Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 3 16 de março de 2010 Aula 3 Pré-Cálculo 1 O que é um número? Dicionário Aurélio: Número. [Do lat. numeru.] S. m. Números 1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc. 2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc. 3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).] 4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado. Aula 3 Pré-Cálculo 2 O que é um número? Aula 3 Pré-Cálculo 5 O que é um número? Wikipédia: Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras). Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por qual motivo foram inventados os números: Número é um composto da unidade (Euclides). Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler). Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real. Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux). Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant). Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles). Número é uma coleção de unidades (Condorcet). Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer). Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell). Aula 3 Pré-Cálculo 7 Aula 3 Pré-Cálculo 9 Números naturais números naturais Números naturais Aula 3 Pré-Cálculo interpretados como 10 Números naturais como números ordinais interpretados como números ordinais números cardinais (substantivo) (adjetivo) Aula 3 Pré-Cálculo 14 Números naturais como números ordinais N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}. Axiomas de Peano 2 3 4 .. . N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes propriedades: (a) Todo número natural tem um único sucessor. é o sucessor de é o sucessor de é o sucessor de .. . 1 2 3 .. . Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único) e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é sucessor). (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro. (d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X , então X = N. [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Aula 3 Pré-Cálculo 16 Aula 3 Pré-Cálculo 19 Números naturais como números ordinais: símbolos Números naturais como números ordinais: símbolos Sucessor de n é n ∪ {n} 0 ∅ 1 {∅} 2 3 .. . Sucessor de n é {n} 0 ∅ 0 ∪ {0} 1 {∅} {0} {∅, {∅}} 1 ∪ {1} 2 {{∅}} {1} {∅, {∅}, {∅, {∅}}} .. . 2 ∪ {2} .. . 3 .. . {{{∅}}} .. . {2} .. . (n − 1) ∪ {n − 1} n n Aula 3 Pré-Cálculo 27 Números naturais como números ordinais: símbolos {n − 1} Aula 3 Pré-Cálculo 28 Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Cuneiforme Babilônica Escrita Maia Aula 3 Pré-Cálculo 29 Aula 3 Pré-Cálculo 30 Números naturais como números ordinais: símbolos Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Chinesa Escrita Romana 1 I Aula 3 Pré-Cálculo 31 Números naturais como números ordinais: símbolos 2 II 3 III 4 IV 5 V 10 X Aula 3 50 L 100 C 500 D 1000 M Pré-Cálculo 32 Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Egípcia Escrita Egípcia Aula 3 Pré-Cálculo 33 Aula 3 Pré-Cálculo 34 Números naturais como números ordinais: símbolos Números naturais como números ordinais: operações Adição Escrita Braille n + 1 é, por definição, o sucessor de n. n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1. n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1. n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1. Multiplicação n · 1 é, por definição, n. n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n. n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n. n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · · + n (com p + 1 parcelas). Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas e distributivas. Aula 3 Pré-Cálculo 35 Números naturais como números ordinais: ordem Aula 3 Pré-Cálculo 60 Números naturais como números cardinais Ordem Dados m, n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes. Propriedades (Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p. (Tricotomia) Se m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes alternativas: m = n, m < n ou n < m. (Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p. (Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor elemento. X Y Aula 3 Pré-Cálculo (não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui) Aula 3 Pré-Cálculo 67 69 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”. Definições Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma função bijetiva f : X → Y . Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos. X Y Aula 3 Pré-Cálculo Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X . 71 Números naturais como números cardinais Aula 3 Pré-Cálculo 79 Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? X Y (Ir para o GeoGebra) Aula 3 Pré-Cálculo 81 Aula 3 Pré-Cálculo 82 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? O Hotel Infinito de Hilbert (Ir para o GeoGebra) Aula 3 Pré-Cálculo 83 Um pequeno comentário gramatical Pré-Cálculo 84 Semelhança dos nomes dos números Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, as palavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos. Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, dois meses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal, isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” não são substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas (como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas, resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar a diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e o seu emprego como números cardinais. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 [Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003] Aula 3 Aula 3 Pré-Cálculo 85 Sânscrito Grego Antigo Latim Alemão Inglês Francês Russo eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca Aula 3 Pré-Cálculo 86 Giuseppe Peano David Hilbert Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932) Aula 3 Pré-Cálculo Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943) 87 Aula 3 Pré-Cálculo 88 Leitura extraclasse Capítulos 1, 2 e 3. Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2003. Leitura extraclasse Aula 3 Pré-Cálculo 89 Aula 3 Pré-Cálculo 90 Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw Aula 3 http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI Pré-Cálculo 91