Sistemas de Hilbert para a Lógica Clássica - DMA-UFS
Propaganda
Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Sistemas de Hilbert para a Lógica Clássica José Carlos Leite dos Santos [email protected] www.dma.ufs.br/∼kall Universidade Federal de Sergipe 29 de abril de 2010 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Qual é o Objetivo? Objetivo Geral Apresentar um Sistema de Hilbert para o Cálculo Proposicional Clássico. Objetivos Específicos Para o Sistema de Hilbert apresentado demonstraremos: a Integridade, a Não Contradição, e a Completividade. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Qual é o Objetivo? Objetivo Geral Apresentar um Sistema de Hilbert para o Cálculo Proposicional Clássico. Objetivos Específicos Para o Sistema de Hilbert apresentado demonstraremos: a Integridade, a Não Contradição, e a Completividade. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Qual é o Objetivo? Objetivo Geral Apresentar um Sistema de Hilbert para o Cálculo Proposicional Clássico. Objetivos Específicos Para o Sistema de Hilbert apresentado demonstraremos: a Integridade, a Não Contradição, e a Completividade. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Qual é o Objetivo? Objetivo Geral Apresentar um Sistema de Hilbert para o Cálculo Proposicional Clássico. Objetivos Específicos Para o Sistema de Hilbert apresentado demonstraremos: a Integridade, a Não Contradição, e a Completividade. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Qual é o Objetivo? Objetivo Geral Apresentar um Sistema de Hilbert para o Cálculo Proposicional Clássico. Objetivos Específicos Para o Sistema de Hilbert apresentado demonstraremos: a Integridade, a Não Contradição, e a Completividade. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Um Pouco de História Contribuições Axiomática da Geometria Euclidiana (Euclides). Axiomática dos Números Naturais (Giuseph Peano).. Axiomática da Geometria Euclidiana (David Hilbert). Lógica Axiomática Predicativa de (Friedrich Frege). Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Um Pouco de História Contribuições Axiomática da Geometria Euclidiana (Euclides). Axiomática dos Números Naturais (Giuseph Peano).. Axiomática da Geometria Euclidiana (David Hilbert). Lógica Axiomática Predicativa de (Friedrich Frege). Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Um Pouco de História Contribuições Axiomática da Geometria Euclidiana (Euclides). Axiomática dos Números Naturais (Giuseph Peano).. Axiomática da Geometria Euclidiana (David Hilbert). Lógica Axiomática Predicativa de (Friedrich Frege). Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Um Pouco de História Contribuições Axiomática da Geometria Euclidiana (Euclides). Axiomática dos Números Naturais (Giuseph Peano).. Axiomática da Geometria Euclidiana (David Hilbert). Lógica Axiomática Predicativa de (Friedrich Frege). Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Um Pouco de História Contribuições Axiomática da Geometria Euclidiana (Euclides). Axiomática dos Números Naturais (Giuseph Peano).. Axiomática da Geometria Euclidiana (David Hilbert). Lógica Axiomática Predicativa de (Friedrich Frege). Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Variáveis Individuais Ou simplesmente variáveis, são as letras latinas minúsculas x, y ou z indexadas ou não Constantes Individuais Ou simplesmente constantes, são as letras latinas minúsculas a, b ou c indexadas ou não Letras de Predicados São as letras latinas maiúsculas de A a T indexadas ou não Letras de Funções São as letras latinas minúsculas de f a l indexadas ou não Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Variáveis Individuais Ou simplesmente variáveis, são as letras latinas minúsculas x, y ou z indexadas ou não Constantes Individuais Ou simplesmente constantes, são as letras latinas minúsculas a, b ou c indexadas ou não Letras de Predicados São as letras latinas maiúsculas de A a T indexadas ou não Letras de Funções São as letras latinas minúsculas de f a l indexadas ou não Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Variáveis Individuais Ou simplesmente variáveis, são as letras latinas minúsculas x, y ou z indexadas ou não Constantes Individuais Ou simplesmente constantes, são as letras latinas minúsculas a, b ou c indexadas ou não Letras de Predicados São as letras latinas maiúsculas de A a T indexadas ou não Letras de Funções São as letras latinas minúsculas de f a l indexadas ou não Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Variáveis Individuais Ou simplesmente variáveis, são as letras latinas minúsculas x, y ou z indexadas ou não Constantes Individuais Ou simplesmente constantes, são as letras latinas minúsculas a, b ou c indexadas ou não Letras de Predicados São as letras latinas maiúsculas de A a T indexadas ou não Letras de Funções São as letras latinas minúsculas de f a l indexadas ou não Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Variáveis Individuais Ou simplesmente variáveis, são as letras latinas minúsculas x, y ou z indexadas ou não Constantes Individuais Ou simplesmente constantes, são as letras latinas minúsculas a, b ou c indexadas ou não Letras de Predicados São as letras latinas maiúsculas de A a T indexadas ou não Letras de Funções São as letras latinas minúsculas de f a l indexadas ou não Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Conectivos Os conectivos da lógica clássica são ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção) → (implicaçao) e ↔ (dupla implicação) Quantificador Os quantificadores da lógica clássica são o ∀ (para todo) e o ∃ (existe) OBSERVAÇÃO: Podemos na verdade descrever a Lógica Clássica com apenas um conectivo e um quantificador. Isto porém, traz dificuldades de compreensão. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Conectivos Os conectivos da lógica clássica são ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção) → (implicaçao) e ↔ (dupla implicação) Quantificador Os quantificadores da lógica clássica são o ∀ (para todo) e o ∃ (existe) OBSERVAÇÃO: Podemos na verdade descrever a Lógica Clássica com apenas um conectivo e um quantificador. Isto porém, traz dificuldades de compreensão. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Conectivos Os conectivos da lógica clássica são ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção) → (implicaçao) e ↔ (dupla implicação) Quantificador Os quantificadores da lógica clássica são o ∀ (para todo) e o ∃ (existe) OBSERVAÇÃO: Podemos na verdade descrever a Lógica Clássica com apenas um conectivo e um quantificador. Isto porém, traz dificuldades de compreensão. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Conectivos Os conectivos da lógica clássica são ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção) → (implicaçao) e ↔ (dupla implicação) Quantificador Os quantificadores da lógica clássica são o ∀ (para todo) e o ∃ (existe) OBSERVAÇÃO: Podemos na verdade descrever a Lógica Clássica com apenas um conectivo e um quantificador. Isto porém, traz dificuldades de compreensão. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Quantificacional Clássico linguagem geral para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) é definida por por: i O conjunto das variáveis individuais ii O conjunto das constantes individuais iii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iv para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias v {¬, ∧, ∨, →, ↔} vi {∀, ∃} vii {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Linguagens de Primeira Ordem Linguagens de Primeira Ordem Uma linguagem de primeira ordem para o CQC é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os conectivos e pelo menos uma constante de predicado Linguagens de Primeira Ordem {a, b, A, C} {a, b, x , A, B (•), C, ∀} {a, b, x , y, f (•), A, B (•, •), C, ∀, ∃} Onde C = {¬, ∧, ∨, →, ↔} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Linguagens de Primeira Ordem Linguagens de Primeira Ordem Uma linguagem de primeira ordem para o CQC é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os conectivos e pelo menos uma constante de predicado Linguagens de Primeira Ordem {a, b, A, C} {a, b, x , A, B (•), C, ∀} {a, b, x , y, f (•), A, B (•, •), C, ∀, ∃} Onde C = {¬, ∧, ∨, →, ↔} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Linguagens de Primeira Ordem Linguagens de Primeira Ordem Uma linguagem de primeira ordem para o CQC é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os conectivos e pelo menos uma constante de predicado Linguagens de Primeira Ordem {a, b, A, C} {a, b, x , A, B (•), C, ∀} {a, b, x , y, f (•), A, B (•, •), C, ∀, ∃} Onde C = {¬, ∧, ∨, →, ↔} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Linguagens de Primeira Ordem Linguagens de Primeira Ordem Uma linguagem de primeira ordem para o CQC é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os conectivos e pelo menos uma constante de predicado Linguagens de Primeira Ordem {a, b, A, C} {a, b, x , A, B (•), C, ∀} {a, b, x , y, f (•), A, B (•, •), C, ∀, ∃} Onde C = {¬, ∧, ∨, →, ↔} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Linguagens de Primeira Ordem Linguagens de Primeira Ordem Uma linguagem de primeira ordem para o CQC é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os conectivos e pelo menos uma constante de predicado Linguagens de Primeira Ordem {a, b, A, C} {a, b, x , A, B (•), C, ∀} {a, b, x , y, f (•), A, B (•, •), C, ∀, ∃} Onde C = {¬, ∧, ∨, →, ↔} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Termos Os termos são definidos recursivamente por: i todas as variáveis individuais são termos ii todas as constantes individuais são termos iii se f é uma função e-nária e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, f (t1 , t2 , . . . , tn ) é um termo iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é um termo. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Algumas Definições Fórmulas As fórmulas são definidas recursivamente por: i se P é um predicado e-nário e t1 , t2 , . . . , tn são termos então, P (t1 , t2 , . . . , tn ) é uma fórmula (fórmula atômica) ii se α e β são fórmulas então ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β e α ↔ β são fórmulas (fórmulas moleculares) iii se α é uma fórmula e x uma variável individual então, ∀x α e ∃x α é uma fórmula (fórmula geral) iv nada do que não possa ser construído por aplicações repetidas dos itens acima é uma fórmula. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Valoração Seja Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } um conjunto de n fórmulas. Definimos uma valoração para Γ como uma função v que associa cada αk ∈ Γ a uma dos elementos de {0, 1}. Semântica dos Conectivos α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 ¬α 0 0 1 1 ∧ 1 0 0 0 Kall ∨ 1 1 1 0 α→β 1 0 1 1 Sistemas de Hilbert ↔ 1 0 0 1 Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Valoração Seja Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } um conjunto de n fórmulas. Definimos uma valoração para Γ como uma função v que associa cada αk ∈ Γ a uma dos elementos de {0, 1}. Semântica dos Conectivos α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 ¬α 0 0 1 1 ∧ 1 0 0 0 Kall ∨ 1 1 1 0 α→β 1 0 1 1 Sistemas de Hilbert ↔ 1 0 0 1 Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Valoração Seja Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } um conjunto de n fórmulas. Definimos uma valoração para Γ como uma função v que associa cada αk ∈ Γ a uma dos elementos de {0, 1}. Semântica dos Conectivos α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 ¬α 0 0 1 1 ∧ 1 0 0 0 Kall ∨ 1 1 1 0 α→β 1 0 1 1 Sistemas de Hilbert ↔ 1 0 0 1 Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Tautologia Uma fórmula molecular α é uma tautologia se, seu valor for 1 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Contradição Uma fórmula molecular α é uma contradição se, seu valor for 0 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Tautologia Uma fórmula molecular α é uma tautologia se, seu valor for 1 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Contradição Uma fórmula molecular α é uma contradição se, seu valor for 0 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Tautologia Uma fórmula molecular α é uma tautologia se, seu valor for 1 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Contradição Uma fórmula molecular α é uma contradição se, seu valor for 0 para todas as possíveis valorações do conjunto de fórmulas atômicas que a compõe Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Aspectos Sintáticos Aspectos Semânticos Aspectos Semânticos Conseqüência Semântica Uma fórmula molecular β é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ = {α1 , α2 , . . . , αn } de fórmulas se, para todas as valorações em que v (α1 ) = v (α2 ) = · · · = v (αn ) = 1 tivermos v (β) = 1. Denotamos Γ |= β Exemplos de Conseqüência Semântica As seguintes fórmulas são conseqüência semântica das fórmulas atômicas que a compõe: i α |= β → α ii |= (¬α → ¬β) → (β → α) (contrapositiva) iii |= ¬¬α → α (dupla negação) iv α, α → β |= β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico (CPC) é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, ∧, ∨, →, ↔} v {(, )} Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Redução de Conectivos Podemos, na linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico, reduzir o número de conectivos reescrevendo uns a partir de outros: i α ∧ β = ¬(¬¬α → ¬β) ii α ∨ β = ¬α → β iii α ↔ β = ¬(¬¬(α → β) → ¬(β → α)) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Redução de Conectivos Podemos, na linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico, reduzir o número de conectivos reescrevendo uns a partir de outros: i α ∧ β = ¬(¬¬α → ¬β) ii α ∨ β = ¬α → β iii α ↔ β = ¬(¬¬(α → β) → ¬(β → α)) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Redução de Conectivos Podemos, na linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico, reduzir o número de conectivos reescrevendo uns a partir de outros: i α ∧ β = ¬(¬¬α → ¬β) ii α ∨ β = ¬α → β iii α ↔ β = ¬(¬¬(α → β) → ¬(β → α)) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Redução de Conectivos Podemos, na linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico, reduzir o número de conectivos reescrevendo uns a partir de outros: i α ∧ β = ¬(¬¬α → ¬β) ii α ∨ β = ¬α → β iii α ↔ β = ¬(¬¬(α → β) → ¬(β → α)) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Redução de Conectivos Podemos, na linguagem geral para o Cálculo Proposicional Clássico, reduzir o número de conectivos reescrevendo uns a partir de outros: i α ∧ β = ¬(¬¬α → ¬β) ii α ∨ β = ¬α → β iii α ↔ β = ¬(¬¬(α → β) → ¬(β → α)) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Linguagem L para o Cálculo Proposicional Clássico A linguagem L para o CPC é definida por por: i O conjunto das constantes individuais ii para cada n ∈ N o conjunto dos predicados e-nários iii para cada n ∈ N o conjunto da funções e-nárias iv {¬, →} v {(, )} Sub-Fórmula Imediata em L Definimos sub-fórmula imediata na linguagem L por por: i Se α = ¬β β é sub-fórmula imediata de α ii Se α = β → γ β e γ são sub-fórmulas imediatas de α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Definições Princípio da Indução Matemática O Princípio da Indução Matemática estabelece que se dada uma família de fórmulas φn , ∀n ∈ N: i Se φ0 é verdade ii se φn for verdade implica em que φn+1 for verdade iii Então, φn , ∀n ∈ N é verdade Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Axiomas do Sistema de Hilbert H2 Os axiomas que definem sintaticamente o Sistema de Hilbert H2 são: A1 α → (β → α) A2 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) A3 (¬α → ¬β) → (β → α) Regra de Inferência do Sistema de Hilbert H2 De α e α → β infere-se β (Modus Ponnes) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A1 α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 α→(β → α) 1 1 1 0 1 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A1 α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 α→(β → α) 1 1 1 0 1 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A2 α 1 1 1 1 0 0 0 0 β 1 1 0 0 1 1 0 0 γ 1 0 1 0 1 0 1 0 ((α → (β 1 0 1 1 1 1 1 1 → γ))→((α → β) → (α → γ)) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A2 α 1 1 1 1 0 0 0 0 β 1 1 0 0 1 1 0 0 γ 1 0 1 0 1 0 1 0 ((α → (β 1 0 1 1 1 1 1 1 → γ))→((α → β) → (α → γ)) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A3 α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 (¬α → ¬β)→(β → α) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Semântica do Axioma A3 α 1 1 0 0 β 1 0 1 0 (¬α → ¬β)→(β → α) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Prova Uma Prova no sistema de Hilbert H2 de uma conclusão β partindo de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } é uma seqüência ordenada β1 , . . . , βm tal que o último membro da seqüência é a conclusão (βm = β) e para cada membro da seqüência βk , 1 ≤ k ≤ m: i βk ∈ Γ (βk é uma premissa) ii βk é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3 iii βk decorre dos membros anteriores da seqüência pela aplicação do Modus Ponnes Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Prova Uma Prova no sistema de Hilbert H2 de uma conclusão β partindo de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } é uma seqüência ordenada β1 , . . . , βm tal que o último membro da seqüência é a conclusão (βm = β) e para cada membro da seqüência βk , 1 ≤ k ≤ m: i βk ∈ Γ (βk é uma premissa) ii βk é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3 iii βk decorre dos membros anteriores da seqüência pela aplicação do Modus Ponnes Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Prova Uma Prova no sistema de Hilbert H2 de uma conclusão β partindo de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } é uma seqüência ordenada β1 , . . . , βm tal que o último membro da seqüência é a conclusão (βm = β) e para cada membro da seqüência βk , 1 ≤ k ≤ m: i βk ∈ Γ (βk é uma premissa) ii βk é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3 iii βk decorre dos membros anteriores da seqüência pela aplicação do Modus Ponnes Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Prova Uma Prova no sistema de Hilbert H2 de uma conclusão β partindo de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } é uma seqüência ordenada β1 , . . . , βm tal que o último membro da seqüência é a conclusão (βm = β) e para cada membro da seqüência βk , 1 ≤ k ≤ m: i βk ∈ Γ (βk é uma premissa) ii βk é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3 iii βk decorre dos membros anteriores da seqüência pela aplicação do Modus Ponnes Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Prova Uma Prova no sistema de Hilbert H2 de uma conclusão β partindo de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } é uma seqüência ordenada β1 , . . . , βm tal que o último membro da seqüência é a conclusão (βm = β) e para cada membro da seqüência βk , 1 ≤ k ≤ m: i βk ∈ Γ (βk é uma premissa) ii βk é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3 iii βk decorre dos membros anteriores da seqüência pela aplicação do Modus Ponnes Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Notação No sistema de Hilbert H2 usaremos a seguinte notação: i Γ ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } ii ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto vazio de premissas Γ = ∅ Teorema Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Notação No sistema de Hilbert H2 usaremos a seguinte notação: i Γ ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } ii ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto vazio de premissas Γ = ∅ Teorema Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Notação No sistema de Hilbert H2 usaremos a seguinte notação: i Γ ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } ii ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto vazio de premissas Γ = ∅ Teorema Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Sistema de Hilbert H2 Notação No sistema de Hilbert H2 usaremos a seguinte notação: i Γ ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto de premissas Γ = {α1 , . . . , αn } ii ` β se β é dedutível em H2 a partir de um conjunto vazio de premissas Γ = ∅ Teorema Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Demonstrações em H2 Auto-implicação Auto-implicação (A-imp) ` α → α. PROVA: 1 2 3 4 5 α → ((α → α) → α) (α → ((α → α) → α)) → ((α → (α → α)) → (α → α)) (α → (α → α)) → (α → α) α → (α → α) α→α Kall A1 β = α → α A2 β = α → α e γ = α 1+2 MP A1 β = α 4+3 MP Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Demonstrações em H2 Auto-implicação Auto-implicação (A-imp) ` α → α. PROVA: 1 2 3 4 5 α → ((α → α) → α) (α → ((α → α) → α)) → ((α → (α → α)) → (α → α)) (α → (α → α)) → (α → α) α → (α → α) α→α Kall A1 β = α → α A2 β = α → α e γ = α 1+2 MP A1 β = α 4+3 MP Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Demonstrações em H2 Silogismo Hipotético Silogismo hipotético (S-Hip) α → β, β → γ ` α → γ. PROVA: 1 2 3 α→β β→γ (β → γ) → (α → (β → γ)) 4 5 α → (β → γ) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) (α → β) → (α → γ) α→γ 6 7 Kall Premissa Premissa A1 α = β → γ e β = α 2+3 MP A2 4+5 MP 1+6 MP Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Algumas Demonstrações em H2 Silogismo Hipotético Silogismo hipotético (S-Hip) α → β, β → γ ` α → γ. PROVA: 1 2 3 α→β β→γ (β → γ) → (α → (β → γ)) 4 5 α → (β → γ) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) (α → β) → (α → γ) α→γ 6 7 Kall Premissa Premissa A1 α = β → γ e β = α 2+3 MP A2 4+5 MP 1+6 MP Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Exemplos de Resultados em H2 Alguns Resultados de H2 No sistema de Hilbert H2 pode-se demonstrar que: i ¬α ` α → β (Falso Antecedente FA) ii ` ¬¬α → α (Dupla Negação DN) iii ` α → ¬¬α (Dupla Negação DN) iv β ` α → β (Conseqüênte Verdadeiro CV) v α, ¬β ` ¬(α → β) (Antecedente Verdadeiro Conseqüênte Falso AVCF) vi α → β, ¬α → β ` β (Terceiro Excluido TE) Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Teorema da Dedução (TD) Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α → β. PROVA: Suponhamos que Γ ∪ {α} ` β. Portanto, existe uma seqüência de fórmulas β1 , β2 , . . . , βn , que satisfaz a definição de prova de β. Em outras palavras temos que βn = β e para cada 1 ≤ k < n temos um dos três casos: i βk é uma premissa. ii βk é um axioma de H2 . iii βk é deduzida das proposições anteriores por modus ponnes. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Usaremos uma demostração por indução, mostrando que para cada etapa βk , 1 ≤ k ≤ n da demonstração teremos que: Γ ` α → βk . Seja βk uma etapa arbitrária. Por indução supomos que Γ ` α → βj , ∀j = 1, . . . , k − 1. Temos então os seguintes casos: Caso 1: βk é uma premissa, o que pode ser subdividido em dois casos: Caso 1.1: βk = α. Neste caso, α → βk é simplesmente a auto-implicação. Daí, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Usaremos uma demostração por indução, mostrando que para cada etapa βk , 1 ≤ k ≤ n da demonstração teremos que: Γ ` α → βk . Seja βk uma etapa arbitrária. Por indução supomos que Γ ` α → βj , ∀j = 1, . . . , k − 1. Temos então os seguintes casos: Caso 1: βk é uma premissa, o que pode ser subdividido em dois casos: Caso 1.1: βk = α. Neste caso, α → βk é simplesmente a auto-implicação. Daí, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Usaremos uma demostração por indução, mostrando que para cada etapa βk , 1 ≤ k ≤ n da demonstração teremos que: Γ ` α → βk . Seja βk uma etapa arbitrária. Por indução supomos que Γ ` α → βj , ∀j = 1, . . . , k − 1. Temos então os seguintes casos: Caso 1: βk é uma premissa, o que pode ser subdividido em dois casos: Caso 1.1: βk = α. Neste caso, α → βk é simplesmente a auto-implicação. Daí, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Caso 1.2: βk 6= α (βk ∈ Γ ). Neste caso usando o axioma A1 com α = βk e β = α teremos: βk → (α → βk ). Como βk é uma premissa (assumida como válida) usando modus ponnes teremos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Caso 2: βk é um axioma de H2 (portanto uma fórmula válida) e pode ser introduzido na prova a qualquer momento. Por outro lado, o axioma A1 com α = βk e β = α pode ser introduzido a qualquer momento na prova βk → (α → βk ): Como temos βk (axioma) aplicando modus ponnes temos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Caso 1.2: βk 6= α (βk ∈ Γ ). Neste caso usando o axioma A1 com α = βk e β = α teremos: βk → (α → βk ). Como βk é uma premissa (assumida como válida) usando modus ponnes teremos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Caso 2: βk é um axioma de H2 (portanto uma fórmula válida) e pode ser introduzido na prova a qualquer momento. Por outro lado, o axioma A1 com α = βk e β = α pode ser introduzido a qualquer momento na prova βk → (α → βk ): Como temos βk (axioma) aplicando modus ponnes temos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Caso 1.2: βk 6= α (βk ∈ Γ ). Neste caso usando o axioma A1 com α = βk e β = α teremos: βk → (α → βk ). Como βk é uma premissa (assumida como válida) usando modus ponnes teremos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Caso 2: βk é um axioma de H2 (portanto uma fórmula válida) e pode ser introduzido na prova a qualquer momento. Por outro lado, o axioma A1 com α = βk e β = α pode ser introduzido a qualquer momento na prova βk → (α → βk ): Como temos βk (axioma) aplicando modus ponnes temos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Teorema da Dedução Caso 3: βk vem de passos anteriores por aplicação de MP. Suponhamos que no passo i < k , βi passo j < k , βj = βi → βk e passo k , βk MP. Pela hipótese de indução que ∀m ≤ l ≤ k − 1, Γ ` α → βm . Daí, Passo m = i < k temos: Γ ` α → βi . Passo m = j < k temos: Γ ` α → βj , Γ ` α → (βi → βk ). Do axioma A2 com α = α, β = βi e γ = βk temos: (α → (βi → βk )) → ((α → βi ) → (α → βk )). Daí, aplicando MP com (α → (βi → βk ) temos (α → βi ) → (α → βk ). Finalmente aplicando MP com α → βi temos: α → βk . Portanto, Γ ` α → βk . Como em qualquer dos casos temos e em qualquer passo k Γ ` α → βk , em particular para k = n como βn = β temos: Γ ` α → β . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Características do sistema de Hilbert H2 Características do sistema H2 i Integridade: se ` α então |= α ii Consistência: nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α ii Completividade: se |= α então ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Características do sistema de Hilbert H2 Características do sistema H2 i Integridade: se ` α então |= α ii Consistência: nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α ii Completividade: se |= α então ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Características do sistema de Hilbert H2 Características do sistema H2 i Integridade: se ` α então |= α ii Consistência: nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α ii Completividade: se |= α então ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Características do sistema de Hilbert H2 Características do sistema H2 i Integridade: se ` α então |= α ii Consistência: nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α ii Completividade: se |= α então ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Integridade do sistema de Hilbert H2 Primeiramente vamos provar a integridade do sistema de Hilbert H2 . Isto é, que todo teorema de H2 é uma tautologia. Integridade do sistema H2 Se ` α então |= α PROVA: Suponhamos que ` α e seja β1 , . . . , βn uma prova. Hipótese Indutiva |= βk , 1 ≤ k < m. Mostraremos que |= βm . Caso 1 βm é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3. Como A1, A2 e A3 são todos tautologias, todas as suas instâncias serão tautologias. Logo |= βm Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Integridade do sistema de Hilbert H2 Primeiramente vamos provar a integridade do sistema de Hilbert H2 . Isto é, que todo teorema de H2 é uma tautologia. Integridade do sistema H2 Se ` α então |= α PROVA: Suponhamos que ` α e seja β1 , . . . , βn uma prova. Hipótese Indutiva |= βk , 1 ≤ k < m. Mostraremos que |= βm . Caso 1 βm é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3. Como A1, A2 e A3 são todos tautologias, todas as suas instâncias serão tautologias. Logo |= βm Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Integridade do sistema de Hilbert H2 Primeiramente vamos provar a integridade do sistema de Hilbert H2 . Isto é, que todo teorema de H2 é uma tautologia. Integridade do sistema H2 Se ` α então |= α PROVA: Suponhamos que ` α e seja β1 , . . . , βn uma prova. Hipótese Indutiva |= βk , 1 ≤ k < m. Mostraremos que |= βm . Caso 1 βm é uma instância de um dos axiomas A1, A2 ou A3. Como A1, A2 e A3 são todos tautologias, todas as suas instâncias serão tautologias. Logo |= βm Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Integridade do sistema de Hilbert H2 Caso 2 βm decorre das etapas anteriores por MP. Etapa i < m βi , da Hipótese Indutiva |= βi . Etapa j < m βj = βi → βm , da Hipótese Indutiva |= βi → βm . Portanto do MP |= βm . Da Hipótese Indutiva todos os passos da prova são tautologias, incluindo o último passo logo. |= α . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Integridade do sistema de Hilbert H2 Caso 2 βm decorre das etapas anteriores por MP. Etapa i < m βi , da Hipótese Indutiva |= βi . Etapa j < m βj = βi → βm , da Hipótese Indutiva |= βi → βm . Portanto do MP |= βm . Da Hipótese Indutiva todos os passos da prova são tautologias, incluindo o último passo logo. |= α . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Consistência do sistema de Hilbert H2 Consistência do sistema H2 Nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α PROVA: Suponhamos, por absurdo, que exista uma fórmula α tal que ` α e ` ¬α ao mesmo tempo. Da integridade do sistema de Hilbert H2 temos: |= α e |= ¬α ao mesmo tempos. Logo para qualquer valoração v (α) = 1 e v (¬α) = 1 o que leva a v (α) = 0 absurdo logo, nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Consistência do sistema de Hilbert H2 Consistência do sistema H2 Nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α PROVA: Suponhamos, por absurdo, que exista uma fórmula α tal que ` α e ` ¬α ao mesmo tempo. Da integridade do sistema de Hilbert H2 temos: |= α e |= ¬α ao mesmo tempos. Logo para qualquer valoração v (α) = 1 e v (¬α) = 1 o que leva a v (α) = 0 absurdo logo, nenhuma fórmula α é tal que ` α e ` ¬α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Lema da Composição do sistema H2 Se α é uma fórmula cujos átomos são α1 , . . . , αn e existe uma valoração v tal que ∀k = 1, · · · , n o conjunto Γ contem αk se v (αk ) = 1 e ¬αk se v (αk ) = 0. Então, se v (α) = 1 Γ ` α e se v (α) = 0 Γ ` ¬α. PROVA: Faremos uma Hipótese de Indução sobre o tamanho da fórmula. Passo Inicial Seja α uma fórmula atômica. a.1) Caso v (α) = 0 então ¬α ∈ Γ e portanto Γ ` ¬α. a.2) Caso v (α) = 1 então α ∈ Γ e portanto Γ ` α. O que fecha o passo inicial. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Lema da Composição do sistema H2 Se α é uma fórmula cujos átomos são α1 , . . . , αn e existe uma valoração v tal que ∀k = 1, · · · , n o conjunto Γ contem αk se v (αk ) = 1 e ¬αk se v (αk ) = 0. Então, se v (α) = 1 Γ ` α e se v (α) = 0 Γ ` ¬α. PROVA: Faremos uma Hipótese de Indução sobre o tamanho da fórmula. Passo Inicial Seja α uma fórmula atômica. a.1) Caso v (α) = 0 então ¬α ∈ Γ e portanto Γ ` ¬α. a.2) Caso v (α) = 1 então α ∈ Γ e portanto Γ ` α. O que fecha o passo inicial. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Lema da Composição do sistema H2 Se α é uma fórmula cujos átomos são α1 , . . . , αn e existe uma valoração v tal que ∀k = 1, · · · , n o conjunto Γ contem αk se v (αk ) = 1 e ¬αk se v (αk ) = 0. Então, se v (α) = 1 Γ ` α e se v (α) = 0 Γ ` ¬α. PROVA: Faremos uma Hipótese de Indução sobre o tamanho da fórmula. Passo Inicial Seja α uma fórmula atômica. a.1) Caso v (α) = 0 então ¬α ∈ Γ e portanto Γ ` ¬α. a.2) Caso v (α) = 1 então α ∈ Γ e portanto Γ ` α. O que fecha o passo inicial. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Lema da Composição do sistema H2 Se α é uma fórmula cujos átomos são α1 , . . . , αn e existe uma valoração v tal que ∀k = 1, · · · , n o conjunto Γ contem αk se v (αk ) = 1 e ¬αk se v (αk ) = 0. Então, se v (α) = 1 Γ ` α e se v (α) = 0 Γ ` ¬α. PROVA: Faremos uma Hipótese de Indução sobre o tamanho da fórmula. Passo Inicial Seja α uma fórmula atômica. a.1) Caso v (α) = 0 então ¬α ∈ Γ e portanto Γ ` ¬α. a.2) Caso v (α) = 1 então α ∈ Γ e portanto Γ ` α. O que fecha o passo inicial. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Passo Indutivo Como por mais complexa que seja uma fórmula molecular ela contem apenas os conectivos ¬ e →. Como Hipótese Indutiva supomos que exista uma dedução para a sub-fórmula imediata de α. b.1) Caso α = ¬β com v (α) = 1 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β. Daí, Γ ` α. b.2) Caso α = ¬β com v (α) = 0 temos v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` β. Da DN temos Γ ` ¬¬β. Portanto Γ ` ¬α. c1.1) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 0 pela HI temos que Γ ` ¬β e pelo Falso Antecedente Γ ` β → γ. Γ ` α c1.2) Caso α = β → γ com v (α) = 1 e v (β) = 1 pela HI temos que Γ ` γ e pelo Consequente Verdadeiro Γ ` β → γ. Γ ` α. Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c2) Caso α = β → γ com v (α) = 0 neste caso a única opção é v (β) = 1 e v (γ) = 0 pela HI temos que Γ ` β e Γ ` ¬γ e pelo Antecedente Verdadeiro e Conseqüênte Falso Γ ` ¬(β → γ). Γ ` ¬α. Como em todos os casos possíveis temos que Γ ` α. Podemos concluir por indução sobre o tamanho da fórmula α que Γ ` α . Podemos, agora, demonstrar a Completividade do Sistema H2 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c2) Caso α = β → γ com v (α) = 0 neste caso a única opção é v (β) = 1 e v (γ) = 0 pela HI temos que Γ ` β e Γ ` ¬γ e pelo Antecedente Verdadeiro e Conseqüênte Falso Γ ` ¬(β → γ). Γ ` ¬α. Como em todos os casos possíveis temos que Γ ` α. Podemos concluir por indução sobre o tamanho da fórmula α que Γ ` α . Podemos, agora, demonstrar a Completividade do Sistema H2 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c2) Caso α = β → γ com v (α) = 0 neste caso a única opção é v (β) = 1 e v (γ) = 0 pela HI temos que Γ ` β e Γ ` ¬γ e pelo Antecedente Verdadeiro e Conseqüênte Falso Γ ` ¬(β → γ). Γ ` ¬α. Como em todos os casos possíveis temos que Γ ` α. Podemos concluir por indução sobre o tamanho da fórmula α que Γ ` α . Podemos, agora, demonstrar a Completividade do Sistema H2 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c2) Caso α = β → γ com v (α) = 0 neste caso a única opção é v (β) = 1 e v (γ) = 0 pela HI temos que Γ ` β e Γ ` ¬γ e pelo Antecedente Verdadeiro e Conseqüênte Falso Γ ` ¬(β → γ). Γ ` ¬α. Como em todos os casos possíveis temos que Γ ` α. Podemos concluir por indução sobre o tamanho da fórmula α que Γ ` α . Podemos, agora, demonstrar a Completividade do Sistema H2 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Completividade do sistema H2 Se |= α então ` α. PROVA: Sejam α1 , . . . , αn as fórmulas moleculares que definem α, Γ1 = {α1 , ¬αn } e Γk definido indutivamente por: Γk = {X ∪ {α}, X ∪ {¬α}, ∀X ∈ Γk −1 }. a) ∀X ∈ Γn αj ∈ X ∨ ¬αj ∈ X , ∀j = 1, . . . , n. Como |= α v (α) = 1. Do LC temos que X ` α, ∀X ∈ Γn . b) Sejam Xj+ = Xj ∪ {αn }, Xj− = Xj ∪ {¬αn }, ∀j = 1, . . . , 2n−1 . Xj+ , Xj− ∈ Γn , ∀j = 1, . . . , 2n−1 do item a) temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αn } ` α e Xj ∪ {¬αn } ` α do TD Xj ` αn → α e Xj ` ¬αn → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2n−1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γn−1 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Completividade do sistema H2 Se |= α então ` α. PROVA: Sejam α1 , . . . , αn as fórmulas moleculares que definem α, Γ1 = {α1 , ¬αn } e Γk definido indutivamente por: Γk = {X ∪ {α}, X ∪ {¬α}, ∀X ∈ Γk −1 }. a) ∀X ∈ Γn αj ∈ X ∨ ¬αj ∈ X , ∀j = 1, . . . , n. Como |= α v (α) = 1. Do LC temos que X ` α, ∀X ∈ Γn . b) Sejam Xj+ = Xj ∪ {αn }, Xj− = Xj ∪ {¬αn }, ∀j = 1, . . . , 2n−1 . Xj+ , Xj− ∈ Γn , ∀j = 1, . . . , 2n−1 do item a) temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αn } ` α e Xj ∪ {¬αn } ` α do TD Xj ` αn → α e Xj ` ¬αn → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2n−1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γn−1 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 Completividade do sistema H2 Se |= α então ` α. PROVA: Sejam α1 , . . . , αn as fórmulas moleculares que definem α, Γ1 = {α1 , ¬αn } e Γk definido indutivamente por: Γk = {X ∪ {α}, X ∪ {¬α}, ∀X ∈ Γk −1 }. a) ∀X ∈ Γn αj ∈ X ∨ ¬αj ∈ X , ∀j = 1, . . . , n. Como |= α v (α) = 1. Do LC temos que X ` α, ∀X ∈ Γn . b) Sejam Xj+ = Xj ∪ {αn }, Xj− = Xj ∪ {¬αn }, ∀j = 1, . . . , 2n−1 . Xj+ , Xj− ∈ Γn , ∀j = 1, . . . , 2n−1 do item a) temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αn } ` α e Xj ∪ {¬αn } ` α do TD Xj ` αn → α e Xj ` ¬αn → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2n−1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γn−1 . Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c) Como Hipótese Indutiva descendente suponhamos que X ` α, ∀X ∈ Γk para algum 1 ≤ k ≤ n. Sejam Xj+ = Xj ∪ {αk }, Xj− = Xj ∪ {¬αk }, ∀j = 1, . . . , 2k −1 . Como construídos Xj+ , Xj− ∈ Γk , ∀j = 1, . . . , 2k −1 da HI temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αk } ` α e Xj ∪ {¬αk } ` α do TD Xj ` αk → α e Xj ` ¬αk → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2k −1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γk −1 . d) Como de X ` α, ∀X ∈ Γk implica em X ` α, ∀X ∈ Γk −1 e X ` α, ∀X ∈ Γn . Podemos regredir até X ` α, ∀X ∈ Γ1 isto é, α1 ` α e ¬α1 ` α do TD ` α1 → α e ` ¬α1 → α. Do TE ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c) Como Hipótese Indutiva descendente suponhamos que X ` α, ∀X ∈ Γk para algum 1 ≤ k ≤ n. Sejam Xj+ = Xj ∪ {αk }, Xj− = Xj ∪ {¬αk }, ∀j = 1, . . . , 2k −1 . Como construídos Xj+ , Xj− ∈ Γk , ∀j = 1, . . . , 2k −1 da HI temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αk } ` α e Xj ∪ {¬αk } ` α do TD Xj ` αk → α e Xj ` ¬αk → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2k −1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γk −1 . d) Como de X ` α, ∀X ∈ Γk implica em X ` α, ∀X ∈ Γk −1 e X ` α, ∀X ∈ Γn . Podemos regredir até X ` α, ∀X ∈ Γ1 isto é, α1 ` α e ¬α1 ` α do TD ` α1 → α e ` ¬α1 → α. Do TE ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Completividade do sistema de Hilbert H2 c) Como Hipótese Indutiva descendente suponhamos que X ` α, ∀X ∈ Γk para algum 1 ≤ k ≤ n. Sejam Xj+ = Xj ∪ {αk }, Xj− = Xj ∪ {¬αk }, ∀j = 1, . . . , 2k −1 . Como construídos Xj+ , Xj− ∈ Γk , ∀j = 1, . . . , 2k −1 da HI temos Xj+ ` α e Xj− ` α. Daí, Xj ∪ {αk } ` α e Xj ∪ {¬αk } ` α do TD Xj ` αk → α e Xj ` ¬αk → α e do TE temos Xj ` α, ∀j = 1, . . . , 2k −1 isto é, X ` α, ∀X ∈ Γk −1 . d) Como de X ` α, ∀X ∈ Γk implica em X ` α, ∀X ∈ Γk −1 e X ` α, ∀X ∈ Γn . Podemos regredir até X ` α, ∀X ∈ Γ1 isto é, α1 ` α e ¬α1 ` α do TD ` α1 → α e ` ¬α1 → α. Do TE ` α Kall Sistemas de Hilbert Pequena Introdução Lógica Clássica Cálculo Proposicional Clássico Introdução Sistema de Hilbert H2 Algumas Demonstrações Isso é tudo pessoal! Kall Sistemas de Hilbert
