Divisibilidade, Múltiplos, Divisores, MDC e MMC

Matemática – Régis Cortes
MÚLTIPLOS
E
DIVISORES
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Matemática – Régis Cortes
Múltiplos e divisores de um número
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo:
Observe as seguintes divisões entre números Naturais:
As três primeiras divisões têm resto zero. Chamam-se divisões exatas. As duas últimas têm
resto diferente de zero. Chamamos de divisão inteira. Um número é divisor do outro se o segundo é múltiplo do
primeiro.
O número 10 é múltiplo de 2; 12 é múltiplo de 3; 15 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo de 2; e 15
não é múltiplo de 4.
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5):
M(2) = {0,2,4,6,8,...}.
M(5) = {0,5,10,15,20,...}
Para lembrar:
O conjunto dos múltiplos de um número Natural
não-nulo é infinito e podemos consegui-lo
multiplicando-se o número dado por todos os
números Naturais.
Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} = {0,3,6,9,12,15,18,...}
Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é
divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10.
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente.Vamos
agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20):
D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o
menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número.
Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo de outro,
sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os números são grandes.
Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns:
Divisibilidade por 2
Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse conjunto
terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o algarismo das
unidades for par.
Exemplo:
2
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Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 416 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par. Os números 7,
15, 201, 1 483, 186 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em algarismo par.
Divisibilidade por 3
Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,...}. Repare que a soma dos algarismos de todos estes
números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos é
múltiplo de 3.
Exemplo:
Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 21, mas pode
acontecer de não sabermos se 21 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o número 21, em
que 2 + 1 = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 21 é divisível por 3, isto é, 21 é múltiplo de 3 e,
conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3.
Divisibilidade por 5
Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,...}.
É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando termina em
zero ou em 5.
Exemplo:
Os números 20, 210, 2 105 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o terceiro em
5.
Divisibilidade por 9
Dado M(9) = {0,9,18,27,36,45,...} verificamos uma característica semelhante ao critério de divisibilidade por 3.
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo de 9.
Exemplo:
O número 14 985 é divisível por 9?
1 + 4 + 9 + 8 + 5 = 27
Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27:
2+7=9
Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 14 985 é divisível por 9.
Decomposição de um número em fatores primos
Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade.
lembrar:
Decompor um número composto em fatores primos
significa expressar este número como produto de
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outros que sejam primos.
Exemplo:
Queremos decompor o número 40 em fatores primos.
40
20
10
5
2
2
2
5
(40 é divisível por 2, termina em 0) 40/2 = 20
(20 é divisível por 2, termina em 0) 20/2 = 10
(10 é divisível por 2, termina em 0) 10/2 = 5
(5 é primo. Divide-se por si mesmo) 5/5 = 1
1
A decomposição de 40 em fatores primos é:
2 X 2 X 2 X 5 = 23 X 5
Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números
O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses
números.
Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas:
' Decompomos os números em fatores primos.
' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.
' Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:
Vamos calcular o m.d.c. dos números 15 e 24. Para isto, vamos decompô-los em fatores primos:
15 3
5 5
1
24
12
6
3
2
2
2
3
3
15 = 3 X 5 e 24 = 2 X 3
O fator comum é 3
E 1 é o menor expoente dentre todos.
O m.d.c. (15, 24) = 3
1
Exemplo:
Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 21.
2
20 2
10 2
5
5
21 3
7
20 = 2 X 5 e 21 = 3 X 7
O fator comum é 1
7
1
O m.d.c. (20, 21) = 1
1
Para lembrar:
Dizemos que dois números Naturais distintos são
Primos entre si quando seu m.d.c. é 1.
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Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números Naturais nãonulos
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas:
• Decompomos os números em fatores primos.
• Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente.
• Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:
Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 15 e 24.
Como já foram decompostos em fatores primos, temos:
15 = 3 X 5
Os fatores comuns e não-comuns com
24 = 23 X 3
o maior expoente são 23, 3 e 5
Assim, o m.m.c. (15, 24) = 23 X 3 X 5 = 120
Exemplo:
Calculemos o m.m.c. dos números do segundo exemplo, 20 e 21.
20 = 22X 5
Os fatores comuns e não-comuns com
21 = 7 X 3
o maior expoente são 22, 3, 5 e 7.
O m.m.c. (20, 21) = 22 X 3 X 5 X 7 = 420
Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números
O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. por seu m.m.c.
Exemplo:
Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 30 e 50:
30 2
15 3
5
1
5
50 2
30 = 2 X 3 X 5
25 5
50 = 2 X 52
5
O m.d.c. (30, 50) = 2 X 5 = 10
1
5
O m.m.c. (30, 50) = 2 X 3 X 52
= 150
Comprove, agora, a relação. Para tanto: Multiplique o m.d.c. e o m.m.c.:
O grego Eratóstenes,
criador de um método
especial para separar
números Primos e nãoprimos
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10 X 150 = 1 500
Em seguida, multiplique os dois números:
30 X 50 = 1 500
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