AB - UNEMAT Sinop

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Geometria Plana I
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Geometria Plana I
1.Primeiros conceitos
2.Ângulos
3.Triângulos
4.Quadriláteros
5.Polígonos
6.Ângulos na circunferência
7.Congruência de triângulos
8.Teorema de Tales
9.Semelhança de polígonos
10.Semelhança de triângulos
11.Relações métricas no triângulo retângulo
1. Primeiros conceitos
Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos sem
uma definição no campo da Geometria. De cada um
destes termos temos um conhecimento intuitivo
decorrente da experiência e observação.
Enquadram-se nessa categoria os conceitos
de ponto, reta e plano.
3
1.1. Ponto, reta e plano
Letras minúsculas do
alfabeto grego: α, β, π, …
Letras maiúsculas do nosso Letras minúsculas do nosso
alfabeto: A, B, C, …
alfabeto: a, b, c, …
4
1.2. Postulados ou axiomas
Além dos conceitos primitivos, aceitos sem
definição, há propriedades geométricas aceitas
sem demonstração. Tais propriedades são
chamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, um
dos postulados da Geometria afirma que:
“Por dois pontos distintos A e B passa uma única
reta”.
Essa reta é denotada pelo símbolo , AB que
se lê “reta AB”.
5
1.3. Posições de duas retas
distintas num plano
6
1.4. Subconjuntos da reta
7
1.5. Subconjuntos da reta
A medida de AB será denotada por AB.
Desse modo, se AB é um segmento de reta de 3
cm, escrevemos AB = 3cm.
8
1.5. Subconjuntos da reta
Dois segmentos que possuem medidas iguais
são chamados congruentes. Se AB e CD são
segmentos congruentes, escrevemos AB ≡ CD .
Lê-se AB é congruente a CD .
9
2. Ângulos
A
⌢ medida de um ângulo AOB será denotada
por AOB . Assim, se ) AOB é um ângulo de 60o
(60 graus), escrevemos:
<
⌢
AOB = 60O
10
2. Ângulos
Dois ângulos de
denominados congruentes.
medidas
iguais
são
⌢
⌢
∢ABC ≡ ∢DEF ⇔ ABC ≡ DEF
11
2.1. Bissetriz de um ângulo
Bissetriz é a semi-reta de origem no vértice
de um ângulo e que o divide em dois ângulos
congruentes.
Se OC é bissetriz de ∢AOB,
⌢
⌢

Então AOC ≡ BOC
12
2.2. Ângulos notáveis
⌢
o
AOB ≡ 360
⌢
AOB ≡ 180o
⌢
AOB ≡ 90o
13
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Duas retas concorrentes determinam dois
pares de ângulos chamados opostos pelo vértice
(o.p.v.).
14
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Dois ângulos são chamados complementares
se a soma de suas medidas é igual a 90o. Cada um é
chamado complemento do outro.
Dois ângulos são chamados suplementares se
a soma de suas medidas é igual a 180o. Cada um é
chamado suplemento do outro.
15
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:
16
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
⌢
Exercício
2: Na figura, sabe-se que ABC é o dobro
⌢
de CBD . ⌢Calcule as medidas desses ângulos, sabendo que ABD = 81o.
17
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício
3: Na figura seguinte,⌢ OX é bissetriz
⌢
⌢
de ∢AOB e OY é bissetriz de ∢BOC . Calcule XOY .
Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.
18
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício
4:
Dois ângulos são chamados
complementares se a soma de suas medidas é igual
a 90o. Cada um é chamado complemento de outro.
Calcule a medida de dois ângulos complementares,
sabendo que:
a) elas são expressas por 3x e 7x;
b) uma delas é o quádruplo da outra;
c) a diferença entre elas é 18o.
19
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício
5:
Dois ângulos são chamados
suplementares se a soma de suas medidas é igual a
180o. Cada um é chamado suplemento do outro.
Calcule a medida de dois ângulos suplementares,
sabendo que:
a) eles são congruentes;
b) uma delas é o quíntuplo da outra;
c) a diferença entre elas é 36o.
20
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo,
sabendo que o seu suplemento é o triplo de seu
complemento.
21
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Nomenclatura
Propriedade
Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h
Congruentes
Colaterais internos: c e f; d e e
Suplementares
Colaterais externos: a e h; b e g
Suplementares
Alternos internos: c e e; d e f
Congruentes
Alternos externos: a e g; b e h
Congruentes
22
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 7: Calcular x e y na figura.
23
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta r
deslocando-se até coincidir com s.
24
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x são
suplementares.
3 x + 2 x = 180o ⇒ x = 36o
Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo,
y = 72o.
25
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo que
r // s.
26
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule as
medidas dos ângulos indicados na figura.
27
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo que
r // s.
28
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?
29
3. Triângulos
A soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo qualquer é igual a 180o.
⌢
⌢ ⌢
Se A, B e C são as medidas dos ângulos
internos de um triângulo ABC, vamos provar que:
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o
30
3. Triângulos
Para isso, traçamos pelo vértice A a reta r
paralela ao
⌢ lado
⌢ BC , determinando os ângulos de
medidas X e Y.
Então temos:
⌢ ⌢ ⌢
A + X + Y = 180o
(1)
31
3. Triângulos
Por outro lado, sabemos que:
⌢ ⌢
 X = B (ângulos alternos internos)
⌢ ⌢
Y = C (ângulos alternos internos)
32
3. Triângulos
⌢
⌢ ⌢
⌢
Substituindo X por B e Y por C na igualdade
(1) obtemos:
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o
33
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Seus três ângulos são agudos, isto é,
menores do que 90o.
⌢
⌢
o
A < 90 , B < 90o
e
⌢
C < 90o
34
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Um de seus ângulos é reto. O lado oposto ao
ângulo reto é a hipotenusa AC . Os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos AB e BC .
35
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior
do que 90o.
⌢
B > 90o
36
3.2. Classificação em função
dos lados
Seus três lados têm medidas diferentes.
AB ≠ AC, AB ≠ BC, BC ≠ AC
Os três ângulos internos têm medidas
diferentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C
37
3.2. Classificação em função
dos lados
Possui dois lados congruentes (AB = AC).
O ângulo formado pelos lados congruentes é
denominado ângulo do vértice ( ∢ A).
O lado oposto ao ângulo do vértice é
denominado base BC .
⌢ ⌢ Os ângulos da base são congruentes, isto é,
B =C
38
3.2. Classificação em função
dos lados
Seus três lados são congruentes (AB = BC =
AC).
Os três ângulos internos são congruentes.
⌢ ⌢ ⌢
A =B =C
E, uma vez que a soma dos três ângulos é
igual a 180o, conclui-se que cada um deles mede
39
60o.
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos de
um triângulo isósceles em que o ângulo do vértice é
o triplo de um ângulo da base.
40
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é um
triângulo equilátero e que AC = AD.
41
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y.
42
3.3. Teorema do ângulo
externo
Num triângulo, o prolongamento de um lado
qualquer determina com um outro lado um ângulo
denominado externo.
43
3.3. Teorema do ângulo
externo
Em todo triângulo, a medida de um ângulo
externo qualquer é igual à soma das medidas dos
dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Vamos provar que:
⌢ ⌢
e = A+B
44
3.3. Teorema do ângulo
externo
Como
⌢
e + C = 180o
e
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o , temos :
⌢
⌢ ⌢ ⌢
e+ C = A+B+ C
⌢ ⌢
e = A+B
45
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 15: Calcule x.
46
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.
47
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α.
48
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF,
calcule x em função de a, b e c.
49
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor de
a + b + c + d + e?
50
3.4. Cevianas do triângulo
Ceviana é qualquer segmento de reta que
tem uma extremidade num vértice de um triângulo
e a outra num ponto qualquer da reta suporte do
lado oposto a esse vértice.
Na figura, AA1, AA2 e BB1 são cevianas do triângulo ABC.
51
3.4. Cevianas do triângulo
Os pontos A1, A2 e B1 são os pés das
cevianas.
As cevianas AA1 e AA2 são relativas ao vértice A, ou relativas ao lado BC. A ceviana BB1 é relativa ao vértice B ou relativa ao lado AC.
52
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que divide um ângulo
interno em dois ângulos congruentes.
53
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que tem como pé o ponto
médio de um lado.
54
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana perpendicular a um lado.
55
3.5. Cevianas notáveis
De um modo geral, bissetriz
mediana e altura são cevianas distintas.
interna,
AH é altura
AS é bissetriz
AM é mediana
56
3.5. Cevianas notáveis
Porém, as três coincidem num único
segmento se forem relativas à base de um
triângulo isósceles.
AM é bissetriz, mediana e altura simultaneamente.
57
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 20: Na figura, AS e AH são a bissetriz e
a altura relativas ao vértice A do triângulo ABC.
Calcule α.
58
3.5. Cevianas notáveis
Exercício
21: Num triângulo escaleno ABC, em
⌢
que C = 36o, as bissetrizes internas relativas aos
vértices ⌢A e B interceptam-se no ponto I.
Calcule AIB .
59
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 22: Na figura, BB′ e CC ′ são alturas do
triângulo. Calcule x.
60
3.6. Mediatriz de um segmento de reta
Mediatriz de um segmento AB é a reta
perpendicular a
médio.
AB conduzida pelo seu ponto
61
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das bissetrizes
internas.
O incentro é o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
62
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das medianas.
O baricentro divide cada mediana em dois
segmentos que estão na razão de 2 para 1.
AG BG CG 2
=
=
=
GM GN GL 1
63
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das alturas.
64
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das mediatrizes dos
lados.
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
65
3.7. Pontos notáveis do triângulo
No triângulo eqüilátero, o incentro, o
baricentro, o ortocentro e o circuncentro
coincidem num único ponto O, chamado centro do
triângulo eqüilátero.
66
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Como O é também o baricentro do triângulo,
esse ponto divide a altura AH em segmentos
proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios
das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a
altura, é imediato que:
1
2
r= h e R= h
67
3
3
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício
de um triângulo
⌢
⌢ 23: Se I é o incentro
ABC e BIC = 116o, calcule A .
68
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 24: Na figura, G é o baricentro do
triângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12
cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.
69
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é um
triângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é o
ponto médio de AB e CD = BC. Calcule AN.
70
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 26: O ponto I da figura é o centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r,
conduzida por I, é paralela a BC . a) Mostre que o
triângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9,
qual é o perímetro do triângulo APQ?
71
4. Quadriláteros
A soma das medidas dos quatro ângulos
internos de um quadrilátero é igual a 360o.
72
4. Quadriláteros
Seja ABCD um quadrilátero qualquer.
Traçando a diagonal AC , decompomos o quadrilátero em dois triângulos. Como em cada triângulo
a soma das medidas dos ângulos é igual a 180o,
deduz-se que:
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A + B + C + D = 360
o
73
4. Quadriláteros
Exercício 27: Calcule x e y.
74
4. Quadriláteros
⌢
o
A
Exercício
28:
ABC
é
um
triângulo
no
qual
=
52
⌢
e C = 72o. Calcule a medida do ângulo obtuso formado pelas mediatrizes dos lados AB e BC .
75
4.1. Trapézios
Trapézio é todo quadrilátero que possui um
par, e somente um par, de lados opostos paralelos.
 AB e CD são as bases do trapézio
AB // CD 
 AC e BD são os lados transversais
76
4.2. Classificação dos trapézios
Trapézio escaleno: os lados transversos têm
medidas diferentes.
AD ≠ BC
O trapézio escaleno não possui ângulos
congruentes.
77
4.2. Classificação dos trapézios
Trapézio isósceles: os lados transversos têm
medidas iguais.
AD = BC
Os ângulos de uma mesma base de um
trapézio isósceles são congruentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
78
A =B eC =D
4.2. Classificação dos trapézios
Trapézio
retângulo:
um
dos
transversos é perpendicular às bases.
lados
⌢ ⌢
A = D = 90o
79
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos do
trapézio da figura.
80
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles,
de
⌢
o
A
bases
e
(AB
M
CD),
sabe-se
que
=
10x
+
7
AB
CD
⌢
e C = 4x + 5o. Calcule as medidas dos quatro ângulos desse trapézio.
81
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 31:⌢ ABCD é um trapézio retângulo em A
e em D. Se B = 100o, calcule a medida do ângulo
obtuso formado pelas bissetrizes de ∢C e ∢D.
82
4.3. Paralelogramos
Paralelogramo
é todo quadrilátero que
possui os lados opostos respectivamente paralelos.
83
4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
Os ângulos opostos são congruentes.
Quaisquer dois ângulos adjacentes a um
mesmo lado são suplementares.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
α + β = 180o
A =C eB =D
84
4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais dividem-se ao meio pelo seu
ponto de intersecção.
AB = CD e BC = AD
AM = MC e BM = MD
85
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui seus quatro
ângulos retos.
As diagonais são congruentes.
86
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui quatro
lados congruentes.
As diagonais são perpendiculares e são
bissetrizes dos ângulos internos.
87
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que é retângulo e
losango simultaneamente, isto é, seus ângulos são
retos e seus lados são congruentes.
As diagonais são congruentes, são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos. 88
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo forma
com um dos lados um ângulo de 35o. Calcule a
medida do ângulo agudo formado pelas duas
diagonais.
89
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 33: Uma diagonal de um losango forma
com um dos lados um ângulo de 25o. Calcule as
medidas dos ângulos desse losango.
90
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN
são quadrados
e ABC é um triângulo equilátero.
⌢
Calcule CBN e BNE .
91
5. Polígonos
Polígono
côncavo
Polígono
convexo
Um polígono é convexo se, quaisquer que
sejam os pontos X e Y do seu interior, o segmento
de reta XY está inteiramente contido em seu
interior.
92
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Sejam i1, i2, i3, …, in as medidas dos ângulos
internos de um polígono de n lados.
93
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Tomando um ponto I qualquer no interior do
polígono e unindo esse ponto a cada vértice, o
polígono fica decomposto em n triângulos (cada
lado do polígono dá origem a um triângulo).
94
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Então, a soma das medidas dos ângulos dos n
triângulos é igual a: n ⋅ 180o
Subtraindo os ângulos do vértice I dessa
soma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono.
Assim,
95
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Si = n ⋅ 180o − 360o
Si = 180 (n − 2)
o
96
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Exercício 35: A soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono é igual a 2340o. Quantos
lados tem esse polígono?
97
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Exercício 36: Na figura, calcule x e y.
98
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Em todo polígono convexo, a soma das
medidas dos ângulos externos é constante e igual
a 360o.
Se = 360o
99
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Sejam e1, e2, e3 … en as medidas dos ângulos
externos de um polígono de n lados.
100
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
e1 + i1 = 180o

o
+
=
e
i
180
 2 2

o
+
=
e
i
180
 3 3
⋮ ⋮

en + i n = 180o

Se + Si = n ⋅ 180o
↓
Se + 180o ( n − 2) = n ⋅ 180o
Se + n ⋅ 180o − 360o = n ⋅ 180o
Se = 360o
101
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 37: Calcule x.
102
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dos
ângulos internos é o dobro da soma dos ângulos
externos?
103
5.3. Polígonos regulares
Hexágono regular
Um polígono é regular se, e somente se:
1o) todos os seus lados são congruentes;
2o) todos os seus ângulos internos são congruentes.
104
5.3. Polígonos regulares
Da definição decorre que os ângulos
externos de um polígono regular também são
congruentes.
105
5.3. Polígonos regulares
360
e=
n
o
Desse modo, como a soma das medidas dos
ângulos externos de um polígono é igual a 360o, a
medida de um ângulo externo
de um polígono
o
regular de n lados é igual a 360 .
n
106
5.3. Polígonos regulares
Exercício 39: Num polígono regular, um ângulo
interno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual é
esse polígono?
107
5.3. Polígonos regulares
Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágono
regular. Calcule as medidas dos ângulos do
triângulo ACD.
108
6. Ângulos na circunferência
 AB é uma corda

CD é um diâmetro
Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer
de uma circunferência.
Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma
circunferência.
Arco: Qualquer uma das partes em que uma
circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus
pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos
109
arcos.
6. Ângulos na circunferência
A
. própria circunferência é chamada arco de
volta inteira e sua medida é 360o.
Um arco de extremidades A e B é chamado
arco AB. A medida de um arco AB será denotada
pelo símbolo AB .
110
6. Ângulos na circunferência
AB = medida do arco AB
Quando necessário, para diferenciar os dois
arcos determinados pelos pontos A e B de uma
circunferência, marcamos um ponto C qualquer
pertencente a um deles (de um modo geral ao
111
maior deles) e o denominamos arco ACB.
6.1. Ângulo central
Um ângulo é central em relação a uma
circunferência se o seu vértice coincide com o
centro da mesma.
O arco interceptado por um ângulo central é
denominado arco correspondente ao ângulo.
112
6.1. Ângulo central
⌢
AOB = AB
⌢
EOF = EF
A medida de um ângulo central é igual à
medida do arco correspondente a ele.
113
6.1. Ângulo central
Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.
114
6.1. Ângulo central
Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulos
internos do pentágono ABCDE.
115
6.2. Ângulo inscrito
Um ângulo é inscrito numa circunferência se
o seu vértice é um ponto da circunferência e cada
um de seus lados contém uma corda dessa
circunferência.
116
6.2. Ângulo inscrito
Na figura, em vez de dizer que o ângulo está
inscrito na circunferência, pode-se dizer que ele
está inscrito no arco ACB.
O arco interceptado por um ângulo inscrito
também é chamado arco correspondente ao ângulo.
117
6.2. Ângulo inscrito
A medida de um ângulo inscrito é igual à
metade da medida do arco correspondente a ele.
A demonstração completa abrange os casos
em que o centro pertence a um lado, está no
interior ou está no exterior do ângulo.
118
6.2. Ângulo inscrito
1o Caso:
Traçando o raio OA,
⌢ obtemos o triângulo
⌢
isósceles OAC. Então, se C = α teremos OAC = α .
Como ∢AOB
é ângulo externo desse triângulo,
⌢
temos AOB = 2α . E, como ∢AOB é um ângulo
central, temos:
119
6.2. Ângulo inscrito
1o Caso:
⌢
AOB = 2α ⇒ AB = 2α
AB
α=
2
120
6.2. Ângulo inscrito
2o Caso:
Traçando o diâmetro CD, ∢ACB fica dividido em dois ângulos inscritos de medidas α1 e α2.
Como esses dois ângulos têm um dos lados
passando pelo centro, pelo 1o caso temos:
121
6.2. Ângulo inscrito
2o Caso:
AD
α1 ⇒
2
e
DB
α2 ⇒
2
AD + DB
α1 + α 2 ⇒
2
AB
∴α =
2
122
6.2. Ângulo inscrito
3o Caso:
Traçando o diâmetro CD, os ângulos
inscritos ACD e BCD, de medidas α1 e α2, têm
ambos um dos lados passando pelo centro. Então,
novamente pelo 1o caso, teremos:
123
6.2. Ângulo inscrito
3o Caso:
AD
α1 ⇒
2
e
DB
α2 ⇒
2
AD − DB
α1 − α 2 ⇒
2
AB
∴α =
2
124
6.2. Ângulo inscrito
Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo
arco são congruentes.
AB
α =β =γ =
2
125
6.2. Ângulo inscrito
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
⌢
o
AB = 180 ⇒ ACB = 90
o
126
6.2. Ângulo inscrito
É possível demonstrar também que: todo
ângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo é
inscritível numa semicircunferência.
127
6.2. Ângulo inscrito
Note que a hipotenusa é o diâmetro da
semicircunferência.
128
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o lado
BC e o raio
⌢ da circunferência são congruentes.
Calcular BAC .
129
6.2. Ângulo inscrito
Resolução:
Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-se
o triângulo equilátero OBC. Como ∢OBC é um ângulo central, temos:
⌢
BOC = 60o ⇒ BC = 60o
Então, como ∢BAC é um ângulo inscrito,
⌢
⌢
BC
BAC =
⇒ BAC = 30o
2
130
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A.
Calcular o ângulo formado pela altura
⌢ e a mediana
relativas à hipotenusa, sabendo que C = 20o.
131
6.2. Ângulo inscrito
Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABC
é inscritível numa semicircunferência de centro M
e diâmetro BC . Então, o triângulo AMC é isósceles,
pois MA = MC (por serem raios da semicircunferência). Logo, conclui-se que:
⌢
⌢
o
C = 20 ⇒ M AC = 20o
132
6.2. Ângulo inscrito
Por outro lado, ∢AMH é um ângulo externo do triângulo AMC. Logo,
AMH = 20o + 20o = 40o
133
6.2. Ângulo inscrito
Por fim, no triângulo AMH temos:
x + 90o + 400 = 180o
x = 50o
134
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 45: Na figura seguinte,⌢ BC é um
diâmetro
⌢ da circunferência. Calcule APB , sabendo
que ABC = 70o.
135
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é um
quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência.
Prove que α + γ = 180o.
136
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 47:⌢Num triângulo ABC, retângulo em A,
sabe-se que C = 26o. Calcule a medida do ângulo
formado pela bissetriz e a mediana relativas ao
vértice A.
137
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 48: Um dos catetos de um triângulo
retângulo é a metade da hipotenusa. Qual é a
medida do ângulo oposto a esse cateto?
138
7. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se os seus
lados e ângulos forem ordenadamente congruentes.
 AB ≡ DE

∆ABC ≡ ∆DEF ⇔ BC ≡ EF

 AC ≡ DF
e
∢A ≡ ∢D

∢B ≡ ∢E
∢C ≡ ∢F

139
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Embora
a
definição
de
triângulos
congruentes exija seis congruências, três entre
lados e mais três entre ângulos, há situações em
que a congruência de dois triângulos fica garantida
com apenas três determinadas congruências. Tais
situações constituem os critérios de congruência
de triângulos.
140
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.L.L.
Dois triângulos são congruentes se os lados de um são
respectivamente congruentes aos lados do outro.
 AB = DE

BC = EF
 AC = DF

⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
A = D
 ⌢ ⌢
B = E
⌢ ⌢
C = F
141
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.A.L.
Dois triângulos são congruentes se dois lados de um
são congruentes a dois lados do outro e os ângulos
compreendidos entre esses lados são também congruentes.
 AB = DE
⌢ ⌢
B = E
BC = EF

⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
A = D

 AC = DF
⌢ ⌢
C = F
142
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério A.L.A.
Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um
são congruentes a dois ângulos do outro e os lados
adjacentes a esses ângulos são também congruentes.
⌢ ⌢
B = E

BC = EF
⌢ ⌢
C = F
⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
 AB = DE
⌢ ⌢
A = D
 AC = DF

143
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.A.Ao
Dois triângulos são congruentes se um lado e um
ângulo adjacente são congruentes a um lado e um ângulo
adjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados são
também congruentes.
BC = EF
⌢ ⌢
C = F
⌢ ⌢
A = D
⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
 AB = DE
⌢ ⌢
B = E
 AC = DF

144
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.L.Ar
Dois triângulos retângulos são congruentes se a
hipotenusa e um cateto de um deles são respectivamente
congruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.
BC = EF

 AC = DF
⌢ ⌢
o
 A = D = 90
⇒
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
B = E
 ⌢ ⌢
F = C
 AB = DE

145
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Quando escrevemos, por exemplo, ∆PXQ ≡ ∆LTU, a
ordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se
pudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-lo
coincidir perfeitamente com o outro, os vértices que
ficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.
146
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados e
quais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo
∆PXQ ≡ ∆LTU
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
já sabemos que P = L, X = T , Q = U e
PX = LT, PQ = LU, XQ = TU
147
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Exercício 49: A figura seguinte apresenta um par
de triângulos em que elementos congruentes são
identificados por marcas iguais.
148
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
A partir das informações contidas na figura é
possível concluir que os triângulos são congruentes
e deduzir congruências que não constam nos dados.
Tudo isso pode ser feito de forma resumida neste
esquema:
⌢
M =K
MN = KO
⌢
A.L. A.
→ ∆MTN ≡ ∆KRO 
→ N =O
MT = KR 
(Critério )
(Conclusão )
⌢ ⌢
NT = OR
T =R
( Dados )
(Consequências )
149
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Estabeleça esquemas semelhantes para cada um
dos seguintes pares de triângulos.
150
8. Teorema de Tales
Se um feixe de paralelas determina
segmentos congruentes sobre uma transversal,
então
esse
feixe
determina
segmentos
congruentes sobre qualquer outra transversal.
151
8. Teorema de Tales
Por D e E traçamos DD ' e EE ' paralelos à
reta AC. Então os quadriláteros ABD’D e BCE’E são
paralelogramos e, consequentemente, DD’ = AB e
EE’ = BC.
152
8. Teorema de Tales
E já que AB = BC (por hipótese),
conclui-se
⌢
⌢
que DD’ = EE’. Além disso, temos: D
(ângulos
1 =E
1
⌢
⌢
correspondentes em DD ' // EE ' ) e E2 = F2 (ângulos
correspondentes em s // t ).
153
8. Teorema de Tales
Assim, pelo critério L.A.Ao, conclui-se que
∆DED ≡ ∆EFE
'
'
Logo, DE = EF.
154
8. Teorema de Tales
Um feixe de paralelas separa, sobre duas
transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais
aos segmentos correspondentes na outra.
AB DE
Se r // s // t , então
=
BC EF
155
8. Teorema de Tales
Seja u um segmento que divide AB em m partes
iguais e BC em n partes iguais. Logo,
AB m ⋅ u
AB m
=
⇒
=
BC n ⋅ u
BC n
(1)
156
8. Teorema de Tales
Tracemos, agora, as retas que passam por esses
pontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teorema
anterior, as retas traçadas dividem DE em m partes
iguais a u’ e EF em n partes iguais a u’. Então,
DE m ⋅ u '
DE m
=
⇒
=
'
EF n ⋅ u
EF n
(2)
157
8. Teorema de Tales
Então, de (1) e (2),
AB DE
=
BC EF
158
8. Teorema de Tales
Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t.
Calcule x.
159
8. Teorema de Tales
Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a BC .
Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 e
EC = 12.
160
8. Teorema de Tales
Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.
161
8. Teorema de Tales
Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.
162
9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
1o) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) são
congruentes, isto é:
⌢ ⌢' ⌢ ⌢' ⌢ ⌢'
163
A = A , B = B , C = C ,…
9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
2o) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:
AB
BC
CD
=
=
=… = K
' '
' '
' '
AB BC C D
164
9. Semelhança de polígonos
A constante k, de proporcionalidade entre os
lados, é chamada razão de semelhança dos polígonos.
165
9. Semelhança de polígonos
Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼ LMNP.
Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD e
LMNP e, b) x, y e u.
166
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
a) Para calcular a razão de semelhança, basta obter
a razão de semelhança entre dois lados homólogos quaisquer de medidas conhecidas. No caso,
entre os lados AB e LM.
AB
28
7
k=
⇒k =
⇒ k=
LM
20
5
167
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
b) Já que a razão entre quaisquer dois lados
homólogos é igual à razão de semelhança, temos:
x
7
= ⇒ x = 49
35 5
7
y
= ⇒ y = 56
40 5
35 7
= ⇒ u = 25
u
5
168
9. Semelhança de polígonos
Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE e
KLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão de
semelhança e b) u, v, x e y.
169
9. Semelhança de polígonos
Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD e
BCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado,
calcule o valor de m/n.
170
10. Semelhança de triângulos
Conforme visto anteriormente, para que dois
polígonos sejam semelhantes são necessárias duas
condições: 1o) os ângulos correspondentes têm de ser
congruentes; 2o) os lados homólogos têm de ser
proporcionais.
171
10. Semelhança de triângulos
Apenas uma dessas duas condições não garante
que dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, os
quadriláteros da figura acima possuem seus ângulos
respectivamente congruentes, mas não são semelhantes,
pois seus lados não são proporcionais.
172
10. Semelhança de triângulos
Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, a
semelhança fica garantida com um menor número de
informações sobre eles. Tais informações constituem os
critérios de semelhança de triângulos.
173
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘
‘
‘
‘
‘
‘
Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos
de um são congruentes a dois ângulos do outro.
⌢ ⌢'
B = B
' ' '
A
.
A
.
ABC
∼
A
BC
∆
∆
⌢
⌢

'
174
C = C
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘
‘
‘
‘
‘
‘
Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se os lados de
um são proporcionais aos lados do outro.
a b c
= ' = '
'
a b c
L.L.L.
∆ABC ∼ ∆A'B 'C '
175
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘
‘
‘
‘
‘
‘
Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuem um
par de ângulos congruentes compreendidos entre lados
⌢ ⌢'
proporcionais.  A = A

b c
 ' = '
b c
L.A.L.
∆ABC ∼ ∆A'B 'C '
176
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
No reconhecimento dos lados homólogos em
triângulos semelhantes, deve-se identificar os pares de
ângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou com
letras do alfebeto grego. Esse procedimento visa
facilitar o reconhecimento dos lados homólogos.
177
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
BC AC AB
=
=
LM LN MN
178
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.
r / / BC
r / / AB
179
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dados
com atenção e calcule x e y.
180
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadrado
ABCD da figura?
181
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:
182
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que
AB = AC = CD = 2. Calcule os valores de α e x.
183
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
‘
Até agora trabalhamos com a proporcionalidade
dos lados de polígonos semelhantes. Porém, essa
proporcionalidade não ocorre apenas entre os lados e
sim entre quaisquer dois elementos lineares homólogos
de figuras semelhantes.
184
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
‘
Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, se
a razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razão
entre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturas
homólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas é
k; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …
a h m
a+b+c
= ' = ' = '
=… = k
'
'
'
a h m a +b +c
185
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadrado
inscrito no triângulo ABC. Calcular x em função de
a e h.
186
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Resolução: Como
LM / / BC ⇒ ∆ALM ∼ ∆ABC
Então, como a razão entre alturas homólogas é igual
à razão entre lados homólogos, temos:
187
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
x h−x
=
⇒ hx = ah − ax ⇒ ax + hx = ah
a
h
ah
(a + h )x = ah ⇒ x =
a+h
188
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ da
figura são semelhantes. Se o perímetro do segundo
é igual a 32, calcule as medidas de seus lados e de
sua diagonal B’D’.
189
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 64: A figura seguinte mostra um
retângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule as
medidas dos lados do retângulo, sabendo que sua
base é o dobro de sua altura.
190
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediato
que: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado de
um triângulo e é paralela a um outro lado intercepta o
terceiro lado em seu ponto médio.”
191
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Se r // BC e M é ponto médio de AB , então N é o
ponto médio de AC.
Note então que a reta que passa pelos pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao
terceiro lado.
192
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Observando ainda que ∆AMN R∆ABC, pois r // BC,
podemos escrever:
MN AM
=
BC
AB
E como AM é a metade de AB, conclui-se que MN
193
é a metade de BC.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Resumindo, o segmento que une os pontos médios
de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado
e sua medida é a metade da medida do terceiro lado.
194
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Se M e N são pontos médios de AB e AC .
então
1) MN // BC


BC
2) MN =
2

195
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de AB .
Calcular NC, sabendo que CD = 8.
196
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de BC , temos:
AC
MP / / AC e MP =
2
isto é, MP = 3.
Mas, se
MP / / AC, então ∆NCD ∼ ∆MPD
197
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
NC CD
x 8
=
⇒ =
MP PD
3 11
24
x=
11
198
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulo
medem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos lados
desse triângulo são vértices de um novo triângulo.
Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.
199
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem AB em
quatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelas
a BC . Calcule o valor de a + b + c.
200
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçandose a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os
seguintes elementos: a → hipotenusa; b e c → catetos;
h → altura relativa à hipotenusa; m → projeção de c
sobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre a
hipotenusa.
201
11. Relações métricas no triângulo retângulo
202
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Note que a altura AH divide o triângulo ABC nos
triângulos HBA e HAC.
⌢ ⌢
o
A
=
H
=
90
Então, ∆ABC R ∆HBA, pois
e ∢B é
ângulo comum.
⌢ ⌢
o
A
=
H
=
90
Além disso ∆ABC R ∆HAC, pois
e
∢C é ângulo comum. Logo,
∆ABC ∼ ∆HBA ∼ ∆HAC
203
11. Relações métricas no triângulo retângulo
∆ABC ∼ ∆HBA
a b
= ⇒ b⋅c = a⋅h
c h
a c
2
= ⇒ c = a⋅m
c m
(1)
(2)
204
11. Relações métricas no triângulo retângulo
∆ABC ∼ ∆HAC
a b
= ⇒ b2 = a ⋅ n
b n
(3)
∆HBA ∼ ∆HAC
h m
2
= ⇒ h = m⋅n
n h
(4)
205
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
b 2 = a ⋅ n
+ 2
c = a ⋅ m
(2) + (3)
b 2 + c 2 = a ⋅ (m + n )
a
b2 + c 2 = a2
(5)
206
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Resumindo:
a = b +c
2
2
2
b = a⋅n
2
c = a⋅m
2
h = m⋅n
b⋅c = a⋅h
2
207
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Se x, p e q são números ou segmentos que
satisfazem a equação
x2 = p ⋅ q
dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Desse
modo, há três médias geométricas entre as relações
métricas no triângulo retângulo.
208
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Cada cateto é média geométrica
hipotenusa e a sua projeção sobre ela.
b2 = a ⋅ n
e
entre
a
c2 = a ⋅ m
A altura é média geométrica entre as projeções
dos catetos sobre a hipotenusa.
h2 = m ⋅ n
209
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 5 e 2 5 . Calcular: a) a hipotenusa, b) as projeções dos catetos e c) a altura relativa à
hipotenusa.
210
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Resolução:
a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema de
Pitágoras.
a = b +c ⇒a =
2
2
2
2
( 5 ) + (2 5 )
2
2
a 2 = 5 + 4 ⋅ 5 ⇒ a 2 = 25
a=5
211
11. Relações métricas no triângulo retângulo
b) Podemos determinar m pela fórmula c2 = a ⋅ m,
pois já calculamos a hipotenusa.
c = a⋅m ⇒
2
( 5)
2
= 5⋅m
5 = 5⋅m
m =1
212
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Por outro lado, como m + n = a, temos:
m + n = a ⇒ 1+ n = 5 ⇒ n = 4
213
11. Relações métricas no triângulo retângulo
c) Finalmente, podemos calcular h por meio de
qualquer uma das relações h2 = m ⋅ n ou b ⋅ c = a ⋅ h.
h 2 = m ⋅ n ⇒ h 2 = 1⋅ 4 ⇒ h = 2
214
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 2 13 e 3 13 . Calcule: a) a hipotenusa; b) as
projeções dos catetos; e c) a altura relativa à
hipotenusa.
215
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro da
semicircunferência. Calcule AP e PB.
216
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a
40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio da
circunferência inscrita nesse losango.
217
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retângulo
em A. AH e AM são a altura e a mediana relativas à
hipotenusa. Calcule b e c.
218
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 73: No plano cartesiano são dados os
pontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.
219
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 74: Na figura, as circunferências de
centros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entre
si e tangenciam a reta t nos pontos A e B. Calcule
AB em função de R e r.
220
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é um
trapézio retângulo de bases AB e CD. A
semicircunferência de diâmetro AD tangencia o
lado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.
221
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de um
certo caminhão tem forma retangular. Sua altura,
medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão se
dirige a um clube, cuja entrada é um arco
semicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possa
passar pelo arco, é necessário que sua largura seja
menor que um certo valor l. Calcule l.
222
11. Relações métricas no triângulo retângulo
223
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro da
circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio da
circunferência.
224
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal de
um quadrado de lado l?
225
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 79: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num quadrado de lado l = 4.
226
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 80: Calcule a área de um triângulo
equilátero de lado l.
227
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 81: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num triângulo equilátero de
lado l = 6.
228