A Representação de Riesz para Funcionais Lineares Limitados

A Representação de Riesz para Funcionais Lineares Limitados sobre
Espaços de Hilbert
Suetônio A. Meira
Bruno Vicente M. de Macedo*
Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mails: [email protected]; [email protected]
José Roberto Nogueira
Depto de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected]
RESUMO
O Teorema da representação de Riesz é um resultado muito importante dentro dos
estudos de Análise Funcional. Tal teorema tem várias aplicações e generaliza muitos resultados
de Álgebra Linear.
A representação de Riesz, nos mostra a forma geral de um funcional linear, limitado em
um espaço de Hilbert. Mais especificamente, o teorema nos diz que, para qualquer funcional
linear limitado sobre um espaço de Hilbert , existe um vetor
, tal que a atuação do
funcional sobre um vetor
é o produto interno de por . Antes de enunciar o teorema,
seguem algumas definições importantes:
Definição 1. Seja
um espaço vetorial sobre o corpo
(ℝ ou ), dizemos que uma
aplicação ⟨ ⟩
é um produto interno sobre , se para quaisquer
e
,
⟨ ⟩ satisfaz as seguintes propriedades:
⟨ ⟩ ℝ ⟨ ⟩
(P1)
⟨ ⟩
(P2)
⟨
⟩ ̅̅̅̅̅̅̅
(P3)
⟨
⟩
⟨
⟩
(P4)
⟨ ⟩
⟨
⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩.
(P5)
que
Seja ⟨ ⟩ um produto interno sobre o espaço vetorial , não é difícil provar que a função
) √⟨
⟩, é uma métrica sobre . Dizemos então
ℝ, definida por (
é métrica induzida pelo produto interno ⟨ ⟩.
Definição 2. Seja
um espaço métrico, dizemos que
Cauchy em é uma sequência convergente.
é completo se, toda sequência de
Definição 3. Seja um espaço vetorial munido com o produto interno ⟨ ⟩, dizemos que
um espaço de Hilbert se, é completo com a métrica induzida pelo produto interno ⟨ ⟩.
Teorema da Representação de Riesz. Seja
limitado sobre . Então, existe um único
para qualquer
um espaço de Hilbert e
tal que,
( )
⟨
‖ ‖
‖ ‖.
⟩
. Além disso,
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é
um funcional linear
Aplicações
O teorema acima mostra que, em espaços de Hilbert, os funcionais lineares limitados se
comportam de modo muito simples e, em particular, isso acontece nos espaços vetoriais de
dimensão finita. A seguir, apresentaremos duas aplicações do Teorema da Representação de
Riez.
Exemplo 1.
Seja , um espaço vetorial de dimensão finita e,
*
+ uma base
de . Por simplicidade, tomaremos aqui , um espaço vetorial sobre o corpo ℝ, já que o caso
em que , é espaço vetorial sobre , difere deste caso apenas por uma conjugação no
produto interno, como mostrado abaixo. Consideremos em o produto interno,
⟨
⟩
∑
(∑
̅
onde
)
e
.
Como todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo, temos que é um
espaço de Hilbert. Além disso, em um espaço vetorial normado de dimensão finita, todos os
funcionais lineares são limitados. Logo, pelo Teorema da Representação de Riesz, para qualquer
, o qual é unicamente determinado a partir de , tal que
funcional linear sobre , existe
( )
⟨
⟩
∑
Este é um resultado conhecido em Álgebra Linear. A demonstração para tal resultado é
simples. De fato, como é linear para todo
, temos que:
( )
( )
Desta forma, tomando
interno,
( )
( )
∑
( )
∑
( ) , pela definição do produto
( )
⟨
Por fim, pela desigualdade de Schwarz, | ( )|
‖ ‖
* +
| ( )|
‖ ‖
⟩
|⟨
⟩|
‖ ‖‖ ‖. Logo
‖ ‖
Além disso,
‖ ‖
Portanto, ‖ ‖
⟨ ⟩
‖ ‖
* +
‖ ‖.
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|⟨ ⟩|
‖ ‖
‖ ‖
É evidente que, para cada
, a função
ℝ, definida por ( ) ⟨ ⟩, é um
funcional linear limitado. O Teorema da Representação de Riesz, nos garante que esses são os
únicos funcionais lineares, limitados sobre .
Outra aplicação do Teorema da Representação de Riez, nos fornece um resultado muito
importante sobre a existência do operador adjunto , de um operador linear limitado
, entre dois espaços de Hilbert.
Definição 4.
dizemos que,
satisfaz
Sejam
espaços de Hilbert e,
é o operador adjunto de
⟨
⟩
um operador linear limitado,
se, para quaisquer
e
,
⟨
⟩.
Exemplo 2.
O Teorema da Representação de Riesz, garante a existência e unicidade do
operador adjunto
(ver referência[2]), e mostra que,
‖ ‖
‖
‖.
O caso em que ℝ
ℝ é muito simples, assim como qualquer outro caso em que
os espaços de Hilbert são de dimensão finita. Seja , a matriz que representa o operador ,
sendo os elementos de ℝ , escritos como vetores coluna, temos,
⟨
Desta forma se
⟩
)
é a matriz que representa o operador adjunto
⟨
Portanto,
(
⟩
⟨
então
⟩
.
Palavras-chave: Operador, Funcional, Espaço de Hilbert, Espaço Normado.
Referências
[1] H. Bueno, Introdução à Análise Funcional: espaços de Hilbert (2011).
Disponível em:
http://www.mat.ufmg.br/verao/Cap1.pdf. Acesso em: 27 mar. 2013.
[2] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Whiley Classics Library,
John Whiley & Sons (1989).
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