Espaços de Hausdorff 8

Topologia 05/06
Curso de Matemática
Folha 8
47. Mostre que num espaço topológico de Hausdorff todo o conjunto singular é fechado.
48. Mostre que X = {a, b, c, d, e} com as topologias T3 e T4 do exercı́cio 1 não é espaço de
Hausdorff.
49. Verifique se os seguintes espaços topológicos são espaços de Hausdorff:
a) (X, {∅, X}), para um conjunto X 6= ∅;
b) (X, P(X)), para um conjunto X 6= ∅;
c) (X, T ), para um conjunto X 6= ∅ e T a topologia co-finita;
d) (X, T ), para um conjunto X 6= ∅ e T a topologia co-numerável;
e) (X, T ) para um conjunto X 6= ∅, x0 ∈ X e T = {∅} ∪ {A ⊆ X : x0 ∈ A};
f) (IN, T ), T = {∅, IN } ∪ {Xn : n ∈ N} e Xn = {1, . . . , n}, n ∈ IN ;
g) (IN, T ), T = {∅} ∪ {On : n ∈ IN } e On = {n, n + 1, . . .}, n ∈ IN ;
h) (IR, T ), T = {∅, IR} ∪ {]a, +∞[: a ∈ IR};
i) (IR, T ), com T a topologia gerada por S = {]a, a + 1[: a ∈ Z};
j) (IR, Ti ), com Ti a topologia do limite inferior;
k) (IR, Ts ), com Ts a topologia do limite superior;
l) (IR2 , T ), com T a topologia gerada pelas rectas de declive 1;
m) (IR2 , T ), com T a topologia gerada pelas parábolas Pk do exercı́cio 41.
50. Considere o conjunto X = {l, i, g, o, p, a, r, t, e} e a famı́lia de subconjuntos
S = {{t, o}, {p, o}, {l, o}, {g, i, a}, {g, e}, {r, a, l}}.
a) determine a topologia T gerada por S;
b) determine uma base B para a topologia T ;
c) mostre que {p, o, r, t, a} não é aberto nem fechado em (X, T );
d) determine uma base BY para a topologia relativa de Y = {l, a, g, o};
e) determine uma base BZ para a topologia relativa de Z = {g, e, l, o};
f) verifique se a aplicação f : (Y, TY )
l
a
g
o
−→
7−→
7−→
7−→
7−→
(Z, TZ ) é um homeomorfismo.
g
e
l
o