MI409: Lista 1: Espaços métricos e espaços topológicos March 5

MI409: Lista 1: Espaços métricos e espaços topológicos
March 5, 2013
Os resultados dos exercı́cios com ∗ serão usados mais adiante no curso.
Exercı́cio 1*: Usando o teorema de Bolzano-Weierstrass, mostrar que todas
as normas no espaço Rn são equivalentes, isto é, para k · k e k · k0 duas normas
quaisquer em Rn , existem duas constantes K e K 0 tais que
Kk · k ≤ k · k0 ≤ K 0 k · k.
(Hint: cf. Teorema 8, Cap. 1, do livro do Elon L. Lima, Curso de análise vol.
2, 11e ed.).
Exercı́cio 2: Quais das seguintes funções definem uma distância em R?
d1 (x, y) = (x − y)2 ,
d2 (x, y) = |x − y|1/2
d3 (x, y) = |x − 2y|,
d4 (x, y) = |x2 − y 2 |.
Exercı́cio 3: Seja (X, d) um espaço métrico.
a) Seja φ: R+ → R+ uma função não-decrescente, nula somente em 0 e
sub-aditiva, isto é:
∀u, v ∈ R+ , φ(u + v) ≤ φ(u) + φ(v).
Mostrar que φ ◦ d é uma distância em X. Verificar que se existe uma constante C > 0 tal que C −1 u ≤ φ(u) ≤ Cu então d e φ ◦ d são metricamente
1
equivalentes. Mostrar que se φ é contı́nua em 0 então d e φ ◦ d são topologicamente equivalentes.
u
b) Estudar os casos φ(u) = 1 ∧ u, φ(u) = 1+u
.
Exercı́cio 4: Distância dp em Rn para 1 ≤ p < ∞: estabeleceremos em
P
1
várias etapas que a quantidade kxkp = ( ni=1 |xi |p ) p defina uma norma em
Rn .
a) Desigualdade de Young: mostrar que para a, b ∈ R+ e p1 + 1q = 1 temos
1
1
ab ≤ ap + bq .
p
q
(Hint: usar a convexidade da função exponencial.)
b) Desigualdade de Hölder: para (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn , mostrar que
n
n
n
X
X
1 X
1q
p p
ai b i ≤
|ai |
|bi |q
i=1
i=1
i=1
no caso em que p1 + 1q = 1. (Hint: considerar primeiro a desigualdade no caso
P
P
em que ni=1 |ai |p = ni=1 |bi |q = 1.)
c) Desigualdade de Minkowski: para (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn mostrar
que
n
n
n
X
p1 X
p1 X
p1
|ai + bi |p ≤
|ai |p +
|bi |p .
i=1
i=1
p
i=1
p−1
(Hint: escrever |ai + bi | ≤ |ai + bi | (|ai | + |bi |).)
d) Deduzir que k · kp é uma norma em Rn .
Exercı́cio 5: Seja (X, T ) um espaço topológico. Mostrar que as seguintes
proposições são equivalentes:
a) Para todo x ∈ X, {x} é um subconjunto fechado de X.
b) Para todo par de pontos x1 , x2 de X, existem uma vizinhança de x1 que
não contém x2 e uma vizinhança de x2 que não contém x1 .
c) Para todo ponto x ∈ X, {x} é a interseção de todas as vizinhanças de x.
Exercı́cio 6: Mostrar que se um espaço topológico (X, T ) é separado então
todo {x} é fechado e pode ser escrito como a interseção de todas as vizinhanças de x.
2
Exercı́cio 7: Quais dos seguintes subconjuntos de R2 são fechados?
a) {(1/n, 0); n = 1, 2, . . . };
b) {(x, y); y = x2 }; c) {(m, n); m, nZ}.
Exercı́cio 8: Descrever o interior, o fecho e a fronteira dos seguintes subconjuntos:
2
a) (R \ Q)
h × R ⊂ Ri ;
S
1
1
⊂ R;
, 22n
b) n∈N 22n+1
2
c) {(x, y), x ≤ y ≤ x + 1} ⊂ R2 ;
d) {(x, sin(1/x)), x > 0} ⊂ R2 .
Exercı́cio 9: Mostrar que em um espaço vetorial normado, o fecho de uma
bola aberta B(x0 , r) é Bf (x0 , r).
Exercı́cio 10: Mostrar que toda bola aberta de um espaço vetorial normado
rx
E é homeomorfa a E. (Hint: considerar a aplicação x → 1+kxk
).
Exercı́cio 11: Seja U um aberto de um espaço métrico. Mostrar a inclusão
◦
U ⊂ Ū , dar um exemplo onde a inclusão é estrita.
Exercı́cio 12: Seja (E, T ) um espaço topológico e B uma base para T . Seja
A um subconjunto de E. Mostrar que BA = {O ∩ A; O ∈ B} é uma base de
topologia em A. Qual é a toplogia gerada por BA ?
Exercı́cio 13*: Seja (X, d) um espaço métrico separável. Seja A um subconjunto de X. Considere o espaço métrico (A, dA ), onde dA é a distância d
restrita ao conjunto A. Mostrar que (A, dA ) é separável. (Hint: considerar o
Exercı́cio 12.)
Exercı́cio 14: Seja (X, d) um espaço métrico e sejam A e B dois subconjuntos de X. Mostrar que a aplicação : X → R que a x associa d(x, A) é
Lipschitziana. Deduzir que {x ∈ X : d(x, A) = d(x, B)} é um fechado.
Exercı́cio 15: Seja f uma aplicação contı́nua de um espaço topológico
(X, T ) em um espaço topológico (Y, T 0 ). Mostrar que o grafo de f dado
por Γ = {(x, f (x)), x ∈ X} é homeomorfo a X.
Exercı́cio 16: Mostrar que o conjunto B = {[a, b); (a, b) ∈ R2 , a < b} ∪ {∅}
é uma base de topologia em R. Mostrar que a topologia gerada por B é
estritamente mais fina que a topologia usual.
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Exercı́cio 17: Seja (Xi , Ti )i∈I uma familia de espaços topológicos. Mostrar
Q
que a topologia produto em i∈I Xi é a toplologia a menos fina deixando as
Q
projeções pj : i∈I Xi → Xj contı́nuas.
Exercı́cio 18: Seja (Xn , dn )n∈N uma famı́lia enumerável de espaços métricos.
Q
Mostrar que a topologia produto em n∈N Xn é metrizável. (Hint: estudar
P
dn (xn ,yn )
.)
a quantidade d(x, y) = n∈N 2−n 1+d
n (xn ,yn )
Exercı́cio 19: Equipamos o conjunto X = {0, 1} com a topologia discreta.
Mostrar que a topologia produto em X N é estritamente menos fina que a
topologia discreta.
Exercı́cio 20*: Seja A um subconjunto de um espaço métrico (E, d).
a) Provar que d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ Ā;
b) Provar que se A e B são dois subconjuntos de E tais que Ā ∩ B̄ = ∅ então
a função
d(x, A)
x→
d(x, A) + d(x, B)
é contı́nua em E. Qual é o seu valor sobre A, sobre B? Deduzir que existem
dois abertos disjuntos U e V tais que Ā ⊂ U e B̄ ⊂ V .
Exercı́cio 21*: Seja Y um espaço topológico e T a topologia em X gerada
pela familia (fi )i∈I onde cada fi é uma aplicação de X no espaço topológico
Xi . Mostrar que uma aplicação f : Y → (X, T ) é contı́nua se e somente se
cada uma das aplicações fi ◦ f : Y → Xi é contı́nua.
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