4ª Lista de exercícios de Lógica Básica

4ª Lista de exercícios de Lógica Básica
1. Como se obtém o Teorema F do Teorema F’?
2. Como se obtém o Teorema G do Teorema G’?
3. Reescreva a demosntração do Teorema G’ subsitituindo as linhas 3 e 6 pela demonstração da fórmulas que ocorrem nelas (como fizemos em sala com o Teorema C).
4. Verifique que os axiomas do sistema de Hilbert são tautologias.
5. Demonstre que se Í α e Í α → β então Í β.
6. (correção forte) Um sistema dedutivo é fortemente correto se qualquer sentença α da linguagem
sobre a qual o sistema dedutivo é baseado que é deduzível a partir de um conjunto Γ de sentenças
da linguagem é também uma consequência lógica desse conjunto. Em símbolos: se Γ ` α, então
Γ Í α.
O sistema de Hilbert é fortemente correto?
7. (completude forte) Um sistema dedutivo é fortemente completo se cada fórmula α que é uma
consequência semântica de um conjunto Γ pode ser deduzida no sistema dedutivo. Em símbolos:
se Γ Í α então Γ ` α.
O sistema de Hilbert é fortemente completo?
8. (completude sintática) Um sistema formal é sintaticamente completo se para cada fórmula ϕ da
linguagem do sistema, temos ` ϕ ou ` ¬ϕ. Isto é mais forte do que completude semântica. Em
outro sentido, um sistema formal é sintaticamente completo se, e somente se, nenhuma sentença
não deduzível pode ser adicionado a ele sem introduzir uma inconsistência. A lógica proposicional
é semanticamente completa.
A lógica proposicional é sintaticamente completa?
9. Um conjunto de fórmulas Γ é dito inconsistente se Γ ` ¬(α → α) para alguma fórmula α, caso
contrário é consistente.
(a) Demonstre que se Γ é satisfatível então é consistente.
(b) Demonstre que se Γ é inconsistente então Γ ` β para qualquer fórmula β.
10. Termine a demonstração do Lema de Kálmar.
1