Cálculo I

DISCIPLINA: CÁLCULO I
CRÉDITOS: 04
CARGA HORÁRIA: 60 h/a
OBJETIVOS:
Analisar e interpretar funções, limites e derivadas visando à
aplicação em exercícios e problemas.
EMENTA:
Funções: noções gerais. Teoria dos limites. Estudo das
derivadas: definição, interpretação e cálculo. Aplicações da derivada.
PROGRAMA:
FUNÇÕES: NOÇÕES GERAIS
•
Variável real.
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Conceito de função: definição.
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Notações.
•
Domínio, contradomínio e imagem de uma função.
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Determinação do domínio de uma função.
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Qualidade de uma função: função sobrejetora, função injetora, função
bijetora, função inversa de uma função bijetora, função par e ímpar, funções
monótonas (crescentes, decrescentes e constantes ).
•
Classificação didática das funções de uma variável real: funções explícitas
e implícitas, funções algébricas e transcendentes, funções racionais e
irracionais.
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Representação cartesiana de uma função.
•
Composição de funções: função composta de duas funções, propriedades.
•
Tipos de funções: função de primeiro grau, função quadrática, função
modular, funções elementares (função exponencial, logarítimica, potência,
circular, cilométrica, hiperbólica), função máximo inteiro.
TEORIA DOS LIMITES
•
Conjuntos lineares.
•
Tipos de conjuntos lineares: intervalo, entorno, vizinhança do infinito, ponto
de acumulação e vizinhança.
•
Limite de uma função: conceito intuitivo, definição de limite, limites finitos e
infinitos.
•
Propriedades dos limites: teorema da unicidade do limite, teorema da
conservação do sinal, teorema do confronto.
•
Observações: igualdades simbólicas, símbolos de indeterminação.
•
Propriedades operatórias dos limites: limite de uma soma, limite de uma
diferença, limite de um produto, limite de um quociente, limite da potência
de expoente natural de uma função, limite de uma raiz enésima de uma
função, limite do logarítimo de uma função e limite do inverso de uma
função.
•
Limites fundamentais: limite da função polinomial, limite da função racional,
limite da potência de função, limite das funções trigonométricas e
ciclométricas, limite da função logarítimica, limite da função exponencial e
limite da função exponencial geral.
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Limites notáveis.
•
Limites laterais de uma função: definições, técnica de cálculo para os
limites laterais.
•
Continuidade das funções: definição, condição de continuidade de uma
função em um ponto, continuidade em um intervalo.
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Função descontínua: definição, classificação das descontinuidades.
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Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
ESTUDO DAS DERIVADAS: DEFINIÇÕES, INTERPRETAÇÃO E CÁLCULO
•
Derivadas de uma função em um ponto.
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Notações de derivadas.
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Aplicações da noção de derivadas.
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Interpretação geométrica da derivada.
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Observações sobre a existência de derivada em um ponto, derivada lateral.
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Função derivada.
•
Regras de derivação das funções algébricas: regra dos quatro passos,
derivada da função constante, derivada de um produto de funções, derivada
da função identidade, derivada da função potencial, derivada do quociente
de duas funções, derivada da raiz enésima de uma função.
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Regras de derivação das funções trigonométricas diretas.
•
Regra da derivada da função de função (regra da cadeia).
•
Derivada das funções inversas.
•
Derivada das funções trigonométricas inversas.
•
Derivadas das funções exponencial e logarítimica e exponencial geral.
•
Derivada das funções implícitas.
•
Derivadas das funções definidas por suas equações paramétricas.
•
Derivada da função composta.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
•
Equação da reta tangente: equação da normal, comprimento da tangente e
da normal, subtangente e subnormal.
•
Interpretação cinemática da derivada (velocidade e aceleração instantânea
no movimento retilíneo uniforme e no movimento circular uniforme).
•
Derivada como uma razão da variável.
•
Taxas relacionadas (velocidades inter-relacionadas).
•
Valores máximos e mínimos de uma função.
•
Teorema de Rolle e teorema do valor médio: interpretação geométrica.
•
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira.
•
Teste da derivada segunda para extremos relativos.
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Problemas envolvendo extremos absolutos.
•
Concavidade e ponto de inflexão.
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Aplicação da derivada no esboço do gráfico de uma função.
•
Diferencial de uma função: definição, interpretação geométrica.
BIBLIOGRAFIA:
Bibliografia Básica
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. vol. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos Editora, 1987.
SWKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. vol. 1. São Paulo: Editora
MacGraw-Hill Ltda.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. vol. 1. São Paulo: Editora
Harbra, 1986.
Bibliografia Complementar
IEZZI, Gelson et alii. Fundamentos de Matemática Elementar. vol. 8. São Paulo:
Atual Editora.
MUNEM, Mustafa A. et FOULIS, David J. Cálculo - vol. 1. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos Editora, 1982.