Funções

Funções
Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra,
estamos trabalhando com conceito de função.
Por exemplo, um taxista abastece seu carro no posto de combustível e sabe que o preço
(variável y) que irá pagar depende diretamente do preço da gasolina e do número de litros (variável
x) que irá colocar no tanque de seu carro.
Se, num determinado posto, a gasolina está a R$ 2,50 o litro, podemos criar uma tabela,
como segue:
Volume (x) em litros
1
2
3
4
5
Preço (y) em reais
2,50
5,00
7,50
10,00
12,50
Logo, o preço a ser pago é função do número de litros, onde matematicamente fica:
y = 2,50 x
E através da função y = 2,5 x podemos calcular o valor de qualquer volume, em litros.
Dizemos que y é a variável dependente e x a independente, porque o valor pago depende do
volume em litros que o carro é abastecido.
Outro exemplo: Uma formiga, próxima a uma trena de 10 metros, encontra-se na posição
2,45 m e desloca-se na direção da posição 10 m paralelamente à trena. Um observador mede o
tempo que a formiga leva para ir da posição 2,45 m até a posição 7,85 m. Esse tempo foi de 3
segundos. Dividindo o deslocamento (7,85 – 2,45=) pelo tempo 3s, obtém-se a velocidade média ( )
da formiga. Ou seja,
(
)
(
)



Se considerarmos que a posição inicial 2,45 m e a velocidade média 1,8 m/s são valores fixos
podemos escrever a função:
y = 2,45 + 1,8 t
onde y é a posição da formiga num determinado tempo e t é o instante em que a formiga
encontra-se em determinada posição.
Assim, temos uma função matemática onde podemos estudar o movimento da formiga,
sendo y a variável dependente de t. Chamamos t de variável independente.
Se quisermos saber onde chegaria a formiga ao completar 5 s de movimento, bastaria
fazermos y = 2,45 + 1,8 (5)  y = 11,45 m. Não precisamos ficar olhando o deslocamento da
formiga, ao lado de uma trena. A função matemática nos dá a resposta.
EXERCÍCIOS
a) Uma torneira vazando, além de desperdiçar água, pode aumentar muito a conta a ser paga
no final do mês. Suponha uma situação em que a quantidade de água desperdiçada por uma
torneira gotejando pode ser obtida pela fórmula (ou função) Q = 2,4 t, onde Q é a
quantidade de água, em litros e t é o tempo, em horas. Pede-se:
a) construir uma tabela indicando a quantidade de água desperdiçada por essa torneira a
cada intervalo de 1 hora, de 1 a 10 horas.
b) quantos litros de água essa torneira desperdiçará em:
b.1) 1 dia?
b.2) 1 mês (30 dias)?
b.3) 1 ano (365 dias)?
b) Dê outros exemplos de funções presentes no nosso cotidiano, ou seja criativo e imagine
situações, que possam ser resolvidas por funções matemáticas.
Algumas definições para melhor compreender uma função
Produto Cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, não vazios, é dado pelos conjuntos de pares
ordenados (x,y), sendo que x pertence a A e y pertence a B. A simbologia de produto cartesiano é A
x B, onde lemos produto cartesiano de A por B.
A x B = { (x,y)| x ϵ A e y ϵ B}
O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B)
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = { -2, 3}, então:
A x B = {(3, -2), (3, 3), (5, -2), (5, 3), (7, -2), (7, 3)}
Observe que o número de elementos (pares ordenados) do conjunto A x B é 6, ou seja, 3 x 2.
O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B).
Relação
Denominamos relação R de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = { 3, 5, 7, 9}, dizemos que a relação R de A em B é
definida pela função y = x +2, sendo x ϵ A e y ϵ B, pois:
Sendo
x =1  y = x +2  y = 1 +2  y = 3
x =3  y = x +2  y = 3 +2  y = 5
x =5  y = x +2  y = 5 +2  y = 7
Assim,
A relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)}
Essa relação pode ser representada por um diagrama de flechas.
A
.1
.3
.5
B
.3
.5
.7
.9
Plano Cartesiano Ortogonal
Uma relação pode ser representada num plano cartesiano que consiste em dois eixos x e y
que se cruzam perpendicularmente.
y
b
Chamamos o eixo x de eixo das abscissas,
o eixo y de eixo das coordenadas
e o par ordenado (a,b) são as coordenadas de um ponto
no gráfico.
(a,b)
x
a
eixo das ordenadas
Os eixos x e y se cruzam num ponto O, chamado origem
do sistema cartesiano. Esses eixos dividem o plano em 4
quadrantes, conforme desenho ao lado.
y
2º quadrante
1º quadrante
eixo das abscissas
x
3º quadrante
4º quadrante
Vamos usar o exemplo anterior e localizar os pares ordenados da relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} no
plano cartesiano.
Veja:
y8
7
6
5
4
3
2
1
(5,7)
(3,5)
(1,3)
1
2
3
1
4
5
6
x
EXERCÍCIOS
1. Dados os conjuntos A = { -2, 0, 2} , B = { 0, 1, 3} e C = {3, 4}, represente por meio de conjuntos
de pares ordenados:
a) A x B
d) C x A
b) A x C
e) B x C
c) B x A
f) C x B
2. Determine o número de elementos de A x B, sabendo que A = { 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}
3. Para cada item construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados da relação.
a) R = {(-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}
b) S = { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)}
c) T = {(0,-1), (1,0), (2,3), (-1,0)}
d) U = {(5,0), (6,1), (7,2), (4, -1)}
4. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {0, 1, 2, 4, 6}, represente por meio de conjunto de
pares ordenados e de diagramas de flechas as relações:
a) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x -1}
b) R2 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2}
c) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2 - x}
Definindo Funções
Dados dois conjuntos A e B, chamamos função a toda relação f: A B na qual, para todo
elemento de A, existe um único correspondente em B.
Exemplos:
1) A
2) A
3) A
B
B
B
Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em B, ou seja,
nenhuma função de A em B terão seus elementos com dois ou mais correspondentes em B e ainda,
poderão sobrar elementos em B, mas nunca sobram elementos em A sem um parceiro em B.
Domínio (D), contradomínio (CD) e imagem(Im)
O conjunto A é chamado de domínio (D) e B de contradomínio (CD).
O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im) da função.
Exemplo1 : Dado o diagrama abaixo, podemos determinar que:
A
B
1
-1
2
3
1
4
9
8
6
D = A = {-1, 1,2, 3}
CD = B = {1, 4, 6, 8, 9}
Im = {1, 4, 9}
Exemplo2 :
Dados A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f: A B definida por f = {(x, y) x ϵ A X B| y = 2x+1},
obtenha a imagem dessa função.
xϵA
y = 2x+1
A
0
y = 2(0)+1  y =1
B
0
1
1
y = 2(1)+1  y =3
3
1
2
2
y = 2(2)+1  y =5
5
4
f= {(0,1), (1,3), (2,5)}
2
06
então,
Im = {1, 3, 5}
Observe que o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados e a
imagem, pelos segundos elementos.
Gráfico de uma função
Da mesma forma que uma relação, uma função pode ser representada em gráficos. O mais
comum é representarmos num plano cartesiano onde o eixo das abscissas conterá o domínio e o
eixo das coordenadas, o contradomínio.
Exemplos
1. Dada a função f(x) =2x +1, construa o gráfico num sistema de coordenadas cartesianas.
NOTA: Caso não seja dado o domínio, atribui-se alguns valores reais ao x e calculamos as
respectivas imagens, formando uma tabela. A partir da tabela se constrói o gráfico.
x
-1
0
1
2
y
0
1
3
5
(x,y)
(-1,0)
(0,1)
(1,3)
(2,5)
Cálculos:
Se f(x) =2x +1 então y =2x +1
Se x = -1  y =2(-1) +1 
Se x = 0  y =2(0) +1 
Se x = 1  y =2(1) +1 
Se x = 2  y =2(2) +1 
y
5
4
3
2
1
y = -1
y=1
y=3
y=5
-2
-1
0
-1
1
2
3
x
2. Seja a função y = - x2, construa o gráfico para o domínio ]-2,2[ e, em seguida, escreva a
imagem dessa função
NOTA: Neste caso, foi dado o domínio na forma de intervalo. Logo, espera-se a imagem na forma de
intervalo.
x
y
y
1 2
-2
-4
-2 -1
x
-1
-1
-1
Im = ] -4,0]
-2
0
0
-3
Im = { y ϵ R|-4 < y  0}
1
-1
-4
2
-4
EXERCÍCIOS
1. Refaça o exemplo anterior para a função y = (-x)2.
2. Construa o gráfico da função f: A R, dada por y = x + 3, onde A = { 0, 1, 2, 3}.
3. Construa os gráficos das funções f: R R, dadas por:
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 2 – 5x
c) y = x2
d) f(x) = x2 – 4
e) y = 1/x
f)
g)
h)
i)
g(x) = x2 - 3x
f(x) = x
y = 2x + 3x
y = -2x + 1
Raiz de uma função
Denominamos de raiz ou zero de uma função aos valores de x para y =0. Assim, as raízes de
uma função são os valores em que gráfico corta o eixo das abscissas.
Para calcularmos a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação.
Exemplos:
1. Seja a função f(x) = 3x - 12. Calcular a sua raiz.
Resolução: Fazemos f(x) = 0 (zero), ou seja, 3x – 12 = 0 e resolvemos a equação.
3x – 12 = 0
3x = 12
X=4
Logo, a raiz dessa função é 4
2. Seja a função g(x) = x2 – 3x +2, qual a(s) sua(s) raiz(es)?
Resolução: Fazemos x2 – 3x +2 = 0 e, usando Báscara determinamos suas raízes.
√
√(
)
( )( )
( )
e
Logo, as raízes dessa função são 1 e 2.
EXERCÍCIOS
Determine, se existir, as raízes das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
f(x) = 3x + 42
f(x) = x2 – 49
g(x) = 3x + 42
g(x) = x2 – 5x
y = 5 x2 – 7x + 3
y = x(x – 2)
f(x) = 3x – 2
f(x) = 40x -200
1. Dada a função f(x) = 2 x + k, determine o valor de k para que sua raiz seja -3
2. Calcule m para que a função:
a) f(x) = m2x – 9 tenha 1 como raiz
b) f(x) = x – m2 tenha 2 como raiz
c) f(x) = = 2x + m2 tenha -2 como raiz
d) f(x) = mx2 + 2 mx + 4 tenha -1 como raiz
e) f(x) =
tenha 3 como raiz
3. Extraia a raiz de cada função abaixo e, em seguida, construa o gráfico
correspondente:
a) ( )
c) ( )
b) ( )
d)
A inversa de uma função
Dada a relação R de A em B, denominamos relação inversa R-1 de B em A a relação definida por:
R-1 = {(y,x)|(x,y)  R}
Por exemplo, se R = {(1,3), (2,6), (3,9)}, então R-1 = {(3,1), (6,2), (9,3)}
Assim, podemos determinar a função inversa (Fx-1) de uma função dada, usando o seguinte artifício:
1º) Dada uma função qualquer, troca-se o x por y e o y por x;
2º) Em seguida, isala-se o y, obtendo-se assim a inversa da função dada.
Exemplo:
( )
Dado:
Trocamos y por x e x por y
Fica:
( )
Logo:
OBSERVAÇÃO: Obtêm-se função inversa apenas de função bijetiva (ou bijetora), ou seja, aquela que
tem uma correspondência biunívoca, na relação A e B.
EXERCÍCIOS
Determine as inversas das funções abaixo:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(
(
(
(
)
)
)
)
7.
8.
9.
10.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
REPENSANDO GRÁFICOS E RAÍZES DE UMA FUNÇÃO
Gráfico e Raiz(es) de uma função
Para construir um gráfico, a partir de qualquer função, é preciso atribuir valores a variável x que
consta na função. Resolvendo a expressão numérica encontrada, acha-se o valor de y correspondente àquele
valor de x, ou seja, temos um par ordenado (x, y). Esse par ordenado é que forma o ponto no gráfico, ou seja,
são as coordenadas do gráfico. NOTA: Nunca esqueça que cada eixo x e y, que formam o plano cartesiano,
deve ser dividido, a partir do zero, de forma proporcional. Somente assim, o gráfico terá sua forma correta:
Exemplo: Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, a variável x pode ser substituída por qualquer valor e a partir
dele se determina o valor de y.
Observe que, nesta função, se escolhermos 6 para a variável x e substituirmos na função dada, temos:
2
f(x) = x – 19x + 84
2
y = (6) – 19(6) + 84
y = 36 – 114 + 84
y=6
E assim, vamos escolhendo outros valores para x e formando os diversos pares ordenados, necessários para
TABELA
formar o gráfico.
Se usamos x = 6, então, y = 6
2
Se fizermos x = 7, então y = (7) – 19(7) + 84 e, y = 0
2
Se fizermos x = 8, então y = (8) – 19(8) + 84 e, y = -4
2
Se fizermos x = 9, então y = (9) – 19(9) + 84 e, y = -6
2
Se fizermos x = 10, então y = (10) – 19(10) + 84 e, y = -6
2
Se fizermos x = 11, então y = (11) – 19(11) + 84 e, y = -4
2
Se fizermos x = 12, então y = (12) – 19(12) + 84 e, y = 0
2
Se fizermos x = 13, então y = (13) – 19(13) + 84 e, y = 6
X
6
7
8
9
10
11
12
13
Os valores encontrados formam a tabela ao lado:
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
(x,y)
(6,6)
(7,0)
(8,-4)
(9,-6)
(10,-6)
(11,-4)
(12,0)
(13,6)
Ponto
A
B
C
D
E
F
G
H
NOTA: Lembre-se que a função dada é uma equação do 2º grau. Logo, são necessário, no mínimo, 6 pares ordenados
para que se obtenha a curva característica de uma equação do 2º grau. Se fosse uma equação do 1º grau, bastariam 2 pontos,
porque a função do 1º grau é sempre representada por uma reta e para traçar uma reta, dois pontos são suficientes.
y
O gráfico fica:
6
4
2
-2
-4
-6
A
H
B
G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
D E
Raiz (ou raízes) de uma função são os valores de x para que y seja igual a zero. No gráfico acima,
esses valores são x = 7 e x = 12.
Como calcular as raízes de uma função, sem fazer o gráfico?
Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, as raízes da função são obtidas igualando essa função a zero e
determinando o valor de x. Veja:
O(s) valor(es) que corta(m) o eixo do x, ou seja, quando y é igual a zero, pode(m) ser obtido(s) pela resolução da
equação obtida. No caso,
x2 – 19x + 84 = 0
√
( )(
)
( )
√(
)
√
√
“Quando você for construir o
gráfico de uma função qualquer,
calcular antes a(s) raíz(es) da
função facilita o processo porque
já fica determinado um par
ordenado.” Justifique essa
afirmação, com um exemplo.
I - Calcule a(s) raiz(es), se houver(em), de cada função:
2
1) f(x) = x + 13x + 30
2) f(x) = 7x – 56
2
3) g(x) = x – 3x – 54
4) h(x) = 26 – 13x
2
5) g(x) = x – 144
2
6) h(x) = 9x + 4x
7) y = 9 – 4(x – 2)
8) y = 3(x – 2) – 5
9) f(x) = 4 – 2 x + 15
2
10) f(x) = 3x – 5x + 7
II – Escolha 3 funções acima e construa o gráfico correspondente.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
1. Extraia a raiz das funções abaixo:
2
a) f(x) = 2x -26
b) g(x) = x – 81
c) y = 3 - x
2. Construa o gráfico, apresentando também a tabela com os pares ordenados de cada função abaixo:
a) f(x) = x -2
b) g(x) = 2x
c) y = x
2
3. Determine a(s) raiz(es) de cada função representada nos gráficos abaixo:
y
a)
b)y
c) y
3
x
-10
-4
9
27
x
11
x
4. Classifique em crescente, decrescente ou constante cada função abaixo:
y
y
a)
y
b)
c)
8
2
25
-6
x
-5
5. Determine a inversa de cada função abaixo:
a) f(x) = x - 5
b) f(x) =
x
4
x
c) f(x)= 3x – 1
Função Exponencial
Recordando potenciação e suas propriedades:
Sabemos que:
4
3
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Identificamos o 3 como a base da potência, o 4 como o expoente da potência e o 81 o resultado da
potenciação indicada.
Calcule:
1)
9) √
2)
10)
3)
11)
4) ( )
12)
5)
13) ( )
6)
14)
7)
8) (
15) ( )
)
Propriedades da Potenciação
Propriedade 1:
Propriedade 2:
para
Propriedade 3: (
)
Propriedade 4:
para
)
Propriedade 5: (
Efetue:
1)
2)
3) ( ) (
4)
5)
( )
( )
=
)
=
=
Determinando a raiz de uma função exponencial
Toda função (equação) que contém incógnita no expoente é chamada de função (equação)
exponencial. Exemplos:
a)
b)
c)
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base. Aplicamos as definições e propriedades da potenciação, sempre se > 0,
1,
sendo a incógnita, para toda equação do tipo
onde
.
Exemplos:
1)
Transformamos ambos os membros para potência de mesma base. Fatorando 4 fica
fatorando 512 temos . Então:
( )
2 =9
Logo, a raiz dessa equação é .
Ou ainda, o conjunto verdade é V ={ }
e