Funções Hiperbólicas:

Disciplina de Cálculo II, Prof. Jaime E. Muñoz Rivera IM-UFRJ
Funções Hiperbólicas:
Estas funções são parecidas as funções trigonométricas e possuem muitas
aplicações como veremos ao longo da disciplina. Definiremos primeiro as
funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
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Propriedades das Funções Hiperbólicas:
Usando a definição, verifique cada uma das propriedades anteriores.
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Aplicação: Posição de Equlibrio
Uma das aplicações importantes das equações diferenciais ordinárias é para
encontrar posição de equilibrio dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos
o caso de uma corda que se encontra entre dois postes.
Problema 1.Encontrar a posição de equilíbrio de um cabo preso no seus extremos que
pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a componente horizontal da
tensão do cabo é igual a h=1 Newton e o peso específico é de ρ =1 N/m.
Suporemos que o extremo inicial
do cabo está configurado no
origen de coordenadas e que o
eixo das abscissas coincide com
a posição inicial do cabo
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Fazendo um diagrama de forças e lembrando
que a tensão horizontal é constante e igual a
h, temos as seguintes equações
A primeira equação corresponde ao equilíbrio das componentes
horizontais e a segunda o equilíbrio das forças verticais. Note que T segue
a direção da reta tangente, portanto teremos que
Onde s é o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma vez
mais obtemos
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Lembrando que o comprimento de arco verifica
De onde finalmente obtemos y verifica a equação.
Que é uma equação diferencial de segunda ordem não linear. Para resolver
esta equação fazemos y'=p. Assim obtemos
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Integrando e fazendo a substituição
Encontramos
Assim temos que
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Para voltar a variavel original, construímos nosso triângulo retângulo
Assim temos
Resolvendo esta equação segue
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Lembrando que y'=p
Encontramos que
Lembrando as condições de contorno do problema y(0)=y(2)=0 obtemos
que a solução y do problema é dada por:
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Problema de Valor Inicial e de Contorno.
Quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem obtemos como
solução uma função com uma constante arbitraria que aparece pelo processo de
integração que elaboramos ao calcular a solução.
De forma análoga quando resolvemos uma equação deferencial de segunda
ordem, aparecem duas constantes de integração. Isto significa que teremos infinitas
soluções. Pois as constantes são arbitrárias. Assim podemos resolver uma equação
diferencial de primeira ordem inserindo uma condição extra. Por exemplo que a
solução no ponto t=0, tenha um determinado valor.
Na primeira equação estamos exigindo que a solução no ponto zero seja igual a
três. As equações acima são exemplos de problemas de valor inicial.
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Exercício:
Encontrar a solução dos seguintes problemas de valor inicial
Na primeira equação temos que a solução geral é dada por
Aplicando a condição inicial temos
Logo a solução é dada por
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Para o segundo problema, consideramos o polinômio caraterístico:
Portanto a solução geral é dada por
Aplicando as condições iniciais obtemos
De onde a solução é dada por
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Exercício:
Encontrar a solução do seguinte problema de contorno
Como vimos no exercício anterior a solução geral é dada por
Nosso próximo passo é encontrar A e B que verifique a condição de contorno.
Portanto a solução é dada por