ELEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA

ELEMENTOS
MATEMÁTICA
SIMON G. CHIOSSI
Date: draft vs 5.4.
DE
BÁSICA
C ONTEÚDO
0.1. F UNÇÕES
0.2. Q UESTÕES DE INVERTIBILIDADE
1. F UNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
1.1. G RÁFICOS
1.2. Á LGEBRA DAS FUNÇÕES REAIS
2. F UNÇÕES ALGÉBRICAS
2.1. F UNÇÕES POLINOMIAIS
2.2. F UNÇÕES POTÊNCIA
2.3. F UNÇÕES RACIONAIS
3. F UNÇÕES ELEMENTARES TRANSCENDENTES
3.1. F UNÇÕES EXPONENCIAIS
3.2. F UNÇÕES LOGARÍTMICAS
3.3. F UNÇÕES HIPERBÓLICAS
3.4. F UNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
6
11
13
17
27
27
30
34
37
37
39
43
46
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
0.1. F UNÇÕES .
Introduzo aqui a terminologia básica para funções gerais, algumas propriedades e exemplos. Á teoria das funções reais é dedicada a §1.
Definições. Uma função f : X → Y é uma relação R f ⊆ X × Y tal que
i) para todo x ∈ X existe um elemento (x, y) ∈ R f
ii) se (x, y) ∈ R f e (x, ỹ) ∈ R f então y = ỹ .
Mais informalmente (mas impropriamente), costuma-se dizer que f é uma lei que associa
a cada elemento x ∈ X um único elemento y =: f (x) ∈ Y dito imagem de x sob f :
f:X
−→ Y
x 7−→
f (x)
As palavras função, aplicação, mapeamento, mapa e transformação são geralmente usadas como termos equivalentes. Na escritura y = f (x), x é dita variável independente, y
variável dependente (da variável cuja é função).
O máximo subconjunto onde a relação R f se tornar uma função é dito domínio
Dom( f ) := {x ∈ X | f (x) ∈ Y } ⊆ X ,
às vezes chamado de ‘domínio natural’. O conjunto Y é dito contradomínio e
f (X ) := {y ∈ Y | y = f (x) para um x ∈ Dom( f )} =: Im( f )
imagem de f .
Aliás, indicam-se por
f (B ) :=
[
x∈B { f
(x)}
f −1 (y) := {x ∈ X | f (x) = y}
a imagem do subconjunto B ⊆ Dom( f )
a pré-imagem de y ∈ Y
(em contextos mais geométricos usa-se o nome fibra de y )
f −1 (A) := {x ∈ X | f (x) ∈ A} a pré-imagem do subconjunto A ⊆ Y .
O espaço das funções entre X , Y é denotado por
Y X := { f : X → Y } ⊆ P (X × Y ).
Duas funções f : X → Y , g : Z → W são ditas iguais quando Dom( f ) = Dom(g ), Y = W
e f (x) = g (x) ∀x ∈ Dom( f ).
Exercício. Provar que f −1 (A) =
[
y∈A f
−1
(y).
Exemplos.
(1) A lei que associa a cada lugar no Rio sua temperatura em um dado momento é uma
função: {ponto no Rio} → N.
3
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
(2) O código genético é uma função: {seres humanos} → {ácidos desoxirribonucléicos},
que leva cada indivíduo para sua cadeia de DNA.
(3) f : N → N, n 7→ f (n) = 3n é uma função (3n 6= 3m se n 6= m ), pela unicidade da
decomposição em fatores primos dos naturais (teorema ??).
Note-se que as funções g : {n ∈ N | n Ê 2} → N, g (n) = 3n e h : N → {m ∈ N | m <
10}, h(n) = 3n são diferentes de f .
(4) A relação em X ×Y em figura, esquematizada por diagramas de Venn com flechas,
não representa uma função:
o elemento 3 ∈ X está relacionado com dois c, d ∈
Y distintos, então não se pode definir f (3) univo-
camente.
(5) O volume do paralelepípedo de lados ~
a ,~
b,~
c é uma função real de 3 variáveis veto-
riais
vol : Vec(R)3 → [0, +∞)
vol(~
a ,~
b,~
c) = ~
a ×~
b ·~
c
(6) A numeração de Gödel é uma função F → N que associa a uma fórmula de uma
linguagem formal seu número de Gödel. Primeiramente se codifica um fórmula
por uma sequência finita em N∗ de maneira 1-1: F ←→ (x 1 , . . . , x n ). Assim o Gödeliano de F é o produto dos primeiros n números primos elevados a seus valores
correspondentes na sequência:
g̈(F ) = g̈(x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x i , . . . x n ) = 2x1 · 3x2 · 5x3 · · · p ixi · · · p nxn
onde p i é o i -ésimo número primo (Z teoria da recursividade).
(7) Uma função definida ‘por partes’: f : R → R, x 7→

3


 1−x x < 0
0
x = 0 . O domínio


 −1
x >4
dela é a união dos conjuntos na coluna à direita (−∞, 0] ∪ (4, +∞).
(8) A função complexa de variável complexa
ζ : C \ {1} −→ C,
(0.1)
ζ(s) =
∞ 1
X
s
n=1 n
é dita zeta de Riemann. Um dos maiores problemas abertos na matemática é achar
seus zeros não triviais. A hipótese de Riemann conjetura que ζ(s) = 0 ⇐⇒ Re(s) =
1
2
(ou s ∈ 2Z− ). Quem resolver isso ganhará um prêmio de 1 milhão de dólares e
fama eterna (Z teoria dos números).
4
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
(9) A função χ : {superfícies fechadas} → Z, χ(S) = V − E + F, onde V, E , F são respec-
tivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de S , é dita
característica de Euler–Poincaré de S , ver §??.
(10) Sejam m, n ∈ N∗ . Uma matriz real m × n é uma função
A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} → R.
(11) O traço tr : End (Rn ) → R de uma matriz real quadrada, ver ??.
(12) O determinante det : End (Rn ) → R de matrizes reais quadradas, ver ??.
(13) O número de raízes de um polinômio real não nulo define uma função R[t ] \ {0} →
N, p(t ) 7→ card {t 0 ∈ R | p(t 0 ) = 0}. Mais sobre isso na §??.
(14) π1 : Top → Grp associa a um espaço topológico conexo por arcos X seu grupo
fundamental π1 (X ). Na verdade, π1 é mais que uma função, sendo um exemplo de
funtor (Z teoria das categorias, topologia algébrica).
Observação. Quando considerarmos funções costumamos pensar em expressões explícitas/analíticas, como f (x) =
p
x 3 + 3 cos x . Mas é fácil tomar consciência que a noção de
‘função definida por uma fórmula’ é demais limitada para os propósitos dos matemáticos,
como os dois exemplos a seguir sugerem.
1) A equação F (x, y) = x 2 + y 2 − 1 = 0 é uma relação não funcional entre números reais
x, y . Embora não seja possível exprimir y ∈ [−1, 1] em termos de qualquer x ∈ [−1, 1]
univocamente, algumas hipóteses permitem fazê-lo. Por exemplo, restringindo-se para
x > 0, tem-se que f 1 : [0, 1] → R, f 1 (x) =
p
1 − x 2 define uma função, cujo gráfico coin-
cide com uma parte da circunferência F (x, y) = 0. O mesmo acontece com f 2 : [0, 1] →
p
p
R, f 2 (x) = − 1 − x 2 ou ainda f 3 : [−1, 1] → R, f 3 (x) = − 1 − x 2 . Em todos esses casos
vale F (x, f i (x)) = 0.
2) O lugar dos pontos no plano satisfazendo y 5 + 16y − 32x 3 + 32x = 0 é uma curva que
nos leva a suspeitar que o próprio lugar seja o gráfico de uma função y = f (x).
Com o cálculo infinitesimal prova-se de fato que para todo x = x 0 ∈ R fixado, y 7→ F (y) =
y 5 + 16y − 32x 03 + 32x 0 é uma função crescente e lim y→±∞ F (y) = ±∞, implicando que F
tem um único zero y 0 . A função procurada está definida associando x 0 7→ y 0 = f (x 0 ).
5
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Os exemplos mostram a razão intrínseca para que define-se uma função f : D → R como
uma relação (e não ‘uma lei’, qualquer coisa signifique isso), a saber: um subconjunto
f ⊆ D × R tal que a escolha de x ∈ D determina o único y ∈ R tal que (x, y) ∈ f . Apenas
para conveniência abrevia-se (x, y) ∈ f escrevendo y = f (x).
O teorema da função implícita para a equação F (x, y) = 0 regulamenta como e quando for
possível encontrar uma função y = f (x) tal que F (x, f (x)) = 0, em geral.
0.2. Q UESTÕES DE INVERTIBILIDADE .
Definição. Uma função f : X → Y é injetiva (ou 1-1, lido ‘um-a-um’) quando
∀a, b ∈ X
a 6= b =⇒ f (a) 6= f (b),
ou seja, f (a) = f (b) =⇒ a = b, ∀a, b ∈ X . Um símbolo comum é f : X ,→ Y .
Exemplos.
i) A função no diagrama não é injetiva:
f (x) = f (y)
embora x 6= y
ii) A função ‘aniversário’: {seres humanos} → {datas} não é injetiva.
iii) Seja |X | Ê 2. Nenhuma função constante X → Y , x 7→ y 0 é injetiva.
iv) Se X ⊆ Y , a função injetiva ı : X ,→ Y , ı(x) = x é dita inclusão de X em Y .
Exercícios.
i) Achar f −1 (3) quando f (x) = x 4 .
ii) Provar que
¡
¢
f : X → Y é injetiva ⇐⇒ card f −1 (y) = 1
∀y ∈ Im( f );
⇐⇒ f (P ∩Q) = f (P ) ∩ f (Q)
∀P,Q ⊆ X ;
iii) Provar que se f : X → Y for injetiva então f (P \Q) = f (P )\ f (Q) para todo P,Q ⊆ X .
Definição. Uma função f : X → Y é sobrejetiva quando f (X ) = Y , i.é
∀y ∈ Y
∃x ∈ X tal que f (x) = y,
ou seja ∀y ∈ Y , f −1 (y) 6= ;. Um símbolo usado às vezes é f : X Y .
0.1. Exemplos.
i) A função f : N 2N := {números pares}, f (n) = 2n é sobrejetiva e injetiva.
6
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
ii) A função representada na figura não é sobrejetiva, porque o elemento do contradomínio z não pertence a Im( f ).
iii) As funções
πX : X × Y
(0.2)
πY : X × Y
−→ X
(x, y) 7−→
x
−→ Y
(x, y) 7−→
y
são chamadas de projeções do produto cartesiano. Elas são sobrejetivas se e somente se
X 6= ; 6= Y (ou no caso trivial onde X = ; = Y ).
iv) Dada uma relação de equivalência ∼ sobre X , a função sobrejetiva
±
π : X −→ X ∼ ,
π(x) = [x]
é dita projeção canônica de ∼.
Exercícios. Provar que
i) h : R → R, h(r ) = 3r é injetiva, não sobrejetiva.
ii) f : R → R, f (ξ) = ξ2 não é sobrejetiva, nem injetiva.
Porém, g : R → [0, +∞), g (ξ) = ξ2 é sobrejetiva.
iii) Provar que f : X → Y sobrejetiva ⇐⇒ Y \ f (P ) ⊆ f (X \ P ) para todo P ⊆ X .
iv) Estabelecer para quais a, b, c, d ∈ Z a função g : Z2 → Z2 , g (x, y) = (ax + b y, c x +
d y) é injetiva, ou sobrejetiva.
Em geral é difícil estabelecer se uma função é injetiva, ou sobrejetiva, como no caso da
p
função real f (x) = arctan 3 x − 1 +
1
(embora a análise nos ajude em isso).
log(x π + 1)
Definição. Uma função f : X → Y é bijetiva, ou uma bijeção, se for injetiva e sobrejetiva.
Exemplos.
i) A (função) identidade de X : 1X : X → X , x 7→ x ;
ii) f : R → R, f (x) = mx + q para números reais quaisquer q e m 6= 0.
0.2. Definição. Sejam f : A → C , g : C → D funções tais que Im( f ) ⊆ Dom(g ).
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E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Chama-se de composição de f e g a função
¡
¢
(g ◦ f )(x) = g f (x) .
g ◦ f : A → D,
Por definição, Dom(g ◦ f ) = {x ∈ Dom( f ) | f (x) ∈ Dom(g )}.
Exemplos.
i) A função h : R → R, h(x) =
p
x tem Dom(h) = [0, +∞), Im( f ) = [0, +∞)), no
entanto r : R → R, r (x) = −3 tem Dom(r ) = R, Im(r ) = {−3}. Desde que Im(h) ⊆
Dom(r ),
¡
¢
p
(r ◦ h)(x) = r h(x) = r ( x) = −3.
Porém, Ø h ◦ r : de fato, o que seria h(−3) ?
ii) Para as funções f , g : N → N
f (n) = n + 1,
g (n) =

0
n=0
n − 1
n>0
temos g ◦ f = 1N , mas f (g (0)) = 1 6= 0. Observe-se que f é injetiva (não sobrejetiva) e g é sobrejetiva (não injetiva).
p
iii) Para as funções R → R: f (x) = x 2 +3, g (x) = x temos f (R) = R+ = Dom(g ), então
a composição existe:
(g ◦ f )(x) =
p
f (x) =
p
x3 + 3
p
Nesse exemplo (por sorte) existe também f ◦g , dada por ( f ◦g )(x) = f ( x) = x +3.
Este mostra que a composição de funções não é comutativa, g ◦ f 6= f ◦ g , em geral.
iv) A função logística f : [0, 1] → R, f (x) = r x(1− x) modela a demografia de uma população com taxa de crescimento r ∈ (0, 4]. O estudo das iterações f k = f ◦ · · · ◦ f ,
|
k ∈ Z, é objeto de estudo da Z dinâmica não linear e da teoria do caos.
Exercícios.
i) Provar que a composição de funções é associativa
f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g ) ◦ h
(supondo que ambos membros da igualdade estejam definidos).
8
{z
k vezes
}
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
ii) Sejam f : X → Y , g : Y → X tais que g ◦ f = 1 X . Mostrar que f é 1-1 e g é sobrejetiva:
X

f
/Y
g
// X
<
1X
A noção de seção (e retração) é categórica, e é importante em álgebra, geometria e topologia, entre outras.
Exemplo. A função g : R → [0, +∞), g (x) = x 2 é invertível à direita. Ela tem duas inversas
direitas: f : [0, +∞) → R, f (x) =
p
x2 = x =
p
p
p
x e h : [0, +∞) → R, h(x) = − x , porque g ( f (x)) =
(−x)2 = g (h(x)) para todo x ∈ [0, +∞). Não há demais seções pela unicidade
da raiz quadrada real.
O mesmo exemplo mostra que uma inversa esquerda não necessariamente é inversa direita,
e vice-versa: f não é inversa esquerda para g , pois, por exemplo, f (g (−1)) 6= −1.
Exercícios.
i) Escolher outros exemplos de funções e procurar inversas direitas e esquerdas.
ii) Seja f uma inversa direita e também esquerda para g . Mostrar que f é única.
iii) Explicar a razão recôndita para que g : R → [0, +∞), g (x) = x 2 tem duas inversas à
direita diferentes.
Definição. Uma função f : X → Y é dita invertível se existir uma função, denotada por
f −1 : Y → X e dita inversa de f , tal que
1Y
f ◦ f −1 = 1Y
f
X
e
/Y
f −1 ◦ f = 1 X
f −1
/X
<
f
#
/Y
1X
É preciso cuidado com a notação: f −1 (x) 6= f (x)
¡
¢−1
=
1
.
f (x)
0.3. Exercícios. Seja f uma função invertível. Provar que
i) a inversa f −1 é única;
ii) f −1
¡
¢−1
=f.
iv) Procurar um exemplo de função que admite inversa esquerda e inversa direita, mas
não é invertível.
Lema. f : X → Y é bijetiva se e somente se for invertível.
9
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Demonstração. (=⇒): sendo f bijetiva, para cada y ∈ Y a pré-imagem de y contém só um
elemento: f −1 (y) = {x}. Seja g : Y → X a função definida por g (y) = x . Logo f g (y) = y
¡
¢
e g f (x) = x para todo x ∈ X , y ∈ Y , i.é g = f −1 .
¡
¢
(⇐=): f é injetiva porque f (a) = f (b) =⇒ f −1 f (a) = f −1 f (b) =⇒ a = b .
¡
¡
¢
¢
Agora pegue-se y ∈ Y . Então a := f −1 (y) ∈ X é um elemento com imagem f (a) = y . Isso
é, f é sobrejetiva.
Corolário. f é bijetiva ⇐⇒ f −1 é bijetiva.
Demonstração. Exercício.
Exemplos.
i) T : R → R, T (x) = 95 x + 32 tem inversa T −1 : R → R, T −1 (x) = 95 (x − 32):
y = 95 x + 32 ⇐⇒ x = 59 (y − 32).
Esta função converte os graus Celsius (x °C) em graus Fahrenheit ( y °F).
ii) sen : − π2 , π2 → [−1, 1] tem inversa arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2 .
£
¤
£
g
¤
f
g◦f
Lema. Sejam X → Y → Z bijeções tais que Im(g ) =
Dom( f ). Então
g
(f ◦ g)
−1
=g
−1
◦f
−1
X\ e
.
Demonstração. Imediata, usando o exercício 0.3.
%
f
Y e
g −1
%
Z
f −1
(g ◦ f )−1
Teorema. As bijeções de um conjunto X formam um grupo sob composição.
Demonstração. Exercício.
Definição. Sejam X ⊆ Y e f : Y → Z uma função. A restrição de f a X é a função



f  : X → Z definida por f  (x) = f (x), ∀x ∈ X . Usando a definição 0.2, f  = f ◦ ı .
X
X
X

Às vezes diz-se também que f é a extensão de f .
X
Do mesmo modo falaremos (impropriamente) de restrição de f : Y → Z a W ⊆ Z sendo a
composição da inclusão W ,→ Z com f .
Exercícios. Seja f : X → Y uma função.
i) Se f for injetiva, provar que sua restrição f : X → f (X ) à imagem é bijetiva.
ii) Provar que
x ∼ f y ⇐⇒ f (x) = f (y)
10
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
define uma relação de equivalência.
Mostrar que
±
f˜ : X ∼ f
(0.3)
−→
f (X )
[x] 7−→
f (x)
f
X
é bijetiva.
(Notar que f˜ ◦ π = f por construção.)
π
±
X ∼
f
f (X )
f˜
• Com esta construção, considerando X = Y = Rn+1 \ {0} e definindo f (x) =
prova-se que
x ∼ f y ⇐⇒ x = t y
isto é
x
,
|x|
para algum t ∈ R+ ,
Rn+1 \ {0} ∼ n
=S
∼f
define a n -esfera.
• Se agora tomarmos X = Y = S n e g (x) = −x , as classes de equivalência são
conjuntos de pontos antípodos na esfera [x] = {x, −x}, e assim produzimos
Sn
= RPn
∼g
o espaço projetivo real (§??). Combinando os dois quocientes acima obtem-se a
descrição usual do espaço projetivo sendo o conjunto de retas pela origem
RPn :=
Rn+1 \ {0}
Rn+1 \ {0}
:=
R∗
∼
com x ∼ y ⇐⇒ x ∈ R∗ y .
iii) Generalizando ii), provar que para toda função f : X → Y existe uma função injetiva ı : X ∼ f → Y tal que ı ◦ π = f .
±
1. F UNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Esta seção prossegue a discussão começada em §0.1, embora de agora em diante o focus
será sobre funções reais de uma variável real f ∈ RR .
Convencionamos que se f (x) = y determinar uma relação funcional, como já explicamos,
indicaremos (explicitamente ou não) por D ⊆ R o domínio natural, e tomamos como contradomínio R, escrevendo
f : D ⊆ R → R.
Exemplos.
11
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
i) Uma função a : X ⊆ N → R é dita sequência numérica. Costuma-se indicá-la por
{a n }n∈X listando os elementos imagens a n := a(n).
n
o n
o
1 2 3 4
+
Exemplo: (an )n∈N+ = n−1
=
0,
|
n
∈
N
,
,
,
,
.
.
.
n
2 3 4 5
Exemplo de sequência recursiva: os números de Fibonacci
f n = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .



0,



f n = 1,





f n−1 + f n−2 ,
(1.1)
n=0
n=1
nÊ2
Esses números incríveis se manifestam na natureza sob forma de padrões de crescimento
em espiral de plantas (filotaxia), chifres de animais, conchas de moluscos e também no
desenrolamento das galáxias.
ii) A função de Dirichlet χQ : R → R é a função caraterística dos racionais:
χQ (x) =

1,
x ∈Q
0,
x ∈ R\Q
.
Surpreendentemente, χQ (x) = lim (cos(k!πx))2 j .
j ,k→∞
κ
2 2
iii) η : R → R, η(x) = p e−κ x é chamada de densidade de probabilidade da distribuição
π
normal de Gauß.
x
dt
é dita logaritmo integral.
0 log t
v) A função totiente de Euler φ : R → N conta mesmo os números primos menores que ou
iv) li : [0, +∞) \ {1} → R, li(x) =
Z
iguais a x . Por exemplo φ(10) = 4,
φ(100) = 25,
φ(105 ) = 9, 592.
Sua expressão é ilusoriamente simples
µ
¶
1
φ(x) = bxc
1−
,
p
p primo
¯
p ¯bxc
Y
mas seu comportamento assintótico é o mesmo
que aquele do logaritmo integral:
Z
lim
x→∞ 2
x
lim φ(x) =
x→∞
dt
.
log t
1
1
tem domínio R \ {0}; Dom(g ) = (2, +∞) para g (x) = p
e
x
2x
−
4
x
Dom(h) = (0, +∞) para h(x) = x 3 sen(log10 x) + x x − 184534.
Exemplo. f (x) =
12
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exercício.
i) Escrever os domínios das funções
2x
f (x) = 2
,
x −1
r
r
2x − 1
1
,
q(x) = p
.
2
x −3
|3x − 4|
p
x −1
x −1
são iguais?
, h 2 (x) = p
ii) As funções h1 (x) =
x −2
x −2
Provar que h2 é uma restrição de h1 .
l (x) =
Determinar a imagem de uma função pode ser muito difícil, como para f : R → R, f (x) =
x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Porém, métodos analíticos mostram facilmente que sua imagem é
·
¶
p p
p
p p
p
3
3
−1695−(−135+20 6)3 135+60 6+(−49+24 6)3 (135+60 6)2
, +∞ .
2304
Assim, estabelecer se uma função é invertível é tipicamente uma tarefa extremamente
difícil. A análise permite de responder parcialmente a esta pergunta (teorema da função
implícita).
Por exemplo, a definição não ajuda em dizer se
λ : R → R, λ(x) = x − sen x é injetiva. Métodos
analíticos, porém, permitem de verificar este fato
de maneira simples. Como sua imagem é R, λ é
invertível. De qualquer modo, também invertê-la
não é fácil:
µ n−1 µ
¶n ¶
∞ x n/3
X
d
θ
λ (x) =
lim
.
p
n−1 3
θ − sen θ
n=1 n! θ→0 dθ
−1
Achar uma expressão explícita pela inversa pode ser um desafio também para funções mais
simples, como polinômios. Tente-se com f (x) = x 3 + 2x 2 + x − 3. A questão se reduz, na
prática, a resolver a equação cúbica x 3 + 2x 2 + x − 3 − y = 0 para x .
1.1. G RÁFICOS .
O estudo eficaz das funções reais de variável real e seus gráficos se concretiza nos cursos
de análise ou geometria diferencial.
Definição. O gráfico de uma função f : Dom( f ) ⊆ R → R é o subconjunto
graf ( f ) = x, f (x) ∈ R2 | x ∈ Dom( f ) .
©¡
¢
ª
Se identificarmos R com uma reta orientada, chamada de reta real
13
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
então pode-se identificar o produto cartesiano R × R =: R2 com um par de retas reais perpendiculares que se cruzam no 0 de cada (plano cartesiano ortogonal Oxy). Assim,
um par (x P , y P ) ∈ R2 corresponde a um ponto P no
plano, e os números x P , y P são chamados de coordenadas cartesianas de P : x P é a abcissa e y P a ordenada, ver o teorema ??. Os valores de x ficam no
eixo horizontal (eixo x ), enquanto os valores de y são
colocados no eixo vertical (eixo y ). Ver a definição
??.
Geometricamente, as coordenadas de P são obtidas por projeção de P sobre os eixos:
x P = π X (P ), y P = πY (P ), onde π X , πY são as funções de 0.2.
Exemplo: a função
ω : R → R,
Dom(ω) = R
ω(x) = 2x 3 − 3x 2 − 3x + 2, tem
(o eixo x todo);
(0, 2) ∈ graf (ω) pois ω(0) = 2.
(
As soluções do sistema
y = f (x)
y =0
essas então são as raízes de f .
fornecem as interseções de graf ( f ) com o eixo x :
Nem toda curva no plano é o gráfico de uma função, mas é o gráfico de uma relação: eis
alguns contra-exemplos
A explicação geométrica é que existem retas verticais {(x, y) ∈ R2 | x = c constante} que
interceptam a curva em mais que um ponto: i.é, se existisse uma função f com esse gráfico,
o quê seria a imagem f (c) ? (Claramente não única. . . )
Em outras palavras: uma curva γ no plano é o gráfico de uma função f quando toda reta
vertical r cortar γ em 1 ponto no máximo.
Exercício. Esboçar os gráficos das funções
y=
p
1 − x 2,
p
y = − 1 − x2
14
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
e compará-los com a curva γ = {(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}.
Um gráfico pode ser desconexo: isso acontece muitas vezes quando considerarmos funções
partidas:
x 7→

2


 x
0


 2 − (x − 1)2
se x < 1
x 7→ bxc := max{m ∈ Z | m É x}
se x = 1
chamada de ‘parte inteira de x ’
se x > 1
ou função ‘piso’
Um gráfico pode sugerir se uma função f é injetiva: basta verificar se graf ( f ) cruzar
qualquer reta horizontal (o gráfico de uma função constante y = a , a ∈ R) em 1 ponto
no máximo (injetiva) ou em mais que um ponto (não injetiva).
A função módulo abs : x7→|x| não é injetiva:
toda reta y = c Ê 0 intercepta o gráfico nos pontos
(c, c), (−c, c):
abs−1 (c) = {c, −c}
i.é |c| = | − c|.
Partindo do gráfico de uma função y = f (x) podemos esboçar suas:
y = f (x − p)
translações: horizontal (de +p )
vertical (de +q )
y = f (x) + q
reflexões: com respeito ao eixo y
y = f (−x)
com respeito ao eixo x
y = − f (x)
com respeito à origem
y = − f (−x)
15
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Todas essas são transformações isométricas do plano euclidiano R2 .
Exemplo. Tome a parábola de equação y = x 2 e a transle horizontalmente de −1: o gráfico
se muda à esquerda, e a equação fica y = (x + 1)2 .
Agora deslocamos verticalmente com q = 2 (para cima): a nova equação é y = (x +1)2 +2 =
x 2 + 2x + 3.
A equação simétrica dessa com respeito à origem é y = − (−x + 1)2 + 2 = −x 2 + 2x − 3.
¡
¢
Aliás, utilizando as propriedades do valor absoluto, é imediato achar os gráficos das fun¯
¯
ções f ◦ abs : x 7→ f (|x|) e abs ◦ f = | f | : x 7→ ¯ f (x)¯:
y = f (|x|)
¯
¯
y = ¯ f (x)¯
y = f (x)
Ainda que não saibamos se uma função é invertível, ou onde, podemos esboçar o gráfico
de f −1 (caso exista) se for noto o de f , baseando-nos sobre o seguinte fato:
y = f (x)
⇐⇒
x = f −1 (y)
(x, y) ∈ graf ( f )
⇐⇒
(y, x) ∈ graf ( f −1 )
Os gráficos de f e f −1 são simétricos com respeito á reta y = x (o gráfico de 1R ).
A figura mostra a função f (x) = x 3 +
2x 2 −4 com Dom( f ) = R (gráfico azul).
A curva vermelha refletida não representa uma função.
De fato f não é injetiva no seu domínio; por exemplo, f (0) = f (−2). Pode-se provar que f
é invertível separadamente nos intervalos (−∞, −4/3], [−4/3, 0], [0, +∞).
16
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exemplo. O gráfico de f (x) =
αx + β
quando D := αδ−βγ 6= 0 (e γ 6= 0), é uma hipérbole
γx + δ
equilátera. De fato, re-escrevendo
αx + β α
D
= −
γx + δ γ γ(γx + δ)
(1.2)
mostra que f é a translada de y = −
D/γ2
δ
α
sob x 7→ x + , y 7→ y − , conforme a interseção
x
γ
γ
das assíntotas ser a origem no sistema translado.
δ
γ
O domínio R \ {−δ/γ} aponta para uma assíntota vertical x = − . Olhando para a inversa
−δx + β
diz que a imagem de f é R \ {α/γ}; por simetria isso produz uma assínγx − α
α
tota horizontal y = (confirmado pela divisão euclidiana).
γ
f −1 (x) =
1.2. Á LGEBRA DAS FUNÇÕES REAIS .
O espaço das funções R → R tem operações, definidas pontualmente e herdadas daquelas
de R.
1.1. Definição. Sejam f , g ∈ RR funções, λ ∈ R. Diz-se
soma: a função f + g : R → R, ( f + g )(x) := f (x) + g (x),
produto: a função f g : R → R, ( f g )(x) := f (x)g (x),
produto por escalares: a função (λ f )(x) := λ f (x).
Proposição. As operações acima tornam o espaço RR das funções reais de variável real
um R-módulo comutativo com unidade.
Demonstração. Como as operações são definidas pontualmente, o zero é a função nula
0(x) = 0, a unidade é a função constante 1(x) = 1, para todo x ∈ R. Todas as propriedades
se reduzem a propriedades do corpo R.
µ ¶
1
1
1
Em particular, dada f : R → R não identicamente nula, a função (x) :=
tem Dom
=
f
f (x)
f
Dom( f ) \ {x 0 | f (x 0 ) = 0}.
17
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
p
x
há:
Exemplo. Para f (x) = x, g (x) = x−1
( f + g )(x) =
p
x
x + x−1
,
( f g )(x) =
x 3/2
,
x−1
com domínio [0, +∞) \ {1}.
Porém tem também a operação de composição entre funções:
Teorema. (RR , +, ◦, ·) é uma R-álgebra associativa com unidade 1R , não comutativa e de
dimensão infinita.
Demonstração. A única propriedade que explicaremos é a da dimensão. Como os monômios x k ∈ R[x] formam uma base enumerável dos polinômios, tem ℵ0 funções polinomiais, então a fortiori RR não possui bases finitas (de fato é sabido que dim RR = 2ℵ1 , ver a
proposição ??).
Além disso, a álgebra das funções é parcialmente ordenada (não totalmente):
Definição. Sejam g , f : D ⊆ R → R duas funções definidas sobre o domínio comum D .
Escreve-se f É g quando f (x) É g (x) para todo x ∈ D .
Isso significa que o gráfico de f fica embaixo do gráfico de g em todo ponto.
Exercícios. Seja f ∈ RR uma função.
i) Se f ◦ g = g ◦ f para toda g ∈ RR , mostrar que f = 1R .
ii) (desafio) Se f (x + y) = f (x) + f (y), f (x y) = f (x) f (y) para todo x, y ∈ R, provar
que f é a função nula ou a identidade 1R .
Sugestão. Se f for nunca nula, provar que f (1) = 1 e f = 1Q . Depois, que f > 0

Q
se x > 0, e que f é crescente. Concluir usando a densidade de Q ⊆ R.
A partir desse ponto iremos listar propriedades das funções reais, agrupadas em condições
de monotonia, simetria e limitação, sem desenvolver a teoria completa.
1) Condições de crescimento
Definição. f : R → R é dita
crescente
se x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ),
( f mantém a ordem)
decrescente
se x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ),
(inverte a ordem)
não decrescente se x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) É f (x 2 ), (mantém a ordem fracamente)
não crescente
se x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) Ê f (x 2 )
(inverte a ordem fracamente)
para todo x 1 , x 2 ∈ Dom( f ). Se for crescente ou decrescente, f é dita monótona.
18
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
(não crescente)
(não decrescente)
(não monótona)
Corolário. Uma função monótona é necessariamente injetiva.
Demonstração. Exercício.
Exemplos.
i) As únicas funções polinomiais monótonas (no domínio natural R) são às de primeiro grau (retas). Quando o grau for Ê 2, então prova-se que sempre tem intervalos de crescimento e de decrescimento.
ii) Notar que monótona não 
implica invertível; vice-versa, invertível não força a monotonia: a função f (x) =
1 − x,
0Éx É1
x,
1<x É2
é bijetiva sobre [0, 2] mas não monó-
tona.
Um outro exemplo (ainda mais patológico) é f : [0, 1] → [0, 1] dada por
x 7→

x,
x ∈Q
1 − x,
x ∉Q
.
iii) A soma de funções monótonas não é necessariamente monótona: considere-se f +g
para f (x) = sen x + 2x e g (x) = sen x − 2x sobre [−π, π].
Exercícios. Mostrar que
f (x 1 ) − f (x 2 )
Ê 0 para todo x 1 6= x 2 ∈ Dom( f ).
x1 − x2
crescente ⇐⇒ − f decrescente (supondo bijetiva).
i) f é crescente se e somente se
ii) f crescente ⇐⇒ f −1
Estabelecer a monotonia pode ser difícil,
como no caso de
f (x) =
2x
.
x2 + 1
A análise fornece métodos para fazer isso
sem utilizar a definição.
19
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
1.2. Definição. Uma função f : R → R é dita convexa se
f (λx 1 + µx 2 ) É λ f (x 1 ) + µ f (x 2 )
para todo x 1 , x 2 ∈ Dom f e todo λ, µ Ê 0 com λ + µ = 1.
Uma função f : R → R é dita côncava se − f for convexa.
Geometricamente o gráfico graf ( f ) de uma função convexa fica embaixo do segmento
entre pontos arbitrários (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )). A grosso modo a convexidade transmite a
ideia da ‘concavidade voltada para cima’.
Exemplos. As funções x 7→ |x|, x 7→ ex são convexas; x 7→ ax 2 + bx + c é convexa se e
somente sa a Ê 0.
Exercícios. Dadas f , g convexas, provar que
i) f +g é convexa, α f é convexa para todo α Ê 0 (o subespaços das funções convexas
sobre D ⊆ R forma um cone);
ii) a função especular x 7→ f (−x) é convexa;
iii) e f é convexa;
v) f convexa ⇐⇒ x 7→
f (x) − f (x 0 )
é não decrescente para todo x ∈ Dom( f ) \ {x 0 }.
x − x0
Definição. Sejam f : R → R uma função e x 0 ∈ Dom( f ) um ponto. Se f for convexa no
intervalo (x 0 − ², x 0 ) e côncava em (x 0 , x 0 + ²) para um oportuno ² > 0, x 0 é dito inflexão.
Exemplos. Por meio de métodos infinitesimais mostra-se que
i) as únicas funções polinomiais convexas (no domínio natural R) têm grau até o
segundo;
ii) toda função polinomial de grau > 2 (no domínio natural R) tem pelo menos uma
inflexão;
iii) as funções trigonométricas sen, cos, tan têm infinitas inflexões, que coincidem com
as interseções delas com o eixo x .
20
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
2) Condições de simetria
Definição. Uma função f : R → R é dita ímpar se f (x) = − f (−x), e par se f (x) = f (−x),
para todo x ∈ Dom( f ).
Assim o gráfico de uma função ímpar é simétrico com respeito à origem
(x, y) ∈ graf ( f ) ⇐⇒ (−x, −y) ∈ graf ( f ),
aquele de uma função par é simétrico com respeito ao eixo y
(x, y) ∈ graf ( f ) ⇐⇒ (−x, y) ∈ graf ( f ).
Corolário. Uma função par não é injetiva.
Demonstração. Exercício.
Exemplo. Entre as funções afins f : R → R, f (x) = mx + q , as únicas funções pares são as
funções constantes (retas horizontais):
mx + q = m(−x) + q ∀ x ⇐⇒ m = 0,
e as únicas ímpares são as as funções lineares (i.é retas pela origem):
¡
¢
mx + q = − m(−x) + q ∀ x ⇐⇒ q = 0.
Exemplos. São funções pares:
• funções polinomiais com apenas termos de grau par x 2n :
• funções na variável |x|:
y = x 4 − 3x 2 + 2
y = e|x|/10+1
• y = cosh x , y = cos x
• produtos de um número par de funções ímpares e qualquer par:
y = − x1 sen(3x)
• composições de funções pares, ou composições com uma ímpar:
y = 3 sen(x 2 )
São ímpares:
• funções polinomiais com apenas termos de grau ímpar x 2n+1 :
y = 12 x 5 − x
• y = sinh x , y = sen x
• produtos de um número ímpar de funções ímpares e qualquer par:
¡ ¢
• composições de funções ímpares: y = 31 sinh x2
y = x −2 sen
¡ 10 ¢
x
Mas é evidente que a maioria das funções nem é par nem ímpar (por exemplo, um polinômio genérico).
21
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
1.3. Proposição. ∀ f ∈ RR
f s (x) :=
f (x) + f (−x)
f (x) − f (−x)
é par e f a (x) :=
é ímpar.
2
2
Assim, toda f escreve-se como soma de uma função par e uma função ímpar f = f s + f a ,
de maneira única.
Demonstração. Exercício.
Exemplo. Um polinômio q(x) =
Xn
a x
j =0 j
j
∈ R[x] decompõe-se como acima separando
as potências com exponente par/ímpar:
q(x) =
bn/2c
X
a2 j x 2 j +
j =0
bn/2c
X
a 2 j +1 x 2 j +1 .
j =0
Exercício. Provar que para toda função par f existe uma função g tal que f = g ◦ abs, i.é
f (x) = g (|x|), ∀x ∈ Dom( f ).
Definição. Uma função f : R → R é dita T -periódica se T > 0 é o mínimo número real tal
que
f (x) = f (x + T )
para todo x ∈ Dom( f ).
Assim, T -periodicidade implica kT -periodicidade para todo k ∈ Z. Então, o gráfico de
uma função T -periódica f é invariante sob as translações horizontais x 7→ x + kT , para
todo k ∈ Z.
Exemplos.
i) parte inteira y = bxc (T = 1);
ii) toda função trigonométrica: y = sen x, y = cos x (T = 2π),
y = tan x (T = π).
Corolário. Uma função periódica não é injetiva.
Demonstração. Exercício.
22
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
O estudo de uma função periódica pode ser limitado a qualquer interval no domínio de
comprimento T .
y = sen x
y = cosec x
y = x − bxc
(onda dente de serra)
Exercício. Mostrar que se f for periódica de período T , então x 7→ f (ωx) é periódica de
período
T
, ∀ω 6= 0.
ω
Cabe observar que a soma de funções periódicas não sempre é periódica: tomemos sen x
e sen ax com a irracional. Se a soma delas fosse periódica de período T então
sen(x + T ) + sen(ax + aT ) = sen(x) + sen(ax)
sen(x + T ) − sen x = − sen(ax + aT ) + sen(ax)
cos(x + T /2) sen(T /2) = − cos(ax + aT /2) sen(aT /2)
cos x sen(T /2) = − cos(ax) sen(aT /2).
Agora se x = π/2 obtemos sen(aT /2) = 0 então aT é um múltiplo de 2π. Analogamente
se ax = π/2 =⇒ sen(T /2) = 0 e T é um múltiplo de 2π. Como a ∉ Q, há uma contradição.
Lembrando a definição ??, para funções temos
Definição. Dadas funções f , g ∈ RR , indicamos por max( f , g ), min( f , g ) as funções máximo/mínimo pontuais:
max( f , g )(x) = max( f (x), g (x)),
min( f , g )(x) = min( f (x), g (x)).
Chamamos de parte positiva/negativa de f as funções
f + = max( f , 0),
f − = min( f , 0).
Exercícios.
i) Esboçar os gráficos de f + , f − partindo daquele de f .
ii) Mostrar que | f | = f + − f − .
iii) Provar que toda f se escreve como f = g − h para funções g , h não negativas.
23
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
3) Condições de limitação
Definição. Uma função f : R → R é dita limitada se
¯
¯
∃ M ∈ R tal que ¯ f (x)¯ < M para todo x ∈ Dom( f ).
Isso significa que a imagem é um subconjunto limitado, ou seja, contido em um intervalo
Im( f ) ⊆ (−M , M ). Geometricamente, o gráfico de f cai na fita delimitada pelas retas y =
±M .
1.4. Exemplos. São limitadas:
i) toda função constante y = c
x2
x2
.
De
fato,
0
<
< 1 ∀x ∈ R
x2 + 1
x2 + 1
2
iii) ϕ(x) = e−x + 1, porque 1 < ϕ(x) É 2 ∀x ∈ R
ii) y =
iv) y = sen x , y = cos x têm imagem [−1, 1]
São ilimitadas (não limitadas):
i) y = mx + q
ii) qualquer função polinomial não constante (i.é, deg Ê 1)
iii) y = x −n , y =
p
n
x , n ∈ N \ {0}
iv) y = tan x
v) a recíproca 1/ f de uma função f com zeros.
Mais geralmente pode-se impor apenas um cota unilateral:
Definição. Uma função f é dita limitada superiormente se sup f := sup Im( f ) < +∞ e
limitada inferiormente se inf f := inf Im( f ) > −∞.
Exemplo. A função y = x −2 é bem definida em R∗ : é limitada inferiormente por 0, e
sup
x6=0
1
= +∞.
x2
Exercícios. Sejam f , g funções reais e µ < 0 < λ números reais. Provar que
i) sup(λ f ) = λ sup f ,
sup(µ f ) = µ inf f
ii) sup( f + g ) É sup f + sup g
iii) sup( f + λ) = sup( f ) + λ
iv) sup( f g ) É sup( f ) sup(g ) se f , g Ê 0
v) sup | f + g | É sup | f | + sup |g |.
Enunciar as propriedades análogas para inf.
24
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exercício. Sejam φ : R → R não decrescente e f : D ⊆ R → R limitada superiormente.
Provar que φ(sup f ) Ê sup(φ ◦ f ).
D
D
Vale a igualdade em geral? Sugestão: tomar f (x) =
x
e φ = χ[1,+∞) .
x +1
Definição. Uma função f é dita lipschitziana se existir L Ê 0 tal que
| f (x 1 ) − f (x 2 )| É L|x 1 − x 2 |,
∀x 1 , x 2 ∈ Dom( f ).
Caso 0 É L < 1 fala-se de contração, ver ??.
Exemplos.
i) A função seno é lipschitziana com L = 1: para provar isso vamos supor que seja
noto o fato que | sen x| É |x| para todo x ∈ R (o que se prova em geometria elementar). Dados x, y ∈ R e h = x − y temos
sen x − sen y = sen(y + h) − sen y = (cos h − 1) sen y + cos y sen h =
µ
¶
h
h
h
h
2h
= −2 sen
sen y + 2 cos y sen cos = 2 sen cos y +
.
2
2
2
2
2
Então
¯
¯¯
¯
¯
¯ ¯
µ
¶¯
¯
¯¯
¯
¯
¯
¯h ¯
h
h
h
| sen x − sen y| = 2 ¯¯sen ¯¯ ¯¯cos y + ¯¯ É 2 ¯¯sen ¯¯ É 2 ¯¯ ¯¯ = |h|.
2
2
2
2
Assim, y = x + sen x também é lipschitziana.
¯p
p
p ¯
ii) No entanto y = x não o é: se, por absurdo, existisse L tal que ¯ x − y ¯ É L|x −y|
para todo x, y Ê 0, então em particular ( y = 0) haveria
p
x É L|x|, ou seja 1 É L 2 x
para todo x > 0 EE
iii) Em um espaço métrico (X , d ), com ; 6= Z ⊆ X fixado, a função dist(Z , ·) é lipschitziana com L = 1, ver ??.
Exercícios.
i) Estabelecer se as seguintes funções são lipschitzianas: abs, isometrias (ver ??),
funções polinomiais.
±
ii) Encontrar exemplos mostrando que: limitada =⇒ lipschitziana.
±
ii) Encontrar exemplos mostrando que: lipschitziana =⇒ limitada
Definição. Diz-se que a função f tem variação limitada se
var( f ) := sup
P
n−1
X¯
¯
¯ f (r i ) − f (r i +1 )¯ < +∞,
i =1
P sendo uma partição finita r 1 , . . . , r n do domínio Dom( f ).
25
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exemplos. A função f : [0, 1] → R
f (x) =

sen(1/x)
x >0
0
x =0
é limitada mas var( f ) = +∞.
Exercícios. Mostrar que
i) f lipschitziana =⇒ var( f ) < +∞;
ii) f monótona =⇒ var( f ) < +∞.
26
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
2. F UNÇÕES ALGÉBRICAS
Diz-se algébrica qualquer função obtida compondo funções constantes e soluções de equações algébricas (generalizando as raízes) com um número finito de operações aritméticas
(soma, produto, divisão). Mais formalmente
Definição. Uma função f : D ⊆ R → R é dita algébrica quando existir um polinômio
p(u) =
Xn
a (x)u
j =0 j
j
cujos coeficientes a j (x) ∈ R[x] são polinômios reais não todos nulos,
¡
¢
tal que a composição p f (x) = 0 sobre Dom( f ).
q
1
2x 2 + 2x
− 1 é solução da equação
¢
¡
¢
¡ ¢ 3 ¡
¢ 2 ¡
2x y + 6x(1 − x) y + 6x(1 − x)2 y + −2x 4 + 2x 3 − 6x 2 + 2x + 1 = 0.
Por exemplo, y = x +
3
na variável y .
A primeira classe que iremos considerar é a das funções definidas por polinômios. Entre
as demasiadas razões, acima da simplicidade, uma proeminente é o teorema de aproximação de Weierstraß, para que toda função f : [a, b] ⊆ R → R contínua pode ser aproximada
uniformemente, e de maneira tão boa quanto quiser, por uma função polinomial:
¡
¢
∀² > 0 existe p(x) ∈ R[x] tal que sup f (x) − p(x) < ².
x∈[a,b]
Como os polinômios podem ser avaliados direitamente por computadores, o teorema tem
relevância seja prática seja teórica, em particular pensando em interpolação polinomial ou
as séries, pois isso mostra que as funções polinomiais são densas em C [a, b] (Z análise
funcional).
2.1. F UNÇÕES POLINOMIAIS .
Definição. Todo polinômio real p(t ) =
polinomial p : R → R, x 7→ p(x) =
Xn
Xn
a x
j =0 j
a t
j =0 j
j
j
∈ R[t ] determina uma única função
com Dom(p) = R.
Vice-versa também: é sabido que uma função polinomial real define um polinômio univocamente, pois R é um domínio infinito com unidade.
Este fato é falso se pegarmos coeficientes apenas em um domínio de integridade finito. Por
exemplo t 3 , t ∈ Z3 [t ] são polinômios distintos, porém induzem a mesma função polinomial
27
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
pois f 3 − f ≡3 0 para f = −1, 0, 1. (Isso é uma manifestação do teorema pequeno de Fermat,
ver p. ??.)
Começamos examinando os gráficos de algumas funções polinomiais simples, agrupandoas pelo grau.
Grau 0: o gráfico da função constante y = c é uma reta horizontal (paralela ao eixo x )
passando por (0, c).
Grau 1: o gráfico da reta afim y = mx + q é uma reta passando por (0, q) com coeficiente
angular (inclinação) m = tan θ . É crescente quando m > 0 i.é θ ∈ (0, π/2), decrescente se
m < 0 ou seja θ ∈ (π/2, π). Para m = 0(= θ) obtém-se a função constante y = q .
Grau 2: o gráfico da função quadrática y = ax 2 + bx + c é uma parábola. O sinal de a
determina a presençapde um mínimo (a > 0) ou um máximo (a < 0). Se ∆ = b 2 − 4ac Ê 0,
as raízes x ± :=
−b ± ∆
da equação correspondente (ver (??)) dão as interseções com o
2a
eixo horizontal.
Exemplos.
i) y = 2x 2 − 12x + 16 = 2(x 2 − 6x + 8) = 2(x − 4)(x − 2),
ii) y = x 2 + 2 Ê 2 > 0 para todo x ,
iii) y = x 2 −
p
4 2
x + 18
8
=
³
1
p
2 2
´2
−x ,
∆ = 42 > 0
∆ = −8 < 0 e a = 1 > 0
∆ = 0.
Nessa situação o conjunto de positividade {x ∈ R | f (x) > 0} é:
a >0
∆Ê0
∆<0
a <0
(−∞, x − ) ∪ (x + , +∞) (x − , x + )
R
;
Para parábolas este sempre é um intervalo limitado (a < 0) ou seu complementar (a > 0).
28
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
∆<0
∆=0
∆>0
Exemplo. Escolher valores para os coeficientes a, b, c da função f (x) = ax 2 + bx + c para
o conjunto {x ∈ R | f (x) > 0} ser igual a:
(1) R
(3) ;
(5) (−∞, 2) ∪ (2, ∞)
(2) (−2, 3)
(4) (−∞, 1) ∪ (5, ∞)
(6) (3, +∞).
Lembramos que graf f é uma parábola se e somente se a 6= 0.
(1) basta escolher uma tripla (a, b, c) tal que b 2 − 4ac < 0: existem infinitas solu-
ções, por exemplo (1, 0, 1) dando a parábola y = x 2 + 1, ou (1, 1, 500) dando y =
x 2 + x + 500. Notar que também (0, 0, 1) dá uma função sempre positiva, a função
constante f (x) = 1. De fato, as soluções mais simples nesse caso são (0, 0, c > 0),
correspondendo a retas horizontais.
(2) Neste caso, necessariamente a expressão ax 2 + bx + c tem que fatorar da forma
a(x + 2)(x − 3) para um a < 0, onde −2, 3 são as raízes. As triplas possíveis satisfa-
zem

ax 2 + bx + c = a(x + 2)(x − 3), ∀x
=⇒
a < 0

b = −a
,
c = −6a
então são da forma (a, −a, −6a) para qualquer a ∈ R− .
(3) olhando para a tabela acima, basta escolher (a, b, c) tais que a < 0, b 2 −4ac < 0; por
exemplo (−1, 0, −1).
(4) precisamos de (a, b, c) tais que ax 2 + bx + c = a(x − 1)(x − 5) e a > 0. As escolhas
possíveis são da forma a(1, −6, 5), a > 0.
(5) em analogia com a situação precedente temos

ax 2 + bx + c = a(x − 2)2 , ∀x
a > 0
29



a >0



=⇒ c = 4a




b = −4a
.
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
(6) nesse caso o gráfico não pode ser uma parábola, i.é é preciso que a = 0, então
necessariamente a função será afim. A condição bx + c > 0 ⇐⇒ x > 3 força b > 0
e c = −3b . Resumindo, as escolhas têm a forma (0, b > 0, −3b), correspondendo às
retas y = b(x − 3) com coeficiente angular positivo.
Exemplos. Determinar os valores de λ ∈ R para os quais
i) a equação
λ
+ x = λ tem exatamente duas soluções distintas.
x −2
x 2 − (2 + λ)x + 3λ
.
x −2
A equação x 2 −(2+λ)x +3λ = 0 tem duas raízes distintas se e somente se (2+λ)2 −
p
p
12λ < 0, ou seja quando 4 − 2 3 < λ < 4 + 2 3.
Com manipulações algébricas chegamos fácil para a forma 0 =
Note-se que x = 2 (inaceitável) detecta o valor λ = 0, para quem a equação
proposta tem apenas uma solução (conforme o fato que esse valor não pertence ao
intervalo buscado).
ii) 2x 2 − λx + 2λ Ê 0 para todo x ∈ R.
Para λ fixado, a parábola y = 2x 2 − λx + 2λ intersecta o eixo das abscissas em
um ponto no máximo exatamente quando λ2 − 16λ É 0, i.é λ ∈ [0, 16].
4
1
assume o valor maior.
λ λ
µ
¶
µ
¶2
4
1
1 2
4
1
Escrevemos p − = − p
+ p − 4 + 4 = − p − 2 + 4. Como −(x −
λ λ
λ
λ
λ
1
2
2) + 4 É 4 e para x = 2 atingimos 4, o valor buscado é p = 2 =⇒ λ = 1/2.
λ
De fato o ponto máximo da parábola y = −(x − 2)2 + 4 é o vértice, o que é si-
iii) p −
métrico com respeito as interseções com o eixo: como −(x − 2)2 + 4 = x(4 − x), o
0+4
= 2.
µ2
¶
µ
¶2
4
1
1
1
Alternativamente, max p − = min p − 2 é atingido para p − 2 = 0.
λ λ
λ
λ
vértice tem abscissa x =
2.2. F UNÇÕES POTÊNCIA .
Com esse termo indicamos funções da forma y = x α com expoente α racional. O caso
de α ∈ R \ Q produz funções transcendentes (definição 3.2). Iremos nos concentrar em α
ou α−1 inteiro, casos nos quais o comportamento é determinado apenas pela paridade de
α: isso significa que o perfil da gráfico é o mesmo independentemente do expoente. Os
expoentes racionais serão tratados rapidamente, sem detalhes.
As propriedades seguintes são de fácil verificação, então deixadas como exercícios.
α ∈ Z+ : estes são polinômios de grau α, então com domínio natural R. Tanto maior é o
expoente, quanto mais ‘plano’ o gráfico vira perto da origem:
30
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
• f (x) = x 2n+1 é ímpar, crescente e sua imagem é R. É convexa para x Ê 0 e há uma
inflexão na origem.
• f (x) = x 2n é par, convexa, crescente para x Ê 0 e sua imagem é [0, +∞).
(fig. 1)
(fig. 2)
1
α ∈ Z− : trata-se de funções racionais y = |α| , com domínio natural R \ {0}:
x
• f (x) = x −(2n+1) , n ∈ N, é ímpar, decrescente, convexa para x > 0 e com imagem
R \ {0} .
• f (x) = x −2n , n ∈ N∗ , é par, convexa, decrescente para x > 0 e sua imagem é
(0, +∞).
(fig. 3)
(fig. 4)
1
α=
> 0: isso defina a função raiz α-ésima
m
p
• f (x) = 2n+1 x = x 1/2n+1 , n ∈ N, tem domínio e imagem R, é crescente e ímpar.
p
• f (x) = 2n x = x 1/2n , n ∈ N∗ , tem domínio e imagem [0, +∞) e é crescente.
(fig. 5)
(fig. 6)
31
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
α=
1
< 0: estas são recíprocas de raízes
m
• f (x) =
1
p , n ∈ N, tem domínio e imagem R \ {0}, é ímpar e decrescente.
x
2n+1
1
• f (x) = 2np tem domínio e imagem R+ e é decrescente.
x
(fig. 7)
(fig. 8)
p
> 0, mdc(p, q) = 1.
q
Em primeiro lugar se q ≡2 0, o domínio é [0, +∞); se q ≡2 1, ele é R. O comportamento
¡ p ¢p
de f (x) = x p/q = q x depende da paridade de p, q e do fato que p seja maior ou menor
Para expoente racional, discutiremos sem detalhes apenas o caso α =
que q :
• se ambos p, q são ímpares, a função é ímpar: o perfil é análogo à figura 1 se p/q > 1
e à figura 5 se p/q < 1.
• se p ≡2 0, então a função é par, crescente em R+ : para
como em figura 2; para
2m
p
=
> 1 o perfil é
q
2n + 1
p
2m
=
< 1 muda a convexidade:
q 2n + 1
• se p ≡2 1, então a função é crescente: se
p 2m + 1
=
> 1 haverá
q
2n
32
p 2m + 1
=
< 1 teremos a figura 6, e se
q
2n
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exemplos. Toda vez que tratarmos uma raiz par
p
2n
f (x) em uma equação é preciso impor
a condição de existência para as soluções: f (x) Ê 0.
Equações do tipo
p
n
f (x) =
p
h(x)
m
p
com n > 1, m Ê 1 podem ser resolvidas, assumindo x ∈ Dom( n
)∩Dom(
p
m
), elevando
à potência apropriada.
i)
p
3
x3 + 4 − 1 = x.
p
O domínio é R. Como a função t 7→ 3 t é a inversa de t 7→ t 3 ,
p
3
x 3 + 4 = x + 1 ⇐⇒
p
p
p
ii) 6 − x = x − 1 + x + 1.
³p
3
x3 + 4
´3
p
−1
±
5
= (x + 1)3 ⇐⇒ x =
.
2
O domínio comum das 3 raízes é (−∞, 6] ∩ [1, +∞) ∩ [−1, +∞) = [1, 6]. Elep
vando ao quadrado obtemos 6 − 3x = 2 (x − 1)(x + 1). Como a expressão à direita é não negativa, é preciso impor x É 2. Assim, as soluções têm que ficar
2
2
em [1, 2]. Elevando
ao quadrado de
p
p novo obtemos 4x − 4 = 36 − 36x + 9x , i.é
18 + 2 31
18 − 2 31
x1 =
(X) ou x 2 =
(7).
5
5
As inequações com raízes
p
n
f (x) >
p
h(x)
m
com n > 1, m Ê 1 são mais delicadas. Em caso de raízes ambas ímpares basta elevar ao
mmc(n, m): por exemplo
p
p
p
15
15
f (x) > 5 h(x) ⇐⇒ 3 f (x) > 5 h(x) ⇐⇒ f (x)5 > h(x)3 ;
p
2n+1
f (x) > g (x) ⇐⇒ f (x) > g (x)2n+1 .
p
3
Para raízes pares é preciso nos cuidarmos dos vínculos ‘implícitos’:



f (x) Ê 0


q

2n
f (x) < g (x) ⇐⇒ g (x) > 0



¡
¢

 f (x) < g (x) 2n
33
.
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Do outro lado,
q
2n
f (x) > g (x) ⇐⇒

 f (x) Ê 0
g (x) < 0
iii)
p
∨

g (x) Ê 0
 f (x) > ¡g (x)¢2n
.
x − 1 > 12 − 2x .
Só precisamos considerar x Ê 1. A inequação é verdadeira para todo x quando o
membro à direita for negativo, i.é x > 6. No entanto se x É 6 (e x Ê 1) podemos
elevar ao quadrado obtendo x − 1 > 144 + 4x 2 − 48x ou seja 5 < x < 29/4.
Portanto a inequação é resolvida por x ∈ (5, 29/4) ∪ (6, +∞) = (5, +∞).
Exercícios.
i) Resolver
p
(1) 2 x − 1 − x = 0
p
(2) x + 3 = 1 − 3x
p
(3) 2x + 6 − x + 1 = 0
p
(4) 3 x + 2 − x − 4 = 0
p
3
(5) x + 4 = 3
p
p
(6) x − 1 − 2x − 3 = 0
p
5x − 6 > x
p
p
(8) rx + 2 + 3x − 1 > 0
x −4
(9)
<2
x +2
(7)
ii) Para cada f , encontrar o domínio e onde a função for positiva:
(1) f (x) =
(2)
(3)
(4)
(5)
p
x −2+1
p
p
f (x) = x + 3 + x 2 + 9
p
3
f (x) = x 2 − 1
p
p
3
3
f (x) = px − 1 + x − 2
x −1
f (x) = p
|x| − 2
p
p
3
(6) f (x) = px + 2 − px + 2
x − 5 + 2x + 1
(7) f (x) =
p
3
1−x
p
4
(8) f (x) = px 4 − 1p− x 2
x −1 x +2
(9) f (x) = p
6x 2 + x − 2
iii) Para as seguintes funções determinar domínio, possível simetria e provar a propriedade
indicada:
(1) y = x 8/3 é convexa
(4) y = x 4/7 é côncava
(2) y = x 7/3 é convexa em R+
(5) y = x 5/13 é convexa em R−
(3) y = x 19/4 é convexa
(6) y = x 5/12 é côncava
2.3. F UNÇÕES RACIONAIS .
Definição. Uma função racional é um elemento do corpo das frações R(x) do anel R[x],
ver ??. Mais prosaicamente, é a função quociente de dois polinômios x 7→ f (x) =
b 6≡ 0.
34
a(x)
,
b(x)
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Suporemos
deg b > 0 para não reconsiderar polinômios. O domínio é sempre dado por
³
´
Dom f = Dom(a) ∩ Dom(b) \ {x 0 | b(x 0 ) = 0}.
Sem ferramentas analíticas/infinitesimais não é possível dizer muito mais: só elas permitirão completar o estudo dessas funções, e de fato o tornam bastante simples. Com o
conhecimento atual pode-se estabelecer o sinal, as interseções com os eixos, alguma simetria e o comportamento assintótico. Supondo mdc(a(x), b(x)) = 1 haverá uma assíntota
vertical x = x 0 para cada zero x 0 de b .
Se deg(a) Ê deg(b): y =
a(x)
r (x)
= q(x) +
é assintótica à y = q(x).
b(x)
b(x)
Exemplos.
3x 3 − x 2 + 6
: usando os gráficos do numerador (azul) e do denominador
x2 − 1
(laranja) não é fácil inferir o comportamento de f (preto, figura à esquerda). Mas
r (x)
3x + 5
: o quociente (à direita, reta) e
dividindo obtem-se f (x) = 3x − 1 + 2
x −1
b(x)
i) f (x) =
(vermelho) parecem dar mais informações para construir o gráfico.
αx + β
, com αδ − βγ 6= 0 e γ 6= 0, é uma
γx + δ
α
δ
hipérbole equilátera com retas assintóticas y = , x = − , conforme os limites
γ
γ
limx→−δ/γ f (x) = ∞, lim|x|→∞ f (x) = α/γ.
ii) Vimos em (1.2) que o gráfico de f (x) =
Se deg(a) < deg(b): pode-se tentar esboçar o gráfico utilizando a decomposição em frações
parciais (??).
Exemplo. Em f (x) =
−x 2 + 4x + 1
, o numerador (azul) e o denominador (laranja) não
x3 − x2 − x + 1
são extremamente úteis para esboçar a curva preta (figura à esquerda). A situação fica
pouco melhor decompondo f (x) = −
1
2
+
(figura à direita, onde as duas frações
x + 1 (x − 1)2
são representadas em azul e vermelho).
35
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
a(x)
em uma
b(x)
(in-)equação é preciso impor a condição de existência para as soluções: b(x) 6= 0.
Exercícios. Lembramos que toda vez que tratarmos uma expressão racional
i) Resolver
x 2 + 5x + 4
>0
x4 + 1
x3 + 8
>0
x2 − 1
x −2
1
>− x
|2x + 1|
3
|x − 1|
É1
|3x + 1|
ii) Dadas y 1 (x) = |x|, y 2 (x) = x 2 −x , y 3 (x) = x 2 −2x +3, buscar as expressões e esboçar
os gráficos das funções simétricas delas com respeito ao eixo x , e depois, das
funções simétricas com respeito ao eixo y .
iii) Esboçar gráficos para
(1) y = − |−x + 3| + 2
1
(2) y =
+3
(x − 1)2
(3) y = (−x + 2)−5
(4) y = |2x − 1|
(5) y = 2 |x| − 1
(6) y = |2 |x| − 1|
¯
¯
(7) y = ¯x 2 − 5x + 4¯
¯
¯
(8) y = ¯¯x 2 − 5 |x|¯ + 4¯
¯ −2x + 3 ¯
¯
(9) y = ¯¯
x −5 ¯
36
(10) y =
(11) y =
p
p
x +2
x +2
p
(12) y = − |3 − x|
(13) y = x|x| − |x| + x − 1
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
3. F UNÇÕES ELEMENTARES TRANSCENDENTES
Definição. Uma função não algébrica é chamada de transcendente.
Esta seção está destinada às funções exponenciais (§3.1, 3.3), logarítmicas (§3.2), trigonométricas (§3.4). Caem nas categorias precedentes também funções desse tipo: y = x r , r ∈
R \ Q, ou y = x x &c. Toda função algébrica e às do tipo acima são ditas funções elementa-
res. Exemplos de funções não elementares incluem:
Z
• integrais elípticos, por exemplo f (x) =
0
x
p
dt
t3 + t2 + t +1
• funções elípticas (℘ de Weierstraß, &c)
Z ∞
• a função Gamma Γ(t ) =
x t −1 e−x dx
0
³ x ´2m+α
(−1)m
m=0 m! Γ(m + α + 1) 2
Z x
Z x
2
• integrais de Fresnel S(x) =
sen(t ) dt , C (x) =
cos(t 2 ) dt
0
0
Z x
2
2
• a função erro erf(x) = p
e−t dt
π 0
• funções de Bessel J α (x) =
∞
X
As funções não elementares precisam de ferramentas da Z geometria algébrica, análise
complexa ou análise harmônica para ser estudadas. Uma pletora de funções não elementares encontra-se na enciclopédia [?]. Como mostrado pelos exemplos, a integração de uma
função elementar é tipicamente não elementar. De fato, o problema da integração foi um
incentivo importante para a construção de uma das teorias matemáticas mais bonitas: a
teoria das funções holomorfas.
3.1. F UNÇÕES EXPONENCIAIS .
Definição. Seja a > 0, a 6= 1 um número real fixado. Diz-se função exponencial na base
a
expa : R −→ R
x 7−→ a x
.
Seu domínio é R, sua imagem R+ . Da proposição ?? sabemos que a função é crescente se
a > 1, decrescente se a < 1. Aliás, os gráficos das funções exponenciais nas bases a e 1/a
são simétricos com respeito ao eixo y , pois
(3.1)
µ ¶x
1
= a −x .
a
37
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
3.1. Corolário. A restrição expa : R → (0, +∞) é bijetiva, portanto invertível.
Demonstração. Exercício.
Entre todas as escolhas para a , há uma base com um papel fundamental em matemática.
µ
Proposição. A sequência an := 1 +
n ∈ N∗ .
1
n
¶n
é crescente e limitada: 2 < an < 3 para todo
Demonstração. Usando a fórmula binomial temos
à !
à !
à !
n 1
n 1
n 1
+
an = 1 +
+...+
2
1 n
2 n
n nn
1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2)
1 n!
+
+...+
2
3
2! µ n ¶ 3!µ
n!µn n ¶ µ
¶nµ
¶
¶ µ
¶
1
1
1
1
2
1
1
2
n −1
= 2+
1−
+
1−
1−
+...+
1−
1−
··· 1−
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
¶
µ
n−1
1 Y
i
> a n−1 .
= a n−1 +
1−
n! i =1
n
= 2+
Aliás, a1 = 2 e
an É 2 +
n 1
n−1
X
X 1
1 1 − 1/2n−1
1
É 2+
=
2
+
= 3 − n−1 < 3.
j
2 1 − 1/2
2
j =2 j !
j =2 2
Deixamos aos cursos de análise a prova do fato que uma sequência real crescente e limitada
converge para seu supremo:
Definição. A constante real
µ
1
e := lim 1 +
n→∞
n
¶n
≈ 2.71828182845904523 . . .
é dita número de Napier.
Proposição. O numero e é irracional.
38
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Demonstração. Aqui usa se o fato que e =
∞ 1
X
, que aceitamos sem prova. Suponha-se,
n=0 n!
a
para alguns a, b ∈ Z primos entre si. Então n!e é inteiro para qualquer
b
Ã
!
n 1
X
n!
n > b . Sendo
inteiro para todo natural k É n , o número N := n! e −
é inteiro.
k!
k=0 n!
por absurdo, e =
Porém,
1
1
1
+
+
+...
n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
∞
X
1
1
1
1
1
1
<
+
+
+
.
.
.
=
−1 =
=
1
2
3
k
n + 1 (n + 1)
(n + 1)
n
1 − n+1
k=1 (n + 1)
N=
EE
Na verdade, trata-se de um número transcendente, i.é um número que não é raiz de algum polinômio em Q[x]. A justificativa deste fato precisa de instrumento teóricos mais
refinados dos que apresentei, ver [?].
A maioria dos matemáticos provavelmente concordam em coroar a correspondente função
exponencial
³
∞ xn
x ´n X
x 7→ ex := lim 1 +
=
n→∞
n
n=0 n!
a função mais importante em matemática e nas aplicações. Por exemplo, y = ex é a única
solução y = y(x) da equação diferencial y 0 = y com condição inicial y(0) = 1.
3.2. F UNÇÕES LOGARÍTMICAS .
Dado a > 0, a 6= 1, consideramos a equação a x = y 0 . Se y 0 for não positivo, a x = y 0 não tem
soluções. Mas caso y 0 > 0, pelo corolário 3.1 esta admite uma única solução x 0 =: loga y 0 ,
chamada de logaritmo na base a de y 0 . Assim, loga y 0 é o expoente x 0 tal que a x0 = y 0 ,
então
a loga y 0 = y 0 para todo y 0 > 0,
¡ ¢
loga a x0 = x 0 para todo x 0 ∈ R.
Definição. Chama-se de função logarítmica na base a
loga : (0, +∞) −→
x
R
7−→ loga x
,
a função inversa de expa .
Ela tem domínio Dom(loga ) = (0, +∞), imagem R.
Exercícios. Sejam 1 6= a 6= 1, x , y ∈ (0, +∞) e z qualquer. Provar que
39
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
i) loga (x y) = loga x + loga y,
loga
x
= loga x − loga y,
y
loga (x z ) = z loga x.
Em palavras, a função log transforma produtos em somas, e potências em produtos
(sendo o homomorfismo inverso de expa ).
ii) Se b for positivo e b 6= 1, então
logb x =
loga x
loga b
para todo x > 0, dita fórmula de mudança de base do logaritmo.
iii) Deduzir que loga (b) = − log1/a (b) = log1/a (1/b) para todo b > 0.
Cuidado: loga (x+y) não se pode exprimir em termos de loga x e loga y de forma elementar.
Sendo expa e loga inversas, seus gráficos são simétricos com respeito à reta y = x .
Corolário. A função loga é
para a > 1: crescente, negativa em (0, 1), positiva em (1, ∞);
para a < 1: decrescente, positiva em (0, 1) e negativa em (1, ∞).
Demonstração. Exercício.
A óbvia simetria horizontal entre os gráficos acima é a manifestação do fato que loga (x) =
− log1/a (x), como consequência de (3.1).
Observação. Se a base for o número e, omite-se de escrever a base: y = log x . As vezes
esta função é dita ‘logaritmo natural’ (e alguns livros, especialmente Znas aplicações, usam
x
o símbolo ln). De um ponto de vista mais analítico defina-se log x =
1
dt
.
t
Agora pode-se interpretar uma potência com qualquer expoente, também se irracional, e
p
finalmente fazer sentido de expressões do tipo 2 3 , 5π , esen(1) &c.
3.2. Definição. Dados números reais x > 0 e r ∈ R, põe-se
x r := er log x .
Exemplos. Toda vez que tratamos uma expressão loga f (x) em uma equação é preciso
impor a condição de existência para as soluções: f (x) > 0.
40
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
As tabelas seguintes resumem os tipos mais comuns de equações e inequações exponenciais / logarítmicas (coluna esquerda) e o método para resolver (coluna direita).
equação / inequação
método
ax = k
se k > 0, x = loga k .
(a > 0, 6= 1) e k ∈ R
a f (x) = a g (x)
f (x) = g (x)
a f (x) = b g (x)
por b g (x) = a g (x) loga b
f (a x ) = 0
por a x = t e resolver f (t ) = 0
a f (x) > a g (x)
f (a x ) > c
se a > 1,
f (x) > g (x)
se a < 1,
f (x) < g (x)
por a x = t e resolver f (t ) > c
Exemplos:
(1) 22x
2
+x
− 2x
3
+2x
= 0.
Escrevamos a equação na forma
22x
2
+x
= 2x
3
+2x
⇐⇒ x(2x + 1) = x(x 2 + 2) ⇐⇒ x(−x 2 + 2x − 1) = 0
⇐⇒ −x(x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = 1.
(2)
2x+1 5x−1
= 2.
3x
Multiplicando por 3x > 0 obtemos
2x+1 5x−1 = 2 · 3x ⇐⇒ 2x 5x−1 = 3x ⇐⇒ log 2x + log 5x−1 = log 3x
⇐⇒ x log 2 + x log 5 − x log 3 = log 5 ⇐⇒ x =
Caso tivéssemos escolhido base 10, teríamos obtido x =
é a mesma solução?
log 5
.
log 2 + log 5 − log 3
log10 5
log10 2 + log10 5 − log10 3
µµ ¶x+1 ¶x
1
1
(3)
> .
7
49
µ ¶(x+1)x µ ¶2
1
1
Escrevamos
>
. O exponencial na base 1/7 é decrescente, então
7
7
(x + 1)x < 2, i.é −2 < x < 1.
(4) Resolver
4x − 2 · 2x − 3 É 0
⇐⇒ 22x − 2 · 2x − 3 É 0
2x =:t
⇐⇒ t 2 − 2t − 3 É 0
t =2x
⇐⇒ −1 É t É 3
⇐⇒ −1 É 2x É 3
⇐⇒ 2x É 3
⇐⇒ x É log2 3.
41
;
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
equação / inequação
loga x = b
método
x = ab
(b ∈ R)
loga f (x) = b
se f (x) > 0, f (x) = a b
(b ∈ R)
loga f (x) = loga g (x)
se f (x) > 0 e g (x) > 0, f (x) = g (x)
f (loga x) = 0
por loga x = t e resolver f (t ) = 0
loga f (x) > loga g (x)
f (loga x) > c
se a > 1,
f (x) > g (x)
se a < 1,
f (x) < g (x)
por loga x = t e resolver f (t ) > c
Exemplos:
(1) log4 (x + 6) + log4 x = 2.
(
A equação só faz sentido quando
caso
x +6 > 0
x >0
, então para x ∈ (0, +∞). Nesse
¡
¢
log4 (x + 6) + log4 x = 2 ⇐⇒ log4 x 2 + 6x = 2
¡
¢
⇐⇒ log4 x 2 + 6x = log4 16
⇐⇒ x 2 + 6x = 16
⇐⇒ x 1 = −8 (7)
∨
x 2 = 2 (X).
(2) log2 (x + 1) = log4 (2x + 5).
O domínio de existência é {x > −1} ∩ {x > −5/2} = (−1, +∞). É preciso utilizar
uma base só, então log2 (x + 1) =
log2 (2x + 5)
log2 4
. Agora
1
log2 (x + 1) = 12 log2 (2x + 5) ⇐⇒ log2 (x + 1) = log2 (2x + 5) 2
p
⇐⇒ x + 1 = 2x + 5 ⇐⇒ x 2 − 4 = 0
⇐⇒ x 1 = −2 (7)
∨
x 2 = 2 (X).
(3) log2 x − log2 3 < log2 (x + 2).
O domínio é (0, ∞).
log2
x
x
1
< log2 (x + 2) ⇐⇒ < x + 2 ⇐⇒ x > − ,
3
3
3
então x ∈ (0, ∞).
(4) log32 x − 2 log2 x > 0.
Existem soluções apenas para x ∈ (0, +∞).
p
p
Ponhamos t = log2 x , então t 3 − 2t = t (t 2 − 2) > 0 ⇐⇒ t > 2 ∨ − 2 < t < 0.
42
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
p
p
Voltando para x : log2 x > ³ 2 ou − ´ 2 <
log2 x < 0.
³
´
p
p
Conclusão: a solução é x ∈ 2 2 , +∞ ∪ 2− 2 , 1 .
Exercícios.
i) Em cada caso, encontrar um polinômio p(x) tal que a expressão abaixo não exista
como função:
p
4
p
7
p(x)
ep(x)
p(x)
log p(x).
ii) Em cada caso, encontrar um polinômio q(x) com domínio oportuno de modo que
a expressão abaixo não exista:
1
log |q(x)|
e−q(x)
q(x)q(x) .
logq(x) q(x)
iii) Resolver
(3x )x+3 = 1
log3 (x − 8) > 0
5x − 4 = 51−x
µ ¶x+2
1
>1
3
23x+1 + 23x+2 − 3 · 8x = 32 72x − 5 · 7x + 6 < 0
log2 (1 − x)
|ex − 2| = 1
x −1
log2
= log2 x
x +1
log10 (x + 5) = 1
log2a x − 2 loga x + 1 = 0 log2 (log3 (6x + 1)) = 0
2
log3 (x 2 + 1) > 0
5x
e2x − 8ex + 7
<0
ex − 4
e|x| − 3 < 0
−x
log2
(x 2 + x)
=
1
3
log(9 − x) < 0
log3 (x + 2) − 1
2 + log3 x
log2 x − 3 > −
>0
=1
2
log2 x
2e−x + ex − 3
>0
1 − ex
iv) Resolver as equações
e−|x+2| = k
log3 |x| = 2
¯
¯
¯log |x|¯ = k
onde k é um número real.
v) Dependendo do número real k , estimar graficamente quando as equações
2x = k − x,
ex = kx,
log x = k − x,
log x = x − k
tiverem soluções e determinar o número de soluções.
3.3. F UNÇÕES HIPERBÓLICAS .
Definição. Chama-se de cosseno hiperbólico a função cosh : R → [1, +∞)
x 7→ cosh x :=
43
ex + e−x
.
2
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Proposição. A função cosh é par, crescente para x > 0, e positiva.
Demonstração. Como cosh é a parte par de ex , ela é par. É positiva sendo a soma das
funções positivas ex /2 e e−x /2. Enfim, cosh é soma (infinita) de termos crescentes se
x > 0, o que fica claro usando a expansão de Taylor da exponencial
cosh x =
∞ x 2n
X
x2 x4 x6
= 1+
+
+
+···
2! 4! 6!
n=0 (2n)!
que só contém monômios pares.
O gráfico de cosh é uma curva chamada de
catenária, pois descreve o perfil de uma cadeia suspensa pelas suas extremidades e sujeita à ação da gravidade.
Definição. Chama-se de seno hiperbólico a função sinh : R → R
x 7→ sinh x :=
ex − e−x
.
2
Proposição. A função sinh é ímpar, crescente, e positiva para x > 0.
Demonstração. Como sinh é a parte ímpar de ex , é ímpar. Este fato também é claro usando
a série de Taylor
∞
X
x 2n+1
x3 x5 x7
sinh x =
=x+
+
+
+···
3! 5! 7!
n=0 (2n + 1)!
É crescente sendo a soma das funções crescentes ex /2 e −e−x /2. Se x > 0 então ex > 1 >
e−x , forçando a positividade.
Os nomes dessas funções originam-se da analogia com a relação (3.5), e como sen, cos
essas também satisfazem uma relação do tipo Pitágoras:
Proposição (relação fundamental). Para todo x ∈ R
(3.2)
cosh2 x − sinh2 x = 1.
Demonstração. Óbvia.
44
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Na literatura encontram-se, por vezes, também os símbolos sh x := sinh x e ch x := cosh x
denotando essas funções.
Exemplo. Como aplicação das propriedades básica provamos com métodos elementares
que sinh(cosh x) Ê cosh(sinh x) para todo x ∈ R.
Mostramos preliminarmente que sinh2 (x + y) − sinh2 (x − y) = sinh(2x) sinh(2y):
sinh2 (x + y) − sinh2 (x − y) = (sinh x cosh y + cosh x sinh y)2 − (sinh x cosh y − cosh x sinh y)2
= 4 sinh x cosh x sinh y cosh y
= sinh(2x) sinh(2y)
Além disso, olhando para a série de sinh x vê-se que sinh x − x é soma de termos não
negativos quando x Ê 0, então sinh x Ê x para x Ê 0, e assim
sinh2 (cosh x) − sinh2 (sinh x) = sinh(ex ) sinh(e−x )
Ê ex e−x = 1 = cosh2 (sinh x) − sinh2 (sinh x)
implicando sinh2 (cosh x) Ê cosh2 (sinh x), e daí a tese.
Definição. Chama-se de tangente hiperbólica a função tanh : R → (−1, 1)
sinh x ex − 1
x 7→ tanh x :=
=
.
cosh x ex + 1
3.3. Exercícios. Provar que
1
2
i) tanh é uma bijeção com inversa x 7→ tanh−1 (x) = log
−1
−1
−1
ii) tanh (s) + tanh (t ) = tanh
µ
1+x
.
1−x
¶
t +s
para todo |t |, |s| < 1.
1+ts
1+ t2
2t
, sinh x =
são função racionais na variável t = tanh(x/2).
2
1−t
1− t2
³
´
³
´
p
p
iv) sinh−1 x = log x + x 2 + 1 para x ∈ R, cosh−1 x = log x + x 2 − 1 para x Ê 1.
iii) cosh x =
v) tanh−1 x =
∞ x 2n+1
X
, |x| < 1.
n=0 2n + 1
Enfim menciono que há outras funções hiperbólicas, menos importantes, definidas como
recíprocas:
coth x =
1
tanh x
sech x =
1
cosh x
cosech x =
respectivamente ditas cotangente, cossecante e secante hiperbólicas.
45
1
sinh x
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
3.4. F UNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .
Definir precisamente as funções trigonométricas é uma tarefa delicada, mais que alguém
possa suspeitar. Assim, este capítulo começa com considerações intuitivas e informais,
que não deveriam ser examinadas cuidadosamente demais (ver [?] para uma abordagem
elementar).
Para nos um ângulo será a união de duas semirretas com ponto inicial comum (ver p. ??).
Os ângulos θ são medidos em radianos a partir do eixo x (sentido anti-horário). Definindo ρ =
Ù o comprimento do
dist(Q,O), e indicando com QE
arco circular entre Q e E ,
θ :=
Ù
QE
.
ρ
Como o comprimento da circunferência é igual a
2πρ , a medida de θ é um número real em [0, 2π) mó-
dulo 2π.
Neste contexto, o número transcendente π é por definição o semi-comprimento da circunferência unitária:
π=
(3.3)
Z
1
dt
.
p
−1 1 − t 2
Existe uma pletora de expressões que podem ser tomadas como definições de π: às vezes
baseiam-se na trigonometria
π=2
Z
1
−1
Z
p
1 − x 2 dx =
+∞
−∞
dx
x2 + 1
,
outras vezes têm origem na Z teoria dos números
s
π=
µZ +∞
¶2
µ ¶2
∞ 6
X
1
−x 2
=
e dx = Γ
= 6 ζ(2).
2
2
−∞
k=1 k
Utilizando as coordenadas polares do plano Oxy,
(ρ, θ) ∈ R × [0, 2π), um ponto P = (x, y) haverá
(3.4)
x = ρ cos θ,
y = ρ sen θ
se ficar na circunferência de raio ρ centrada na origem.
O teorema de Pitágoras x 2 + y 2 = ρ 2 , ver ??, garante
que
(3.5)
sen2 θ + cos2 θ = 1.
46
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Eis uma coleção dos ângulos mais comuns:
θ
0
sen
0
cos
1
π
6
1
2
p
3
2
π
4
p
2
2
p
2
2
π
3
p
3
2
1
2
π
2
π
3
π
2
1
0
−1
0
−1
0
Por meio de considerações de geometria euclidiana elementar (congruência de triângulos
retângulos) obtem-se logo essas simetrias:
cos(π + x) = − cos x
sen(π + x) = − sen x
cos(−x) = cos x
sen(−x) = − sen x
cos(π − x) = − cos x
´
³π
+ x = − sen x
cos
2
³π
´
cos
− x = sen x
2
sen(π − x) = sen x
´
³π
+ x = cos x
sen
2
³π
´
sen
− x = cos x
2
5π 2π 5π
as quais permitem calcular sen, cos de ângulos como
,
,
&c. Também as fórmulas
6 3 4
de adição
cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 ,
(3.6)
sen(θ1 + θ2 ) = cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2 .
podem ser provadas por considerações elementares. Mas ainda melhor, elas são consequência da lei do produto de números complexos, ver (??). Dessas descem outras fórmulas úteis, como as fórmulas de duplicação
cos 2x = cos2 x − sen2 x.
sen 2x = 2 sen x cos x,
Exemplos.
i) Vamos exprimir
³
cos 6x + 1
π´
e sen 2x +
apenas em termos de sen x, cos x .
2
6
cos 6x + 1
= cos2 3x = (cos(2x + x))2 = (cos 2x cos x − sen 2x sen x)2
2
¡
¢2
= (2 cos2 x − 1) cos x − (2 sen x cos x) sen x
¡
¢2
= 2 cos3 x − cos x − 2(1 − cos2 x) cos x = (2 cos3 x − cos x − 2 cos x + 2 cos3 x)2
= (4 cos3 x − 3 cos x)2 = 16 cos6 x − 24 cos4 x + 9 cos2 x.
p
p
π´
π
π
3
3
= sen 2x cos + cos 2x sen =
sen 2x +
sen 2x +
cos 2x
6
6
6
2
2
³
47
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
=
p
1
3 sen x cos x + (cos2 x − sen2 x)
2
ii) Independentemente de questões de rigor, as definições úteis para aproximar π são
geométricas. Por exemplo, da equação (3.3) segue-se que π também é a medida da
área do disco unitário. Se inscrevermos no círculo unitário um polígono regular de
m lados, sua área fica Am := m cos
π
π
m
π
sen
= sen .
2m
2m
2
m
Agora ponhamos
r
a n := A2n = 2
n−1/2
1−
q
2
1 − 41−n a n−1
.
Esta sequência é crescente e limitada
(an < 4 = área do quadrado circunscrito),
então π = lim an .
n→∞
Embora (3.4) seja uma definição legítima, ela apresenta a desvantagem de depender de
alguma escolhas. Para ser mais formais, eis definições aproblemáticas e certas:
Definição. Chama-se de cosseno a função cos : R → [−1, 1]
x 7→ cos x :=
∞
X
(−1)n
n=0
x2 x4 x6 x8
x 2n
= 1−
+
−
+
−···
(2n)!
2! 4! 6! 8!
Chama-se de seno a função sen : R → [−1, 1]
x 7→ sen x :=
∞
X
n=0
(−1)n
x3 x5 x7
x 2n+1
=x−
+
−
+···
(2n + 1)!
3! 5! 7!
Proposição. A função cos é
• 2π-periódica,
• sobrejetiva e par,
µ
¶
³ π π´
π 3
• positiva em − , , negativa em
, π ,
2 2
2 2
• crescente em [π, 2π] e decrescente em [0, π].
Proposição. A função sen é
• 2π-periódica,
• sobrejetiva e ímpar,
• positiva em (0, π), negativa em (π, 2π),
h π πi
• crescente em − , , decrescente em
2 2
·
¸
π 3
, π .
2 2
Demonstração. Exercício (usar os resultados precedentes).
48
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
³π
´
+ x = cos x ; isso significa que o
2
π
gráfico de sen é o translado do gráfico de cos, com diferença de fase .
2
A semelhança entre os gráficos é devida ao fato sen
Observação. As funções trigonométricas sen, cos podem, equivalentemente, ser definidas
por meio do exponencial complexo
ei x = cos x + i sen x,
∀x ∈ R,
ver p. ??. Partindo da observação que h(x) = ei x é o único homomorfismo contínuo h : R →
S 1 ⊆ C não-trivial (então periódico), prova-se que suas partes reais f = Re h e imaginária
g = Im h satisfazem

2
2


 f (t ) + g (t ) = 1
f (t + s) = f (t ) f (s) − g (t )g (s) ,


 g (t + s) = f (t )g (s) + f (s)g (t )
para todo s, t ∈ R. Daí mostra-se que, necessariamente, f = cos, g = sen, assim fornecendo
uma caraterização ulterior das funções trigonométricas.
n
¯
¯
Definição. Chama-se de tangente a função tan : x ∈ R ¯ x 6=
tan x =
o
π
+ kπ, k ∈ Z → R
2
sen x
.
cos x
Proposição. A função tan é
• π-periódica,
³ π ´
³ π´
• positiva em 0, , negativa em − , 0 ,
2
2
• crescente,
• sobrejetiva e ímpar.
Demonstração. Exercício.
p
Exemplo. Se tan x = − 6 e x é um ângulo do segundo quadrante, calcule cos x e sen(2x).
Em primeiro lugar observamos que como a tangente é bijetiva, o ângulo x será único (a
menos de múltiplos de 2π). Tem vários métodos para resolver (ver p. 51) e aqui usaremos considerações geométricas elementares. Os zeros do cosseno não são soluções,
p
p
sen x
= − 6 segue-se sen x = − 6 cos x ,
cos x
e substituindo isso em (3.5) obtemos cos2 x = 1/7. Mas x finca no segundo quadrante,
p
p
onde o cosseno é negativo e o seno positivo, então cos x = −1/ 7 e sen x = 6/7. Assim,
p
sen(2x) = 2 cos x sen x = −2 6/7.
então podemos multiplicar por cos x 6= 0. De
3.4. Exercícios. Provar as fórmulas seguintes:
49
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
³π
´ ³π π ´
2 tan x
para todo x ∉ + Zπ ∪ + Z ;
i) tan 2x =
1 − tan2 x
2
4 2
2
2t
1−t
ii) sen x =
, cos x =
onde t = tan(x/2), para x ∉ (2Z + 1)π.
2
1+t
1+ t2
Exemplo. Queremos estudar a função
y(x) = A sen(ωx + ϕ)
onde A > 0, ω > 0 e ϕ ∈ R. O gráfico é uma onda elementar cujo comportamento é de tipo
sinusoidal.
• A é dito amplitude e controla o tamanho da imagem [−A, A] da onda;
• ω é a frequência angular: se ω > 1 a onda é ‘comprimida’ (com respeito ao perfil
padrão de sen), se 0 < ω < 1 ela é ‘alongada’. Esta quantia determina o período
T = 2π/ω, e a frequência 1/T da onda;
• ϕ é a fase e detecta uma translação horizontal com respeito à origem.
Os nomes das constantes é tradicional e origina-se na física, pois esta função é a solução
do movimento harmônico simples y 00 (x) + ω2 x = 0. De fato as funções trigonométricas
são as soluções y = y(x) dos problemas de Cauchy:

00


 y +y =0
y(0) = 0


 y 0 (0) = 1
⇐⇒ y = sen x;

00


 y +y =0
y(0) = 1


 y 0 (0) = 0
⇐⇒ y = cos x.
A Z teoria de Fourier explica que qualquer função periódica, se regular o bastante, pode
ser decomposta em uma soma, tipicamente infinita, de ondas elementares. Tomamos por
x
π
exemplo s(x) = , |x| < π, e estendamos-a por periodicidade a todo R. A função resultante,
dita ‘dente de serra’, pode ser escrita em forma de série
(2k + 1)π, k ∈ Z.
50
∞ 2(−1)n+1
X
sen(nx) para x 6=
nπ
n=1
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Definição. Outras funções trigonométricas clássicas, que não utilizaremos aqui, são as
funções ditas:
cotangente x 7→ cot x :=
cossecante
secante
1
tan x
1
sen x
1
x 7→ sec x :=
cos x
x 7→ cosec x :=
Dom = R \ Zπ
Im = R;
Dom = R \ Zπ
Im = {x ∈ R | |x| Ê 1};
Dom = R \
π
+ Zπ Im = {x ∈ R | |x| Ê 1}
2
cujas propriedades é fácil inferir a partir das recíprocas.
Restringindo oportunamente o domínio, as funções sen, cos, tan se tornam injetivas e assim podem ser invertidas. A identificação entre ângulos e arcos na circunferência justifica
os nomes das funções trigonométricas inversas.
Definição. Chamam-se de:
arco tangente arctan x := tan−1 x Dom = R
arco seno
arco cosseno
arcsin x := sen−1 x
−1
arccos x := cos
Im = (−1, 1)
Dom = [−1, 1] Im = [−π, π)
x Dom = [−1, 1] Im = [−π, π).
Exemplos. Não existem receitas universais para resolver equações trigonométricas: o método é ad hoc, ou seja depende do caso específico. Eis algumas dicas gerais:
• escrever toda expressão em termos do mesmo ângulo/variável x ;
• escrever toda expressão em termos de apenas sen x, cos x ;
• em ausência de termos constantes, tentar fatorar.
Vamos agora considerar alguns tipos de equação:
(1) sen x = c , cos x = c :
se |c| > 1 não há solução;
se |c| É 1 tem infinitas soluções
(para sen) ∃ x 1 ∈ − π2 , π2 e x 2 = π − x 1 . As outras são x 1 + 2πZ, x 2 + 2πZ.
£
¤
(para cos) ∃ x 1 ∈ [0, π] e x 2 = −x 1 . As outras são ±x 1 + 2πZ.
(2) tan x = c :
há exatamente uma solução x 1 = arctan c em − π2 , π2 ; toda outra é x 1 + πZ.
¡
¢
(3) a sen x + b cos x = c (equações lineares em sen, cos):
• usando a relação fundamental (3.5) resolvemos o sistema quadrático nas variáveis
C := cos x, S := sen x
(
aS + bC = c
S 2 +C 2 = 1
e depois encontramos x de C , S .
51
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Exemplo: sen x + cos x = 1. Resolvendo C + S = 1,C 2 + S 2 = 1 obtemos (C , S) =
(1, 0) ou (0, 1), então x = 2πZ, π/2 + 2πZ.
• Uma segunda possibilidade é mudar variável por meio da parametrização racional
C=
1− t2
,
1+ t2
S=
2t
,
1+ t2
onde t = tan x/2 (válida para x ∉ (2Z + 1)π).
Exemplo:
p
p
3 sen x + cos x = 1. O método paramétrico nos fornece t (t − 3) = 0
ou seja x = 2πZ, 2π/3 + 2πZ.
• (Se c = 0) podemos dividir por C (com cuidado) e nos reduzir à variável T = S/C .
p
p
Exemplo: 3 sen x − 3 cos x = 0. Como cos x 6= 0, dividindo obtem-se T = 3
isso é x = π/3 + Zπ.
p
• Seja φ o ângulo tal que tan φ = a/b . Agora substituindo a = a 2 + b 2 sen φ, b =
p
p
a 2 + b 2 cos φ obtemos a equação mais simples a 2 + b 2 cos(x − φ) = c .
p
p
Exemplo: para sen x + 3 cos x = 1 temos tan φ = 3/2 isso é φ = π/6. Assim
devemos resolver cos(x − π/6) = 1/2, então x = π/2 + 2πZ, −π/6 + 2πZ.
• (Se a equação for simétrica em C , S ) pode-se substituir x = y + π/4, de modo que
1
1
1
sen x = p (sen y + cos y), cos x = p (cos y − sen y), sen x cos x = cos2 y − . Isso
2
2
2
produz uma equação apenas em C = cos y ou S = sen y .
p
Exemplo: sen x +sen x cos x +cos x = 1. Trocando para y obtemos 2C 2 +2 2C −
3, resolvida por y = ±π/4 + 2πZ, i.é x = π/2 + 2πZ, 2πZ.
(4) a sen2 x+b cos2 x+c sen x cos x = d (equações homogêneas de grau 2 em sen, cos):
usando (3.5) chega-se à forma (a −d )S 2 +(b −d )C 2 +cSC = 0. Se a = d ou b = d a
solução é imediata por fatoração. Caso a 6= d , pode-se dividir para C 2 (os zeros do
cosseno não sendo soluções) e assim obter a relação quadrática (a − d )T 2 + cT +
(b − d ) = 0 em T := tan x .
p
p
Exemplo: sen2 x − (1 + 3) sen x cos x + 3 cos2 x = 0. Como C = 0 não dá sop
p
p
luções, transformando obtemos T 2 − (1 + 3)T + 3 = 0 isso é T = 1, 3, e assim
x = π/4, π/3 mod. Zπ.
Para as inequações, neste contexto é melhor invocar o ponto de vista geométrico, esboçando os gráficos das funções ou olhando para a circunferência unitária. Por exemplo:
(5) Resolvemos (sem detalhes) as inequações seguintes. A solução deveria ficar clara
olhando para a circunferência:
52
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
¸
π 2π n π o
x∈
,
\
3 3
2
p
| tan x| > 3:
·
módulo π.
1
| sen x| < :
2
h π πi
x∈ − ,
6 6
módulo π.
p
2 sen x − 3 Ê 0:
π 2π
x∈
,
3 3
·
¸
módulo 2π.
(6) Para sen2 x − sen x cos x Ê 0 fatoramos
sen x(sen x − cos x) Ê 0 ⇐⇒

sen x Ê 0
∨
sen x Ê cos x

sen x É 0
sen x É cos x
hπ
¸
i · 5π
+ 2πZ, π + 2πZ ∪
+ 2πZ, 2πZ .
4
4
p
(7) Resolvemos cos(π(x 2 − 10x)) − 3 sen(π(x 2 − 10x)) > 1.
p
Pondo t = π(x 2 − 10x) devemos resolver cos t = 3 sen t > 1 ou seja cos(t +
então x ∈
π/3) > 1/2. As soluções −2π/3 + 2kπ < t < 2kπ, k ∈ Z se tornam o sistema
(
x 2 − 10x − 2k < 0
x 2 − 10x − 2k + 2/3 > 0
53
.
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
A primeira tem soluções se e somente se κ := 25 + 2k Ê 0 ⇐⇒ k Ê −12 (inteiro).
Para esses valores a segunda relação tem discriminante positivo. Então temos
(
p
p
5− κ < x < 5+ κ
p
p
x > 5 + κ − 2/3 ∨ x < 5 − κ − 2/3
p
p
p
p
ou seja 5 − κ < x < 5 − κ − 2/3 e 5 + κ − 2/3 < x < 5 + κ, com κ Ê 1 inteiro.
Exercícios.
i) As soluções de sen x = cos x são:
π
+ kπ, k ∈ Z
4
4) x = π + 2kπ, k inteiro
1) x = 2kπ, k inteiro
3) x =
2) x =
π
+ 2kπ, k ∈ Z
4
5) nenhuma das afirmações antecedentes está certa.
ii) Resolver em 0 É x < 2π:
p
2 sen x + 1 = 0
cos x = −
sen x − 2 sen x cos x = 0
2 cos2 x − 1 = 0
2 cos2 x − cos x − 1 = 0
2 sen2 x − 5 sen x + 2 = 0
1
2
tan x = 1
3 tan2 x − 1 = 0
1
|sen x| = 1
sen 2x =
2
p
³
1
π´
2
cos 3x = −
cos 2x +
=
2
4
2µ
¶
³
³
π´
π´
3π
sen x +
= sen(2x)
sen x +
= sen 2x +
6
4
³π 3 ´
³
´
p
π
2
tan
− 2x = tan 3x −
tan x + 1 = 2
6
3
sen x − cos x = 0
cos x + sen x cos x = 0
iii) Resolver em [0, 2π]:
54
E LEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
1
cos x < −
2
³
π´
2 cos x −
−1 < 0
3
sen x + cos x Ê 0
2 sen x − 1 É 0
p
3
tan x <
3
sen x + 2 sen2 x < 1
sen x − cos x > 0
r
³
π´
3
tan x −
<1
4
2 cos2 x + cos x − 1 > 0
p
1 + 3 tan x
3 + 2 tan x − tan2 x Ê
2
µ
¶
1
log − | sen x| < 0
2
p
x −5
4 sen2 x − 1 logsen x
Ê0
2x − 1
1
4
log 2x+1 2 É logsen¡ π ¢
3 3
2
x 2 −5
3 tan2 x − 1 < 0
2sen x−cos x > 1
2 cos2 x − 5 cos x − 3 > 0
p
log p2t 1 + 2 cos 2x Ê 1
3
logx 2
4x − 5 1
Ê
|x − 2| 2
(logsen x 2)2 < logsen x (4 sen3 x)
¯ tan πx
¯
¯3
− 31−tan πx ¯ Ê 2
D EPARTAMENTO DE M ATEMÁTICA A PLICADA , I NSTITUTO DE M ATEMÁTICA E E STATÍSTICA , U NIVER SIDADE
F EDERAL F LUMINENSE , RUA M ÁRIO S ANTOS B RAGA S / N , 24020-140 N ITERÓI /RJ, B RAZIL
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