"o teorema" limitado

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930M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS
15.4
1-4 Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar
coordenadas polares ou retangulares e escreva hhR f (x, y) dA
como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R.
1.
2.
y
y
4
18. A região dentro do círculos r 1 cos u e fora do círculo
r 3 cos u
19-27 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do só-
lido dado.
––––––
19. Abaixo do cone z √ x2 y2 e acima do disco x y 4
y1x2
1
2
2
20. Abaixo do paraboloide z 18 2x 2y e acima do plano xy
2
2
21. Delimitado pelo hiperboloide x y z 1 e pelo plano
2
0
4
x
0
1
1
2
2
z2
x
22. Dentro da esfera x y z 16 e fora do cilindro
2
2
2
x2 y2 4
3.
4.
y
23. Uma esfera de raio a
y
6
1
24. Limitado pelo paraboloide z 1 2x 2y e pelo plano
2
z 7 no primeiro octante
––––––
2
2
2
25. Acima do cone z √x2 y2 e abaixo da esfera x y z 1
3
0
1
x
1
2
0
x
26. Limitada pelos paraboloides z 3x 3y e z 4 x y
2
2
2
2
27. Dentro do cilindro x y 4 e do elipsoide
2
2
4x 4y z 64
2
5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a
5.
h h r dr du
2p 7
p
6.
4
h h
p/2
4 cos u
0
0
que passa pelo centro de uma esfera de raio r2. Determine o
volume do sólido em formato de anel resultante.
(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do
anel. Observe que o volume depende somente de h e não de
r1 ou r2.
r dr du
8.
hhD xy dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 3
hhR (x y) dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y
e entre as circunferências x y 1 e x y 4
2
9.
2
2
2
hhR cos(x2 y2) dA, onde R é a região acima do eixo x e dentro
da circunferência x y 9
–––––––––
2
2
10. hhR √ 4 x2 y2 dA, onde R {(x, y) x y 4, x 0}
2
11.
2
2
x √ 4 y2 e o eixo y
12.
hhR yex dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo x2 y2 25
13.
14.
29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
29.
2
y
hhD ex–––––
dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
hhR arctg (y/x) dA, onde R {(x, y) 1 x2 y2 4, 0 y x}
hhD x dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida
entre os círculos x2 y2 4 e x2 y2 2x
15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
15. Um laço da rosácea r cos 3u
16. A região delimitada pela curva r 4 3 cos u
17. A região interior a ambos os círculos r cos u e r sen u
2
28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r1 é usada para fazer um furo
7-14 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
7.
2
31.
h h
hh
–––––
√9 x2
3
3
1
0
–––––
√2 y2
0
y
sen(x2 y2) dy dx 30.
(x y) dx dy
32.
hh
hh
a 0
––––––
0 √a2 y2
––––––
2 √2x x2
0
0
x2y dx dy
––––––
√ x2 y2 dy dx
33. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundi-
dade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce
linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na
extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
34. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular
de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de er
metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0 R 100, qual a quantidade total de água fornecida
por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada
no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água
por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do
círculo de raio R.
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Portanto, temos
h h
––––
√4x2
––––
2 √4x2
2
h
2
–––––
√x2y2
hhh (x y ) dV
(x2 y2) dz dy dx 2
2
E
h hh
2p 2
h
0
0
2p
du
0
[
2 2
r r dz dr du
r
h
2 3
0
r (2 r) dr
]
2
2p –12 r4 –15 r5 16–5 EXERCÍCIOS
15.7
1-2 Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A se-
guir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
1.
(a) (2, p/4, 1)
(b) (4, p/3, 5)
2.
(a) (1, p, e)
(b) (1, 3p/2, 2)
4.
(a) (1, 1, 4)
–
(a) (2√ 3, 2, 1)
u p/4
–
(b) (1, √ 3, 2)
x2 y2 1 e x2 y2 4, acima do plano xy e abaixo do plano
z x 2.
20. Calcule hhhE x dV, onde E está delimitado pelos planos z 0 e
21. Calcule hhhE x dV, onde E é o sólido que está dentro do cilindro
2
r5
x y 1, acima do plano z 0 e abaixo do cone z2 4x2 4y2.
2
z 4 r2
x2 y2 1 como da esfera x2 y2 z2 4.
23. (a) Ache o volume da região E limitada pelos paraboloides
8. 2r z 1
2
2
9-10 Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
9.
(a) z x2 y2
10. (a) 3x 2y z 6
2
22. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro
7-8 Identifique a superfície cuja equação é dada.
7.
2
z x y 5 e pelos cilindros x2 y2 4 e x2 y2 9.
(b) (4, 3, 2)
6.
3
19. Calcule hhhE y dV, onde E é o sólido que está entre os cilindros
5-6 Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada.
5.
18. Calcule hhhE (x xy ) dV, onde E é o sólido do primeiro octante
que está abaixo do paraboloide z 1 x2 y2.
3-4 Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
3.
0
(b) x2 y2 2y
(b) x2 y2 z2 1
11-12 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
11. 0 r 2,Mp/2 u p/2,M0 z 1
z x2 y2 e z 36 3x2 3y 2.
(b) Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que
a densidade é constante).
24. (a) Determine o volume do sólido que o cilindro r a cos u
corta da esfera de raio a centrada na origem.
(b)
Ilustre o sólido da parte (a) desenhando a esfera e o cilindro
;
na mesma tela.
25. Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado
12. 0 u p/2,Mr z 2
pelo paraboloide z 4x2 4y 2 e pelo plano z a (a 0), se S
tem densidade constante K.
13. Uma casca cilíndrica tem 20 cm de comprimento, com raio in-
terno 6 cm e raio externo 7 cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado.
Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em
relação à casca.
; 14. Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido delimitado
pelos paraboloides z x2 y 2 e z 5 x2 y2.
26. Determine a massa da bola B dada por x y z a se a den2
2
2
2
sidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do
eixo z.
27-28 Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
27.
h h
h h
––––
√4y2
––––
2 √4y2
––––
3
√9x2
2
h
h
2
–––––
√x2y2
xz dz dx dy
9x2y2
––––––
√ x2 y2 dz dy dx
15-16 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e
28.
calcule essa integral.
29. Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos esti-
15.
hh h
4
2p
4
0
0
r
r dz du dr
16.
h hh
p/2
2
9r2
0
0
0
r dz dr du
17-26 Utilize coordenadas cilíndricas.
17. Calcule hhhE √ x2 y2 dV, onde E é a região que está dentro do
––––––
cilindro x2 y2 16 e entre os planos z 5 e z 4.
3
0
0
mam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que
tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P
seja t(P) e a altura seja h(P).
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EXERCÍCIOS
15.8
1-2 Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir,
19.
20.
z
z
encontre as coordenadas retangulares do ponto.
3
1.
(a) (1, 0, 0)
(b) (2, p/3, p/4)
2.
(a) (5, p, p/2)
(b) (4, 3p/4, p/3)
2
3-4 Mude de coordenadas retangulares para esféricas.
3.
4.
–
–
(a) (1, √ 3, 2√ 3)
–
(a) (1, 1, √ 2)
(b) (0, 1, 1)
–
(b) (√ 3, 3, 2)
f p/3
6.
7.
r sen u sen f
8.
r (sen f sen u cos f) 9
2
2
9.
(a) z x y
2
(b) x z 9
2
2
10. (a) x 2x y z 0
2
2
2
2
(b) x 2y 3z 1
11-14 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
11. r 2,M0 f p/2,M0 u p/2
12. 2 r 3,Mp/2 f p
13. r 1,M3p/4 f p
14. r 2,Mr cossec f
–––––––
15. Um sólido está acima do cone z √ x2 y2 e abaixo da esfera
2
2
2
x y z z. Escreva uma descrição do sólido em termos de
desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.
16. (a) Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com
diâmetro de 30 cm e espessura de 0,5 cm. Explique como
você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.
(b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.
17-18 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
17.
18.
h h h r sen f dr du df
h h h r sen f dr df du
p/6
p/2
3
0
0
2p
p
2
0
p/2
1
hhhH (9 x2 y2) dV, onde H é o hemisfério sólido
x y z2 9, z 0.
2
9-10 Escreva a equação em coordenadas esféricas.
2
hhhB (x2 y2 z2)2 dV, onde B é a bola com centro na
21. Calcule
22. Calcule
7-8 Identifique a superfície cuja equação é dada.
2
y
2
origem e raio 5.
r3
2
1
x
21-34 Utilize coordenadas esféricas.
5-6 Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada.
5.
y
x
2
23. Calcule hhhE z dV, onde E está entre as esferas x y z 1
2
2
2
e x y z 4 no primeiro octante.
2
2
2
24. Calcule hhhE e
–––––––––
√ x2y2z2
dV, onde E é delimitado pela esfera
x y z 9 no primeiro octante.
2
2
2
25. Calcule hhhE x dV, onde E é limitado pelo plano xz e pelos he2
––––––––––
––––––––––
misférios y √ 9 x2 z2 e y √ 16 x2 z2.
26. Calcule hhhE xyz dV, onde E está entre as esferas r 2 e r 4
e acima do cone f p/3.
27. Encontre o volume da parte da bola r a que está entre os cones
f p/6 e f p/3.
28. Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a
a seu centro.
29. (a)Determine o volume do sólido que está acima do cone
f p/3 e abaixo da esfera r 4 cos f.
(b) Encontre o centroide do sólido na parte (a).
30. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
x2 y2 z2 4, acima do plano xy e abaixo do cone
––––––
z √ x2 y2 .
31. Determine o centroide do sólido do Exercício 25.
2
0
2
19-20 Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrá-
ria f (x, y, z) em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
32. Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qual-
quer ponto é proporcional à distância ao centro da base.
(a) Determine a massa de H.
(b) Determine o centro de massa de H.
(c) Determine o momento de inércia de H em relação a seu eixo.
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960M||||MCÁLCULO
33. (a) Determine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de
como 6.730 km. (Um círculo máximo é o círculo de intersecção
de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.)
raio a.
(b) Determine o momento de inércia do sólido da parte (a) em
SCA 43. As superfícies r 1 –15 sen mu sen nf têm sido usadas para
relação a um diâmetro de sua base.
modelar tumores. A “esfera rugosa” com m 6 e n 5 está
mostrada. Utilize um sistema de computação algébrica para de34. Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de
terminar seu volume.
raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua
distância da base.
35-38 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que
lhe parecer mais apropriada.
35. Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do
––––––
cone z √ x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 1.
36. Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma
esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de
um diâmetro com um ângulo de p/6.
hhhE z dV, onde E está está acima do paraboloide
z x2 y2 e abaixo do plano z 2y. Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
SCA 37. Calcule
38. (a) Determine o volume delimitado pelo toro r sen f.
(b) Utilize um computador para desenhar o toro.
;
39-40 Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
39.
40.
hh h
h h h
––––
√1x2
––––––––
√2x2y2
–––––
0 0
√x2y2
–––––
–––––––––
a
√a2y2
√ a2x2y2
2
––––––––– (x z
–––––
a √a2y2 √ a2x2y2
1
xy dz dy dx
y2z z3) dz dx dy
44. Mostre que
h h h
∞
∞
∞
∞ ∞ ∞
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral
tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta
indefinidamente.)
45. (a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r2 z2 a2 e
por baixo pelo cone z r cotg f0 (ou f f0), onde
0 f0 p/2, é
V
; 41. Use uma ferramenta gráfica para desenhar um silo que consista
em um cilindro de raio 3 e altura 10 com um hemisfério no topo.
42. A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão
relacionadas com as coordenadas esféricas r, u, f como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo polo norte. O eixo x positivo passa pelo ponto onde
o meridiano principal (o meridiano por Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Então a latitude de P é a 90º fº
e a longitude é b 360º uº. Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles (lat. 34,06º N, long. 118,25º W) a
Montreal (lat. 45,50º N, long. 73,60º W). Tome o raio da Terra
P R O J ET O
A P L I CA D O
2
2
2
––––––––––
√ x2 y2 z2 e(x y z ) dx dy dz 2p
2pa3
(1 cos f0)
3
(b) Deduza que o volume da cunha esférica dada por r1 r r2,
u1 u u2 e f1 f f2 é
r32 r31
(cos f1 cos f2)(u2 u1)
3
(c) Utilize o Teorema do Valor Médio para mostrar que o volume da parte (b) pode ser escrito como
ΔV Δ r Δ u Δf
ΔV r 2 sen f
está entre f e f , Δ r r r ,
onde r está entre r1 e r2, f
1
2
2
1
Δ u u2 u1 e Δ f f2 f1.
CORRIDA NA RAMPA
Suponha que uma bola sólida (de gude), uma bola oca (de squash), um cilindro sólido
(uma barra de aço) e um cilindro oco (um cano de chumbo) rolem em um plano inclinado.
Qual desses objetos chegará embaixo mais depressa? (Dê seu palpite antes de continuar.)
Para responder a essa questão, consideramos a bola ou o cilindro com massa m, raio r
e momento de inércia I (em relação ao eixo de rotação). Se a queda vertical for h, a energia potencial no topo será mth. Suponha que o objeto chegue embaixo com velocidade
v e velocidade angular v, de modo que v vr. A energia cinética na base da rampa é
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CÁLCULO VETORIALM||||M1023
e, então,
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
rx ru √ [ f (x)]2[ f (x)]2 [ f (x)]2 cos2u [ f (x)]2 sen2u
––––––––––––––––––
––––––––––
√ [ f (x)]2[1 [ f (x)]2] f (x)√ 1 [ f (x)]2
porque f (x) 0. Portanto, a área de S é
A
hh r
x
D
2p
h
b
a
ru dA h h
2p
b
0
a
––––––––––
f (x)√ 1 [ f (x)]2 dx du
––––––––––
f (x)√ 1 [ f (x)]2 dx
Isso é precisamente a fórmula que usamos para definir a área de uma superfície de revolução no cálculo com uma única variável (8.2.4).
16.6
EXERCÍCIOS
1-2 Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada.
1.
2.
r(u, v) k2u 3v, 1 5u v, 2 u vl
P(7, 10, 4), Q(5, 22, 5)
r(u, v) ku v, u2 v, u v2l
P(3, 1, 5), Q(1, 3, 4)
17. x cos u cos v, y sen u cos v, z sen v
3
3
3
3
3
18. x (1 u) cos v, y (1 u) senv, z u
z
I
II
z
3-6 Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
3.
r(u, v) (u v) i (3 v) j (1 4u 5v) k
4.
r(u, v) 2 sen u i 3 cos u j v k, 0 v 2
5.
r(x, u) kx, cos u, sen ul
6.
r(x, u) kx, x cos u, x sen ul
x
x
y
y
III
z
IV
z
; 7-12 Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais
são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante.
7.
r(u, v) ku2 1, v3 1, u vl,M1 u 1, 1 v 1
8.
r(u, v) ku v, u2, v2l,M1 u 1, 1 v 1
9.
r(u, v) ku cos v, u sen v, u5l,M1 u 1, 0 v 2p
10. r(u, v) kcos u sen v, sen u sen v, cos v ln tg(v/2)l,
0 u 2p, 0,1 v 6,2
x
z
V
y
x
y
z
VI
11. x sen v,My cos u sen 4v,Mz sen 2u sen 4v,
0 u 2p, p/2 v p/2
12. x u sen u cos v, y u cos u cos v, z u sen v
13-18 Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos
x
y
x
y
identificados por I-VI e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.
13. r(u, v) u cos v i u sen v j v k
14. r(u, v) u cos v i u sen v j sen u k,Mp u p
15. r(u, v) sen v i cos u sen 2v j sen u sen 2v k
16. x (1 u)(3 cos v) cos 4pu,
y (1 u)(3 cos v) sen 4pu,
z 3u (1 u) sen v
19-26 Determine uma representação paramétrica para a superfície.
19. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém os vetores
i j k e i j k.
20. A metade inferior do elipsoide 2x 4y z 1
2
2
2
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21. A parte do hiperboloide x y z 1 que está à direita do
2
2
35. r(u, v) u i 2u sen v j u cos v k; u 1, v 0
2
2
plano xz
36. r(u, v) uv i u sen v j v cos u k; u 0, v p
22. A parte do paraboloide elíptico x y 2z 4 que está em
2
2
37-47 Determine a área da superfície.
frente do plano x 0
37. A parte do plano 3x 2y z 6 que está no primeiro octante
23. A parte da esfera x y z 4 que está acima do cone
2
2
2
––––––
z √ x2 y2
38. A parte do plano 2x 5y z 10 que está dentro do cilindro
x2 y2 9
24. A parte da esfera x y z 16 que está entre os planos
2
2
2
39. A superfície z –3 (x y ), 0 x 1, 0 y 1
2
z 2 e z 2
2
r(u, v) k1 v, u 2v, 3 5u vl que é dada por
0 u 1, 0 v 1
ex5
26. A parte do plano z x 3 que está dentro do cilindro
41. A parte da superfície z xy que está dentro do cilindro
x2 y2 1
x2 y2 1
SCA 27-28 Use um sistema de computação algébrica para produzir um
42. A parte da superfície z 1 3x 2y que está acima do triân2
gráfico semelhante ao das figuras.
27.
3/2
40. A parte do plano com equação vetorial
25. A parte do cilindro y z 16 que está entre os planos x 0
2
3/2
gulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (2, 1)
28.
43. A parte do paraboloide hiperbólico z y x que está entre os
2
3
2
cilindros x y 1 e x y 4
2
2
2
2
44. A parte do paraboloide x y z que está dentro do cilindro
2
z
z 0
0
2
y z 9
2
2
45. A parte da superfície y 4x z que está entre os planos
2
3
3
1
1
0
x
0 5
y
1
y
0
0
1 1
x 0, x 1, z 0 e z 1
x
46. O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial
r(u, v) u cos v i u sen v j v k, 0 u 1, 0 v p
; 29. Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y ex, 0 x 3, em torno do eixo x e use-as
para traçar o gráfico da superfície.
;
47. A superfície com equações paramétricas x u , y uv,
2
z – v , 0 u 1, 0 v 2
1
2
48-49 Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas
decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional
e usando sua calculadora para estimar a integral.
30. Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela
rotação da curva x 4y y , 2 y 2, em torno do eixo y
e use-as para traçar o gráfico da superfície.
2
4
; 31. (a) O que acontecerá com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a
Figura 5) se substituirmos cos u por sen u e sen u por cos u?
(b) O que acontecerá se substituirmos cos u por cos 2u e sen u
por sen 2u?
; 32. A superfície com as equações paramétricas
x 2 cos u r cos(u/2)
48. A parte da superfície z cos (x y ) que está dentro do cilin2
49. A parte da superfície z e
2
34. x u ,My v , z uv;MMu 1, v 1
2
2
que está acima do círculo
2
SCA 50. Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da
2
2
parte da superfície z (1 x )/(1 y ) que está acima do quadrado x y 1. Ilustre, traçando o gráfico dessa parte
de superfície.
51. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a
Trace o gráfico dessa superfície sob vários pontos de vista. O
que há de estranho nela?
33. x u v,My 3u ,Mz u v;MM(2, 3, 0)
x2y2
x y 4
2
z r sen(u/2)
1
–
onde 2 r –12 e 0 u 2p, é chamada Faixa de Möbius.
metrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa
que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a
superfície e o plano tangente.
2
2
2
dro x y 1.
y 2 sen u r cos(u/2)
33-36 Determine uma equação do plano tangente à superfície para-
2
SCA
Seção 15.1) com seis quadrados para estimar a área da su2
2
perfície z 1/(1 x y ), 0 x 6, 0 y 4.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a
área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal.
Compare com sua resposta para a parte (a).
SCA 52. Determine a área da superfície de equação vetorial
3
3
3
3
3
r(u, v) kcos u cos v, sen u cos v, sen vl, 0 u p,
0 v 2p. Dê sua resposta com precisão de quatro casas
decimais.
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1034M||||MCÁLCULO
SOLUÇÃO Tomando o centro da bola como origem, temos
2
2
2
u(x, y, z) C(x y z )
onde C é a constante de proporcionalidade. Então o fluxo de calor é
F(x, y, z) K u KC(2x i 2y j 2z k)
onde K é a condutividade do metal. Em vez de usar a parametrização usual da esfera dada
2
2
2
2
no Exemplo 5, observamos que o vetor normal à esfera x y z a que aponta para
fora no ponto (x, y, z) é
n
1
(x i y j z k)
a
2KC 2
2
2
F n (x y z )
a
e, então,
Mas, sobre S, temos x2 y2 z2 a2 e F n 2aKC. Portanto, a taxa de transmissão
de calor através de S é
hh F dS hh F n dS 2aKC hh dS
S
S
S
2
3
2aKCA(S) 2aKC(4pa ) 8KCpa
16.7
1.
2.
EXERCÍCIOS
Seja S a superfície que é fronteira da caixa delimitada pelos planos x 0, x 2, y 0, y 4, z 0 e z 6. Aproxime
hhS e 0,1(xyz) dS usando uma soma de Riemann, como na Definição 1, tomando os retalhos Sij como os retângulos que são as faces
da caixa S e os pontos Pij* como os centros destes retângulos.
4.
8.
9.
hhS y dS, S é a superfície z –23 (x3/2 y3/2), 0 x 1, 0 y 1
hhS yz dS, S é a superfície com equações paramétricas x u2,
f (1, 0, 0) 2MMf (0, 1, 0) 3MMf (0, 0, 1) 4
11.
Seja H o hemisfério x y z 50, z 0, e suponha que f
seja uma função contínua com f (3, 4, 5) 7, f (3, 4, 5) 8,
f (3, 4, 5) 9 e f (3, 4, 5) 12. Dividindo H em quatro
retalhos, estime o valor de hhh f (x, y, z) dS.
––––––––––
Suponha que f (x, y, z) t(√ x2 y2 z2 ), onde t é uma função
de uma variável tal que t(2) 5. Calcule hhS f (x, y, z) dS,
onde S é a esfera x2 y2 z2 4.
2
2
2
hhS xy dS, S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0)
e (0, 0, 2).
hhS x2 z2 dS, S é a parte do cone z2 x2 y 2que está entre os pla-
nos z 1 e z 3
12.
13.
hhS z dS, S é a superfície x y 2z2, 0 y 1, 0 z 1
hhS y dS, S é a parte do paraboloide y x2 z2 que está dentro
do cilindro x2 z2 4
14.
hhS y2 dS, S é a parte da esfera x2 y2 z2 4 que está dentro
do cilindro x2 y2 1 e acima do plano xy
15.
16.
hhS (x2z y2z) dS, S é o hemisfério x2 y2 z2 4, z 0
hhS xz dS, S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
y2 z2 9 e pelos planos x 0 e x y 5
17.
hhS x2yz dS, S é a parte do plano z 1 2x 3y que está acima
do retângulo [0, 3] [0, 2].
6.
octante.
y u sen v, z u cos v, 0 u 1, 0 v p/2
––––––––––
10. hhS √ 1 x2 y2 dS, S é o helicoide com equação vetorial
r(u, v) u cos v i u sen v j v k, 0 u 1, 0 v p
5-18 Calcule a integral de superfície.
5.
hhS yz dS, S é a parte do plano x y z 1 que está no primeiro
Uma superfície S é formada pelo cilindro x2 y2 1,
1 z 1, e por círculos no fundo e no topo. Suponha que
você saiba que f é uma função contínua com
Estime o valor de hhS f (x, y, z) dS usando a soma de Riemann,
tomando como retalhos Sij os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.
3.
7.
hhS (z x2y) dS, S é a parte do cilindro y2 z2 1 que está entre
os planos x 0 e x 3 no primeiro octante
18.
hhS (x2 y2 z2) dS, S é a parte do cilindro x2 y2 9 entre
os planos z 0 e z 2, juntamente com os discos do fundo
e do topo
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CÁLCULO VETORIALM||||M1035
19-30 Calcule a integral de superfície hhS F dS para o campo veto-
36. Determine uma fórmula para hhS F dS semelhante à Fórmula 10
rial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo
de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva
(para fora).
para o caso onde S é dada por x k(y, z) e n é o vetor normal
unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador,
quando os eixos estão desenhados na posição usual).
19. F(x, y, z) xy i yz j zx k, S é a parte do paraboloide
37. Determine o centro de massa do hemisfério x y z a ,
z 4 x y que está acima do quadrado 0 x 1,
0 y 1, com orientação para cima.
2
2
20. F(x, y, z) y i x j z k, S é o helicoide do Exercício 10 com
2
orientação para cima.
21. F(x, y, z) xze i xze j z k, S é a parte do plano
y
y
x y z 1 no primeiro octante, com orientação para baixo.
––––––
4
22. F(x, y, z) x i y j z k, S é a parte do cone z √ x2 y2
abaixo do plano z 1, com orientação para baixo.
23. F(x, y, z) x i yj z k, S é a esfera x y z 9,
2
2
2
2
38. Determine a massa de um funil fino com o formato do
––––– –
cone z √ x2 y2 , 1 z 4, se sua função densidade é
r(x, y, z) 10 z.
39. (a) Dê uma expressão integral para o momento de inércia Iz em
torno do eixo z de uma folha fina no formato da superfície S,
se a função densidade é r.
(b) Determine o momento de inércia em torno do eixo z do funil
do Exercício 38.
2
2
z 4. Se S tiver densidade constante k, encontre (a) o centro de
massa e (b) o momento de inércia em torno do eixo z.
25. F(x, y, z) y j zk, S é formada pelo paraboloide y x z ,
2
2
0 y 1 e pelo círculo x z 1, y 1.
2
2
3
41. Um fluido tem densidade 870 kg/m e escoa com velocidade
v z i y j x k, onde x, y, e z são medidos em metros e as
componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão
para fora do cilindro x2 y2 4, 0 z 1.
2
26. F(x, y, z) xy i 4x j yz k, S é a superfície z xe ,
y
0 x 1, 0 y 1, com orientação para cima.
27. F(x, y, z) x i 2y j 3z k, S é o cubo com vértices
(1, 1, 1).
28. F(x, y, z) x i y j 5 k, S é a fronteira da região delimitada
pelo cilindro x2 z2 1 e pelos planos y 0 e x y 2.
29. F(x, y, z) x i y j z k, S é a fronteira do semicilindro só2
2
z 0, se ele tiver densidade constante.
2
–––––––––––
z √ 16 x2 y2, y 0, com orientação para cima.
2
2
40. Seja S a parte da esfera x y z 25 que está acima do plano
24. F(x, y, z) y i x j 3z k, S é o hemisfério
2
2
2
–––––
lido 0 z √ 1 y2, 0 x 2.
30. F(x, y, z) y i (z y) j x k, S é a superfície do tetraedro
com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1)
SCA 31. Calcule hhS xyz dS com precisão de quatro casas decimais, onde
S é a superfície z xy, 0 x 1, 0 y 1.
SCA 32. Determine o valor exato de hhS x yz dS, onde S é a superfície do
2
Exercício 31.
SCA 33. Determine o valor de hhS x2y2z2 dS correto até a quarta casa deci-
mal, onde S é a parte do paraboloide z 3 2x2 y2 que está
acima do plano xy.
SCA 34. Determine o fluxo de
F(x, y, z) sen(xyz) i x2y j z2ex/5 k
através da parte do cilindro 4y2 z2 4 que está acima do plano
xy e entre os planos x 2 e x 2, com orientação para cima.
Ilustre, usando um sistema de computação algébrica para desenhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.
35. Determine uma fórmula para hhS F dS semelhante à Fórmula 10
para o caso onde S é dada por y h(x, z) e n é o vetor normal
unitário que aponta para a esquerda.
2
3
42. A água do mar tem densidade 1.025 kg/m e escoa em um campo
de velocidade v y i x j, onde x, y, e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a
vazão para fora do hemisfério x2 y2 z 2 9, z 0.
43. Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério só-
lido x2 y2 z2 a2, z 0, se o campo elétrico for
E(x, y, z) x i y j 2z k.
44. Use a Lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com
vértices (1, 1, 1) se o campo elétrico for
E(x, y, z) x i y j z k.
45. A temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substância com
condutividade K 6,5 é u(x, y, z) 2y2 2z2. Determine a taxa
de transmissão de calor nessa substância para dentro superfície
cilíndrica y2 z2 6, 0 x 4.
46. A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade K
é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S
de raio a e centro no centro da bola.
47. Seja F um campo inverso do quadrado, ou seja, F(r) cr/r
3
para alguma constante c, onde r x i y j z k. Mostre que
o fluxo de F por uma esfera S com centro na origem é independente do raio de S.
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1040M||||MCÁLCULO
2-6 Use o Teorema de Stokes para calcular hhS curl F dS.
2.
F(x, y, z) 2y cos z i ex sen z j xey k, S é o hemisfério
x2 y2 z2 9, z 0, orientado para cima
3.
F(x, y, z) x2z2 i y2z2 j xyz k, S é a parte do paraboloide
z x2 y2 que está dentro do cilindro x2 y2 4, orientado
para cima
4.
F(x, y, z) x y z i sen(xyz) j xyz k, S é a parte do cone
y2 x2 z2 que está entre os planos y 0 e y 3, orientado na
direção positiva do eixo y
2
;
5.
6.
2
3
do paraboloide hiperbólico z y x com o cilindro
x2 y2 1 com orientação no sentido anti-horário quando
visto de cima.
(b) Trace o gráfico do paraboloide hiperbólico e do cilindro com
domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície
que você usou na parte (a).
(c) Determine equações paramétricas para C e use-as para traçar
o gráfico de C.
;
13-15 Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo
vetorial dado F e a superfície S.
F(x, y, z) xyz i xy j x2yz k, S é formada pelo topo e
pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
(1, 1, 1), com orientação para fora. [Sugestão: use a
Equação 3.]
13. F(x, y, z) y i x j z k, S é a parte do paraboloide
F(x, y, z) e cos z i x z j xy k, S é o hemisfério
–––––––––
x √ 1 y2 z2 orientado na direção positiva do eixo x [Sugestão: use a Equação 3.]
15. F(x, y, z) y i z j x k, S é o hemisfério x y z 1,
xy
2
7-10 Use o Teorema de Stokes para calcular hC F dr. Em cada caso,
2
2
z x2 y2 que está acima do plano z 1, orientado para cima.
14. F(x, y, z) x i y j xyz k, S é a parte do plano 2x y z 2
que está no primeiro octante, orientada para cima.
2
F(x, y, z) (x y2) i (y z2) j (z x2) k, C é o triângulo
com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
8.
F(x, y, z) ex i ex j ez k, C é a fronteira da parte do plano
2x y 2z 2 no primeiro octante
9.
F(x, y, z) yz i 2xz j exy k, C é a circunferência
x2 y2 16, z 5
10. F(x, y, z) xy i 2z j 3y k, C é a curva de intersecção do
plano x z 5 e do cilindro x2 y2 9
11. (a) Use o Teorema de Stokes para calcular hC F dr, onde
F(x, y, z) x z i xy j z k
2
;
2
2
e C é a curva da intersecção do plano x y z 1 com o
cilindro x2 y2 9 com orientação no sentido anti-horário
quando visto de cima.
(b) Trace o gráfico do plano e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície que você usou
na parte (a).
(c) Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C.
hC F dr, onde
1 3
–
F(x, y, z) x y i 3 x j xy k e C é a curva da intersecção
12. (a) Use o Teorema de Stokes para calcular
2
2
16. Seja C uma curva fechada simples lisa que está no plano
x y z 1. Mostre que a integral de linha
h
C
7.
2
y 0, orientado na direção positiva do eixo y.
C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
;
2
z dx 2x dy 3y dz
depende apenas da área da região englobada por C e não da
forma de C ou de sua posição no plano.
17. Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da ori-
gem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) e de volta para a
origem sob a influência do campo de forças
F(x, y, z) z2 i 2xy j 4y2 k
Encontre o trabalho feito.
18. Calcule
h
C
(y sen x) dx (z2 cos y) dy x3 dz
onde C é a curva r(t) ksen t, cos t, sen 2tl, 0 t 2p. [Sugestão: observe que C está na superfície z 2xy.]
19. Se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teorema de Sto-
kes, mostre que hhS rot F dS 0.
20. Suponha que S e C satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes
e f e t tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use
os Exercícios 24 e 26 da Seção 16.5 para demonstrar o seguinte:
(a) hC ( f t) dr hhS (
f t) dS
(b) hC ( f f ) dr 0
(c) hC ( f t t
f ) dr 0
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CÁLCULO VETORIALM||||M1045
O ponto importante nesse cálculo é que podemos calcular a integral de superfície sobre S1
porque S1 é uma esfera. O vetor normal em x é x/x. Portanto,
eQ
eQ
( )
x
eQ
3 x 4 x x 2
x
x
x
x
já que a equação de S1 é x a. Assim, temos
En
eQ
2
a
eQ
hh E dS hh E n dS hh dS
S2
a2
S1
eQ
eQ
a
a
S1
A(S1) 4pa
2
2
2
4peQ
Isso mostra que o fluxo elétrico de E é 4peQ através de qualquer superfície fechada S2 que
contenha a origem. [Esse é um caso especial da Lei de Gauss (Equação 16.7.11) para uma
única carga. A relação entre e e e0 é e 1/(4pe0).]
Outra aplicação do Teorema do Divergente aparece no escoamento de fluidos. Seja
v(x, y, z) o campo de velocidade de um fluido com densidade constante r. Então, a vazão
do fluido por unidade de área é F rv. Se P0(x0, y0, z0) é um ponto no fluido e Ba é uma
bola com centro em P0 e raio muito pequeno a, então div F(P) div F(P0) para todos os
pontos de Ba, uma vez que div F é contínuo. Aproximamos o fluxo sobre a fronteira esférica Sa como segue:
hh F dS hhh div F dV hhh div F(P ) dV div F(P )V(B )
0
Sa
Ba
0
a
Ba
Essa aproximação se torna melhor à medida que a m 0 e sugere que
y
P1
x
P2
FIGURA 4
2
2
Campo vetorial F x i y j
16.9
div F(P0) lim
1
hh
F dS
V(Ba) Sa
A Equação 8 nos diz que div F(P0) é a vazão total por unidade de volume que sai de
P0 (essa é a razão para o nome divergente). Se div F(P) 0, o escoamento total perto
de P é para fora e P é chamado fonte. Se div F(P) 0, o escoamento total perto de P é
para dentro e P é denominado sorvedouro.
Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam próximo de
P1 são menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P1. Então, o fluxo
total é para fora perto de P1 e, assim, div F(P1) 0 e P1 é uma fonte. Por outro lado,
perto de P2, os vetores que chegam são maiores que os que saem. Aqui o fluxo total é
para dentro, assim, div F(P2) 0 e P2 é um sorvedouro. Podemos usar a fórmula para
F para confirmar essa impressão. Como F x2 i y2 j, temos div F 2x 2y, que é
positivo quando y x. Assim os pontos acima da reta y x são fontes e os pontos
abaixo da reta são sorvedouros.
8
am0
EXERCÍCIOS
1-4 Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o
3.
F(x, y, z) xy i yz j zx k, E é o cilindro sólido x2 y2 1,
0z1
4.
F(x, y, z) x i y j z k, E é a bola unitária x2 y2 z2 1
campo vetorial F na região E.
1.
F(x, y, z) 3x i xy j 2xz k, E é o cubo limitado pelos planos x 0, x 1, y 0, y 1, z 0 e z 1
2.
F(x, y, z) x i xy j z k, E é o sólido delimitado pelo paraboloide z 4 x2 y2e pelo plano xy
2
5-15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de su-
perfície hhS F dS; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
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1046M||||MCÁLCULO
5.
F(x, y, z) ex sen y i ex cos y j yz2 k, S é a superfície da
caixa delimitada pelos planos x 0, x 1, y 0, y 1, z 0
ez2
6.
F(x, y, z) x z i 2xyz j xz k, S é a superfície da caixa de
vértices (1, 2, 3)
2 3
3
P1
4
7.
F(x, y, z) 3xy2 i xez j z3 k, S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y2 z2 1 e pelos planos x 1 e x 2
8.
F(x, y, z) x3y i x2y2 j x2yz k, S é a superfície do sólido delimitado pelo hiperboloide x2 y2 z2 1 e pelos planos
z 2 e z 2
9.
2
2
2
P2
2
20. (a) Os pontos P1 e P2 são fontes ou sorvedouros no campo ve-
torial F mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.
(b) Dado que F(x, y) kx, y2l, use a definição de divergente para
verificar sua resposta da parte (a).
F(x, y, z) xy sen z i cos(xz) j y cos z k, S é o elipsoide
x2/a2 y2/b2 z2/c2 1
10. F(x, y, z) x y i xy j 2xyz k, S é a superfície do tetraedro
2
2
2
limitado pelos planos x 0, y 0, z 0 e x 2y z 2
P1
z
11. F(x, y, z) (cos z xy ) i xe
j (sen y x2z) k, S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z x2 y2 e pelo
plano z 4
2
2
2
P2
12. F(x, y, z) x i x z j 4xy z k, S é a superfície do sólido li4
3 2
2
mitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos z x 2 e z 0
2
13. F(x, y, z) 4x z i 4y z j 3z k, S é a esfera com centro na
3
3
4
SCA 21-22 Trace o campo vetorial e conjecture onde div F 0 e onde
origem e raio R
14. F r/r, onde r x i y j z k, S consiste do hemisfério
–––––––––
z √ 1 x2 y2 e do disco x2 y2 1 no plano xy
–––––
SCA 15. F(x, y, z) ey tg z i y√ 3 x2 j x sen y k, S é a superfície do
sólido que está acima do plano xy e abaixo da superfície
z 2 x4 y4, 1 x 1, 1 y 1
div F 0. A seguir, calcule div F para verificar sua conjectura.
21. F(x, y) kxy, x y l
2
22. F(x, y) kx , y l
2
2
23. Verifique que div E 0 para o campo elétrico E(x) eQ
x.
x3
24. Use o Teorema do Divergente para calcular hhS (2x 2y z ) dS
2
SCA 16. Use um sistema de computação algébrica para traçar o campo
vetorial F(x, y, z) sen x cos2y i sen3y cos4z j sen5z cos6x k
no cubo obtido cortando o primeiro octante pelos planos x p/2,
y p/2 e z p/2. Em seguida, calcule o fluxo através da superfície do cubo.
hhS F dS, onde
1 3
2
2
–
F(x, y, z) z x i ( 3 y tg z) j (x z y ) k e S é a metade
de cima da esfera x2 y2 z2 1. [Sugestão: observe que S não
é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre S1
e S2, onde S1 é o círculo x2 y2 1, orientado para baixo, e
S2 S 傼 S1.]
17. Use o Teorema do Divergente para calcular
2
1
18. Seja F(x, y, z) z tg
(y ) i z ln(x 1) j z k. Determine
o fluxo de F através da parte do paraboloide x2 y2 z 2 que
está acima do plano z 1 e está orientada para baixo.
2
3
2
19. A figura mostra um campo vetorial F. Use a interpretação do di-
vergente deduzida nesta seção para determinar se div F é positivo ou negativo em P1 e em P2.
onde S é a esfera x2 y2 z2 1.
25-30 Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as
condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as
componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
25.
hh a n dS 0, onde a é um vetor constante
V(E) – hh F dS, onde F(x, y, z) x i y j z k
hh rot F dS 0
hh D f dS hhh f dV
hh( f t) n dS hhh( f t f t) dV
hh( f t t
f ) n dS hhh( f t t
f ) dV
S
26.
1
3
S
27.
S
28.
2
n
S
29.
2
S
30.
E
E
2
S
2
E
31. Suponha que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Di-
vergente e que f seja uma função escalar com derivadas parciais
contínuas. Demonstre que
hhf n dS hhh f dV
S
E
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A86
A86M||||MCÁLCULO
23.
EXERCÍCIOS 15.4
z
4
1.
h h
3p/2
4
0
0
PÁGINA 930
5.
(x1)/2
0
f (x, y) dy dx
x
R
y
1
1
1
7
0
1
h h
33p/2
y
4
0
3.
f (r cos u)r dr du
x
166
27. ––
27
25. 47,5
64
29. 2
31. –3
33. 21e 57
2
z
11. (p/2)(1 e )
3 2
–
13. 64
p
15. p/12
17. –8 (p 2)
16
19. –
p
3
21. –3 p
4
3
23. –3 pa
25. (2p/3)[1 (1/√ 2)]
0
1
–
–
29. – p (1 cos 9)
1
2
3
y
1 1
5
6
EXERCÍCIOS 15.5
35. –
37. O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma
9
20
PÁGINA 924
5. e 1
–3
3. 10
–
256
7. ––
21
13. – (1 cos 1) 15. ––
1
2
147
20
33.
1 16
17
11. –2 e –2
9. p
6
35
17. 0
–
–
37. (a)√p/4MMM(b)√p/2
PÁGINA 939
1.
64
3
7.
–14 (e2 1),
9.
L/4, (L/2, 16/(9p))
descontinuidade infinita na origem.
EXERCÍCIOS 15.3
31. 2√ 2/3
15
–
35. 16
33. 37,5pm
0
x
4
–
27. (8p/3)(64 24√ 3)
0
0
1.
4
1
9. –2 p sen 9
7.
4
4
3. –3 , ( –3 , 0)
–C
e2 1 4(e3 1)
, 2(e2 1) 9(e2 1)
(
11.
3
3
5. 6, ( –4 , –2 )
)
( –38 , 3p/16)
13. (0, 45/(14p))
15. (2a/5, 2a/5) se o vértice for (0, 0) e os lados estiverem nos eixos
31
8
19. – 21. –
positivos
z
–1 (e4 1), –18 (e2 1), 16–1 (e4 2e2 3)
17. 16
(0,0,1)
6
6
6
19. 7ka /180, 7ka /180, 7ka /90 se o vértice for (0, 0) e os lados es-
tiverem nos eixos positivos
1 16
2p
– –
2
, Ix 3p2/64
p 9p
3
21. m p /8 (x , y ) 0
(0,1,0)
y
(1,0,0)
39.
hh
2
4
0
y2
41.
f (x, y) dx dy
37. p/2
h h
3
3
–––––
√ 9x2
0
4
1
–5 0,1042
27. (a) –2 MM(b) 0,375 MM(c) 48
y
–
y√x
2
0,2
0,8187
(ii) 1 e1,8 e0,8 e1 0,3481MM(c) 2, 5
29. (b) (i) e
3
x2y29
31. (a) 0,500
x=4
0
43.
h h
y0
ln 2
2
0
ey
4
x
3
0
y0
3
x2 f (x, y) dx dy
y
y ln x ou x ey
x2
1.
y0
0
1/16
53. (p/16)e
59. 8p
1
47. –3 ln 9
hhQ e
61. 2p/3
(x2y2)2
1
–
1
49. –3(2√ 2 1)
dA p/16
x
(b) 0,632
–––––––––––––––––
33. (a) hhD (k/20)[20 √ (x x0)2 (y y0)2 ] dA, onde D é o disco
de raio 10 km centrado no centro da cidade
(b) 200pk/3 209k, 200(p/2 –89 )k 136k, na periferia
EXERCÍCIOS 15.6
ln 2
1 9
45. –6 (e 1)
4
25. ra /16, ra /16; a/2, a/2
f (x, y) dy dx
y
)
1
4
2
4
2
Iy 16– (p 3p ), I0 p /16 9p /64
–
–
3
3
23. rbh /3, rb h/3; b/√ 3 h/√ 3
x
35. 13,984,735,616/14,549,535
(
27
–
4
3. 1
1
2
x
–
13. 8/(3e) 15. 60
h hh
1
x
0
0
51. 1
23. (a)
3
55. –4
25. 60,533
––––
√1y2
0
PÁGINA 948
1
3
5. –3 (e 1)
7. –3
9. 4
17. 16p/3
16
19. –3
8
–
21. 15
1
dz dy dxMMM(b) –14 p –13
65
–
11. 28
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A87
APÊNDICESM||||MA87
27.
1
(68 15p)
(c) ––
240
z
1
1
1
1
(b) –MM
(c) –––
49. (a) –MM
8
64
5.760
3
0
1
51. L /8
2
53. A região limitada pelo elipsoide x 2y 3z 1
2
y
2
2
x
29.
31.
h h h
h h
h
h h
h
h h
h
h h
h
h h
h
–––––––
4x2 √4x2y/2
–––––––
2 0
√4x2y/2
––––
–––––––
√4x2y/2
4 √ 4y
–––––––
––––
0 √ 4y √4x2y/2
––––––––
1
44z2 √4y4z2
––––––––
1 0
√ 4y4z2
––––
––––––––
√4y4z2
4 √ 4y/2
––––––––
––––
0 √ 4y/2 √ 4y4z2
––––2
2
√4x /2
4x24z2
––––
2 √4x2/2 0
–––––
1
√44z2
4x24z2
–––––
1 √44z2 0
2
hh
h
h
h
h
h
2
4
0
4
0
2
1.
f (x, y, z) dz dy dx
PÁGINA 953
(a)
(b)
(4, p3 ,5 )
f (x, y, z) dz dy dx
(2,p4 ,1)
f (x, y, z) dz dy dx
f (x, y, z) dz dy dx
f (x, y, z) dz dy dx
4
2
p
4
1
h f (x, y, z) dz dy dx
h h f (x, y, z) dz dx dy
h h f (x, y, z) dz dx dy
h h f (x, y, z) dz dx dy
h h f (x, y, z) dz dx dy
h h f (x, y, z) dz dx dy
0–
√y
2y/2
–
√y 0 –
42z √ y
–
√–y
0
2y/2 √ y
–
√y
0
2x2/2 42z
3.
5.
9.
0
p
3
y
y
x
x
– –
(√ 2, √ 2, 1)
–
(a) (√ 2, 7p/4, 4)
–
(2, 2√ 3, 5)
(b) (2, 4p/3, 2)
7. Paraboloide circular
Semiplano vertical pelo eixo z
(a) z r2
(b) r 2 sen u
11.
z
1
h h h f (x, y, z) dz dy dx
h h h f (x, y, z) dz dy dx
h h h f (x, y, z) dz dy dx
h h h f (x, y, z) dz dy dx
h f (x, y, z) dz dy dx
h h
h f (x, y, z) dz dy dx
h h
z1
1 1y
–
0 √x 0
1 y2 1y
1
2
0 0 0
1 1z y2
0 0
1 1y
0
1
0
1
1
y
0
y
1
0
1
0
1
0
13. Coordenadas cilíndricas: 6 r 7, 0 u 2p, 0 z 20
15.
x
0
1
0 0
1 y
1
z
x
y
x
0
1
0
1
y
x
0
z
0
z
z
4
2
45. (a) m 5
h h
3
3
––––
√9x2
––––
√9x2
(b) (x–, –y , –z ), onde
h
1
4
43. –2 pkha
5y
1
3
x– (1/m) h3
3
––––
√9x2
––––
√9x2
––––
√9x2
––––
√9x2
––––
3
√9x2
––––
3 √9x2
––––
3
√9x2
––––
3 √9x2
5y
1
2
29. (a)
(
19. 0
21. 2p/5
hhh
C
27. 0
h(P) dV, onde C é o coneMM(b) 4,4 1018 J
EXERCÍCIOS 15.8
––––––
x √ x2 y2 dz dy dx
1
––––––
5y
y √ x2 y2 dz dy dx
1
––––––
5y
z √ x2 y2 dz dy dx
1
PÁGINA 959
5y
2 3/2
1.
(a)
1
dz dy dx
28
30p 128 45p 208
, , 9p 44 45p 220 135p 660
(0, 0, 1)
z
(1,0,0)
0
11
24
(b) (x–, –y , –z ) 17. 384p
y
23. (a) 162p MMM(b) (0, 0, 15)
2
47. (a) – p –
3
32
4
4
x
25. pKa /8, (0, 0, 2a/3)
––––––
√ x2 y2 dz dy dx
h h
–y (1/m)
h h h
–z (1/m)
h h h
(c) h h
h (x y )
3
y
39. a, (7a/12, 7a/12, 7a/12)
41. Ix Iy Iz –3 kL
64p/3
z
h h h f (x, y, z) dz dx dy h h h f (x, y, z) dz dy dx
h h h f (x, y, z) dz dx dy h h h f (x, y, z) dz dy dx
h h h f (x, y, z) dz dx dy h h h f (x, y, z) dz dy dx
1
79 358 33 571
–, (––
, –, ––
37. 30
553 79 553)
y
2
x
0
y2
0 –0
1√ x 1z
–
0
√x
(1z)2 1z
–
0
√x
0
1
35.
5
0
2 0––––
x2
42z
2 √42z
–––––
0 √ 42z x2
33.
z
z
2y/2
2 x2
4
0
2
EXERCÍCIOS 15.7
f (x, y, z) dz dy dx
x
)
y
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A88
A88M||||MCÁLCULO
–
(b)
p
3
y
x
7.
9.
–
(a) (4, p/3, p/6)MMM(b) (√ 2, 3p/2, 3p/4)
Semicone
Esfera, raio –12, centro (0, –12, 0)
(a) cos2f sen2fMM(b) r2(sen2f cos2u cos2f) 9
11.
–
A região limitada pela reta y 1, pelo eixo y e por y √ x
11. 3
13. 6p
15. 2 ln 3
4
(b) 1.083 1012 km3
17. (a) –3 pabc
8
3
1
19. –5 ln 8
21. –2 sen 1
23. e e
9.
2
0
5.
–
(2, p3 , p4 )
p
4
3.
–
( –12 √ 2, –12 √ 6, √ 2)
z
CAPÍTULO 15 REVISÃO PÁGINA 969
Testes Verdadeiro-Falso
1. Verdadeiro
3. Verdadeiro 5. Verdadeiro 7. Falso
Exercícios
1.
hh
p
4
0
2
3. 4e 4e 3
2
1
5. –2 sen 1
2
7. –3
z
9.
2
11. A região dentro do laço da rosácea de quatro pétalas r sen 2u
1 6
7
15. –2 e –2
1
17. –4 ln 2
19. 8
21. 81p/5
23. 40,5
25. p/96
–
27. 15
29. 176
2
31. –3
33. 2ma /9
13.
2
2
y
x
z
13.
f (r cos u, r sen u) r dr du
no primeiro quadrante
r2
–12 sen 1
64
3
1
1 8
–)MMM
35. (a) –4 MMM(b) ( –3, 15
x
y
f
3p
4
15. 0 f p/4, 0 cos f
z
– =
–
1
–
–1 ; =
(c) Ix 12
, Iy 24
y 1/√ 3, x 1/√ 6
37. (0, 0, h/4)
39. 97,2
41. 0,0512
1
–
–1
43. (a) 15
MM(b) –13 MM(c) 45
45.
r1
17.
64,0
–
(9p/4) (2 √ 3)
hh h
1
1z
0
0
–
√y
–
√y
47. ln 2
f (x, y, z) dxdy dz
PROBLEMAS QUENTES
PÁGINA 972
1
–
1. 30
3. 2 sen 1
49. 0
7. (b) 0,90
3
CAPÍTULO 16
EXERCÍCIOS 16.1
p
6
1.
x
19.
h hh
y
p/2
3
2
0
0
0
1
f (r cos u, r sen u, z) r dz dr du
31.
33.
35.
37.
41.
23. 15p/16
25. 1562p/15
–
3
(√ 3 1)pa /3
29. (a) 10pMMM(b) (0, 0, 2,1)
525
,
0
(0, ––
)
296
(a) (0, 0, –38 a)MMM(b) 4Kpa5/15
–
–
(2p/3)[1 (1/√ 2)], (0, 0, 3/[8(2 √ 2)])
–
5p/6
39. (4√ 2 5)/15
43. 136p/99
2
21. 312,500p/7
27.
0
1
2
3.
7.
PÁGINA 968
16 3. 0
5. 2uvw
O paralelogramo com vértices (0, 0), (6, 3), (12, 1), (6, 2)
5.
y
y
2
2
EXERCÍCIOS 15.9
x
1
1
0
1.
PÁGINA 980
y
2
x
0
x
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A89
APÊNDICESM||||MA89
7.
9.
z
EXERCÍCIOS 16.2
z
1.
11.
x
y
x
y
17.
19.
27.
11. II
13. I
19.
15. IV
PÁGINA 990
243
17
– (1453/2 1)
3. 1638,4
5. –
7. –3
9. 320
8
––
1
6
1
97
–
–
–
√14 (e 1)
13. 5
15. 3
12
(a) Positivo
(b) Negativo
6
45
21. –5 cos 1 sen 1
23. 1,9633
25. 15,0074
2
3p –3
2,5
1
54
17. III
A reta y 2x
4,5
2,5
4,5
2
0,5
4,5
2,5
29. (a) – 1/e
11
8
(b)
1,6
F (r (1))
4,5
1
x 2y
( (√21– )
F r
2
x 2y
21. f (x, y) i j
x
y
23. f (x, y) –––––––––– i –––––––––– j
√ x2 y2 z2
√ x2 y2 z2
z
–––––––––– k
√ x2 y2 z2
25. f (x, y) 2x i j
y
2
4
2
0
4
6
x
6
6
43. 1,67 10 pés-lb
4
39. 2p
41. 26
45. (b) Sim
47. 22 J
EXERCÍCIOS 16.3
6
1,6
0,2
2
27.
1
–
172,704
√ 2(1 e14p)
31. –––––
33. 2pk, (4/p, 0)
5,632,705
–
35. (a) x (1/m) hC xr(x, y, z) ds,
–y (1/m)
hC yr(x, y, z) ds,
–z (1/m)
hC zr(x, y, z) ds, onde m hC r(x, y, z) ds
(b) (0, 0, 3p)
1
4
1
2
37. Ix k ( –2 –3 ), Iy k ( –2 –3 )
2
6
F(r(0))
0
PÁGINA 999
3. f (x, y) x 3xy 2y 8y K
2
2
1.
40
5.
f (x, y) ex sen y K
9.
f (x, y) x ln y x2y3 K
7. f (x, y) ye x sen y K
x
1
2 2
13. (a) f (x, y) –2 x y MMM(b) 2
11. (b) 16
15. (a) f (x, y, z) xyz z MMM(b) 77
2
17. (a) f (x, y, z) xy cos zMMM(b) 0
2
6
31. II
29. III
35. (a)
33. (2,04, 1,03)
(b) y 1/x, x 0
y
19. 25 sen 1 1
21. 30
23. Não
25. Conservativo
29. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Sim
31. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Não
EXERCÍCIOS 16.4
0
PÁGINA 1006
x
1.
8p
625
p
13. ––
2
2
3
3. –
5. e 1
1
15. 8e 48e
9. 24p
1
7. –3
17. –
19. 3p
12
1
4
11. –3 2p
9
21. (c) –2
23. (4a/3p, 4a/3p) se a região for a parte do disco x y a no
2
y C/x
primeiro quadrante
2
2
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A90
A90M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS 16.5
x
29. x x, y e
PÁGINA 1013
(a) x2 i 3xy j xz kMM(b) yz
3. (a) 0MM(b) 1
––––––––––
5. (a) 0MM(b) 2/√ x2 y2 z2
7. (a) k1/y, 1/x, 1/xl (b) 1/x 1/y 1/z
9. (a) NegativoMMM(b) rot F 0
11. (a) ZeroMMM(b) rot F aponta na direção de z negativo
2 3
2
2
13. f (x, y, z) xy z K
15. f (x, y, z) x y y z K
17. Não conservativo
19. Não
cos u,
z ex sen u, 0 x 3
0 u 2p
1.
EXERCÍCIOS 16.6
1.
3.
5.
1
z 0
1
1
y
33. 3x y 3z 3
35. x 2z 1
–4 (35/2 27/2 1)
39. 15
––
7.
x
2
––
37. 3√14
–
41. (2p/3)(2 √ 2 1)
–
––
P: não; Q: sim
Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores k1, 0, 4l, k1, 1, 5l
Cilindro circular com eixo no eixo x
1 0
31. (a) Inverte o sentidoMMM(b) O número de voltas dobra
43. (p/6)(17 √ 17 5√ 5)
PÁGINA 1023
0
––
––
1
17
45. –2 √ 21 –4 [ln(2 √ 21) ln √ 17]
47. 4
49. 13.9783
51. (a) 24.2055
(b) 24.2476
–– 15
–
––
–
––
– ln[(11√ 5 3√ 70)/(3√ 5 √ 70)]
53. – √14 16
45
8
v constante
55. (b)
2
2
z 0
1
2
0
u constante
1,5
y 1
z 0
x
2
2
2
9.
u constante
2
y
(c) h0
1
2p
h
p
0
0
2
1
1 0x
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
√36 sen4u cos2v 9 sen4u sen2v 4 cos2u sen2u du dv
59. 2a (p 2)
2
57. 4p
v constante
z 0
EXERCÍCIOS 16.7
1
0
0
y
1 1
49,09
3. 900p
–
9. 5√ 5/48 1/240
––
13. (p/60)(391√17 1)
x
11.
713
180
29. 2p –
35.
z 0
1
1
y
1
0
0
11
x
–
11. 364√ 2/3p
15. 16p
17. 12
21. –
23. 108p
25. 0
31. 0,1642
33. 3,4895
27. 48
F dS hhD[P(h/x) Q R(h/z)]dA, onde
15. II
39. (a) Iz hh
S
–
(x2 y2)r(x, y, z) dSMMM(b) 4.329√ 2/5
41. 0 kg/s
u constante
17. III
19. x 1 u v, y 2 u v, z 3 u v
––––––––––
21. x x, z z, y √ 1 x2 z2
23. x 2 sen f cos u, y 2 sen f sen u,
z 2 cos f, 0 f p/4, 0 f 2p
–––––––––
[ou x x, y y, z √ 4 x2 y2, x2 y2 2]
x
S
7. √ 3/24
D projeção de S no plano xz
37. (0, 0, a/2)
v constante
25. x x, y e
hh
8
3
–
5. 171√ 14
1
6
19. ––
1
13. IV
––
1.
1
1
PÁGINA 1034
cos u, z 4 sen u, 0 x 5, 0 u 2p
EXERCÍCIOS 16.8
3.
0
11. (a) 81p/2
8
3
43. –3 pa e0
45. 1.248p
PÁGINA 1039
5. 0
7. 1
9. 80p
(b)
5
z 0
5
2
0
y
2
2
0
2
x
Cal_apen A:Layout 1
04.08.09
10:07
Page A91
APÊNDICESM||||MA91
(c) x 3 cos t, y 3 sen t,
z 1 3(cos t sen t),
0 t 2p
EXERCÍCIOS 17.2
z
4
1.
2
3.
y c1e2x c2ex –12 x2 –32 x –74
1
1
–
–
y c1 c2e2x 40
cos 4x 20
sen 4x
5.
1 x
–
y e2x(c1 cos x c2 sen x) 10
e
7.
11
y –32 cos x –
sen x –12 ex x3 6x
2
9.
y ex( –12 x2 x 2)
0
2
2
y
0
2
2
0
2
x
17. 3
11.
EXERCÍCIOS 16.9
PÁGINA 1064
PÁGINA 1045
2
5.
7. 9p/2
2
–
9. 0
11. 32p/3
–
– arcsen(√ 3/3)
15. 341√ 2/60 20
81
17. 13p/20
4
CAPÍTULO 16 REVISÃO PÁGINA 1048
Testes Verdadeiro-Falso
1. Falso
3. Verdadeiro
5. Falso
Exercícios
(a) NegativoM(b) Positivo
11
– 4/e
9. 12
110
3
–
17. 8p
––
33. –
9x
2
1
––
x
x
x
13. 0
x
1
x/2
y c1e c2 xe
7. y c1 c2e
2x
y e (c1 cos 3x c2 sen 3x)
11. y c1e
49
– kg
5. 12
c10
c15
1,4
c20
c25
c30
3. y c1 cos(x/2) c2 sen(x/2)
0,11
10t
13. Q(t) (e
_
(√ 31)t/2
c2e
I(t) – e
[c1 cos( 10–1 t) c2 sen( 10–1 t)]
15.
10
f
3
3
10
x
e
19. y e 2xe
x/2
x/2
2x
29. Nenhuma solução
1
27. y e
ex3
3
3
1e
e 1
(2 cos 3x ep sen 3x)
2 2 2
33. (b) l n p /L , n um inteiro positivo; y C sen(npx/L)
3
3
3
3
cos 20t ––
sen 20t] ––
cos 10t ––
sen 10t
[––
250
500
250
125
EXERCÍCIOS 17.4 PÁGINA 1076
3n
∞ xn
∞
3
x
x
1. c0 ∑ c0e
3. c0 ∑ c0ex /3
n
n0 n!
n0 3 n!
∞
(1)
n
∞
n
(2) n!
x2n c1 ∑ x2n1
n
n0 2 n!
n0 (2n 1)!
5.
c0 ∑
7.
c0 c1 ∑
9.
ex /2
n
n0 2 n!
23. y e (2 cos x 3 sen x)
25. y 3 cos(–2 x) 4 sen(–2 x)
1
15. Q(t) e
x
21. y 3 cos 4x sen 4x
3
,
/250)(6 cos 20t 3 sen 20t) ––
125
sen 20t
10t
Todas as soluções tendem ou a
0 ou a ∞ quando x m ∞.
t
10t
3
5
t
2x
x]
2x/3
_
(√ 31)t/2
31. y e
1
2
0
5.
ln(1 ex )]e2x
PÁGINA 1071
–
x 0,35 cos(2√ 5 t) 3. x –15 e6t –65 et
PÁGINA 1058
2x/3
17. y 2e
x
27. y e [c1 c2x –2 ln(1 x ) x tg
1.
y c1e3x c2e2x
x
25. y [c1 ln(1 e )]e [c2 e
EXERCÍCIOS 17.3
39. 21
1.
3x/2
2x
23. y c1 sen x c2 cos x sen x ln(sec x tg x) 1
CAPÍTULO 17
EXERCÍCIOS 17.1
1
21. y c1e c2xe e
4
–
5. 15
3. 6 √ 10
1
0,02
13. P e
2
19. y c1 cos(–2 x) c2 sen(–2 x) –3 cos x
7. Verdadeiro
7.
9.
2
15. yp Ax (Bx C)e
x
29. 64p/3
37. 4
1
2
2
17. yp xe [(Ax Bx C) cos 3x (Dx Ex F)sen 3x]
11. f (x, y) ey xexy
–
1
25. –6 (27 5√ 5)
27. (p/60)(391√ 17 1)
13. yp Ae (Bx Cx D) cos x (Ex Fx G) sen x
2x
21. div F 0 nos quadrantes I, II; div F 0 nos quadrantes III, IV
1.
4
yp
13. 0
19. Negativo em P1, positivo em P2
7.
As soluções são todas
assintóticas a yp ex/10
quando x m ∞. Exceto por yp,
todas as soluções tendem a ∞
ou ∞ quando x m ∞.
5
∞
n
x
c0 c1 ln(1 x) for x 1
n1 n
∞
∑
2n
x
∞
11. x ∑
n0
2
(1)n2252 . . . (3n 1)2
(3n 1)
x3n1
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