6- Probabilidade e amostras: A distribuição das médias amostrais

6- Probabilidade e amostras:
A distribuição das médias amostrais
• Anteriormente estudamos como atribuir probabilidades a uma
observação de alguma variável de interesse (ex: Probabilidade de um
escore de ansiedade superior a 80, de uma nota inferior a 30,...).
• Vamos considerar agora a situação em que dispomos de n > 1
observações da variável de interesse (ou seja, de uma amostra de n
indivíduos).
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• Assim como
podemos
associar
probabilidades
a
observações
individuais de uma variável aleatória, podemos também associar
probabilidades a amostras de n observações ou, mais especificamente,
aos valores de alguma estatística de interesse, calculada para as
amostras (como a média amostral).
• Chamamos distribuição amostral de uma estatística a distribuição
dessa estatística em repetidas amostras de uma específica população.
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• Chamamos erro padrão de uma estatística o desvio padrão da
distribuição dessa estatística em repetidas amostras de uma específica
população.
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Exemplo 6.1 – Três vendedores são encarregados de fazer, cada um deles,
uma venda. Suponha que para cada venda realizada o vendedor receba 100
reais, e que para cada venda não realizada o vendedor perca 20 reais, em
decorrência de gastos com deslocamento. A probabilidade de cada um
deles realizar sua venda é 0,5.
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Seja X a variável aleatória que assume valor 100 com probabilidade ½
e -20 com probabilidade ½, referente ao retorno financeiro de cada um dos
vendedores. Sejam X 1 , X 2 , X 3 os retornos dos três vendedores e
X1 + X 2 + X 3
1 n
2
2
(
)
X=
, s =
X
−
X
∑
i
n − 1 i =1
3
a média da amostra de três retornos e a variância. Vamos obter a
distribuição amostral dessas duas estatísticas (média e variância amostrais).
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Amostra:
( x1 , x2 , x3 )
(− 20,−20,−20)
(− 20,−20,100)
(− 20,100,−20)
(100,−20,−20)
(− 20,100,100)
(100,−20,100)
(100,100,−20)
(100,100,100)
Probabilidade
x
s2
1/8
-20
0
1/8
20
4800
1/8
20
4800
1/8
20
4800
1/8
60
4800
1/8
60
4800
1/8
60
4800
1/8
100
0
7
Assim, com base nas probabilidades associadas a cada amostra,
podemos associar probabilidades aos diferentes valores de x e de s 2 ,
produzindo as seguintes distribuições amostrais:
• Distribuição amostral de x :
x
-20
20
60
100
Probabilidade
1/8
3/8
3/8
1/8
s2
0
4800
Probabilidade
2/8
6/8
• Distribuição amostral de s 2 :
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• Diferentemente do exemplo apresentado, em geral não é possível
enumerar todas as amostras possíveis, sendo impraticável obter a
distribuição amostral de estimadores da forma realizada.
• No entanto, dispomos de resultados que nos permitem estabelecer a
distribuição amostral de estimadores sem a necessidade de enumerar
todas as amostras possíveis.
• Vamos nos ater, num primeiro momento, ao estudo da distribuição das
médias amostrais, fundamental para investigar (estimar) a média de
toda a população.
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Distribuição das médias amostrais
• Considere uma população com média µ e desvio padrão σ (lembre-se
que µ e σ são parâmetros, quantidades que descrevem a população,
sendo, geralmente, desconhecidos.
• Seja x a média de uma amostra aleatória de tamanho n ( x1 , x2 ,..., xn ) da
população sob estudo.
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• Um primeiro resultado geral diz respeito ao centro da distribuição
amostral de x (ou seja, da distribuição dos valores de x calculados com
base em repetidas amostras extraídas da população).
A média da distribuição das médias amostrais, denotada por µ x , é igual a
média da população, ou seja, µ x = µ .
Nota – Este resultado nos garante que seja qual for o tamanho da amostra
( n ) os valores de x calculados para repetidas amostras estarão centrados na
média da população.
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• Um segundo resultado geral diz respeito à dispersão da distribuição
amostral de x .
O desvio padrão da distribuição das médias amostrais (ou seja, o erro
padrão de x ), denotada por σ x , é igual ao desvio padrão da população
dividido por n , ou seja, σ x = σ
n.
Nota – Observe que a dispersão da distribuição de x diminui conforme se
aumenta o tamanho da amostra ( n ).
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• Com base nos dois resultados apresentados até o momento temos que, a
medida que aumentamos o tamanho da amostra, os valores das médias
de repetidas amostras de tamanho n estarão distribuídos cada vez mais
próximos, em torno da média da população ( µ ).
• Um último resultado refere-se à forma da distribuição amostral de x .
Se a distribuição da variável de interesse população sob estudo for
normal, então a distribuição das médias amostrais de tamanho n
também é normal (centrada em µ e com desvio padrão σ x = σ
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n ).
4
3
Densidade
n=1
n=5
n=20
2
n=100
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figura 1 – Distribuição amostral das médias de amostras de tamanho n
extraídas de uma população com distribuição normal padrão.
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Exemplo 6.2 – A distribuição dos escores de habilidade verbal ( x ) em certa
população apresenta distribuição Normal, com média µ = 60 e desvio
padrão σ = 10 . Selecionada aleatoriamente uma amostra de n = 25
indivíduos dessa população:
a) Qual a distribuição amostral de x , o escore médio dos 25 indivíduos
selecionados para a amostra?
b) Qual a probabilidade do escore médio na amostra selecionada ser
inferior a 57? E superior a 62?
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c) Usando a regra empírica, em qual intervalo de valores teremos
aproximadamente 67% das médias de amostras de 25 indivíduos? O
mesmo para 95 e 99,7%;
d) Como ficaria o item “c” para amostras de tamanho n = 9 ? E para
amostras de tamanho n = 100 ?
• A normalidade da distribuição das médias amostrais vale caso a
distribuição da variável sob estudo tenha distribuição normal. No
entanto,
para
amostras
suficientemente
grandes,
ela
vale
(aproximadamente), independentemente da distribuição da variável sob
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estudo (que pode, inclusive, ser discreta). Isso é garantido pelo
Teorema Central do Limite.
• Usamos este resultado anteriormente quando discutimos a aproximação
da distribuição binomial pela distribuição Normal.
Nota – Como regra geral, temos que a distribuição das médias de amostras
de tamanho n é bem aproximada pela distribuição normal quando n > 30 .
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Exemplo 6.3 – Para ilustrar o Teorema Central do Limite, vamos
considerar
uma
variável
aleatória
discreta
com
distribuição
de
probabilidades conforme a Figura 2 apresentada na sequência.
• Usando simulação, foram geradas 10.000 amostras de tamanho n desta
variável, obedecendo às probabilidades apresentadas na Figura 2, para
diferentes valores de n .
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0.5
0.4
P(X=x)
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
Figura 2 – Distribuição de probabilidades da variável X .
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n=5
n=10
0.8
Densidade
Densidade
1.0
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
4
1.0
1.5
2.0
x
x
n=30
n=100
2.5
3.0
Densidade
Densidade
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3
2
1
0
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
1.8
x
1.9
2.0
2.1
x
Figura 3 – Ilustração do teorema central do limite.
20
2.2