a mesma probabilidade (desde que o dado seja
honesto).
2.1.3 Evento
Todo subconjunto do espaço amostral S é chamado Evento (ibid [7]). Ainda explorando
a situação 1, vemos que todos os eventos (subconjuntos) possíveis de S são A = ∅
(evento impossível), B = {cara} (evento simples), C = {coroa} (evento simples), D =
{cara, coroa} (evento certo). O evento A não ocorre nunca. O evento B ocorre se, e
somente se ao jogarmos a moeda obtemos a face cara voltada para cima. O evento C
ocorre se, e somente se ao jogarmos a moeda, obtemos a face coroa voltada para cima. O
evento D ocorre sempre, pois sempre obteremos ou cara ou coroa, por isto é chamado de
evento certo.
Tipos de Eventos: (ainda baseado em [7])
1. Evento Certo: É o próprio espaço amostral.
17
2. Evento Impossível: É o evento representado pelo conjunto vazio, isto é, sem
elementos. Por exemplo, ao lançarmos dois dados comuns obter 13 como soma dos
números das faces voltadas para cima.
3. Evento Simples: É o evento representado por um conjunto unitário, isto é, com
um único elemento.
4. Eventos Independentes: Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de A
não interfere na ocorrência de B e vice-versa. Por exemplo, ao lançarmos um dado
duas vezes a ocorrência da face 2 no primeiro lançamento não interfere no resultado
do segundo lançamento.
5. Eventos Mutuamente Exclusivos: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos,
então A e B não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, A ∩ B = ∅. ([13], p. 114).
Operações com Eventos: (Ibid [13], p.114).
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S . Consideremos:
1. A ∪ B é o evento em que A ocorre ou B ocorre. Por exemplo, no lançamento de
um dado, se A = {5} e B = {2}, A ∪ B = {5, 2}, isto é, A ∪ B ocorre quando ao
lançarmos o dado e observarmos a face voltada para cima, ocorrer o número 5 ou o
número 2.
2. A ∩ B é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente. Como exemplo, na
situação 3, se considerarmos os eventos A = {carta de paus} e B = {um valete},
A ∩ B = {um valete de paus}, isto é, A ∩ B ocorre quando a carta retirada do
baralho for simultaneamente carta de paus e um valete.
3. A é o evento que ocorre quando A não ocorre. Por exemplo, A = {número par } no
experimento da situação 2, A = {número ímpar }. A e A são conjuntos complementares e são chamados eventos opostos.
2.2 Conceito de Probabilidade
Probabilidade é a parte da matemática que se preocupa em mensurar a ocorrência de
um evento de um determinado experimento aleatório. A Teoria das Probabilidades
desenvolveu-se nos últimos três séculos e atualmente são consideradas três diferentes abordagens, citadas em [2].
18
Abordagem Clássica
A abordagem clássica é conhecida por Lei de Laplace:
A probabilidade do evento A ocorrer é dada pelo quociente de n(A), número de resultados
favoráveis ao evento, por n(S), número total de resultados possíveis: P (A) =
n(A)
.
n(S)
Em [2], apud [4]:
(...) Conforme Bernstein (1997), a abordagem clássica foi primeiramente publicada pelo italiano Girolamo Cardano no livro Liber de ludo allea (Livro dos jogos de azar) em 1525. (...).
A utilização desta abordagem (...) só pode ser usada em espaços amostrais equiprováveis.
Contudo , segundo [19], p.40, foi em 1812, com Pierre Simon Laplace (1749-1827) que a
Teoria das Probabilidades foi formalizada em Théory Analytique des Probabilités , ganha
crédito e foi reconhecida como parte da Matemática.
Adotaremos o modelo equiprobabilístico e variáveis aleatórias discretas para desenvolvermos nossas ideias. Assim, segundo [13], p.115, se temos n elementos no espaço amostral
e desejamos que todos individualmente tenham a mesma probabilidade, devemos atribuir
1
a cada evento unitário a probabilidade de . Se um evento X desse espaço é formado por
n
k
k elementos então a probabilidade de X é P (X) = .
n
Abordagem Frequentista
A concepção frequentista de probabilidade deve-se a Jacques Bernoulli ( 1654 − 1705) publicada em sua obra Ars Conjectandi (1713), onde o cálculo da probabilidade de um evento
é uma aproximação pela frequência com que o evento ocorre após inúmeras repetições da
experiência.
De acordo com [9], p.17, apud [3]: (...)Bernoulli justica este processo através de uma
forma fraca da Lei dos Grandes Números , conhecida pelo nome de Teorema de Bernoulli,
demonstrada na sequência da obra (...).
Como exemplo, vamos lançar um dado com seis faces numeradas de um a seis, 1000 vezes,
e anotar os resultados.
19
A tabela representada na gura abaixo, adaptada de [21], descreve um resultado possível
nesses 1000 lançamentos:
Figura 3: Tabela de Frequências
Observando a tabela da Figura 3 notamos que as frequências relativas estão muito próximas. Se aumentarmos o número de lançamentos para 10.000, 20.000 etc., as frequências
relativas tendem a car iguais.
Abordagem Axiomática
Conforme citado em [18], o matemático Russo Andrei Kolmogorov ( 1903 − 1987) é o
responsável pela teoria axiomática da probabilidade moderna. Em 1933, publicou sua
monograa sobre a teoria da probabilidade Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung onde construiu a teoria da probabilidade de uma forma rigorosa a partir de axiomas
fundamentais. Segundo Kolmogorov [1], a teoria da probabilidade como disciplina mate-
mática pode e deve ser desenvolvida a partir de axiomas, exatamente da mesma maneira
como Geometria e Álgebra .
A Teoria Axiomática de Probabilidade de Kolmogorov trouxe um grande avanço teóricocientíco para esta área da Matemática.
20
Axiomas (citado em [2])
Seja A um evento do espaço amostral S e P (A) a probabilidades deste evento ocorrer,
P (A) deverá satisfazer aos seguintes axiomas:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1;
• P (S) = 1;
• Se A e B são mutuamente exclusivos então P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Não existe contradição entre as três abordagens, pelo contrário, elas se complementam.
2.3 Denição de Probabilidade
(baseado em [16], p.18)
A cada evento associaremos um número que expressa a chance do evento ocorrer.
Probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número P (A) tal que:
• P (A) =
n(A)
, onde n(A) é igual ao número de casos favoráveis e n(S) é igual ao
n(S)
número de elementos do espaço amostral.
• Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.
• P (S) = 1.
• Se A e B são mutuamente exclusivos então P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Ainda nos reportando à situação 1 vemos que se o evento não ocorre nunca, isto é, se ele
é impossível de ocorrer, A = ∅ e P (A) = 0. Nos eventos B = {cara } e C = {coroa },
1
P (A) = P (B) =
= 50% (uma chance de ocorrer em duas). O evento D ={cara,
2
coroa } ocorre sempre, isto é, 100% de chance de ocorrer, o que signica que D = S e
P (D) = P (S) = 1.
21
Apresentamos abaixo o primeiro teorema da Teoria das Probabilidades, enunciado
e demonstrado em [13], p.116:
Teorema 1
Se A e B são eventos, então:
1. P (∅) = 0.
2. P (A) = 1 − P (A).
3. P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B).
4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
5. Se A ⊃ B então P (A) ≥ P (B).
Demonstração
1. Para qualquer evento A, podemos escrever A = A ∪ ∅. Como os eventos A e ∅ são
mutuamente exclusivos, pelo axioma 3, temos que P (A) = P (A∪∅) = P (A)+P (∅).
Segue que P (∅) = 0.
2. Para qualquer evento A, podemos escrever 1 = P (S) = P (A ∪ A) = P (A) + P (A),
pois A e A são mutuamente exclusivos. Segue que P (A) = 1 − P (A).
3. Para qualquer evento A, podemos escrever P (A) = P [(A − B) ∪ (A ∩ B)] = P (A −
B)+P (A∩B), pois (A−B) e (A∩B) são mutuamente exclusivos. Daí, P (A−B) =
P (A) − P (A ∩ B).
4. P (A ∪ B) = P [(A − B) ∪ B] = P (A − B) + P (B), pois (A − B) e B são mutuamente
exclusivos. Como por 3 P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B), segue que P (A ∪ B) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
5. Como P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B), se A ⊃ B temos que P (A ∩ B) = P (B)
e daí resulta que P (A − B) = P (A) − P (B). Como P (A − B) ≥ 0, temos que
P (A) ≥ P (B).
c.q.d.
22
2.4 Probabilidade Condicional
Na situação 3 proposta no início deste capítulo, vimos que foi imposta uma restrição
quando foi anunciado que a carta retirada era de cor preta. Com esta informação houve
uma redução do nosso espaço amostral inicial de 52 cartas. Só temos 26 cartas de cor
preta. É neste espaço que devemos procurar quantos valetes existem. Vimos que tínhamos
2 possibilidades em 26, isto é, se chamarmos de evento A = {carta é preta} e de evento
B = {a carta é um valete} desejamos a probabilidade de B na condição de A ter ocorrido,
2
e denotamos isso por P (B/A). Concluímos intuitivamente que P (B/A) = . Como
26
formalizar nosso pensamento e denir Probabilidade Condicional ?
Ora, buscamos todos os valetes dentre as cartas pretas. Em linguagem de conjuntos
buscamos n(A ∩ B) em n(A), para calcularmos nossas possibilidades de sucesso. Nossa
intuição então nos leva a P (B/A) =
2
n(A ∩ B)
= . Isso nos conduz à seguinte denição:
n(A)
26
Denição: (de [13], p. 124)
n(A ∩ B)
n(A ∩ B)
P (A ∩ B)
n(S)
P (B/A) =
=
=
n(A)
n(A)
P (A)
n(S)
Podemos escrever ainda: P (A ∩ B) = P (A).P (B/A).
O Teorema abaixo se encontra demonstrado, com todos os detalhes, em [22].
Teorema 2 (Teorema da Multiplicação de Probabilidades)
Para três eventos quaisquer: A1 , A2 , A3 temos:
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 ∩ A2 )
Demonstração. De forma resumida tem-se:
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 ∩ A2 ).P (A3 /(A1 ∩ A2 )) =
= P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /(A1 ∩ A2 )).
23
Em outras palavras, a probabilidade de que três eventos ocorram simultaneamente é igual
à probabilidade de ocorrência do primeiro evento vezes a probabilidade de ocorrência do
segundo evento dado que o primeiro evento já ocorreu, vezes a probabilidade de ocorrência
do terceiro evento dado que o primeiro e segundo eventos já ocorreram.
Não é difícil perceber que podemos estender este resultado para n eventos que ocorram
simultaneamente.
Quando os eventos são independentes a ocorrência de um evento não restringe o espaço
amostral para que o próximo evento ocorra. Neste caso P(B/A) = P(B). Segue que:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Como exemplo, se uma moeda for lançada duas vezes e o resultado da face voltada para
cima for observado, o resultado da segunda jogada não depende do resultado da primeira
jogada. O espaço amostral para a segunda jogada continua sendo S = {cara, coroa}. Não
houve nenhuma restrição.
Em muitos problemas, a determinação da probabilidade de um evento não apresenta diculdade devida à facilidade da contagem dos casos possíveis dentro de um espaço amostral
conhecido. Entretanto, em muitos outros, é praticamente impossível essa contagem sem
a utilização da Análise Combinatória como um meio auxiliar, como menciona [22].
2.5 Análise Combinatória
(adaptado de [16], p. 31 e de [22], p. 29)
Princípio Fundamental da Contagem: Se um fenômeno ocorre em n etapas em que a
primeira etapa pode ser realizada de A1 maneiras diferentes, a segunda de A2 maneiras
diferentes,..., e a n-ésima em An maneiras diferentes, então o número de possibilidades de
ocorrência desse fenômeno é dado pelo produto A1 .A2 ....An .
No cálculo de Probabilidade é comum utilizarmos o princípio fundamental da contagem
em forma de diagrama conhecido como Diagrama em Árvore devido à sua forma de
representação.
Exemplo 1: Se temos três calças diferentes, quatro blusas diferentes e dois pares de sandálias diferentes, quantos conjuntos distintos obtemos ao escolher uma calça, uma blusa
e um par de sandálias?
24
Designando por Ci , Bi e Si , 1 ≤ i ≤ 3, as calças, as blusas e os pares de sandálias
respectivamente, podemos escrever:
Figura 4: 1o Diagrama em árvore
O diagrama em árvore ilustra que podemos conseguir 3.4.2 = 24 conjuntos distintos
escolhendo uma calça, uma blusa e um par de sandálias.
O Princípio Fundamental da Contagem é utilizado como base para o cálculo dos problemas
de Análise Combinatória.
Nos Arranjos Simples, dados n objetos distintos, queremos dispor de p objetos em sequência. Há n maneiras de escolher o primeiro objeto, n-1 maneiras de escolher o segundo
objeto, n-2, e nalmente n-p+1 modos de escolher o p-ésimo objeto. Segue que, do
Princípio Fundamental da Contagem que,
An,p = n.(n − 1).....(n − 1 + p) =
n!
, onde n! = n.(n − 1).....1. (fatorial de n)
(n − p)!
No caso particular em que n = p, temos o fatorial de n, que representa todas as Permutações
possíveis dos n objetos distintos. O número de permutações de n objetos, dos quais n1
são do tipo A, n2 são do tipo B, etc., é
Pnn1 ,n2 ,...,np =
n!
n1 !.n2 !.....np !
Nos casos de Arranjos Simples e de Permutação a mudança na ordem dos elementos de um
grupamento forma um novo grupamento. Exemplo, o grupo ABC é diferente do grupo
ACB . Em muitos problemas, entretanto, interessa-nos apenas as escolhas dos objetos.
Sem distinção da ordem em que eles aparecem. Neste tipo de problemas os grupos ABC
e ACB são iguais. Estas escolhas são chamadas Combinações Simples.
25
O número de combinações de n objetos tomados p a p é igual ao número de Arranjo
Simples n de objetos tomados p a p dividido por p! pois cada grupamento de p elementos
foi contado p! vezes a mais quando fazíamos distinção da ordem dos elementos.
Cn,p =
An,p
n!
=
p!
n!.(n − p)!
Exemplo 2: Uma urna contém exatamente 9 bolas: 5 azuis (A) e 4 vermelhas (V).
Retirando-se simultaneamente 3 bolas da urna, calcular a probabilidade de saírem duas
bolas azuis e uma bola vermelha. (adaptado de [20], p. 208)
Solução: Vemos que temos um total de 9 bolas das quais escolheremos 3 quando as reti9!
= 84 modos diferentes possíveis
ramos simultaneamente. Neste caso, temos C9,3 =
6!.3!
de fazermos esta escolha, dos quais temos C5,2 .C4,1 = 10.4 = 40 modos de retirarmos 3
bolas após escolhermos 2 bolas azuis dentre as 5 e uma bola vermelha dentre as 4. Logo
a probabilidade deste evento E é
P (E) =
C5,2 .C4,1
40
10
=
=
C9,3
84
21
No Ensino Médio, este problema é proposto logo após a introdução dos conceitos iniciais de probabilidade e resolvido com o auxílio da análise combinatória. Entretanto, este
problema pode ser resolvido como aplicação do Teorema 2 desde que levemos em consideração que, ao considerarmos os grupamentos ordenados, basta considerar todos os grupos
possíveis de retiradas de 2 bolas azuis e 1 vermelha: (AAV), (AVA) e (VAA). Claro que
3!
obtivemos P32 = = 3 grupos. Cada um destes grupos tem a mesma probabilidade de
2!
ocorrer:
5 4 4
80
10
P (AAV ) = P (A ∩ A ∩ V ) = P (A).P (A/A).P (V /A ∩ A) = . . =
=
9 8 7
504
63
5 4 4
80
10
P (AV A) = P (A ∩ V ∩ A) = P (A).P (V /A).P (A/A ∩ V ) = . . =
=
9 8 7
504
63
4 5 4
80
10
P (V AA) = P (V ∩ A ∩ A) = P (V ).P (A/V ).P (A/V ∩ A) = . . =
=
9 8 7
504
63
Assim,
P (E) = P (AAV ) + P (AV A) + P (V AA) = 3.
10
10
=
63
21
Desse modo, se retirarmos simultaneamente duas bolas azuis e uma bola vermelha dentre
26
nove bolas existentes em uma urna, das quais cinco eram azuis e quatro eram vermelhas, é
igual a retirarmos sucessivamente e sem reposição duas bolas azuis e uma bola vermelha
da mesma urna desde que levemos em consideração a ordem dos grupamentos possíveis
em que o evento ocorre.
Apresentamos abaixo o Teorema 3 citado em [21] e por nós demonstrado.
Teorema 3
Sejam a1 , a2 , ..., ak elementos de um conjunto A com n elementos. A probabilidade de se
retirar simultaneamente esses k elementos do conjunto A é igual à probabilidade de se
retirá-los sucessivamente e sem reposição.
Demonstração: Temos apenas um caso favorável já que desejamos retirar exatamente este
grupo de k elementos e temos Cn,k casos possíveis de retiradas simultâneas de k dentre os
n elementos de A. Logo, a probabilidade de ocorrer este evento E é:
P (E) =
1
1
k.(k − 1).....1
=
=
=
n!
n.(n − 1).....(n − k + 1)
n.(n − 1).....(n − k + 1)
(n − k)!.k!
k!
=
k k−1
1
.
.....
= P (E1 ∩ E2 ∩ ... ∩ Ek )
n n−1
(n − k + 1)
onde Ei = {retirar o i-ésimo elemento do grupo de k elementos} sucessivamente e sem
reposição 1 ≤ i ≤ k.
Em seguida, apresentamos o Teorema 4 por nós enunciado e demonstrado:
Teorema 4
Sejam n objetos, p objetos do tipo A e (n − p) objetos do tipo B. A probabilidade de
retirarmos simultaneamente k objetos dentre estes n, k ≤ n, dos quais k1 são do tipo A
e (k − k1 ) são do tipo B, k1 ≤ p, é igual a probabilidade de retirarmos sucessivamente
e sem reposição estes mesmos objetos desde que levemos em consideração a ordem dos
grupamentos possíveis em que o evento ocorre.
Demonstração: A probabilidade de retirarmos simultaneamente k objetos dentre estes n,
27
k ≤ n, dos quais k1 são do tipo A e (k − k1 ) são do tipo B, k1 ≤ p, é dada por:
P (E) =
=
Cp,k1 .Cn−p,k−k1
Cn,k
p.(p − 1).....(p − k1 + 1) (n − p).(n − p − 1).....[(n − p) − (k − k1 ) + 1]
.
.
k1 !
(k − k1 )!
.
=
p!
(n − p)!
.
(p − k1 )!.k1 ! [(n − p) − (k − k1 )]!.(k − k1 )!
=
=
n!
(n − k)!.k!
k!
=
n.(n − 1).....(n − k1 + 1).(n − k1 ).....[(n − k1 ) − (k − k1 ) + 1]
k!
p p−1
p − k1 + 1 n − p n − p − 1
(n − p) − (k − k1 ) + 1
.
=
. .
.....
.
.....
k1 !.(k − k1 )! n n − 1
n − k1 + 1 n − k1 n − k1 − 1
(n − k1 ) − (k − k1 ) + 1
{z
} |
|
{z
}
k1 termos
(k−k1 ) termos
p p−1
p − k1 + 1 n − p n − p − 1
(n − p) − (k − k1 ) + 1
Pkk1 ,k−k1 . .
.
=
.....
.
.....
n n−1
n − k1 + 1 n − k1 n − k1 − 1
n−k+1
{z
} |
{z
}
|
k1 termos
(k−k1 ) termos





Pkk1 ,k−k1 .P (A).P (A/A).P (A/A ∩ A).....P A/ |A ∩ A ∩{z..... ∩ A} .P B/ A
{z ∩ A} .
| ∩ .....
(k1 −1) termos


k1 termos


 

.P B/ |A ∩ ....
{z ∩ A} ∩B .P B/ A
| ∩ .....
{z ∩ A} ∩ B
| ∩ .....
{z ∩ B}
k1 termos
k1 termos
k!
(k−k1 −1) termos
k!
Podemos reescrever Pkk1 ,k−k1 =
= Ck,k1 =
que representa a
k1 !.(k − k1 )!
k1 !.(k − k1 )!
escolha de k1 objetos dentre os k disponíveis.
Segue que podemos reescrever a frase acima:
P (E) =
Cp,k1 .Cn−p,k−k1
=
Cn,k





= Ck,k1 .P (A).P (A/A).P (A/A ∩ A).....P A/ |A ∩ A ∩{z..... ∩ A} .P B/ A
| ∩ .....
{z ∩ A} .
(k1 −1) termos



k1 termos

 

.P B/ A
| ∩ A ∩{z..... ∩ A} ∩B .P B/ |A ∩ A ∩{z..... ∩ A} ∩ B
| ∩ .....
{z ∩ B}
k1 termos
k1 termos
28
(k−k1 −1) termos
Com esta demonstração podemos transformar todo problema onde for pedida a probabilidade de retiradas simultâneas em problema de probabilidade com retiradas sucessivas e
sem reposição, desde que seja levada em consideração a ordem dos elementos retirados.
Este resultado facilita em muito o cálculo da probabilidade destes eventos.
3 Aplicações do Teorema 4
Neste capítulo resolveremos alguns problemas utilizando o Teorema 4, substituindo a palavra simultaneamente por sucessivamente e sem reposição, porém considerando a ordem
dos grupamentos possíveis para atender cada item proposto.
Tem-se como objetivo apresentar como os cálculos cam simplicados utilizando-se o Teorema 4 e propor algumas atividades que induzam os alunos à percepção das interligações
entre os diversos tópicos abordados no ensino da probabilidade.
Os problemas abaixo são clássicos do ensino de Probabilidade no Ensino Médio. Os problemas 1 e 5 foram adaptados do livro: Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações,
Manuel Paiva, p.199 e p.209 , respectivamente. O problema 2 foi adaptado do livro: Aplicações à Estatística, Paul Mayer, p.39 . O problema 3 foi adaptado do livro: Probabilidade
e Estatística, Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, p.36, 1.45 . O problema 4 foi adaptado
do livro: A Matemática do ensino Médio, vol.2, p.119, 5 .
3.1 Problemas resolvidos
Em [19], as Orientações Curriculares para o Ensino Médio são fornecidas pelo Ministério
da Educação e Secretaria de Educação Básica:
(...) As idéias socioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado
em situação de resolução de problemas. Essa ideia tem como premissa que a aprendizagem
se realiza quando o aluno, ao confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos
pelo professor. (...)a aprendizagem de um novo conceito matemático dar-se-ia pela apresentação de uma situação-problema ao aluno, cando a formalização do conceito como a
última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, caberia ao aluno a construção do
conhecimento matemático que permite resolver o problema, tendo o professor como um
mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela sistematização do
novo conhecimento. (...)
Fundamentados no exposto acima, apresentamos os problemas abaixo. Como metodologia, sugiro que eles sejam disponibilizados na página do colégio, em blog ou outro meio
eletrônico, com posterior publicação dos exercícios resolvidos e comentados. Os alunos
29
podem discuti-los e resolvê-los em grupo e eliminar suas dúvidas posteriormente, numa
data previamente determinada, com o professor. No nal, para reforçar e xar melhor
a discussão destes conceitos, temos nas páginas 41 a 43 atividades propostas para um
Estudo Dirigido.
1) Uma caixa contém cinco lâmpadas perfeitas (P) e três defeituosas (D). Sorteiam-se
simultaneamente três lâmpadas desta caixa. Calcule a probabilidade de obtermos:
a) Todas as lâmpadas perfeitas (E1).
b) Uma lâmpada perfeita e duas defeituosas (E2).
c) Duas lâmpadas perfeitas e uma defeituosa (E3).
d) Três lâmpadas defeituosas (E4).
Solução: a) Como desejamos sortear três lâmpadas perfeitas, temos um grupamento possível, que corresponde a P33 = C3,3 = C3,0 = 1. Para facilitar a escrita vamos usar a
seguinte notação: (P ∩ P ∩ P ) = (P P P ). Logo a probabilidade desejada é igual a:
60
5
5 4 3
=
P (E1 ) = P (P P P ) = . . =
8 7 6
336
28
b) Temos agora três grupamentos possíveis, todos com a mesma probabilidade de ocorrer:
(P DD), (DP D), (DDP ), que corresponde a P32 = C3,2 = C3,1 = 3. Logo,
5 3 2
30
5
15
P (E2 ) = P (P DD) + P (DP D) + P (DDP ) = P32 . . . = 3.
= 3. =
8 7 6
336
56
56
c) Neste item, temos também três grupamentos possíveis: (PPD), (PDP), (DPP), todos
com a mesma probabilidade de ocorrer, que corresponde a P32 = C3,2 = C3,1 = 3. Portanto,
5 4 3
60
5
15
P (E3 ) = P (P P D) + P (P DP ) + P (DP P ) = P32 . . . = 3.
= 3. =
8 7 6
336
28
28
d) Finalmente, como desejamos sortear três lâmpadas defeituosas, temos um grupamento
possível: P33 = C3,3 = C3,0 = 1. Logo, a probabilidade desejada é:
3 2 1
6
1
P (E4 ) = P (DDD) = . . =
=
8 7 6
336
56
2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.
30
Retirando-se dois artigos simultaneamente e sem reposição, calcule a probabilidade de
que:
a) Ambos sejam perfeitos.
b) Ambos tenham defeitos graves.
c) Ao menos um ser perfeito.
d) No máximo um seja perfeito
e) Exatamente um seja perfeito.
f) Nenhum deles tenha defeitos graves.
g) Nenhum deles seja perfeito.
Na resolução deste problema usaremos a seguinte legenda: B para artigo bom, D para
artigo defeituoso, M para artigos com defeitos menores, G para artigos com defeitos
graves, B para artigos que não são bons e G para artigos que não possuam defeitos
graves.
Solução: a) Ambos sejam perfeitos.
Queremos grupamentos onde os dois artigos sejam bons, isto é grupamentos do tipo: BB .
P (BB) = C2,2 .
3
10 9
. =
16 15
8
b) Ambos tenham defeitos graves.
Analogamente ao item a, queremos grupamentos do tipo GG.
P (GG) = C2,2 .
2 1
1
. =
16 15
120
c) Ao menos um ser perfeito. Nossos grupamentos podem ser do tipo BB, BM, M B, BG, GB ,
isto é, só não podem conter duas peças defeituosas.
1 − P (DD) = 1 − C2,2 .
6 5
1
7
. =1− =
16 15
8
8
d) No máximo um seja perfeito. Neste caso, ou os dois artigos são bons ou um deles é
defeituoso. Como P (BD) = P (DB), temos:
31
P (DD) + P (BD) + P (DB) =
10 6
1 1
5
1
+ 2. . = + =
8
16 15
8 2
8
e) Exatamente um seja perfeito.
P (BD) + P (DB) = 2.
10 6
1
. =
16 15
2
f) Nenhum deles tenha defeitos graves.
Temos dois artigos com defeitos graves dentre os dezesseis, logo temos catorze artigos sem
defeitos graves, isto é, n(G) = 14:
P (GG) =
91
14 13
. =
16 15
120
g) Nenhum deles seja perfeito.
São dez artigos bons dentre os dezesseis. Segue que n(B) = 6.
P (BB) =
6 5
1
. =
16 15
8
3) Em um jogo de pôquer extraem-se simultaneamente 5 cartas de um baralho de 52.
Determine a probabilidade de:
a) A ={4 serem damas}.
b) B ={4 damas e um rei}.
c) C ={Três 7 e dois valetes}.
d) D = {Um 10, um valete, uma dama, um rei e um Ás, em qualquer ordem}.
e) E = {Três cartas de um naipe e duas de outro naipe}.
f) F = {Pelo menos um Ás}.
Solução: a) A ={4 serem damas}.
P (A) = C5,4 .
1
4 3 2 1 48
. . . . =
52 51 50 49 48
54145
32
b) B ={4 damas e um rei}.
P (B) = C5,4 .
4 3 2 1 4
1
. . . . =
52 51 50 49 48
649740
c) C ={Três 7 e dois valetes}.
P53,2 .
4 3 2 4 3
4 3 2 4 3
1
. . . . = C5,3 .C2,2 . . . . . =
52 51 50 49 48
52 51 50 49 48
108290
d) D ={Um 10, um valete, uma dama, um rei e um Ás, em qualquer ordem}.
P5 .
4 4 4 4 4
64
. . . . =
52 51 50 49 48
162435
e) E ={Três cartas de um naipe e duas de outro naipe}.
P5 .
429
13 12 11 13 12
. . . . =
52 51 50 49 48
4165
f) F ={Pelo menos um Ás}.
1−
35673
18472
48 47 46 45 44
. . . . =1−
=
52 51 50 49 48
54145
54145
4) Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter:
a) Um par.
b) Dois pares.
c) Uma trinca.
d) Uma quadra.
e) Uma quina.
f) Uma sequência.
g) Uma trinca e um par (um full hand ).
Solução: a) Um par.
33
Para calcularmos o número de grupamentos possíveis com um par de dados com números
iguais devemos contar de quantas formas diferentes podemos dispor este par dentre os
cinco dados: C5,2 = 10. Outra forma de pensar é que temos 5 posições para o primeiro
dos dois números iguais e 4 posições para o segundo, porém, como são iguais, temos
5.4
= 10 posições possíveis para a dupla de dados iguais já que a permutação dos mesmos
2
não muda o grupamento.
Usando a letra P para representar o número escolhido dentre os seis números do dado
para ser o número da dupla (par) e a letra N para representar os números diferentes do
escolhido, uma representação possível para este cálculo é:
6 1 5 4 3
25
P (um par) = P (P P N N N ) = 10. . . . . =
6 6 6 6 6
54
b) Dois pares.
Temos C5,2 = 10 posições possíveis para o primeiro par de dados com números iguais e
C3,2 = 3 posições possíveis para o segundo par com números iguais, porém diferentes da
primeira escolha. Aparentemente temos 10.3 = 30 grupamentos diferentes.
Todavia, devemos perceber que se escolhermos, por exemplo, o 2 como o número do
primeiro par e o 5 como o número do segundo par é igual a escolhermos o 5 como o número
30
grupamentos
do primeiro par e o 2 como o número do segundo par. Portanto, temos
2
diferentes. Usando P1 para representar o número escolhido dentre os seis números do dado
para ser o número do primeiro par, P2 para representar o número escolhido dentre os cinco
números restantes do dado para ser o número do segundo par e a letra N para representar
o número diferente dos escolhidos, uma representação possível para este cálculo é:
25
6 1 5 1 4
P (dois pares) = P (P1 P1 P2 P2 N ) = 15. . . . . =
6 6 6 6 6
108
c) Uma trinca.
Formamos C5,3 = 10 grupamentos diferentes dispondo os três dados com números iguais
dentre os cinco dados. Considerando a letra T para representar o número escolhido
dentre os seis números do dado para ser o número da trinca e a letra N para representar
os números diferentes do escolhido, uma representação possível para este cálculo é:
6 1 1 5 4
25
P (uma trinca) = P (T T T N N ) = 10. . . . . =
6 6 6 6 6
162
d) Uma quadra.
34
Formamos C5,4 = 5 grupamentos diferentes dispondo os quatro dados com números iguais
dentre os cinco dados. Considerando a letra Q para representar o número escolhido dentre
os seis números do dado para ser o número da quadra e a letra N para representar os
número diferente do escolhido, uma representação possível para este cálculo é:
6 1 1 1 5
25
P (uma quadra) = P (QQQQN ) = 5. . . . . =
6 6 6 6 6
1296
e) Uma quina.
Como os cinco números são iguais temos apenas um grupamento possível com estes cinco
números. Considerando a letra Q para representar o número escolhido dentre os seis
números do dado para ser o número da quina, uma representação possível para este
cálculo é:
1
6 1 1 1 1
P (uma quina) = P (QQQQQ) = 1. . . . . =
6 6 6 6 6
1296
f) Uma sequência.
Temos duas sequências possíveis: {1,2,3,4,5} e {2,3,4,5,6}. Nos dois casos, teremos
P5 = 5! = 120 grupamentos diferentes. Logo,
P (uma sequncia) = P (12345) + P (23456) =
5
120 120
+
=
65
65
162
g) Uma trinca e um par (um full hand ).
Solução. Formamos C5,3 = 10 grupamentos diferentes dispondo os três dados iguais
e, como os outros dois vão formar o par só há um modo de formar este par, isto é,
C5,3 .C2,2 = 10.1 = 10 grupamentos diferentes para formar o full hand. Usando a letra T
para representar o número escolhido dentre os seis números do dado para ser o número
da trinca e a letra P para representar o número escolhido para ser o número do par, uma
representação possível para este cálculo é:
6 1 1 5 1
25
P (full hand) = P (T T T P P ) = 10. . . . . =
6 6 6 6 6
648
5) No lançamento simultâneo de cinco moedas, qual é a probabilidade de se obterem:
35
a) Todas caras.
b) Quatro caras e uma coroa.
c) Três caras e duas coroas.
d) Duas caras e três coroas.
e) uma cara e quatro coroas.
f) Todas coroas.
Solução: Usaremos C = cara e K = coroa.
a) A = {Todas caras}.
Temos C5,5 = 1 = C5,0 grupamento possível para este evento.
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
P (A) = P (CCCCC) = 1. . . . . = . . . . = C5,5 .
2 2 2 2 2 |2 2 {z
2 2 2}
5 0
1
1
1
.
=⇒ P (A) =
2
2
32
cara
b) B = {Quatro caras e uma coroa}.
Temos agora C5,4 = 5 = C5,1 grupamentos possíveis atendendo ao evento B.
1 1 1 1 1
P (B) = P (CCCCK) = 5. . . . .
= C5,4 .
2
|2 2{z2 2} |{z}
cara
4 1
1
1
5
.
=⇒ P (B) =
2
2
32
coroa
c) C = {três caras e duas coroas}.
Para o evento C temos C5,3 = 10 grupamentos possíveis.
1 1 1 1 1
P (C) = P (CCCKK) = 10. . . . . = C5,3 .
2 2} |{z}
2 2
|2 {z
cara
3 2
1
1
5
.
=⇒ P (C) =
2
2
16
coroa
d) D = {Duas caras e três coroas}.
São C5,2 = 10 grupamentos para o evento D.
1 1 1 1 1
P (D) = P (CCKKK) = 10. . . . . = C5,2 .
2 2 |2 {z
2 2}
|{z}
cara
coroa
36
2 3
1
1
5
.
=⇒ P (D) =
2
2
16
e) E = {uma cara e quatro coroas}.
Temos C5,4 = 5 grupamentos para este evento.
1 1 1 1 1
P (E) = P (CKKKK) = 5.
. . . . = C5,1 .
2 |2 2{z2 2}
|{z}
cara
1 4
1
5
1
.
=⇒ P (D) =
2
2
32
coroa
f) F = {Todas coroas}
Temos C5,5 = 1 grupamento possível onde todos os elementos são coroas.
1 1 1 1 1
P (F ) = P (KKKKK) = 1. . . . . = C5,5 .
2 2 2}
|2 2 {z
0 5
5
1
1
1
1
= C5,5 .
.
=⇒ P (F ) =
2
2
2
32
coroa
6) Vamos refazer alguns itens do problema 5 diretamente usando a probabilidade binomial,
cujas propriedades encontram-se expostas na página 38. Vamos usar p = probabilidade
de sair cara(sucesso) e q = probabilidade de sair coroa (fracasso).
a) Duas caras e três coroas.
b) Uma cara e quatro coroas.
Solução: a) Duas caras e três coroas.
2 3
1
1
10
P (duas caras) = C5,2 .p .q = C5,2 .
.
=
2
2
32
2
3
b) Uma cara e quatro coroas.
1 4
1
1
5
P (uma cara) = C5,1 .p .q = C5,1 .
.
=
2
2
32
1
4
Para nalizar este capítulo, resolveremos um problema clássico do cálculo de probabilidade
dos três modos expostos até agora com o propósito de estabelecer as ligações entre várias
abordagens feitas, no ensino médio, como se fossem tópicos independentes .
7) Um casal deseja ter três lhos. Qual a probabilidade de que sejam dois meninos e uma
menina?
37
Quando este problema é inicialmente proposto no ensino de probabilidade, o aluno verica todas as possibilidades de nascimento de dois meninos e uma menina e calcula a
probabilidade deste evento utilizando a denição Laplaciana que foi introduzida.
Solução: S = {HHH, HHM, HM H, M HH, HM M, M HM, M M H, M M M }
Logo P (dois meninos e uma menina) = P (HHM ) + P (HM H) + P (M HH) =
3
1
= .
8
8
1 1
+ +
8 8
Depois de alguns dias, o aluno é apresentado à Probabilidade Condicional, e daí surge o
fabuloso Teorema 2. Então, o mesmo problema pode ser resolvido assim:
Buscamos dois meninos e uma menina, o que pode ocorrer de três modos correspondendo a
P32 = C3,2 = 3. Segue que a probabilidade deste evento é: P (dois meninos e uma menina) =
1 1 1
3
3. . . = , já que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nas2 2 2
8
1
2
cer uma menina e igual a .
Decorridos mais alguns dias, o estudante é apresentado à Distribuição Binomial de Probabilidades e o mesmo problema pode ser resolvido assim:
Como o sexo do primeiro lho não interfere no sexo do segundo e este não interfere no
sexo do terceiro lho, estes nascimentos são eventos independentes e se enquadra como
um evento que só tem duas possibilidades de ocorrência: Menino (sucesso) e menina
1
1
(fracasso), por exemplo. Fazendo p = P (menino) = e p = P (menina) = , para
2
2
calcularmos a probabilidade desejada usando o método binomial temos:
2 1
1
1
3
.
=
P (dois meninos) = C3,2 .p .q = C3,2 .
2
2
8
2
1
3.2 Considerações sobre os problemas Resolvidos
Uma distinção importante na aplicação do Teorema da Multiplicação de Probabilidades
é se os eventos do problema em questão são ou não eventos independentes, conceito que
nem sempre é claro para o aluno. No problema 1 ca exemplicado um caso em que pelo
fato dos eventos não serem independentes não temos uma Distribuição Binomial.
A Probabilidade Binomial tem as seguintes particularidades: (baseado em [16], p. 77)
38
• Determina a probabilidade de experimentos aleatórios realizados
k vezes, sob as
mesmas condições com dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos (cara ou
coroa; macho ou fêmea; defeituoso ou não defeituoso, etc.);
• Designando por (p) a probabilidade de sucesso que queremos determinar e por
(q = 1 − p) a probabilidade de fracasso, estes valores permanecem constantes de
experimento para experimento;
• É uma função que nos permite calcular em k processos a chance de ocorrerem k1
sucessos e é dada por:
P (k1 ) = Ck,k1 .pk1 .q k−k1
• Cada uma das realizações dos experimentos é independente das restantes;
Problema 1:
Ilustrando o problema com o Diagrama em Árvore:
Figura 5: 2o Diagrama em árvore
Vemos que todas as possibilidades de ocorrências dos eventos nos dão:
P (S) = P (P P P ) + P (P DD) + P (DP D) + P (DDP ) + P (P P D) + P (P DP ) + P (DP P ) +
| {z } |
{z
} |
{z
}
P (E1 )
P (E2 )
P (E3 )
39
5
1
10 + 15 + 30 + 1
56
5
+ 3. +
=
=
=1
+ P (DDD) =
| {z } 28
56 56
56
56
P (E4 )
Observe que, escrevendo Cn,p
n
=
podemos reescrever P (S):
p
3 5 4 3
3 5 3 2
3 5 4 3
3 3 2 1
P (S) =
. . . +
. . . +
. . . +
. . . =1
0 8 7 6
1 8 7 6
2 8 7 6
3 8 7 6
Os números binomiais acima são os números da terceira linha do Triângulo de Pascal,
porém esta não é ainda a chamada Distribuição Binomial, pois estes eventos não são
independentes, pois não há reposição das lâmpadas na caixa , apesar de serem eventos
chamados de sucesso e fracasso (a lâmpada ou é perfeita ou é defeituosa).
Os problemas 2 e 3, continuam ilustrando questões envolvendo eventos dependentes e
suas resoluções utilizando o Teorema 4. O problema 3 foi resolvido pelo autor utilizando
Análise Combinatória, seguindo a denição Laplaciana de probabilidade.
O problema 4 mostra eventos independentes, mas que não representam situações de sucesso ou fracasso e portanto, suas probabilidades não podem ser calculadas utilizando a
Probabilidade Binomial. Este problema foi resolvido pelos autores utilizando a Análise
Combinatória em [15], p.180, segundo o Teorema de Laplace.
O problema 5 tem como objetivo ilustrar eventos independentes e sua Distribuição Binomial:
Observe que:
1 = P (S) = P (A)+P (B)+P (C)+P (D)+P (E)+P (F ) =
1 5 10 10 5 1
32
+ + + + + =
=
32 32 32 32 32 32
32
5 0 4 1 3 2 2 3
5
1
1
5
1
1
5
1
1
5
1
1
.
+
.
.
+
.
.
+
.
.
+
=
.
5
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1 4 0 5
5
1
1
5
1
1
+
.
.
+
.
.
= [P (cara) + P (coroa)]5
1
2
2
2
2
0
isto é, temos um desenvolvimento binomial que nos fornece a probabilidade do espaço
amostral. Cada uma de suas parcelas determina a probabilidade de um dos elementos
que compõe o espaço amostral.
Logo, podemos reescrever para nalizar o problema 5: 1 = P (S) = (p + q)5 .
O problema 6 tem o intuito de mostrar uma aplicação direta da Probabilidade Binomial,
40
fazendo uma ligação entre o Teorema da multiplicação de Probabilidades (Teorema 2) e
o Teorema 4.
O problema 7 tem o objetivo mostrar a resolução de uma questão clássica no estudo de
probabilidade estabelecendo as conexões de tópicos abordados sobre o assunto. Estes
cálculos são desenvolvidos ao longo do estudo de probabilidade como se fossem problemas
diferentes, quando , na verdade, são modos diferentes de resolver um mesmo problema. A
primeira resolução utilizou a denição Laplaciana de probabilidade. A segunda resolução
teve como respaldo o Teorema da multiplicação de Probabilidades (Teorema 2) e a
terceira utilizou-se da Distribuição Binomial de Bernoulli.
3.3 Atividades Propostas
Atividade 1
Uma caixa contém cinco lâmpadas perfeitas (P) e três defeituosas (D).
a) Retirando-se uma lâmpada ao acaso, qual é a probabilidade desta lâmpada ser perfeita?
E de ser defeituosa?
b) Sorteando-se simultaneamente três lâmpadas desta caixa, calcule a probabilidade de
obtermos uma lâmpada perfeita e duas lâmpadas defeituosas. (Use a denição de probabilidade segundo Laplace e faça as contagens utilizando Análise Combinatória).
c) Retirando-se sucessivamente e sem reposição três lâmpadas desta caixa, qual a probabilidade de obtermos uma lâmpada perfeita e duas lâmpadas defeituosas? (Use o Teorema
de Multiplicação de Probabilidades).
d) A retirada de cada uma das três lâmpadas sucessivamente e sem reposição são eventos
dependentes ou independentes?
e) E se houver reposição?
f) Determine a probabilidade de obtermos uma lâmpada perfeita e duas lâmpadas defeituosas se zermos retiradas sucessivas e com reposição.
g) Utilizando o Teorema 2 (Teorema da Multiplicação de Probabilidades), determine
P (E1 ) + P (E2 ) + P (E3 ) + P (E4 ), onde:
P (E1 ) = P(todas perfeitas)
P (E2 ) = P(uma lâmpada perfeita e duas defeituosas)
41
P (E3 ) = P(duas lâmpadas perfeitas e uma defeituosa)
P (E4 ) = P(todas defeituosas)
h) Observando o desenvolvimento do exercício proposto no item g, podemos armar que
se trata de uma distribuição binomial? Por quê?
Atividade 2
Considere o lançamento de uma moeda e observe o resultado da face voltada para cima.
a) Qual a probabilidade de obtermos cara? E de obtermos coroa?
b) Ao lançarmos simultaneamente cinco moedas, qual a probabilidade de obtermos três
caras e duas coroas? (Use a denição de probabilidade segundo Laplace e faça as contagens
utilizando Análise Combinatória).
c) Ao lançarmos sucessivamente cinco moedas e anotarmos o resultado, qual a probabilidade de obtermos três caras e duas coroas? (Use o Teorema de Multiplicação de
Probabilidades)
d) No item c o resultado do lançamento da primeira moeda interfere no resultado da
segunda? E no resultados das moedas subsequentes? Como podemos chamar este evento?
e) Utilizando o teorema 2 determine P (A) + P (B) + P (C) + P (D) + P (E) + P (F ), onde:
A = {Todas caras}
B = {Quatro caras e uma coroa}
C = {Três caras e duas coroas}
D = {Duas caras e três coroas}
E = {Uma cara e quatro coroas}
F = {Todas coroas}
f) Observando o desenvolvimento do exercício proposto no item e, podemos armar que
se trata de uma distribuição binomial? Por quê?
Atividade 3
Compare as resoluções dos itens b e c nos dois exercícios propostos anteriormente. Você
obteve os mesmos resultados se resolveu corretamente. Qual a conclusão que se pode
inferir deste fato?
42
Atividade 4
Após resolver estas duas questões, você saberia distinguir eventos dependentes de eventos independentes? Escreva com suas palavras como distinguir eventos dependentes de
eventos independentes.
Atividade 5
Com relação à Distribuição Binomial, você saberia quando usá-la para resolver um problema? Escreva com suas palavras quando podemos usá-la.
Para a resolução das atividades propostas, sugere-se como metodologia um Estudo Dirigido em grupo com posterior discussão das conclusões dos alunos para diferenciar claramente os conceitos de eventos dependentes e eventos independentes, assim como, ilustrar
a relevância do Teorema 2 para concluir o resultado do Teorema 4. Além disso, evidenciar
o reconhecimento do uso da Distribuição Binomial. Entretanto, o mais importante é que
o aluno perceba os vários modos de resolver um mesmo problema.
Para nalizar, uma citação em [2], apud [8]:
(...) É importante que o aluno mobilize diferentes concepções de probabilidade no estudo
das situações- problema pois elas, além de não serem exclusivas, têm adequação determinada
pela natureza do problema (...).
43
Considerações Finais
O objetivo deste trabalho foi mostrar o uso do Teorema da Multiplicação das Probabilidades (Teorema 2), como facilitador e integrador das diversas formas de tratamento do
assunto e suas conexões. Acreditamos que, com a demonstração do Teorema 4 e suas aplicações, exemplicadas com as resoluções de questões clássicas do Ensino Médio, estamos
contribuindo para facilitar e desmisticar o ensino deste assunto considerado difícil . Ao
longo dos anos e, com a nossa experiência, temos utilizado este resultado e a integração
das diversas formas de resolver um mesmo problema, com sucesso.
No decorrer do curso de probabilidade no Ensino Médio, um mesmo problema é resolvido
de diferentes modos, mas isso não ca claro para os alunos. Com a nossa experiência de
ensino, tivemos oportunidade de perceber estas diculdades e tentar saná-las. Desse modo,
como fechamento do curso, propomos atividades que, na etapa nal da construção de seu
conhecimento, permitam aos alunos estabelecerem as ligações entre as abordagens feitas,
além de discutirem e consolidarem alguns conceitos tais como eventos independentes e
distribuição binomial.
O estudo do cálculo de probabilidades acontece na maioria das escolas de Ensino Médio,
após o estudo da Análise Combinatória. Dois assuntos tidos como difíceis pelos alunos. Na
nossa proposta do ensino de Probabilidade, a Análise Combinatória passa a ter um papel
menor no cálculo da probabilidade de eventos, com a substituição proposta e demonstrada
no Teorema 4.
O aprendizado do cálculo de probabilidades é de grande importância para os alunos devido
à sua larga utilização na Estatística, na Física, nas Ciências Sociais etc. e no exercício de
sua cidadania. De acordo com [9], p.136:
(...) O ponto de vista social nos leva, nalmente, a reforçar a necessidade de um ensino do
cálculo de Probabilidades (...) que possa ser mais um instrumento de leitura da realidade
na qual estamos inseridos e a qual podemos acompanhar pelos noticiários, repletos de dados
estatísticos. (...)
Na maioria dos livros didáticos de Ensino Médio a abordagem da Teoria das Probabilidades segue o mesmo roteiro: a denição Laplaciana, a Probabilidade Condicional e como
consequência, o Teorema da Multiplicação das Probabilidades (Teorema 2), nalizando
com a Distribuição Binomial.
Seguindo o roteiro desses livros didáticos, constatamos em nossa prática, que o aluno não
percebe a ligação entre essas abordagens. Não sabe distinguir quando usá-las na resolução
de uma situação-problema proposta. Na verdade, não existe uma única forma de resolver
a maioria das questões clássicas no ensino desse assunto.
44
Com a demonstração do Teorema 4, enunciamos e resolvemos algumas questões com a
nalidade de mostrar a simplicação dos cálculos das probabilidades pedidas com o uso
desse Teorema. Temos calcado o desenvolvimento desta proposta de ensino em nossa experiência de sala de aula em que fechamos o capítulo que trata do cálculo de probabilidades
com atividades semelhantes às propostas neste trabalho. Nas avaliações subsequentes
percebemos que as situações-problema apresentadas têm diferentes formas de resolução
pelos alunos com predominância da utilização do Teorema 4.
Propusemos também algumas atividades que propiciem aos alunos a discussão desses questionamentos e favoreçam um debate em sala de aula para, após as intervenções necessárias
do professor, dirimir suas dúvidas.
Por tudo exposto, acreditamos que este trabalho contribuirá para uma compreensão mais
ampla e segura desse assunto e sua utilização pelos discentes e que nossos colegas possam
compartilhar dessa proposta com êxito.
45
Referências
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Probabilidade
de
Andrei
Kolmogorov .
Disponível
http://suite101.com/article/the-probability-of-andrey-kolmogorov-a359073.
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Canoas.
[3] BERNOULLI, Jacobi. L`Ars Conjectandi. Texto original em latim, com tradução
francesa de Norbert Meusnier. Publicação de Irem de Rouen, 1987. P.42 e p. 66.
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Risco. 1919, p.12. Traduzido por Ivo Karytawski. Disponível em: books.google.com/books?isbn=8535225587. Último acesso em: 21/01/13.
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história
dos
jogos
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azar .
Disponível
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http://clickeaprenda.uol.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=31683.
Último acesso em 21/01/13.
[7] CARLOS, Elaine Sampaio de Souza. O Uso do Software R no Ensino de Probabilidade. Monograa de conclusão de Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Vale do Acaraú, Sobral, 2009.
[8] CARVALHO, D. L.; LOPES, Celi; OLIVEIRA, P. C. Concepções e Atitudes em
Relação à Estatística. Experiências e Perspectivas do Ensino de Estatística ? Desaos
para o século XXI. Florianópolis, 1999.
[9] COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva. Introdução ao Conceito de Probabilidade por
uma Visão Frequentista - Estudo Epistemológico e Didático . Dissertação de Mestrado,
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1994.
[10] CRISAFULI, Erick de Paula. A Contribuição de Frederico Pimentel Gomes para o
Desenvolvimento da Estatística Experimental no Brasil. Dissertação de Mestrado,
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006.
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2006,
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www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/bookvolume02internet.pdf. Último acesso
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46
[12] Jogos de Azar. Disponível em: pt.wikipedia.org/wiki/Jogodeazar. Último acesso em
21/01/13.
[13] LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar; WAGNER, Eduardo; MORGADO,
Augusto. A Matemática do Ensino Médio Volume 2 . 6a Edição, Rio de Janeiro, SBM,
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[14] LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar; WAGNER, Eduardo; MORGADO,
Augusto César de Oliveira. A Matemática do Ensino Médio Volume 4 . Rio de Janeiro,
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[16] MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística Tradução de Ruy de C. B.
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[17] MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas.
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[20] PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações . 1a Edição,
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48