Matemática

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Questão 71
Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros
de gasolina para percorrer 374 km. Quando se
opta pelo uso do álcool, o automóvel consome
37 litros deste combustível para percorrer
259 km. Suponha que um litro de gasolina
custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro
do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível,
seja o mesmo?
a) R$ 1,00
b) R$ 1,10
c) R$ 1,20
d) R$ 1,30
e) R$ 1,40
alternativa E
O consumo desse automóvel é
374
= 11 quilôme34
259
= 7 quilômetros por
37
litro de álcool. O custo do quilômetro rodado usando
2,20
somente gasolina é de
= 0,20 reais, e para
11
que esse custo seja o mesmo usando somente álcool, o preço do litro de álcool deve ser de
0,20 ⋅ 7 = 1,40 reais.
tros por litro de gasolina e
Questão 72
Na figura, o triângulo ABC é retângulo com
catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto
D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence
ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3 2, então a área do paralelogramo DECF vale
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63
25
56
d)
25
a)
12
5
11
e)
5
b)
c)
alternativa A
58
25
$
Considere a figura a seguir, onde m (BCA)
=α e
DF = EC = x .
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matemática 2
Pelo Teorema de Pitágoras, (AC) 2 = 3 2 + 4 2 ⇔
⇔ AC = 5. Como DECF é um paralelogramo,
3
3
7
e
DE = FC = . Assim, AF = 5 −
=
2
2
2
x
3
21
.
cosα =
=
⇔x =
7
5
10
2
Logo a área do paralelogramo DECF é
21 3 4
63
⎛1
⎞
.
2 ⋅ ⎜ ⋅ EC ⋅ CF ⋅ senα ⎟ =
⋅
⋅
=
⎝2
⎠ 10 2 5
25
2a2 = a1 + a3
(a2 − 3) 2 = (a1 + 3) ⋅ (a3 − 3)
⇔
a1 + a3 = 4
(a1 + 3)(a3 − 3) = 1
⇔
⇔
a3 = 4 − a1
a12 + 2a1 − 2 = 0
⇒
⇒ a1 = −1 + 3
Logo r = a2 − a1 = 2 − ( −1 + 3 ) = 3 − 3 .
Questão 75
Questão 73
Na figura, os pontos A, B, C pertencem à cirTendo em vista as aproximações log10 2 ≅ 0,30,
log10 3 ≅ 0,48, então o maior número inteiro
n, satisfazendo 10n ≤ 12418 , é igual a
a) 424
b) 437
c) 443
d) 451
e) 460
cunferência de centro O e BC = a. A reta OC
é perpendicular ao segmento AB e o ângulo
$ mede π/3 radianos. Então, a área do
AOB
triângulo ABC vale
alternativa D
n
418
10 ≤ 12
⇔ log 10n ≤ log 12 418 ⇔
⇔ n log 10 ≤ 418 ⋅ log 12 ⇔
⇔ n ≤ 418 ⋅ log (3 ⋅ 2 2 ) ⇔
⇔ n ≤ 418 (log 3 + 2 log 2)
Usando log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48 , temos
n ≤ 418(0,48 + 2 ⋅ 0,30) ⇔ n ≤ 451,44. Como n é
o maior inteiro que satisfaz a desigualdade,
n = 451.
a)
a2
8
b)
a2
4
c)
a2
2
d)
3a2
4
e) a2
alternativa B
Questão 74
Os números a1 , a2 , a 3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que
a1 + 3, a2 − 3, a3 − 3 estejam em progressão
geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2,
conclui-se que r é igual a
a) 3 +
3
b) 3 +
3
2
d) 3 −
3
2
e) 3 −
3
c) 3 +
3
4
alternativa E
Considerando que os números a1 , a2 , a3 formem,
nesta ordem, uma progressão aritmética, que
a1 + 3 , a2 − 3 , a3 − 3 formem, nesta ordem, uma
progressão geométrica, e sendo a2 = 2 e a1 > 0,
temos:
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Como O é o centro da circunferência e a reta OC
é perpendicular à corda AB, o ΔABC é isósceles
de base AB e, assim, AC = BC = a. Pelo teorema
$ )= 1 ⋅ π = π.
do ângulo inscrito, m (ACB
2 3
6
Logo a área do ΔABC vale:
2
1
$ = 1 ⋅ a ⋅ a ⋅ sen π = a
⋅ AC ⋅ BC ⋅ sen(ACB)
2
2
6
4
Questão 76
A figura representa um quadrado ABCD de
5
lado 1. O ponto F está em BC, BF mede
,
4
o ponto E está em CD e AF é bissetriz do
ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento
DE mede
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matemática 3
alternativa C
Como a função f tem como gráfico uma parábola,
f(x) = ax 2 + bx + c , com a, b, c ∈ R, a ≠ 0. Assim
f(x + 1) − f(x) = 6x − 2 ⇔
⇔ a(x + 1) 2 + b(x + 1) + c − ax 2 − bx − c =
= 6 x − 2 ⇔ 2ax + a + b = 6x − 2 ⇔
⇔
a)
3 5
40
b)
7 5
40
d)
11 5
40
e)
13 5
40
c)
9 5
40
alternativa D
2a = 6
a =3
.
⇔
a + b = −2
b = −5
Logo sendo a = 3 > 0, f admite um menor valor,
b
−5
5
que ocorre para x = −
=−
= .
2a
2 ⋅3
6
Questão 78
No plano cartesiano Oxy, a reta de equação
x + y = 2 é tangente à circunferência C no
ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence
a C. Então, o raio de C é igual a
$ , temos m (BAF)
$
Como AF é bissetriz de BAE
=
o
$
$
= m (FAE) = α. Assim, m (EAD) = 90 − 2 α e, por$
tanto, m (DEA)
= 2 α.
No triângulo ABF, temos tgα =
triângulo ADE, temos tg 2 α =
=
1
⇔ DE =
DE
⎛ 5 ⎞
1−⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
5
2 ⋅
4
BF
5
. E, no
=
AB
4
a)
3 2
2
b)
5 2
2
d)
9 2
2
e)
11 2
2
c)
7 2
2
alternativa B
Sejam M o centro da circunferência, N = (0; 2) e
P = (1;0). Como C é tangente à reta x + y = 2
em N, MN é perpendicular a essa reta. Além disso, MN = MP , pois são raios de C.
2 tgα
AD
⇔
=
DE
1 − tg 2 α
2
⇔ DE =
11 5
.
40
Questão 77
A função f : R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f ( x + 1) − f ( x ) = 6 x − 2,
para todo número real x. Então, o menor valor de f (x) ocorre quando x é igual a
5
11
7
5
a)
b)
c)
d) 0
e) −
6
6
6
6
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No triângulo retângulo ONP, ON = 2, OP = 1 e
NP = ON 2 + OP 2 = 2 2 + 12 = 5 , de modo
que cosα =
1
ON
2
OP
e senα =
.
=
=
NP
NP
5
5
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matemática 4
Sendo S o ponto médio de NP, no triângulo MNS,
cos (45 o + α) =
NS
⇔
MN
NP
⇔ cos 45 ⋅ cosα − sen 45 ⋅ senα = 2 ⇔
MN
o
o
2
2
2
1
⇔
⋅
−
⋅
=
2
2
5
5
5
2
r
⇔r =
5 2
.
2
Questão 79
Questão 80
Uma pirâmide tem como base um quadrado
de lado 1, e cada uma de suas faces laterais
é um triângulo equilátero. Então, a área do
quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a
5
4
1
2
1
b)
c)
d)
e)
a)
9
9
3
9
9
alternativa D
Maria deve criar uma senha de 4 dígitos
para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser
usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha
o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher
sua senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555
alternativa A
4
Há 5 = 625 sequências de 4 algarismos sem
restrições. Devemos subtrair desse total a quantidade de sequências que contém 13, nessa ordem, ou seja, sequências do tipo xy13, x13y ou
13 xy . Como há 5 escolhas para cada algarismo x
e y, há 5 2 = 25 sequências de cada tipo. Todavia, a sequência 1313 é do tipo xy13 e 13xy, de
modo que a contamos duas vezes.
Logo há 3 ⋅ 25 − 1 = 74 sequências que contêm
13, nessa ordem, e o total de senhas procurado é
625 − 74 = 551.
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Considere o plano que passa pelos quatro baricentros. Como o baricentro divide as medianas a
que pertencem na razão 2 : 1, a secção determinada pelo plano na pirâmide é um quadrado de
2
2
lado igual a do lado da base, ou seja, .
3
3
Como os baricentros são pontos médios dos lados da secção, eles formam um quadrado de dia2
2
1 ⎛2 ⎞
2
gonais , cuja área é ⎜ ⎟ =
.
3
2 ⎝3 ⎠
9