Bases Matemáticas - Aula 15 – Funções trigonométricas

Bases Matemáticas
Aula 15 – Funções trigonométricas
Rodrigo Hausen
21 de novembro de 2012
v. 2012-11-21
1/1
Medida de um ângulo em radianos
_
Ângulo α delimita um arco PR no círculo trigonométrico (círculo
de raio 1 e centro na origem).
P
x
1
α
R
0
_
Medida de α: comprimento do arco PR medido no sentido
anti-horário
v. 2012-11-21
2/1
Medida de um ângulo em radianos
_
Ângulo α delimita um arco PR no círculo trigonométrico (círculo
de raio 1 e centro na origem).
P
x
1
α
R
0
_
Medida de α: comprimento do arco PR medido no sentido
anti-horário
Medida de α: x rad
v. 2012-11-21
2/1
Medida de um ângulo em radianos
_
Ângulo α delimita um arco PR no círculo trigonométrico (círculo
de raio 1 e centro na origem).
P
x
1
α
R
0
_
Medida de α: comprimento do arco PR medido no sentido
anti-horário
Medida de α: x rad
(giro completo: 2π rad)
v. 2012-11-21
2/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
P = (a, b)
1
α
x
R
O
v. 2012-11-21
3/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
sen (x ) = b
P = (a, b)
1
α
x
R
O
v. 2012-11-21
3/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
sen (x ) = b
P = (a, b)
1
x
sen (x )
α
R
O
v. 2012-11-21
3/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
sen (x ) = b
cos (x ) = a
P = (a, b)
1
x
sen (x )
α
R
O
v. 2012-11-21
3/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
sen (x ) = b
cos (x ) = a
P = (a, b)
1
x
sen (x )
α
O
v. 2012-11-21
R
cos (x )
3/1
Definição das funções seno e cosseno
_
Dado o arco PR de comprimento x no círculo unitário, onde P
tem
coordenadas (a, b), definimos as funções sen ∶ R → R e cos ∶ R → R
tais que:
sen (x ) = b
cos (x ) = a
P = (a, b)
1
x
sen (x )
α
O
R
cos (x )
A partir da definição, temos a seguinte propriedade:
[sen (x )]2 + [cos (x )]2 = 1
∀x ∈ R
também denotada sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
v. 2012-11-21
3/1
Valores notáveis
x
v. 2012-11-21
sen (x )
cos (x )
4/1
Valores notáveis
x
0
v. 2012-11-21
sen (x )
cos (x )
4/1
Valores notáveis
x
0
v. 2012-11-21
sen (x )
0
cos (x )
1
4/1
Valores notáveis
x
0
π/4
v. 2012-11-21
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
4/1
Valores notáveis
x
0
π/4
v. 2012-11-21
(metade ângulo reto)
sen (x )
0
cos (x )
1
√
2/2
√
2/2
4/1
Valores notáveis
x
0
π/4
(metade ângulo reto)
π/2
v. 2012-11-21
sen (x )
0
cos (x )
1
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
x
0
π/4
π/2
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
x
0
π/4
π/2
π (ângulo raso)
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
π (ângulo raso)
0
−1
x
0
π/4
π/2
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
π (ângulo raso)
0
−1
x
0
π/4
π/2
3π/2
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
π (ângulo raso)
0
−1
3π/2
−1
0
x
0
π/4
π/2
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
π (ângulo raso)
0
−1
3π/2
−1
0
x
0
π/4
π/2
2π (giro completo)
v. 2012-11-21
4/1
Valores notáveis
sen (x )
0
cos (x )
1
(metade ângulo reto)
√
2/2
√
2/2
(ângulo reto)
1
0
π (ângulo raso)
0
−1
3π/2
−1
0
2π (giro completo)
0
1
x
0
π/4
π/2
v. 2012-11-21
4/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
v. 2012-11-21
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
cos (−x ) = cos (x )
v. 2012-11-21
∀x ∈ R
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
(cosseno é função par)
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
cos (−x ) = cos (x )
∀x ∈ R
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
(cosseno é função par)
sen (x + y ) = sen (x ) cos (y ) + sen (y ) cos (x )
v. 2012-11-21
∀x , y ∈ R
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
cos (−x ) = cos (x )
∀x ∈ R
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
(cosseno é função par)
sen (x + y ) = sen (x ) cos (y ) + sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
sen (x − y ) = sen (x ) cos (y ) − sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
cos (−x ) = cos (x )
∀x ∈ R
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
(cosseno é função par)
sen (x + y ) = sen (x ) cos (y ) + sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
sen (x − y ) = sen (x ) cos (y ) − sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
cos (x + y ) = cos (x ) cos (y ) − sen (x ) sen (y )
∀x , y ∈ R
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
Im sen = [−1; 1]
Im cos = [−1; 1]
sen (x + 2kπ) = sen (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
cos (x + 2kπ) = cos (x ) para todo x ∈ R, k ∈ Z
sen (−x ) = −sen (x )
cos (−x ) = cos (x )
∀x ∈ R
∀x ∈ R
(seno é função ímpar)
(cosseno é função par)
sen (x + y ) = sen (x ) cos (y ) + sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
sen (x − y ) = sen (x ) cos (y ) − sen (y ) cos (x )
∀x , y ∈ R
cos (x + y ) = cos (x ) cos (y ) − sen (x ) sen (y )
∀x , y ∈ R
cos (x − y ) = cos (x ) cos (y ) + sen (x ) sen (y )
∀x , y ∈ R
Cuidado: na expansão de cos (x ± y ) o sinal é sempre trocado!
v. 2012-11-21
5/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
sen (x + π/2) = cos (x )
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
sen (x + π/2) = cos (x )
Conclusão: o gráfico de cos é o gráfico de sen. . .
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
sen (x + π/2) = cos (x )
Conclusão: o gráfico de cos é o gráfico de sen transladado π/2
unidades para a esquerda.
v. 2012-11-21
6/1
Propriedades do seno e do cosseno
O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?
sen (x + π/2) = sen (x ) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x )
= sen (x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x )
sen (x + π/2) = cos (x )
Conclusão: o gráfico de cos é o gráfico de sen transladado π/2
unidades para a esquerda.
Equivalentemente: o gráfico de sen é o gráfico de cos transladado
π/2 unidades para a direita.
v. 2012-11-21
6/1
Gráficos das funções seno e cosseno
Gráfico da função seno:
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
7/1
Gráficos das funções seno e cosseno
Gráfico da função seno:
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
Gráfico da função cosseno:
1
− π2
0
−1
Em que intervalos elas são crescentes? E decrescentes?
v. 2012-11-21
7/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
v. 2012-11-21
8/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x ) e
cos (x + 2π) = cos (x ).
v. 2012-11-21
8/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x ) e
cos (x + 2π) = cos (x ).
Definição
Uma função f ∶ R → R é dita periódica se existe um número real
r > 0 tal que
f (x + r ) = f (x ) para todo
v. 2012-11-21
x ∈R
8/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x ) e
cos (x + 2π) = cos (x ).
Definição
Uma função f ∶ R → R é dita periódica se existe um número real
r > 0 tal que
f (x + r ) = f (x ) para todo
x ∈R
Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r ) = f (x ) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, o
número T é chamado período de f .
v. 2012-11-21
8/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x ) e
cos (x + 2π) = cos (x ).
Definição
Uma função f ∶ R → R é dita periódica se existe um número real
r > 0 tal que
f (x + r ) = f (x ) para todo
x ∈R
Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r ) = f (x ) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, o
número T é chamado período de f .
Para casa: demonstre que se a ∈ R é uma constante real tal que
sen (x + a) = sen (x ) para todo x real, então a é múltiplo de 2π.
v. 2012-11-21
8/1
Funções periódicas
Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.
Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x ) e
cos (x + 2π) = cos (x ).
Definição
Uma função f ∶ R → R é dita periódica se existe um número real
r > 0 tal que
f (x + r ) = f (x ) para todo
x ∈R
Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r ) = f (x ) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, o
número T é chamado período de f .
Para casa: demonstre que se a ∈ R é uma constante real tal que
sen (x + a) = sen (x ) para todo x real, então a é múltiplo de 2π.
Como cos é uma translação horizontal de sen, a propriedade acima
vale também para cos.
v. 2012-11-21
8/1
As funções seno e cosseno são periódicas
As funções seno e cosseno tem período 2π.
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
1
− π2
0
−1
v. 2012-11-21
9/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
P
x
1
sen (x )
O
v. 2012-11-21
R
cos (x )
10/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculo
passando por R = (1, 0).
P
1
O
v. 2012-11-21
x
R
10/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculo
passando por R = (1, 0). Prolongue o segmento OP até encontrar
a reta tangente em P ′
P'
P
x
O
v. 2012-11-21
R
10/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculo
passando por R = (1, 0). Prolongue o segmento OP até encontrar
a reta tangente em P ′ = (1, c).
P' = (1,c )
P
x
O
v. 2012-11-21
R
10/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculo
passando por R = (1, 0). Prolongue o segmento OP até encontrar
a reta tangente em P ′ = (1, c).
P' = (1,c )
P
Defina:
x
O
v. 2012-11-21
tan (x )
tan(x ) = c
R
10/1
Funções tangente e secante
A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funções
tangente e secante.
Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculo
passando por R = (1, 0). Prolongue o segmento OP até encontrar
a reta tangente em P ′ = (1, c).
P' = (1,c )
sec (x )
O
v. 2012-11-21
P
Defina:
x
tan (x )
R
tan(x ) = c
sec(x ) = d(O, P ′ )
10/1
Funções tangente e secante
Se P está no 2º ou 3º quadrante, o prolongmento de OP inersecta
a reta tangente a R = (1, 0) em um ponto P ′ de tal forma que O
está entre P e P ′ .
x
P
O
R
sec (x )
tan (x )
P' = (1,c )
v. 2012-11-21
11/1
Funções tangente e secante
Se P está no 2º ou 3º quadrante, o prolongmento de OP inersecta
a reta tangente a R = (1, 0) em um ponto P ′ de tal forma que O
está entre P e P ′ .
x
P
Neste caso, defina:
O
R
sec (x )
tan(x ) = c
sec(x ) = −d(O, P ′ )
tan (x )
P' = (1,c )
v. 2012-11-21
11/1
Funções tangente e secante
Em quaisquer dos quadrantes que P esteja, podemos obter as
seguintes identidades por semelhança de triângulos:
P' = (1,c )
sec (x )
v. 2012-11-21
sen (x )
cos (x )
x
tan (x )
R
O
tan(x ) =
P
e
sec(x ) =
1
cos (x )
12/1
Propriedades das funções tangente e secante
Diretamente da definição, também obtemos:
P' = (1,c )
sec (x )
O
v. 2012-11-21
P
x
tan (x )
R
13/1
Propriedades das funções tangente e secante
Diretamente da definição, também obtemos:
P' = (1,c )
sec (x )
O
v. 2012-11-21
P
x
tan (x )
R
13/1
Propriedades das funções tangente e secante
Diretamente da definição, também obtemos:
P' = (1,c )
sec (x )
P
O
x
tan (x )
R
[tan(x )]2 + 1 = [sec(x )]2
v. 2012-11-21
13/1
Propriedades das funções tangente e secante
Diretamente da definição, também obtemos:
P' = (1,c )
sec (x )
P
O
x
tan (x )
R
[tan(x )]2 + 1 = [sec(x )]2
que também é escrito como tan2 (x ) + 1 = sec2 (x )
v. 2012-11-21
13/1
Propriedades das funções tangente e secante
1
Sabemos que sec(x ) = cos(x
) , portanto
Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x ) = 0}
v. 2012-11-21
14/1
Propriedades das funções tangente e secante
1
Sabemos que sec(x ) = cos(x
) , portanto
Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x ) = 0}
Gráfico de cos(x ):
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
14/1
Propriedades das funções tangente e secante
1
Sabemos que sec(x ) = cos(x
) , portanto
Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x ) = 0}
Gráfico de cos(x ):
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
Logo, Dom sec = R ∖ { π2 + kπ ∣ k ∈ Z}
v. 2012-11-21
14/1
Propriedades das funções tangente e secante
1
Sabemos que sec(x ) = cos(x
) , portanto
Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x ) = 0}
Gráfico de cos(x ):
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
Logo, Dom sec = R ∖ { π2 + kπ ∣ k ∈ Z}
Como tan(x ) =
v. 2012-11-21
sen(x )
cos(x ) ,
então Dom tan = R ∖ { π2 + kπ ∣ k ∈ Z}
14/1
Propriedades das funções tangente e secante
Para casa: Dadas funções reais f e g, considere as funções F e G
f (x )
tais que F (x ) = f (x ) ⋅ g(x ) e G(x ) = g(x ) .
Demonstre que:
v. 2012-11-21
15/1
Propriedades das funções tangente e secante
Para casa: Dadas funções reais f e g, considere as funções F e G
f (x )
tais que F (x ) = f (x ) ⋅ g(x ) e G(x ) = g(x ) .
Demonstre que: 1) se f , g são ambas pares, então F , G são pares;
v. 2012-11-21
15/1
Propriedades das funções tangente e secante
Para casa: Dadas funções reais f e g, considere as funções F e G
f (x )
tais que F (x ) = f (x ) ⋅ g(x ) e G(x ) = g(x ) .
Demonstre que: 1) se f , g são ambas pares, então F , G são pares;
2) se f , g são ambas ímpares, então F , G são pares;
v. 2012-11-21
15/1
Propriedades das funções tangente e secante
Para casa: Dadas funções reais f e g, considere as funções F e G
f (x )
tais que F (x ) = f (x ) ⋅ g(x ) e G(x ) = g(x ) .
Demonstre que: 1) se f , g são ambas pares, então F , G são pares;
2) se f , g são ambas ímpares, então F , G são pares; 3) se f é par e
g é ímpar, então F , G são ímpares.
v. 2012-11-21
15/1
Propriedades das funções tangente e secante
Para casa: Dadas funções reais f e g, considere as funções F e G
f (x )
tais que F (x ) = f (x ) ⋅ g(x ) e G(x ) = g(x ) .
Demonstre que: 1) se f , g são ambas pares, então F , G são pares;
2) se f , g são ambas ímpares, então F , G são pares; 3) se f é par e
g é ímpar, então F , G são ímpares.
Consequência do resultado acima:
sec é função par
e
tan é função ímpar.
v. 2012-11-21
15/1
Gráfico da função tangente
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
em que intervalos a função tangente é crescente?
v. 2012-11-21
16/1
Gráfico da função secante
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
em que intervalos a função secante é crescente? e decrescente?
v. 2012-11-21
17/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
v. 2012-11-21
18/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
Por semelhança de triângulos, obtemos:
cot(x ) =
v. 2012-11-21
cos(x )
sen(x )
e
csc(x ) =
1
sen(x )
18/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
Por semelhança de triângulos, obtemos:
cos(x )
sen(x )
Domínio de ambas as funções:
cot(x ) =
v. 2012-11-21
e
csc(x ) =
1
sen(x )
18/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
Por semelhança de triângulos, obtemos:
1
cos(x )
e
csc(x ) =
sen(x )
sen(x )
Domínio de ambas as funções: R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}
cot(x ) =
v. 2012-11-21
18/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
Por semelhança de triângulos, obtemos:
1
cos(x )
e
csc(x ) =
sen(x )
sen(x )
Domínio de ambas as funções: R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}
cot(x ) =
Pela construção, demonstramos que cot2 (x ) + 1 = csc2 (x )
v. 2012-11-21
18/1
Funções cotangente e cossecante
Se traçarmos a reta tangente pelo ponto (0, 1) e prolongarmos o
segmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′ = (d, 1),
podemos definir as grandezas cot(x ) = d e csc(x ) = d(O, P ′ ) se P
está entre O e P ′ , ou csc(x ) = −d(O, P ′ ) se O está entre P e P ′ .
Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.
Por semelhança de triângulos, obtemos:
1
cos(x )
e
csc(x ) =
sen(x )
sen(x )
Domínio de ambas as funções: R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}
cot(x ) =
Pela construção, demonstramos que cot2 (x ) + 1 = csc2 (x )
A função cot também é escrita como cotan, cotg.
A função csc também é escrita como cosec.
Mais informações: seção 7.6.3.
v. 2012-11-21
18/1
Funções trigonométricas inversas
A função sen ∶ R → R não é injetora nem sobrejetora.
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
19/1
Funções trigonométricas inversas
A função sen ∶ [−π/2; π/2] → R é injetora mas não sobrejetora.
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
19/1
Funções trigonométricas inversas
A função sen ∶ [−π/2; π/2] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
19/1
Funções trigonométricas inversas
A função sen ∶ [−π/2; π/2] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
A função inversa de sen ∶ [−π/2; π/2] → [−1; 1] é chamada função
arco seno, e é denotada sen−1 ou arcsen
v. 2012-11-21
19/1
Funções trigonométricas inversas
A função sen ∶ [−π/2; π/2] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
A função inversa de sen ∶ [−π/2; π/2] → [−1; 1] é chamada função
arco seno, e é denotada sen−1 ou arcsen
arcsen ∶ [−1; 1] → [−π/2; π/2]
y
v. 2012-11-21
↦ arcsen(y ) = x ⇐⇒ sen(x ) = y
19/1
Gráfico da função arco seno
arcsen ∶ [−1; 1] → [−π/2; π/2]
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
−1
− π2
v. 2012-11-21
20/1
Gráfico da função arco seno
arcsen ∶ [−1; 1] → [−π/2; π/2]
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
−1
− π2
v. 2012-11-21
20/1
Gráfico da função arco seno
arcsen ∶ [−1; 1] → [−π/2; π/2]
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
−1
− π2
v. 2012-11-21
20/1
Gráfico da função arco seno
arcsen ∶ [−1; 1] → [−π/2; π/2]
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
−1
− π2
arcsen é crescente em [−1; 1]
v. 2012-11-21
20/1
Função arco cosseno
A função cos ∶ R → R não é injetora nem sobrejetora.
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
21/1
Função arco cosseno
A função cos ∶ [0; π] → R é injetora mas não sobrejetora.
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
21/1
Função arco cosseno
A função cos ∶ [0; π] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
v. 2012-11-21
21/1
Função arco cosseno
A função cos ∶ [0; π] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
A função inversa de cos ∶ [0; π] → [−1; 1] é chamada função arco
cosseno, e é denotada cos−1 ou arccos
v. 2012-11-21
21/1
Função arco cosseno
A função cos ∶ [0; π] → [−1; 1] é bijetora!
1
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
A função inversa de cos ∶ [0; π] → [−1; 1] é chamada função arco
cosseno, e é denotada cos−1 ou arccos
arccos ∶ [−1; 1] → [0; π]
y
v. 2012-11-21
↦ arccos(y ) = x ⇐⇒ cos(x ) = y
21/1
Gráfico da função arco cosseno
arccos ∶ [−1; 1] → [0; π]
π
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
π
−1
− π2
v. 2012-11-21
22/1
Gráfico da função arco cosseno
arccos ∶ [−1; 1] → [0; π]
π
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
π
−1
− π2
v. 2012-11-21
22/1
Gráfico da função arco cosseno
arccos ∶ [−1; 1] → [0; π]
π
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
π
−1
− π2
v. 2012-11-21
22/1
Gráfico da função arco cosseno
arccos ∶ [−1; 1] → [0; π]
π
π
2
1
− π2
1
−1
π
2
π
−1
− π2
arccos é decrescente em [−1; 1]
v. 2012-11-21
22/1
Função arco tangente
tan ∶ R ∖ {π/2 + kπ ∣ k ∈ Z} → R não é injetora mas é sobrejetora.
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
23/1
Função arco tangente
tan ∶ (−π/2; π/2) → R é bijetora!
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
23/1
Função arco tangente
tan ∶ (−π/2; π/2) → R é bijetora!
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
23/1
Função arco tangente
tan ∶ (−π/2; π/2) → R é bijetora!
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
A função inversa de tan ∶ (−π/2; π/2) → R é chamada função arco
tangente, e é denotada tan−1 , arctan ou arctg.
v. 2012-11-21
23/1
Gráfico da função arco tangente
arctan ∶ R → (−π/2; π/2)
π
2
− π2
arctan é crescente em R
v. 2012-11-21
24/1
Função arco secante
sec ∶ R ∖ {π/2 + kπ ∣ k ∈ Z} → R não é injetora nem sobrejetora.
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
25/1
Função arco secante
sec ∶ [0; π] ∖ {π/2} → R é injetora mas não sobrejetora.
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
25/1
Função arco secante
sec ∶ [0; π] ∖ {π/2} → R ∖ (−1; 1) é bijetora!
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
v. 2012-11-21
25/1
Função arco secante
sec ∶ [0; π] ∖ {π/2} → R ∖ (−1; 1) é bijetora!
5
4
3
2
1
− π2
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−2
−3
−4
−5
A função inversa de sec ∶ [0; π/2) ∪ (π/2; π] → (−∞; −1] ∪ [1; +∞)
é chamada função arco secante, e é denotada sec−1 ou arcsec.
v. 2012-11-21
25/1
Gráfico da função arco secante
arcsec ∶ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) → [0; π/2) ∪ (π/2; π]
π
π
2
−1
1
arcsec é crescente em (−∞; −1] e em [1; +∞)
v. 2012-11-21
26/1
Gráfico da função arco secante
arcsec ∶ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) → [0; π/2) ∪ (π/2; π]
π
π
2
−1
1
arcsec é crescente em (−∞; −1] e em [1; +∞)
mas não é crescente em (−∞; −1] ∪ [1; +∞)
v. 2012-11-21
26/1
Funções arco cossecante a arco cotangente
A função arco cotangente é a inversa da função tangente, definida
para um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.
arccot ∶ R → (0; π)
y
v. 2012-11-21
↦ arccot(y ) = x ⇐⇒ cot(x ) = y
27/1
Funções arco cossecante a arco cotangente
A função arco cotangente é a inversa da função tangente, definida
para um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.
arccot ∶ R → (0; π)
y
↦ arccot(y ) = x ⇐⇒ cot(x ) = y
A função arco cossecante é a inversa da função cossecante,
definida para um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.
arccsc ∶ [−π/2; 0) ∪ (0; π/2] → (−∞; 1] ∪ [1; ∞)
y
v. 2012-11-21
↦ arccsc(y ) = x ⇐⇒ csc(x ) = y
27/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
se x > 0, então arccot(x ) = arctan ( x1 )
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
se x > 0, então arccot(x ) = arctan ( x1 )
se x < 0, então arccot(x ) = π + arctan ( x1 )
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
se x > 0, então arccot(x ) = arctan ( x1 )
se x < 0, então arccot(x ) = π + arctan ( x1 )
√
cos (arcsen(x )) = 1 − x 2
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
se x > 0, então arccot(x ) = arctan ( x1 )
se x < 0, então arccot(x ) = π + arctan ( x1 )
√
cos (arcsen(x )) = 1 − x 2
√
sen (arccos(x )) = 1 − x 2
v. 2012-11-21
28/1
Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades
Para casa: demonstre as seguintes propriedades.
arcsec(x ) = arccos ( x1 )
arccsc(x ) = arcsec ( x1 )
se x > 0, então arccot(x ) = arctan ( x1 )
se x < 0, então arccot(x ) = π + arctan ( x1 )
√
cos (arcsen(x )) = 1 − x 2
√
sen (arccos(x )) = 1 − x 2
√
sec(arctan(x )) = 1 + x 2
v. 2012-11-21
28/1
Para casa
Para casa: ler com atenção todo o capítulo 7 e fazer todos os
exercícios.
Matéria da prova 2: equações, inequações e funções.
v. 2012-11-21
29/1