Rodada #01 Raciocínio Lógico

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Rodada #01
Raciocínio Lógico
Professor Guilherme Neves
Assuntos da Rodada
MATEMÁTICA
1. Operações com números reais. 2. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor
comum. 3. Razão e proporção. 4. Porcentagem. 5. Regra de três simples e composta. 6.
Média aritmética simples e ponderada. 7. Juros simples. 8. Equação do 1.o e 2.o graus.
9. Sistema de equações do 1.o grau. 10. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos.
11. Sistemas de medidas usuais. 12. Noções de geometria: forma, perímetro, área,
volume, ângulo, teorema de Pitágoras. 13. Resolução de situações-problema.
RACIOCÍNIO LÓGICO
Estruturas lógicas, lógicas de argumentação, diagramas lógicos, sequências.
RACIOCÍNIO LÓGICO
a. Teoria em tópicos
1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira
ou falsa, mas não as duas.
Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso).
2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como “Os
alunos do Ponto dos Concursos” não são proposições lógicas, pois não possuem
predicado (verbo).
3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa.
Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições.
i) Que belo dia! (exclamativa)
ii) Qual é o seu nome? (interrogativa)
iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa – indica ordem)
iv) Que Deus te abençoe. (optativa – exprime desejo).
4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta
ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo
variável.
Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em 2009.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V ou F, já
que não sabemos quem é “ele”.
Exemplo: x + 2 = 8
A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor de x.
A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica).
5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio
de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os
conectivos.
6. O modificador é um operador lógico que “troca” o valor lógico das proposições. Se
temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador,
teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição
falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira.
7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi “modificada” são:
. A
proposição modificada é chamada de negação da proposição original.
Exemplos:
Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição
verdadeira.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas:
8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para
negar a frase. Vejamos outro exemplo:
Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma
proposição falsa.
9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições.
Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de
proposições construídas a partir de proposições simples.
Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p.
p
~p
V
F
F
V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos
lógicos.
11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou),
Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e
somente se...).
12. Caso o problema fale apenas “disjunção”, consideraremos que se trata da
Disjunção Inclusiva.
13. Os conectivos podem estar “disfarçados” sob expressões equivalentes.
Exemplo 1: “Fui à praia, mas não estudei” = “Fui à praia e não estudei.
Exemplo 2: “Quando vou à praia, não durmo”= “Se vou à praia, então não durmo”.
Exemplo 3: “Penso, logo existo” = “Se penso, então existo”.
14. A proposição “Guilherme e Moraes são professores” é uma proposição simples. O
sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição “Guilherme é professor e
Moraes é professor” é uma proposição composta.
15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo.
Nome do Conectivo
Forma mais comum
Símbolo
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunção
e
Disjunção (Inclusiva)
ou
Disjunção Exclusiva
Ou...ou
Condicional
Se..., então
Bicondicional
...se e somente se
A VUNESP utilizou em algumas provas o símbolo &. Ou seja, a proposição
pode ser escrita como p & q.
A VUNESP utilizou em algumas provas o símbolo
então...”. Assim, a proposição
para o conectivo “se...,
é a mesma coisa que
.
16. Como distinguir os símbolos  e ? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos.
Observe:
O
/
O
Em qual das duas situações você consegue ler “OU”? Na “palavra da esquerda!
Portanto, aquele símbolo é o “ou”. Consequentemente o outro é o “e”.
Outro processo mnemônico consiste em colocar um “pontinho” em cima do símbolo.
Vejamos:
Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva “i”? No símbolo da
direita! Portanto, aquele símbolo é o “e” (mesmo fonema do “i”).
17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra de
cada um dos conectivos.
6
RACIOCÍNIO LÓGICO
18. Uma proposição composta pelo conectivo “e” (conjunção) só é verdadeira quando
as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases
componentes for falsa, a proposição composta será falsa.
Exemplo: Se a proposição “João é pobre” for falsa e se a proposição “João pratica atos
violentos” for verdadeira, então a proposição “João não é pobre, mas pratica atos
violentos” será verdadeira.
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 e a Lua é quadrada” é falsa, pois um de seus
componentes é falso.
19. Uma proposição composta pelo conectivo “ou” (disjunção (inclusiva)) só é
verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só
será falsa se os dois componentes forem falsos.
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 ou a Lua é quadrada” é verdadeira, pois pelo menos
um de seus componentes é verdadeiro.
Exemplo: A proposição “Paris está na Inglaterra ou √16=3” é falsa, pois seus dois
componentes são falsos.
7
RACIOCÍNIO LÓGICO
20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos
como verdadeira a proposição composta pelo “ou” que possui os dois componentes
verdadeiros.
21. Ao utilizar o conectivo “Ou...ou...” a proposição composta só será verdadeira
quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes
forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta
será falsa.
Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo “ou...ou...” colocando a expressão
“mas não ambos” ao final da frase.
Assim, “Ou p ou q” = “Ou p ou q, mas não ambos”.
22. Na proposição condicional “Se p, então q”, a proposição p é o antecedente e a
proposição q é o consequente.
Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
O antecedente é a proposição “Guilherme é recifense” e o consequente é a proposição
“Igor é mineiro”.
A proposição “Se p, então q” pode ser lida como “p é condição suficiente para q” ou
como “q é condição necessária para p”.
23. Uma proposição composta pelo conectivo “Se..., então...” só é falsa quando ocorre
VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer
outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira.
Exemplos:
24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for
verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo “se..., então” é falsa.
Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira.
V
V
V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
V
F
F
F
V
V
F
F
V
25. Uma proposição composta pelo conectivo “...se e somente se...” (bicondicional) é
verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, VV ou FF. Se os
componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta será falsa.
26. O conectivo “se e somente se” corresponde à conjunção (e) de dois condicionais
(se...,então...). Em outras palavras, as proposições “P se e somente se Q” e “Se P, então
Q e se Q, então Q” querem dizer a mesma coisa (são equivalentes).
Exemplo: São equivalentes as proposições “Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12”
e “Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal”.
A proposição “p se e somente se q” pode ser lida como “p é condição necessária e
suficiente para q” ou “q é condição necessária e suficiente para p”.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade.
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as
compostas verdadeiras.
Conjunção
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção Inclusiva
Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira.
Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Disjunção Exclusiva
Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A
proposição composta será falsa se os dois componentes
forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos.
Condicional
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode
acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal,
dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.
Bicondicional
Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais.
Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n
proposições simples é 2n.
Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas
leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou
F.
p
V
F
Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 22 = 4. SEMPRE
que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos
com a seguinte disposição.
pq
VV
VF
FV
FF
Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 23 = 8.
SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições,
começaremos com a seguinte disposição.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
F VV
F VF
FFV
FFF
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma
valoração.
30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos
valores das proposições simples que a compõem.
Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade
envolvendo apenas estas três proposições terá
linhas.
Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
E o que significa “construir a tabela-verdade” desta proposição?
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta
proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta
proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa.
Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição:
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
FVV
FVF
FFV
FFF
Neste “começo” de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações
destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início.
Na primeira coluna, temos 4 “V” seguidos de 4 “F”. Na segunda coluna temos 2 “V”
seguidos de 2 “F” alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos “V” e “F” que se
alternam.
Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim.
Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Observe que não aparece a proposição
propriamente dia e sim a sua negação.
Portanto, o primeiro passo é construir a negação de
. Lembre-se que se uma
proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente.
p q
r
~q
V V V F
V V F F
V F V V
V F F V
F V V F
F V F F
F F V V
F F F V
Valores opostos!!
Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas
que estão dentro dos parênteses. Comecemos por
proposição
com a proposição
. Devemos conectar a
através do conectivo “e”. Lembre-se que uma
proposição composta pelo “e” só é verdadeira quando os dois componentes são
verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas
outras possibilidades tornam a composta
p q
r
e
são verdadeiras. Todas as
falsa.
~ q pr
15
RACIOCÍNIO LÓGICO
V V V F
V
V V F F
F
V F V V
V
V F F V
F
F V V F
F
F V F F
F
F F V V
F
F F F V
F
Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de
parênteses:
.
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo “ou” é verdadeira quando
pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas
linhas em que pelo menos uma das duas
p q
r
ou
for verdadeira.
~ q pr ~ qr
V V V F
V
V
V V F F
F
F
V F V V
V
V
V F F V
F
V
F V V F
F
V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
F V F F
F
F
F F V V
F
V
F F F V
F
V
Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e
portanto, a composta construída é falsa nestes casos.
Podemos agora, finalmente construir a composta ( p  r )  (~ q  r ) . Lembre-se que há
apenas um caso em que a composta pelo “se..., então” é falsa: quando o primeiro
componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as
duas últimas colunas.
Vejamos cada linha de per si:
1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
Desta forma:
p q
r
~ q p  r ~ q  r ( p  r )  (~ q  r )
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RACIOCÍNIO LÓGICO
V V V F
V
V
V
V V F F
F
F
V
V F V V
V
V
V
V F F V
F
V
V
F V V F
F
V
V
F V F F
F
F
V
F F V V
F
V
V
F F F V
F
V
V
Concluímos que a proposição composta ( p  r )  (~ q  r ) é sempre verdadeira,
independentemente dos valores atribuídos às proposições
.
Dizemos então que a proposição ( p  r )  (~ q  r ) é uma tautologia (ou proposição
logicamente verdadeira).
31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos
valores das proposições simples que a compõem.
Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade.
32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a depender
dos valores das proposições componentes.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade.
33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas “dizem
a mesma coisa”.
Por exemplo:
Eu joguei o lápis.
O lápis foi jogado por mim.
As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma
coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for
falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes.
Em símbolos, escrevemos
.
34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as
tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas.
Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições
,
e
.
Precisamos apenas construir a tabela-verdade.
p q ~ q ~ p p  q ~ q ~ p ~ p  q
V V F
F
V
V
V
V F V
F
F
F
F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
F V F
V
V
V
V
F F V
V
V
V
V
Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente
equivalentes.
35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das
questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não
precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com
99% de probabilidade de acertar. Rs...).
Portanto, memorize as seguintes equivalências:
36. A equivalência
permite construir uma proposição composta
pelo “se...,então...” a partir de outra proposição composta pelo “se...,então”. Para tanto,
basta negar os dois componentes e trocar a ordem.
Exemplo: São equivalentes as proposições “Se bebo, então não dirijo” e “Se dirijo,
então não bebo”.
37. A equivalência
permite construir uma proposição composta
pelo “ou” a partir de uma composta pelo “se...,então...”. Para tanto, basta negar o
primeiro componente.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo: São equivalentes as proposições “Penso, logo existo” e “Não penso ou
existo”.
38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “e”.
Exemplo: A negação de “Corro ou não durmo” é “Não corro e durmo”.
39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “ou”.
Exemplo: A negação de “Corro e não durmo” é “Não corro ou durmo”.
40. Para negar uma proposição composta pelo “Se...,então...”: copie o antecedente,
negue o consequente e troque o conectivo por “e”. Em outras palavras, copie a
primeira parte, negue a segunda e troque por “e”.
Exemplo: A negação de “Penso, logo existo” é “Penso e não existo”.
41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como “Todo”,
“Nenhum”, “Algum”.
Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um =
Existe algum
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RACIOCÍNIO LÓGICO
42. Uma proposição do tipo “Todo...é”... é chamada de Proposição Universal Afirmativa
(U.A.)
Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano.
43. Uma proposição do tipo “Todo...não é”... é chamada de Proposição Universal
Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por
“Nenhum...é...”.
Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio.
44. Uma proposição do tipo “Algum...é”... é chamada de Proposição Particular
Afirmativa (P.A.)
Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano.
45. Uma proposição do tipo “Algum... não é”... é chamada de Proposição Particular
Negativa (P.N.)
Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano.
46. Resumo das proposições quantificadas.
Proposição universal afirmativa
Todo recifense é pernambucano.
Proposição universal negativa
Nenhum recifense é pernambucano.
22
RACIOCÍNIO LÓGICO
Proposição particular afirmativa
Algum recifense é pernambucano.
Proposição particular negativa
Algum recifense não é pernambucano.
47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e
vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa.
Afirmação
Negação
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal
negativa
(“nenhum...”
ou
“todo... não ...”)
Universal
negativa
(“nenhum...”
ou Particular afirmativa (“algum...”)
“todo... não...”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Particular negativa (“algum... não”)
Particular negativa (“algum... não”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação
terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador
PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL.
Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será
NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA.
Vejamos alguns exemplos:
p : Algum político é honesto.
p : Existe político honesto.
A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma
23
RACIOCÍNIO LÓGICO
UNIVERSAL NEGATIVA.
~ p : Nenhum político é honesto.
~ p : Todo político não é honesto.
q : Nenhum brasileiro é europeu.
q : Todo brasileiro não é europeu.
A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR
AFIRMATIVA.
~ q : Algum brasileiro é europeu.
~ q : Existe brasileiro que é europeu.
r : Todo concurseiro é persistente.
A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma
PARTICULAR NEGATIVA.
~ r : Algum concurseiro não é persistente.
~ r : Existe concurseiro que não é persistente.
t : Algum recifense não é pernambucano.
t : Existe recifense que não é pernambucano.
A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL
AFIRMARTIVA.
~ t : Todo recifense é pernambucano.
24
RACIOCÍNIO LÓGICO
48.
Como
saberemos
se
uma
questão
qualquer
se
refere
à
negação?
De três maneiras:
i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.
ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.
iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.
49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser feito
utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma
linha fechada e não entrelaçada.
50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das
proposições categóricas.
Todo A é B  Todo elemento de A também é elemento de B.
Nenhum A é B  A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos
comuns.
Algum A é B  Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum.
Algum A não é B  O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de
B.
51. Todo A é B
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RACIOCÍNIO LÓGICO
A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:
A é subconjunto de B.
A é parte de B.
A está contido em B.
B contém A.
B é universo de A.
B é superconjunto de A.
Se sabemos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Algum A é B” é necessariamente verdadeira.
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente falsa.
52. Algum A é B
A proposição categórica “Algum A é B” equivale a “Algum B é A”.
26
RACIOCÍNIO LÓGICO
Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais
proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são indeterminadas.
Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe pelo
menos um elemento de A que também é elemento de B.
53. Nenhum A é B
A proposição categórica “Nenhum A é B” equivale a:
Nenhum B é A.
Todo A não é B.
Todo B não é A.
A e B são conjuntos disjuntos.
Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais
proposições categóricas?
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente verdadeira.
“Algum A é B” é necessariamente falsa.
27
RACIOCÍNIO LÓGICO
54. Algum A não é B
Observe que “Algum A não é B” não equivale a “Algum B não é A”. Por exemplo, dizer
que “Algum brasileiro não é pernambucano” não equivale a dizer que “Algum
pernambucano não é brasileiro”.
Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais
proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos
conjuntos A e B.
“Algum A é B” é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos
conjuntos A e B.
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
b. Revisão 1
QUESTÃO 01 – VUNESP – PC/SP – ESCRIVÃO - 2013
Em uma implicação do tipo “Se A, então B”, dizemos que A é o antecedente e B é o
consequente. Considere a seguinte implicação: Se José é promotor, então José é o
acusador dos réus.
Assim, pode-se afirmar corretamente que
(A) o antecedente é “José é o acusador dos réus”.
(B) o antecedente e o consequente são “José é o acusador dos réus”.
(C) o antecedente e o consequente são “José é promotor”.
(D) o antecedente é “José é promotor”.
(E) o consequente é “José é promotor”.
QUESTÃO 02 – VUNESP – PC/SP – ESCRIVÃO - 2013
Um enunciado é uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que
contém um enunciado que é uma tautologia.
(A) Está chovendo e não está chovendo.
(B) Está chovendo.
(C) Se está chovendo, então não está chovendo.
(D) Está chovendo ou não está chovendo.
(E) Não está chovendo.
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 03 – VUNESP – PC/SP – INVESTIGADOR - 2013
Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e
implicação (material), assinale a alternativa correta.
(A) As conjunções só́ são falsas quando ambos os conjuntos são falsos.
(B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro.
(C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso.
(D) Só́ há um caso em que as implicações são verdadeiras.
(E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso.
QUESTÃO 04 – VUNESP – DCTA – 2013
Uma negação lógica para a proposição a Terra é redonda se e somente se o céu não é
azul pode ser dada por
(A) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
(B) a Terra é redonda e o céu não é azul.
(C) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.
(D) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
(E) O céu não é azul e a Terra não é redonda.
QUESTÃO 05 – VUNESP – PC/SP - INVESTIGADOR – 2013
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assinale qual é a contraditória do enunciado: Todo homem é mortal.
(A) Algum homem é mortal.
(B) Algum homem não é mortal.
(C) Algum mortal não é homem.
(D) Nenhum homem é mortal.
(E) Nenhum mortal é homem.
QUESTÃO 06 – VUNESP – CTA - 2013
Se sou responsável, então sou um bom profissional. Uma afirmação equivalente à
afirmação acima está contida no item:
a) Se sou um bom profissional, então sou responsável
b) Sou um bom profissional se e somente se sou responsável.
c) Se não sou responsável, então não sou um bom profissional.
d) Não sou responsável se e somente se não sou um bom profissional.
e) Se não sou um bom profissional, então não sou responsável.
QUESTÃO 07 – VUNESP – PC/SP - INVESTIGADOR – 2013
Assinale qual das formas sentenciais seguintes é equivalente à forma
.
a)
b)
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
c)
d)
e)
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
c. Revisão 2
QUESTÃO 08 – VUNESP – UNIFESP – 2014
Não é verdade que, se o pai é médico então o filho não é advogado, logo é possível
afirmar como verdade que
(A) o pai não é médico.
(B) o filho é advogado.
(C) se o filho é advogado então o pai não é médico.
(D) se o filho é médico então o pai não é advogado.
(E) o pai e o filho são médicos.
QUESTÃO 09 – VUNESP – DESENVOLVE/SP – 2014
Se o sino da igreja toca e minha avó o escuta, então minha avó vai para a igreja. Uma
afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, é:
(A) Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó
não o escuta.
(B) Se minha avó não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avó não vai
para a igreja.
(C) Minha avó não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avó vai para a igreja.
(D) Se o sino da igreja toca e minha avó vai para a igreja, então minha avó o escuta.
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
(E) Se o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta, então minha avó não vai
para a igreja.
QUESTÃO 10 – VUNESP – DESENVOLVE/SP – 2014
Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. Uma afirmação
que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é pardo.
QUESTÃO 11 – VUNESP – EMPLASA – 2014
Seja a afirmação: “Se o chão está molhado e o céu está limpo, então não choveu.” A
negação dessa afirmação é:
(A) Se o chão está molhado e o céu não está limpo, então choveu.
(B) O chão está molhado e o céu está limpo, e choveu.
(C) Se chove o chão fica molhado e o céu não fica limpo.
(D) Choveu, então o céu está limpo e o chão não está molhado.
(E) Choveu, então o céu não está limpo ou o chão não está molhado.
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 12 – VUNESP – EMPLASA – 2014
Uma frase logicamente equivalente a “Se jogo xadrez, então sou bom em matemática”
é:
(A) Se sou bom em matemática, então jogo xadrez.
(B) Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez.
(C) Se não jogo xadrez, então não sou bom em matemática.
(D) Posso ser bom em matemática sem saber jogar xadrez.
(E) Posso ser jogador de xadrez sem ser bom em matemática.
QUESTÃO 13 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
Considere a afirmação: “Se Antônio é analista de redes, então Sônia não é”. Uma
afirmação equivalente à apresentada está contida na alternativa:
(A) Se Antônio não é analista de redes, então Sônia é.
(B) Se Sônia é analista de redes, então Antônio não é.
(C) Se Sônia não é analista de redes, então Antônio é.
(D) Se Sônia é analista de redes, então Antônio também é.
(E) Se Antônio é analista de redes, então Sônia também é.
QUESTÃO 14 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
“Se Jorge é inteligente, então ele é analista de redes”. Negar a afirmação proposta é
afirmar que
35
RACIOCÍNIO LÓGICO
(A) Jorge não é inteligente e é analista de redes.
(B) se Jorge não é inteligente, então ele não é analista de redes.
(C) Jorge é inteligente e não é analista de redes.
(D) se Jorge não é analista de redes, então ele não é inteligente.
(E) Jorge é analista de redes e é inteligente.
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
d. Revisão 3
QUESTÃO 15 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
Considere falsa a afirmação “Se Débora é feliz, então ela não é analista de redes”.
Dessa forma, pode-se concluir corretamente que
(A) Débora não é feliz ou não é analista de redes.
(B) Débora não é feliz e não é analista de redes.
(C) Débora não é feliz e é analista de redes.
(D) Débora é feliz e não é analista de redes.
(E) Débora é feliz e é analista de redes.
QUESTÃO 16 – VUNESP – PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – 2014
Se não chove, então passeamos ou jogamos bola. Uma afirmação logicamente
equivalente é:
(A) Se chove, então não passeamos e jogamos bola.
(B) Se passeamos ou jogamos bola, então não chove.
(C) Chove ou, passeamos ou jogamos bola.
(D) Não chove e, passeamos ou jogamos bola.
(E) Se jogamos bola e passeamos, então chove.
37
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 17 – VUNESP – PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – 2014
Todos os cachorros latem e nem todos os gatos miam. Uma frase que corresponde à
negação lógica dessa afirmação é:
(A) Nenhum cachorro late e todos os gatos miam.
(B) Alguns cachorros latem ou alguns gatos miam.
(C) Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam.
(D) Qualquer cachorro late ou qualquer gato mia.
(E) Nenhum cachorro late e nenhum gato mia.
QUESTÃO 18 – VUNESP – UNESP – 2014
A negação da sentença “Chove e as árvores florescem” é
(A) Não chove e as árvores florescem.
(B) Não chove e as árvores não florescem.
(C) Chove e as árvores não florescem.
(D) Não chove ou as árvores não florescem.
(E) Chove ou as árvores não florescem.
QUESTÃO 19 – VUNESP – FUNDACENTRO – 2014
Bruno tem dois irmãos e afirmou que: “se seu irmão é presidente de uma empresa,
então sua irmã̃ não possui curso superior”. Sua mãe, no entanto, confirmou que essa
afirmação não é verdadeira, o que permite concluir que, em relação a Bruno,
38
RACIOCÍNIO LÓGICO
(A) sua irmã̃ é presidente de uma empresa.
(B) seu irmão não é presidente de uma empresa.
(C) sua irmã̃ possui curso superior.
(D) seu irmão possui curso superior.
(E) seu irmão não possui curso superior.
QUESTÃO 20 – VUNESP – TJ/SP – 2015
Para que seja falsa a afirmação “todo escrevente técnico judiciário é alto”, é suficiente
que
(A) nenhum escrevente técnico judiciário seja alto.
(B) alguma pessoa alta não seja escrevente técnico judiciário.
(C) algum escrevente técnico judiciário não seja alto.
(D) toda pessoa alta seja escrevente técnico judiciário.
(E) alguma pessoa alta seja escrevente técnico judiciário.
39
RACIOCÍNIO LÓGICO
e. Gabarito
1
2
3
4
5
D
D
E
C
B
6
7
8
9
10
E
A
B
A
C
11
12
13
14
15
B
B
B
C
E
16
17
18
19
20
C
C
D
C
C
40
RACIOCÍNIO LÓGICO
f. Comentários às questões
QUESTÃO 01 – VUNESP – PC/SP – ESCRIVÃO - 2013
Em uma implicação do tipo “Se A, então B”, dizemos que A é o antecedente e B é o
consequente. Considere a seguinte implicação: Se José é promotor, então José é o
acusador dos réus.
Assim, pode-se afirmar corretamente que
(A) o antecedente é “José é o acusador dos réus”.
(B) o antecedente e o consequente são “José é o acusador dos réus”.
(C) o antecedente e o consequente são “José é promotor”.
(D) o antecedente é “José é promotor”.
(E) o consequente é “José é promotor”.
Resolução:
Esta questão foi muito fácil. Em suma, quando temos uma proposição composta pelo
conectivo “se..., então...”, o antecedente é a frase que fica entre o “se” e o “então”; o
consequente é a frase que fica depois do “então”.
Consideremos a proposição “Se José é promotor, então José é o acusador dos réus.”.
O antecedente é “José é promotor” e o consequente é “José é o acusador dos réus”.
Letra D.
QUESTÃO 02 – VUNESP – PC/SP – ESCRIVÃO - 2013
41
RACIOCÍNIO LÓGICO
Um enunciado é uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que
contém um enunciado que é uma tautologia.
(A) Está chovendo e não está chovendo.
(B) Está chovendo.
(C) Se está chovendo, então não está chovendo.
(D) Está chovendo ou não está chovendo.
(E) Não está chovendo.
Resolução:
Como diz L. Hegenberg em seu Dicionário de Lógica: Tautologia, no cálculo proposicional, é
uma proposição invariavelmente verdadeira — sejam quais forem os valores-verdade de
suas proposições constituintes.
Então é isso: se alguma questão perguntar se determinada proposição é uma tautologia,
devemos construir a sua tabela-verdade e verificar se ela é sempre verdadeira.
Da mesma maneira, podemos definir contradição (ou proposição logicamente falsa)
como uma proposição composta que é sempre falsa.
Contingência é uma proposição composta que pode verdadeira e pode ser falsa.
Para ganhar tempo, algumas dicas.
Proposições simples nunca serão tautologias. Também nunca serão contradições. Assim, já
podemos descartar as alternativas B e E.
Agora duas dicas muito importantes. Memorize que a proposição
e que a proposição
é uma contradição
é uma tautologia. Essas duas proposições são bem fáceis e
aparecem com bastante frequência nas questões de tautologia. Vamos verificar?
42
RACIOCÍNIO LÓGICO
V
F
F
V
F
V
F
V
Vamos às alternativas.
(A) Está chovendo e não está chovendo.
(B) Está chovendo.
(C) Se está chovendo, então não está chovendo.
(D) Está chovendo ou não está chovendo.
(E) Não está chovendo.
Já podemos descartar as alternativas B e E.
(A) Está chovendo e não está chovendo.
(B) Está chovendo.
(C) Se está chovendo, então não está chovendo.
(D) Está chovendo ou não está chovendo.
(E) Não está chovendo.
Se considerarmos que a proposição “Está chovendo” é “p”, a proposição “Não está
chovendo” será “
”.
Desta maneira, podemos reescrever em símbolos as frases das alternativas.
(A)
(B)
43
RACIOCÍNIO LÓGICO
(C)
(D)
(E)
Observe que a tautologia está na letra D (gabarito).
A alternativa A é uma contradição.
E a alternativa C? Vamos construir a tabela para verificar.
V
F
F
F
V
V
Concluímos que a letra C é uma contingência.
Letra D.
QUESTÃO 03 – VUNESP – PC/SP – INVESTIGADOR - 2013
Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e
implicação (material), assinale a alternativa correta.
(A) As conjunções só́ são falsas quando ambos os conjuntos são falsos.
(B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro.
(C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso.
(D) Só́ há um caso em que as implicações são verdadeiras.
(E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso.
44
RACIOCÍNIO LÓGICO
Resolução:
Vamos relembrar: conjunções são proposições compostas pelo conectivo “e”, implicações
são proposições compostas pelo “se..., então...” e disjunções são proposições compostas
pelo conectivo “ou”.
Uma conjunção é verdadeira se todos os seus componentes forem verdadeiros.
Uma disjunção é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. Só é
falsa se todos os seus componentes forem falsos.
Uma implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
(A) As conjunções só́ são falsas quando ambos os conjuntos são falsos.
Errado. Uma conjunção é falsa se pelo menos um de seus componentes for falso.
(B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro.
Errado. A implicação é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente for falso.
(C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso.
Errado.
As
disjunções
são
falsas
quando
TODOS
os
componentes
são
falso.
(D) Só́ há um caso em que as implicações são verdadeiras.
Errado. Só há um caso em que a implicação é falsa: quando o antecedente é verdadeiro e o
consequente é falso. Em todos os outros casos a implicação é verdadeira.
(E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso.
Certo. Observe que o enunciado não disse que este é o único caso. As implicações são
verdadeiras em três casos: quando ocorre VV, FV ou FF. Assim, quando o antecedente é
falso, a implicação é verdadeira.
45
RACIOCÍNIO LÓGICO
Letra E.
QUESTÃO 04 – VUNESP – DCTA – 2013
Uma negação lógica para a proposição a Terra é redonda se e somente se o céu não é
azul pode ser dada por
(A) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
(B) a Terra é redonda e o céu não é azul.
(C) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.
(D) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
(E) O céu não é azul e a Terra não é redonda.
Resolução:
A proposição dada é “a Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”.
Vimos que há quatro maneiras de construir uma proposição composta pelo conectivo “se e
somente se”. Ei-las:
Afirme a primeira “e” negue a segunda, coloque o conectivo “ou” e em seguida afirme a
segunda “e” negue a primeira.
A terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda.
Esta frase está na alternativa C. Observe que a VUNESP trocou a ordem das frases.
Já conseguimos marcar a resposta da questão, mas para treinar vamos construir as outras
possíveis negações.
Negue apenas o segundo componente e mantenha o conectivo.
46
RACIOCÍNIO LÓGICO
A Terra é redonda se e somente se o céu é azul.
Negue apenas o primeiro componente e mantenha o conectivo.
A Terra não é redonda se e somente se o céu não é azul.
Troque o conectivo “se e somente se” pelo conectivo “ou exclusivo”.
Ou a Terra é redonda ou o céu não é azul.
Letra C.
QUESTÃO 05 – VUNESP – PC/SP - INVESTIGADOR – 2013
Assinale qual é a contraditória do enunciado: Todo homem é mortal.
(A) Algum homem é mortal.
(B) Algum homem não é mortal.
(C) Algum mortal não é homem.
(D) Nenhum homem é mortal.
(E) Nenhum mortal é homem.
Resolução:
Duas proposições são contraditórias quando elas não podem ser simultaneamente
verdadeiras e nem simultaneamente falsas. Ou seja, devemos assinalar a negação da
proposição dada.
A proposição dada é uma Universal (todo) afirmativa. A sua negação será uma proposição
Particular Negativa. Ou seja, devemos utilizar um quantificador particular (algum, existe) e
negar o verbo.
Letra B.
47
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 06 – VUNESP – CTA - 2013
Se sou responsável, então sou um bom profissional. Uma afirmação equivalente à
afirmação acima está contida no item:
a) Se sou um bom profissional, então sou responsável.
b) Sou um bom profissional se e somente se sou responsável.
c) Se não sou responsável, então não sou um bom profissional.
d) Não sou responsável se e somente se não sou um bom profissional.
e) Se não sou um bom profissional, então não sou responsável.
Resolução:
A questão claramente pede uma proposição equivalente à dada no enunciado.
Observe que há 3 alternativas que utilizam o conectivo “se…, então…” e duas alternativas
que tentam, erradamente, usar o conectivo “…se e somente se…”.
Vimos que quando é dada uma proposição composta pelo conectivo “se…, então…”,
devemos negar os antecedente, negar o consequente e trocar a ordem das frases
(mantendo o conectivo).
Assim, a equivalente da proposição “Se sou responsável, então sou um bom profissional.” é
“Se não sou um bom profissional, então não sou responsável.”.
Letra E.
Cuidado com a alternativa C, que nega os componentes, mas não troca a ordem das frases.
48
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 07 – VUNESP – PC/SP - INVESTIGADOR – 2013
Assinale qual das formas sentenciais seguintes é equivalente à forma
.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
A proposição dada no enunciado utiliza o conectivo “ou”. Vimos que para transformar uma
proposição composta pelo conectivo “ou” em uma proposição composta pelo conectivo
“se…, então…” devemos negar o primeiro componente e trocar o conectivo. Assim, a
equivalente à proposição
algumas provas utiliza o símbolo
é
. Na nossa teoria eu comentei que a VUNESP em
para o conectivo “se..., então...” e o símbolo & para o
conectivo “e”.
Letra A.
QUESTÃO 08 – VUNESP – UNIFESP – 2014
Não é verdade que, se o pai é médico então o filho não é advogado, logo é possível
afirmar como verdade que
(A) o pai não é médico.
(B) o filho é advogado.
49
RACIOCÍNIO LÓGICO
(C) se o filho é advogado então o pai não é médico.
(D) se o filho é médico então o pai não é advogado.
(E) o pai e o filho são médicos.
Resolução:
O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: “Se o pai é médico, então o filho não
é advogado”.
Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo “se..., então...” é falsa.
Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (o pai é médico) e o consequente é falso (o
filho não é advogado).
O pai é médico  Verdadeiro
O filho não é advogado  Falso
Concluímos que “o filho é advogado” é verdade.
Letra B.
QUESTÃO 09 – VUNESP – DESENVOLVE/SP – 2014
Se o sino da igreja toca e minha avó o escuta, então minha avó vai para a igreja. Uma
afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, é:
(A) Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó
não o escuta.
(B) Se minha avó não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avó não vai
para a igreja.
50
RACIOCÍNIO LÓGICO
(C) Minha avó não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avó vai para a igreja.
(D) Se o sino da igreja toca e minha avó vai para a igreja, então minha avó o escuta.
(E) Se o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta, então minha avó não vai
para a igreja.
Resolução:
Vimos que para transformar uma proposição composta pelo “se..., então...” em outra
proposição composta pelo “se..., então...” devemos “negar de trás pra frente”, ou seja, negar
os dois componentes e trocar a ordem.
Se o sino da igreja toca e minha avó o escuta, então minha avó vai para a igreja.
Começamos a equivalência com: Se minha avó não vai para a igreja, então...
Agora devemos negar o antecedente. Observe que o antecedente é uma proposição
composta pelo conectivo “e”. Para negá-la, devemos negar os dois componentes e trocar o
conectivo por “ou”.
Ficamos com:
Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó não o
escuta.
Letra A.
QUESTÃO 10 – VUNESP – DESENVOLVE/SP – 2014
Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. Uma afirmação
que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior é:
51
RACIOCÍNIO LÓGICO
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é pardo.
Resolução:
A proposição é composta pelo conectivo “e”. Para negar esta proposição, devemos negar os
dois componentes e trocar o conectivo por “ou” (esta é uma das Leis de DeMorgan).
Podemos excluir as alternativas B, D e E.
Para negar uma proposição que utiliza o quantificador “Alguns”, devemos trocar pelo
quantificador universal “Todos” e modificar o verbo.
Letra C.
QUESTÃO 11 – VUNESP – EMPLASA – 2014
Seja a afirmação: “Se o chão está molhado e o céu está limpo, então não choveu.” A
negação dessa afirmação é:
(A) Se o chão está molhado e o céu não está limpo, então choveu.
(B) O chão está molhado e o céu está limpo, e choveu.
(C) Se chove o chão fica molhado e o céu não fica limpo.
(D) Choveu, então o céu está limpo e o chão não está molhado.
(E) Choveu, então o céu não está limpo ou o chão não está molhado.
52
RACIOCÍNIO LÓGICO
Resolução:
A negação de uma proposição do tipo
é
. Ou seja, devemos afirmar o
antecedente, colocar o conectivo “e” e negar o consequente.
Afirmamos o antecedente: o chão está molhado e o céu está limpo
Negamos o consequente: choveu
Ligamos pelo conectivo “e”: O chão está molhado e o céu está limpo, e choveu.
Letra B.
QUESTÃO 12 – VUNESP – EMPLASA – 2014
Uma frase logicamente equivalente a “Se jogo xadrez, então sou bom em matemática”
é:
(A) Se sou bom em matemática, então jogo xadrez.
(B) Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez.
(C) Se não jogo xadrez, então não sou bom em matemática.
(D) Posso ser bom em matemática sem saber jogar xadrez.
(E) Posso ser jogador de xadrez sem ser bom em matemática.
Resolução:
Vimos que para transformar uma proposição composta pelo “se..., então...” em outra
proposição composta pelo “se..., então...” devemos “negar de trás pra frente”, ou seja, negar
os dois componentes e trocar a ordem.
53
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assim, a equivalência pedida é: “Se não sou bom em matemática, então não jogo xadrez”.
Letra B.
QUESTÃO 13 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
Considere a afirmação: “Se Antônio é analista de redes, então Sônia não é”. Uma
afirmação equivalente à apresentada está contida na alternativa:
(A) Se Antônio não é analista de redes, então Sônia é.
(B) Se Sônia é analista de redes, então Antônio não é.
(C) Se Sônia não é analista de redes, então Antônio é.
(D) Se Sônia é analista de redes, então Antônio também é.
(E) Se Antônio é analista de redes, então Sônia também é.
Resolução:
Vimos que para transformar uma proposição composta pelo “se..., então...” em outra
proposição composta pelo “se..., então...” devemos “negar de trás pra frente”, ou seja, negar
os dois componentes e trocar a ordem.
Assim, a equivalência pedida é: Se Sônia é analista de redes, então Antônio não é.
Letra B.
QUESTÃO 14 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
54
RACIOCÍNIO LÓGICO
“Se Jorge é inteligente, então ele é analista de redes”. Negar a afirmação proposta é
afirmar que
(A) Jorge não é inteligente e é analista de redes.
(B) se Jorge não é inteligente, então ele não é analista de redes.
(C) Jorge é inteligente e não é analista de redes.
(D) se Jorge não é analista de redes, então ele não é inteligente.
(E) Jorge é analista de redes e é inteligente.
Resolução:
A negação de uma proposição do tipo
é
. Ou seja, devemos afirmar o
antecedente, colocar o conectivo “e” e negar o consequente.
Afirmamos o antecedente: Jorge é inteligente
Negamos o consequente: ele não é analista de redes
Ligamos pelo conectivo “e”: Jorge é inteligente e ele não é analista de redes.
Letra C.
QUESTÃO 15 – VUNESP – FUNDUNESP – 2014
Considere falsa a afirmação “Se Débora é feliz, então ela não é analista de redes”.
Dessa forma, pode-se concluir corretamente que
(A) Débora não é feliz ou não é analista de redes.
(B) Débora não é feliz e não é analista de redes.
55
RACIOCÍNIO LÓGICO
(C) Débora não é feliz e é analista de redes.
(D) Débora é feliz e não é analista de redes.
(E) Débora é feliz e é analista de redes.
Resolução:
O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: “Se Débora é feliz, então ela não é
analista de redes”.
Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo “se..., então...” é falsa.
Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (Débora é feliz) e o consequente é falso (ela
não é analista de redes).
Débora feliz  Verdadeiro
Ela não é analista de redes  Falso
Concluímos que “Débora é feliz e ela é analista de redes” é verdade.
Letra E.
QUESTÃO 16 – VUNESP – PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – 2014
Se não chove, então passeamos ou jogamos bola. Uma afirmação logicamente
equivalente é:
(A) Se chove, então não passeamos e jogamos bola.
(B) Se passeamos ou jogamos bola, então não chove.
(C) Chove ou, passeamos ou jogamos bola.
(D) Não chove e, passeamos ou jogamos bola.
56
RACIOCÍNIO LÓGICO
(E) Se jogamos bola e passeamos, então chove.
Resolução:
Há duas maneiras de construir uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”.
Uma delas é quando usamos a seguinte equivalência:
Neste caso, observe que o consequente é composto pelo conectivo “ou”. Quando vamos
negar o consequente, devemos trocar o conectivo por “e”. Assim, obtemos a seguinte
proposição equivalente:
“Se não jogamos bola e não passeamos, então chove”.
Esta proposição não se encontra entre as alternativas.
Vamos, portanto, usar a outra equivalência que aprendemos.
Esta equivalência manda negar o antecedente, colocar o conectivo “ou” e depois copiar o
consequente.
Negar o antecedente: chove
Copiar o consequente: passeamos ou jogamos bola
Agora conectamos tudo pelo conectivo “ou”.
Chove ou passeamos ou jogamos bola.
Letra C.
57
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 17 – VUNESP – PREF. DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – 2014
Todos os cachorros latem e nem todos os gatos miam. Uma frase que corresponde à
negação lógica dessa afirmação é:
(A) Nenhum cachorro late e todos os gatos miam.
(B) Alguns cachorros latem ou alguns gatos miam.
(C) Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam.
(D) Qualquer cachorro late ou qualquer gato mia.
(E) Nenhum cachorro late e nenhum gato mia.
Resolução:
Dizer que “Nem todo A é B” é o mesmo que dizer que “Algum A não é B”.
Assim, a proposição do enunciado pode ser reescrita assim:
Todos os cachorros latem e algum gato não mia.
Vamos negar esta proposição. Lembre-se de trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”.
Começamos com “todos os cachorros latem”. Esta é uma proposição universal afirmativa.
Para negá-la, devemos utilizar a proposição particular negativa.
“Algum cachorro não late”
Agora vamos à proposição “Algum gato não mia”. Esta é uma proposição particular
negativa. Sua negação é a proposição universal afirmativa correspondente.
“Todos os gatos miam”.
Agora ligamos as duas proposições pelo conectivo “ou”.
“Algum cachorro não late ou todos os gatos miam”.
58
RACIOCÍNIO LÓGICO
Esta proposição pode ser reescrita assim:
“Nem todos os cachorros latem ou todos os gatos miam”.
Letra C.
QUESTÃO 18 – VUNESP – UNESP – 2014
A negação da sentença “Chove e as árvores florescem” é
(A) Não chove e as árvores florescem.
(B) Não chove e as árvores não florescem.
(C) Chove e as árvores não florescem.
(D) Não chove ou as árvores não florescem.
(E) Chove ou as árvores não florescem.
Resolução:
Muito fácil, não? Aplicação direta da lei de De Morgan. Negamos os dois componentes e
trocamos o conectivo “e” por “ou”.
Letra D.
QUESTÃO 19 – VUNESP – FUNDACENTRO – 2014
Bruno tem dois irmãos e afirmou que: “se seu irmão é presidente de uma empresa,
então sua irmã̃ não possui curso superior”. Sua mãe, no entanto, confirmou que essa
afirmação não é verdadeira, o que permite concluir que, em relação a Bruno,
(A) sua irmã̃ é presidente de uma empresa.
59
RACIOCÍNIO LÓGICO
(B) seu irmão não é presidente de uma empresa.
(C) sua irmã̃ possui curso superior.
(D) seu irmão possui curso superior.
(E) seu irmão não possui curso superior.
Resolução:
O enunciado afirma que é falsa a seguinte proposição: “se seu irmão é presidente de uma
empresa, então sua irmã̃ não possui curso superior”.
Vimos que só existe um caso em que uma proposição composta pelo “se..., então...” é falsa.
Isto ocorre quando o antecedente é verdadeiro (seu irmão é presidente de uma empresa) e
o consequente é falso (sua irmã̃ não possui curso superior).
seu irmão é presidente de uma empresa  Verdadeiro
sua irmã̃ não possui curso superior  Falso
Concluímos que “sua irmã possui curso superior” é verdade.
Letra C.
QUESTÃO 20 – VUNESP – TJ/SP – 2015
Para que seja falsa a afirmação “todo escrevente técnico judiciário é alto”, é suficiente
que
(A) nenhum escrevente técnico judiciário seja alto.
(B) alguma pessoa alta não seja escrevente técnico judiciário.
(C) algum escrevente técnico judiciário não seja alto.
60
RACIOCÍNIO LÓGICO
(D) toda pessoa alta seja escrevente técnico judiciário.
(E) alguma pessoa alta seja escrevente técnico judiciário.
Resolução:
Devemos negar a proposição dada. Como a proposição dada é universal afirmativa,
devemos utilizar o quantificador particular e modificar o verbo. Assim, a negação da frase
dada é “algum escrevente técnico judiciário não é alto”.
Letra C.
61
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