UM GUIA PARA A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE RÉGUA

UM GUIA PARA A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO:
RELATO, CONSIDERAÇÕES INICIAIS E PERSPECTIVAS
Karolina Barone Ribeiro da Silva
[email protected]
Resumo. Sabe-se das dificuldades de graduandos em Matemática acerca de alguns
conceitos de Geometria Euclidiana Plana, como, por exemplo, propriedades de
congruência e semelhança de figuras planas. No intuito de contribuir para a superação de
algumas dessas dificuldades, são relatadas, neste trabalho, atividades iniciais,
desenvolvidas em um projeto de pesquisa que visa aplicar um guia para a utilização do
software Régua e Compasso para a melhoria da aprendizagem em Geometria dos
estudantes de graduação. Para tanto, são identificados e descritos, por meio de uma
checagem, os conceitos em que os alunos possuem mais dificuldades. A partir do
resultado, são propostas atividades com o software, as quais podem auxiliar os estudantes
na superação de conceitos equivocados, bem como na reformulação e apropriação de
conceitos de Geometria.
Palavras-chave: Ensino e Aprendizagem de Geometria; Geometria Euclidiana Plana;
Software Régua e Compasso.
O projeto de pesquisa Aplicação do guia do software Régua e Compasso na disciplina
de Geometria Euclidiana e Não Euclidiana: um estudo de caso
A pesquisa relatada neste trabalho se encontra em andamento desde junho de 2009
e vem sendo desenvolvida junto ao Departamento de Matemática de uma universidade
pública do Paraná. Além disso, é vinculada a um grupo de pesquisa em Educação
Matemática certificado pelo CNPq (Conselho Nacional de Pesquisa).
Trata-se da aplicação e análise do impacto das atividades constantes de um guia
elaborado pela autora, acerca do software Régua e Compasso, para estudantes da 2ª série
(período diurno) do Curso de Licenciatura em Matemática da universidade em questão. O
guia é resultante de um projeto de pesquisa anterior, concluído pela autora em abril de
2009.
Uma das justificativas para a realização dessa pesquisa é o fato de a autora
ministrar a disciplina de Fundamentos da Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana, para a
2ª série do Curso de Licenciatura em Matemática, na universidade mencionada, desde
873
2007, o que possibilitou o contato com seis turmas de alunos e a verificação de muitas
dificuldades no aprendizado de certos conceitos de Geometria Euclidiana Plana.
Ainda como justificativa, busca-se superar as dificuldades do aluno em entender
alguns conceitos, como, por exemplo, as propriedades de posições relativas de objetos
geométricos, propriedades de congruência e semelhança de figuras planas; bem como
aprimorar suas habilidades de visualização, de desenho e de argumentação lógica. Essas
preocupações, que constituem as várias justificativas para a realização da pesquisa,
encontram respaldo nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias, que afirmam, por exemplo, que:
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real
é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para
resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte
integrante deste tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização,
de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para
problemas. (p. 123)
Além disso, de acordo com Borba e Penteado (2005, p. 41), a informática é uma
das principais tendências em Educação Matemática, e “deve ser destacada a dinâmica de
como um problema pode remeter a outro, bem como a possibilidade de gerar conjecturas e
idéias matemáticas a partir da interação entre professores, alunos e tecnologia”. Dessa
forma, justifica-se o interesse em desenvolver atividades sobre Geometria Euclidiana Plana
com auxílio computacional.
Nesse sentido apresentamos os objetivos centrais do projeto de pesquisa relatado
nesse trabalho, que são: desenvolver as atividades constantes do guia do software Régua e
Compasso junto à turma da 2ª série do Curso de Licenciatura em Matemática, da
universidade considerada, do período diurno; e identificar implicações da utilização do
guia na aprendizagem dos conteúdos constantes nesse material de apoio.
Assim, feitas as considerações sobre o projeto de pesquisa, passaremos a
descrever a metodologia da pesquisa em andamento.
Metodologia
Para cumprir os objetivos, inicialmente fez-se uma checagem dos conhecimentos
dos alunos da 2ª série do Curso de Licenciatura em Matemática, do período diurno, em
relação aos conteúdos que serão abordados no guia do software Régua e Compasso.
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Essa checagem, que será analisada na próxima seção, foi feita através de uma
avaliação escrita, contendo 16 questões, que contemplaram os seguintes temas: Retas,
Segmentos de Retas e Semi-Retas; Ângulos; Triângulos; Paralelismo; Perpendicularidade;
Quadriláteros Notáveis; Circunferência e Círculo; Teorema de Tales; Semelhança de
Triângulos.
É importante ressaltar que a pesquisa encontra-se em fase inicial e, por enquanto,
apenas a checagem de conhecimentos foi realizada. Porém, nos próximos meses serão
realizadas, pela turma selecionada, as atividades constantes no guia. Isso ocorrerá durante
as aulas ministradas pela autora para a referida turma. A coleta de dados da pesquisa terá
continuidade durante e após o desenvolvimento das atividades do guia pelos alunos,
visando identificar implicações de sua utilização na aprendizagem dos conteúdos
constantes nesse material de apoio.
A abordagem de pesquisa será predominantemente qualitativa e para a coleta de
dados poderão ser utilizadas as seguintes técnicas e instrumentos: dados secundários,
observação direta, grupo focal, entrevista estruturada, entrevista semi-estruturada e
inquérito por questionário, com embasamento teórico em Lüdke e André (1986),
Flick (2005), Fiorentini, Garnica e Bicudo (2006), e Rosa e Arnoldi (2008). A escolha de
tais técnicas e instrumentos se dará a partir das percepções iniciais da autora ao observar o
desenvolvimento das atividades pelos alunos.
Por outro lado, não será descartada a abordagem quantitativa, que pode esclarecer
alguns aspectos, como o percentual de estudantes que se apropriaram dos conceitos de
Geometria; porém, não será um tratamento aprofundado, e, para analisar os possíveis
dados quantitativos coletados, será realizada análise estatística do ponto de vista descritivo.
Descrição e análise da checagem dos conhecimentos dos alunos
A avaliação realizada pelos alunos revelou alguns dados preocupantes. O primeiro
deles foi a falta de clareza quanto ao conceito de triângulo. Uma das questões constantes na
avaliação era: “Explique como construir um triângulo.”
Um dos alunos mostrou não saber a diferença entre triângulo e superfície
triangular1, conforme o trecho a seguir:
1
Dados três pontos distintos A, B e C, não colineares, à reunião dos segmentos AB, AC e BC chamase triângulo. A reunião do triângulo com seu interior é uma superfície triangular.
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“Seja 3 retas distintas a, b, e c, onde a ≠ b, b ≠ c e c ≠ a. Agora, interceptando a
reta a com b, a reta b com c e a reta c com a. Nesta interceptação surgiram 3 pontos A, B e
C. Portanto o plano que surgiu é um triângulo” (foi mantida a grafia original)
Para esclarecer a descrição acima, observe a figura abaixo:
Figura 1 – Construção de um triângulo correspondente à descrição do aluno
Na Fig. 1, o “plano” ao qual o aluno se refere corresponde à região sombreada.
Note que essa região é, na verdade, o interior do triângulo.
Outros alunos propuseram a construção de um triângulo através da união de três
semi-retas distintas e não nulas, e não através de segmentos de retas.
Uma aluna particularizou a construção para um triângulo equilátero, conforme o
trecho a seguir:
“Para construir um triângulo, siga os seguintes passos:
1) Trace um segmento AB de medida L e encontre seu ponto médio (M).
2) Trace uma perpendicular MC, de medida L
3
.
2
3) Por último, trace os segmentos AC e BC.”
Para esclarecer a descrição feita pela aluna, observe a figura a seguir:
L
x
L/2
Figura 2 - Construção de um triângulo correspondente à descrição da aluna.
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Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo CMB da Fig. 2, temos
3
1
2
x = L 4 + L 4 , ou seja, x = L. Dessa forma, a descrição da aluna corresponde, de fato, à
2
2
construção de um triângulo equilátero.
A próxima questão da avaliação perguntava se dados três segmentos de medidas
não nulas quaisquer, era sempre possível construir um triângulo tendo esses três segmentos
como lados. Dos quinze alunos avaliados, apenas um respondeu corretamente à questão,
dizendo que se uma das medidas fosse maior que a soma das medidas dos outros dois
lados, seria como se o triângulo não “fechasse”. A maioria dos demais, respondeu “sim” à
questão, ressaltando que só não seria possível construir o triângulo se os segmentos fossem
paralelos ou colineares, ou seja, conferiram aos segmentos uma imobilidade sem propósito.
A análise da resposta indica que a maioria desconhecia a desigualdade triangular,
que afirma: “Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois”.
Outra questão dizia: “Dada uma reta e um ponto fora dela, quantas retas paralelas
à reta dada passam por esse ponto?”. Apenas dois alunos erraram a questão, respondendo
que passavam infinitas paralelas à reta dada, indicando desconhecimento quanto ao
postulado das paralelas de Euclides, que afirma que por um ponto fora de uma reta, passa
uma única paralela à reta dada.
Uma outra questão mostrava duas retas paralelas interceptadas por uma
transversal e dois ângulos alternos internos em destaque. A pergunta era: “Há alguma
relação entre os ângulos destacados?”. Uma resposta chamou atenção. Apesar de ter
identificado corretamente que os ângulos eram congruentes, uma aluna atribui o resultado
erroneamente ao teorema de Tales2, escrevendo:
“Sim, pelo Teorema de Tales, quando uma reta transversal corta duas retas
paralelas, formam ângulos alternos, por isso os ângulos em destaque têm a mesma
medida”.
A próxima questão era sobre a medida do ângulo externo de um triângulo
qualquer. Apenas quatro alunos responderam que a medida do ângulo externo de um
triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. A
preocupação com a falta de conhecimento desse resultado pelos demais é que, através dele,
2
Esse teorema afirma que se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, então a razão entre
dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da
outra.
877
podemos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual
a 180°.
Outra questão pedia aos alunos para construírem um triângulo ABC acutângulo,
em seguida, um triângulo ABC, retângulo em B, e, por fim, supor que o ângulo B̂ fosse
obtuso. Em todos os casos era preciso determinar a altura do triângulo relativa ao vértice
A. Apenas uma aluna acertou as três construções. Dos demais, alguns determinaram
apenas a altura relativa ao triângulo acutângulo e outros deixaram a questão em branco.
As respostas esperadas para cada caso encontram-se na figura a seguir, onde AH1
denota a altura relativa ao vértice A em cada situação.
Figura 3 – Respostas esperadas
Fonte: DOLCE; POMPEO, 2005, p. 84
Durante a avaliação, muitos alunos comentaram que não responderiam à questão
por não saberem o que era um triângulo acutângulo. Porém, conforme verificado pela falta
de respostas para os demais casos, acredita-se que a maioria não sabia a definição de altura
de um triângulo3.
A questão que dizia “Explique o que você entende por Teorema de Tales”, foi
deixada em branco por treze dos quinze alunos. Os demais responderam incorretamente a
questão. Trata-se de um resultado preocupante, já que este teorema é, juntamente com o
teorema de Pitágoras, um dos mais importantes e conhecidos da Geometria Euclidiana
Plana.
Para finalizar, vale fazer um comentário sobre a questão que perguntava o que
significava dizer que dois triângulos eram semelhantes. Todos os alunos mostraram
desconhecimento da definição de semelhança de triângulos4, conforme os trechos a seguir
(cada trecho se refere a um aluno diferente):
3
Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo
com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado.
4
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos proporcionais.
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“Eles têm de ter todos os ângulos iguais.”
“Que eles são iguais...”
“Tem as medidas congruentes, mas os lados não precisam ser necessariamente
ordenados.”
“Significa dizer que seus lados e seus ângulos são congruentes ordenadamente”
“Eles podem ser semelhantes por vários casos. LLL, LAAO, LAL ...”
Note que, no segundo trecho e nos dois trechos finais, há uma falta de clareza
quanto ao fato de congruência ser apenas um caso particular de semelhança entre
triângulos.
A realização da checagem de conhecimentos dos alunos, em relação aos
conteúdos que serão abordados no guia do software Régua e Compasso. permitiu verificar
dificuldades em conceitos básicos da Geometria. Dessa forma, será dada maior ênfase ao
desenvolvimento de atividades que abranjam tais conceitos.
A seguir, destacamos alguns trechos dessas atividades, mantendo a ordem em que
elas aparecem no guia.
Atividades do guia do software Régua e Compasso
As atividades a seguir foram elaboradas de acordo com a ementa da disciplina de
Fundamentos da Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana e desenvolvidas utilizando os
recursos do software, de forma que em cada atividade estivessem presentes representações
geométricas e explicações teóricas.
Os fundamentos das demonstrações desenvolvidas tiveram apoio em Rich (1972),
Antar Neto et al. (1982) e Dolce e Pompeo (2005).
Para não nos estendermos demasiadamente, omitiremos as demonstrações que
sucedem as atividades, inclusive porque fogem ao escopo desse trabalho.
As atividades 7 e 10 apresentam potencial para esclarecer o conceito de triângulo
e as condições necessárias para construí-lo. A atividade 11 facilita a visualização do
postulado das paralelas de Euclides. A atividade 13 permite verificar que a medida do
ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos externos não
adjacentes a ele. Na atividade 15, o aluno poderá verificar o que acontece com a altura de
Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a
ângulos congruentes.
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um triângulo relativa a determinado vértice, à medida que o triângulo é modificado de
acutângulo para obtusângulo e, deste, para retângulo.
Já a atividade 22 permite entender melhor o conceito de triângulos semelhantes.
ATIVIDADE 7.
Construa um triângulo ABC e exiba o comprimento de seus lados.
Para essa construção, basta utilizar a ferramenta “Segmento”.
Caso haja interesse em visualizar a área delimitada pelo triângulo ABC, basta
utilizar a ferramenta “Polígono”, clicando sobre ela e depois sobre cada um dos vértices do
triângulo, dando um duplo clique no último vértice escolhido. Desse modo, a figura obtida
será análoga a que segue:
ATIVIDADE 10
Construa segmentos com lados de medidas fixas 2, 4 e 8. Tente uni-los de forma a
obter um triângulo. Isso é possível?
Ao tentar unir os três segmentos utilizando a ferramenta “Mover ponto”, você
constatará que é impossível fazê-lo. O resultado a seguir nos diz por quê.
Postulado das paralelas. Por um ponto fora de uma reta, pode-se traçar uma única
reta paralela à reta dada.
ATIVIDADE 11
Tente fazer uma construção que contrarie o postulado anterior.
Para isto, crie uma reta r e um ponto P não pertencente a r.
Com a ferramenta “Paralela”, crie uma reta s paralela a r passando por P. Na
janela de edição da reta s, escolha a cor vermelha.
Use novamente a ferramenta “Paralela” e tente traçar outra paralela a r passando
por P. Você verá que a reta traçada coincide com a reta s.
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(Continuação da atividade 11)
ATIVIDADE 13
Construa um triângulo ABC qualquer e determine o ângulo Ê , externo do
triângulo ABC e adjacente a Ĉ . Há relação entre x = m( Ê ) e y + z = m( Â )+m( B̂) ?
Para essa atividade, utilize a ferramenta “Segmento” para construir o triângulo
ABC. Em seguida, exiba a medida dos ângulos  e B̂ , utilizando a janela de edição da
ferramenta “Ângulo”. As medidas devem receber os “nomes” y e z, respectivamente.
A fim de construir o ângulo Ê , construa a semi-reta CD , oposta a CB . Assim,
ACˆ D = Eˆ (exiba a medida e o “nome” deste ângulo ).
Para verificar a relação entre x = m( Ê ) e y + z = m( Â )+m( B̂) , utilize a
ferramenta “Expressão Aritmética” para exibir a soma y + z = m( Â )+m( B̂) e possibilitar
que ela seja calculada para diferentes valores de y e z.
Na janela geométrica, você verá uma imagem análoga a esta:
881
(Continuação da atividade 13)
Movimente o ponto A e observe o que acontece com x e com a expressão
aritmética y + z. Excluindo-se questões de arredondamento, x = y + z em todas as
situações. Isso se deve ao resultado a seguir.
ATIVIDADE 15
Construa um triângulo acutângulo ABC e exiba as medidas de seus ângulos. Em
seguida encontre a altura AH relativa ao lado BC.
A construção do triângulo é elementar.
Para construir AH, utilize a ferramenta “Perpendicular” e siga as instruções na
janela geométrica. Para obter o ponto H, clique em “Ações”, no menu principal, e em
seguida em “Pontos” e “Intersecção”. Assim, você obterá uma figura análoga a que segue.
Movimente o vértice A e reflita sobre as seguintes questões:
a) em que situação o ponto H se localiza à esquerda de B?
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b) quando os pontos B e H coincidem?
ATIVIDADE 22
Construa dois triângulos ABC e AED semelhantes.
Para isto, construa o triângulo ABC.
Determine os pontos médios D e E dos
lados AC e AB, respectivamente.Trace o segmento DE.
Considere os triângulos ABC e ADE. O ângulo  é comum aos dois triângulos.
Além disso, como ED é o segmento que une os pontos médios dos lados AC e AB, sabe-se
que ED é paralelo a BC.
(Continuação da atividade 22)
Logo ADˆ E ≡ ACˆ B e AEˆ D ≡ ABˆ C , por se tratarem de ângulos correspondentes.
De acordo com a definição de triângulos semelhantes, resta mostrar que os lados
homólogos dos triângulos ABC e ADE são proporcionais.
Utilize a ferramenta “Expressão Aritmética” para exibir as medidas dos lados dos
triângulos ABC e ADE. Primeiramente será necessário construir os segmentos AD, AE e
ED.
Para obter a razão de semelhança entre os triângulos, utilize a mesma ferramenta e
exiba os resultados dos quocientes m(AB)/m(AE), m(AC)/m(AD) e m(BC)/m(ED), como na
figura a seguir.
Note que a razão de semelhança entre os triângulos ABC e ADE é igual a 2. Isso já
era esperado, pois se sabe que o segmento que liga os pontos médios de dois lados de um
triângulo tem medida igual à metade da medida do terceiro lado, ou seja,
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m(ED) = m(BC)/2. Para finalizar essa atividade, movimente o triângulo ABC e observe os
quocientes calculados.
Considerações finais
Na próxima etapa da pesquisa, que é a realização, pela turma selecionada, das
atividades constantes do guia do software Régua e Compasso, espera-se que as
dificuldades reveladas na checagem de conhecimentos e outras que possam eventualmente
surgir, sejam superadas com o auxílio computacional e do professor.
Referências
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BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação
Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 99 p. (Coleção tendências em
educação matemática).
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar 9:
geometria plana. 8. ed. São Paulo: Atual, 2005. 456 p.
FIORENTINI, Dario; GARNICA, Antonio V. M.; BICUDO, Maria Ap. V. Pesquisa
qualitativa em educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. 118 p. (Coleção
tendências em educação matemática).
FLICK, Uwe. Uma introdução à pesquisa qualitativa. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2005.
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LÜDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens
qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. 98 p. (Temas básicos em educação e ensino).
RICH, Barnett. Geometria plana. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 312 p.
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ROSA, Maria Virgínia F. P. C.; ARNOLDI, Marlene Ap. G. C.. A entrevista na pesquisa
qualitativa: mecanismos para validação dos resultados. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
112 p.
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para
o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Acesso em: 04 Mai.
2009.
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