FUV – limites - Continuidade e o Teorema do Valor Intermediário

FUV – limites
Continuidade e o Teorema do Valor Intermediário
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-19
1/15
Função contínua em a
Informalmente: no gráfico, não apresenta “quebra” ou “furo”
para x = a.
y
y = f(x)
f (a)
0
v. 2015-2-19
a
x
2/15
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “furo.”
.
y
f (a)
y = f(x)
L
0
a
x
f (a) existe, mas lim f (x ) ≠ f (a).
x →a
v. 2015-2-19
3/15
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “quebra.”
.
y
y = f(x)
0
a
x
f (a) existe, mas lim f (x ) indeterminado
x →a
v. 2015-2-19
4/15
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “quebra.”
.
y
y = f(x)
0
a
x
f (a) não existe e lim f (x ) indeterminado
x →a
v. 2015-2-19
5/15
Função contínua em a
Definição. Uma função real é dita contínua em a se
todas as 3 condições abaixo são verdadeiras.
y
y = f(x)
f (a)
0
1) f (a) está definido;
v. 2015-2-19
a
2) lim f (x ) existe;
x →a
x
e 3) lim f (x ) = f (a)
x →a
6/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
x 3 − 2x 2 − x + 2
f (x ) =
é contínua? Para quais é descontínua?
x2 − x − 2
v. 2015-2-19
7/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
x 3 − 2x 2 − x + 2
f (x ) =
é contínua? Para quais é descontínua?
x2 − x − 2
x 3 − 2x 2 − x + 2 (x + 1)(x − 2)(x − 1)
f (x ) =
=
x2 − x − 2
(x + 1)(x − 2)
v. 2015-2-19
7/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
x 3 − 2x 2 − x + 2
f (x ) =
é contínua? Para quais é descontínua?
x2 − x − 2
x 3 − 2x 2 − x + 2 (x + 1)(x − 2)(x − 1)
f (x ) =
=
x2 − x − 2
(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x ) =
v. 2015-2-19
(x + 1)(x − 2)(x − 1)
= x − 1.
(x + 1)(x − 2)
7/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
x 3 − 2x 2 − x + 2
f (x ) =
é contínua? Para quais é descontínua?
x2 − x − 2
x 3 − 2x 2 − x + 2 (x + 1)(x − 2)(x − 1)
f (x ) =
=
x2 − x − 2
(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x ) =
Logo, lim f (x ) = lim
x →a
v. 2015-2-19
x →a
(x + 1)(x − 2)(x − 1)
= x − 1.
(x + 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 2)(x − 1)
= lim (x − 1) = a − 1.
x →a
(x + 1) ∗ (x − 2)
7/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
x 3 − 2x 2 − x + 2
f (x ) =
é contínua? Para quais é descontínua?
x2 − x − 2
x 3 − 2x 2 − x + 2 (x + 1)(x − 2)(x − 1)
f (x ) =
=
x2 − x − 2
(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x ) =
Logo, lim f (x ) = lim
x →a
x →a
(x + 1)(x − 2)(x − 1)
= x − 1.
(x + 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 2)(x − 1)
= lim (x − 1) = a − 1.
x →a
(x + 1) ∗ (x − 2)
Note que o lim f (x ) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
x →a
Se a ∈ {−1, 2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1, 2}, lim f (x ) = f (a) (contínua)
x →a
v. 2015-2-19
7/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x ) = {
sen(x )
x ,
1,
se x ≠ 0
.
se x = 0
Demonstramos anteriormente:
sen (x )
lim
= 1 (limite fundamental)
x →0
x
lim sen (x ) = sen (a) (exercício para casa)
x →a
v. 2015-2-19
8/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x ) = {
sen(x )
x ,
1,
se x ≠ 0
.
se x = 0
Demonstramos anteriormente:
sen (x )
lim
= 1 (limite fundamental)
x →0
x
lim sen (x ) = sen (a) (exercício para casa)
x →a
sen(a)
sen (x )
,
={ a
x →a
1,
x
Logo, lim
v. 2015-2-19
se x ≠ 0
.
se x = 0
8/15
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x ) = {
sen(x )
x ,
1,
se x ≠ 0
.
se x = 0
Demonstramos anteriormente:
sen (x )
lim
= 1 (limite fundamental)
x →0
x
lim sen (x ) = sen (a) (exercício para casa)
x →a
sen(a)
sen (x )
,
={ a
x →a
1,
x
Logo, lim
Veja que lim
x →a
a ∈ R.
v. 2015-2-19
se x ≠ 0
.
se x = 0
sen (x )
= g(a), logo g é contínua em a para todo
x
8/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
√
Raízes f (x ) = n x
(se n par, Dom f = [0, +∞); se n ímpar, Dom f = R)
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
√
Raízes f (x ) = n x
(se n par, Dom f = [0, +∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x ) = c x , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
√
Raízes f (x ) = n x
(se n par, Dom f = [0, +∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x ) = c x , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x ) = logc (x ), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0, +∞))
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
√
Raízes f (x ) = n x
(se n par, Dom f = [0, +∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x ) = c x , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x ) = logc (x ), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0, +∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x ) = cn x n + . . . + c1 x + c0 (Dom p = R)
p(x )
Racionais f (x ) = q(x ) , p, q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣ q(x ) = 0})
√
Raízes f (x ) = n x
(se n par, Dom f = [0, +∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x ) = c x , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x ) = logc (x ), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0, +∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2015-2-19
9/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
1− x
Primeiramente, veja que lim
=
x →1 1 − x
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
1
√ =
lim
x →1 1 + x
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
1
√ = 12 .
lim
x →1 1 + x
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
1
√ = 12 .
lim
x →1 1 + x
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1, 1].
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
1
√ = 12 .
lim
x →1 1 + x
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1, 1].
√
1− x 1
Como lim
= esté no domínio de arcsen, então
x →1 1 − x
2
v. 2015-2-19
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Antes de demonstrar o teorema, um√exemplo de aplicação.
1− x
Exemplo 3. Avalie lim arcsen (
)
x →1
1−x
√
√
1− x
1− x
√
√ =
Primeiramente, veja que lim
= lim
x →1 1 − x
x →1 (1 − x )(1 + x )
1
√ = 12 .
lim
x →1 1 + x
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1, 1].
√
1− x 1
Como lim
= esté no domínio de arcsen, então
x →1 1 − x
2
√
1− x
1
lim arcsen (
) = arcsen ( ).
x →1
1−x
2
v. 2015-2-19
∎
10/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 .
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 . Agora, faça 1 = δ2 e obtenha
δ1 .
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 . Agora, faça 1 = δ2 e obtenha
δ1 . Por último, faça δ = δ1 .
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 . Agora, faça 1 = δ2 e obtenha
δ1 . Por último, faça δ = δ1 . Assim, temos
∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < 1
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 . Agora, faça 1 = δ2 e obtenha
δ1 . Por último, faça δ = δ1 . Assim, temos
∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < 1 = δ2
v. 2015-2-19
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Demonstração. Para todos 1 > 0, 2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x ) − b∣ < 1
∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x ) − f (b)∣ < 2 .
Seja y = g(x ) e reescrevamos a segunda implicação
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y ) − f (b)∣ < 2 .
Dado > 0, faça 2 = e obtenha δ2 . Agora, faça 1 = δ2 e obtenha
δ1 . Por último, faça δ = δ1 . Assim, temos
∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < 1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x )) − f (b)∣ < v. 2015-2-19
∎
11/15
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim g(x ) = b, então
x →a
lim f (g(x )) = f (b).
x →a
Consequência imediata do teorema:
Sejam f , g tais que g é contínua em a, f contínua em g(a).
Então, a função composta f ○ g é contínua em a.
Obs.: (f ○ g)(x ) = f (g(x ))
v. 2015-2-19
12/15
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a, b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a, b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
y
f (b)
N
y=f
f (a)
0
v. 2015-2-19
a
c b
x
13/15
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a, b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a, b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
y
y
f (b)
f (b)
y=f
N
N
y=f
f (a)
0
v. 2015-2-19
a
f (a)
c b
x
0
a
c1
c2
c3
b x
13/15
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a, b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a, b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
y
y
f (b)
f (b)
y=f
N
N
y=f
f (a)
0
a
f (a)
c b
x
0
a
c1
c2
c3
b x
A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de um
conceito chamado supremo de um conjunto.
v. 2015-2-19
13/15
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
v. 2015-2-19
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R.
v. 2015-2-19
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) =
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 =
v. 2015-2-19
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) =
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 =
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
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Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em
[a, b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x 3 − 6x 2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1, 2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
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Para casa
Stewart: Seção 2.5 (continuidade).
Ler seção 2.6 para familiarizar com assunto da semana que
vem (derivadas)
Terminar a lista 1 e lista 2 toda.
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