OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA MÓDULO II Lista 4 Data da lista: Preceptora: Cursos atendidos: Coordenador: 03/12/2016 Natália Todos Francisco 1. Dados os polinômios f (x) = 5x4 + 3x2 − 2x − 1 e g(x) = 2x3 + 4x + 3, calcule: a) f + g b) g − f c) f.g 2. Sabendo que os polinômios m, n e p têm respectivamente grau 3, 5 e 7 determine o grau do polinômio q, sendo: a) q = p + n b) q = p − m c) q = m.n d) q = (m + n).p e) q = (p.m) − n 3. Determine o quociente e o resto da divisão de p(x) por h(x), sendo: a) p(x) = 4x5 − 2x4 − 10x + 15; b) p(x) = x6 − 2x; h(x) = 2x − 1 h(x) = x2 − 2x − 1 1 c) p(x) = 3x7 − 5x6 + 9x5 − 10x4 − 3X 3 + 15x2 − 19x + 18; h(x) = 3x2 − 5x + 3 4. Sem utilizar o método da chave, determine o resto da divisão de p(x) por h(x) em cada item. a) p(x) = x4 − 2x3 − 3x2 − 2x − 15; h(x) = x + 1 b) p(x) = 2x5 − 9x4 + 12x3 − 14x2 + 19x − 1; h(x) = x − 3 c) p(x) = x4 − 3x3 − 7x2 + 31x − 10; h(x) = x − 3 d) p(x) = 3x7 − 15x6 + 5x5 − 25x4 − 7x3 + 35x2 ; q(x) = x − 5 e) p(x) = 4x6 − 16x5 + 8x4 − 32x3 − 12x2 + 48x − 7; q(x)x − 4 5. Determine quantas raízes complexas, não necessariamente distintas, tem cada equação polinomial. a) 2x3 − 5x2 + 3x − 1 = 0 b) 5x5 − 6x4 + 2x2 − x = 5x5 − 3x4 + x3 − 5 c) x2 (7x3 − 6x2 − 5x + 1) = 0 d) x3 − x2 (x4 − 5x + 1) = 0 6. Qual é o conjunto-solução da equação 15 (x − 3)4 (x − 1)2 (x + 2)3 = 0? E qual é o grau dessa equação? 7. Decomponha o polinômio p(x) = 3x2 + 6x − 45 em termos de suas raízes. 8. Decomponha cada um dos polinômios a seguir em termos de suas raízes. a) p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6, em que 1, 3 e −2 são raízes b) q(x) = x3 − 23 x2 − 9x − 4, em que 4, −1 e −2 são raízes 2 c) r(x) = x3 + 52 x2 − 53 x 2 + 35, em que −7, 25 e 2 são raízes 9. Dentre as seis matrizes seguintes, cinco tem o determinante igual a zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades dos determinantes. Justifique. 5 −4 10 −1 3 9 6 6 A= 1 5 2 −3 2 3 4 2 2 3 −2 9 6 2 9 −1 8 B= 6 7 4 0 6 7 4 0 8 0 0 0 1 4 0 0 C= −2 1 3 0 3 2 1 5 3 0 2 4 2 0 6 8 D= −1 0 −3 6 4 0 1 5 2 9 −3 4 0 5 −2 2 E= 0 0 0 3 0 0 0 7 −4 5 0 2 3 −1 2 5 F = 4 −5 0 −2 6 8 3 −5 2 5 −1 3 0 3 0 1 10. Sendo A = 0 0 5 −1 o 0 0 10 , calcule detA. 11. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que detA = 6 e detB = 4, calcule det(AB). 3 −1 0 1 2 , calcule detA−1 , se existir A−1 . 12. Sabendo que A = 0 −1 1 3 13. Calcule os determinantes usando a regra de Chió. 2 1 3 1 −1 2 5 1 a) 4 1 3 4 0 0 −2 −1 3 1 1 1 1 2 2 b) 1 2 3 1 2 3 1 1 0 x 1 x c) x x 1 x 1 0 2 3 5 −6 d) 2 −1 −3 2 1 2 3 4 0 0 0 1 0 −1 2 −4 0 3 −1 5 14. Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo com base em uma tabela de valores da função em pontos que você escolheu. √ a) f (x) = 1 + x √ b) f (x) = 1 + x c) f (x) = 2 x 15. Trace o gráfico das funções abaixo para x ∈ [−2, 4]. 1, se x < 0 a) f (x) = −1, se x ≥ 0 0, se x < 1 b) f (x) = x2 − 1, se ≥ 1 16. As figuras abaixo mostram os gráficos de funções definidas por partes. Escreva a expressão de cada função. 4 17. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta. a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104km/h. 5 b) Um determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando esse trafega a 20km/h, mas indica que o veículo está a 70km/h quando a velocidade real é de 65km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de xkm/h. 18. A frequência natural de vibração de uma corda (como a do violino) é inversamente proporcional ao comprimento da corda. Suponha que uma determinada corda produza uma frequência de 440Hz quando mede 33cm. a) Escreva uma função F (c) que relacione a fequência e o comprimento da corda do enunciado (em metros). b) Determine a frequência da corda quando seu comprimento é reduzido para 25cm. 19. A tabela abaixo fornece o custo de envio de uma carta simples pelo correio, em relação ao peso da carta. Escreva a função que representa esse custo. 20. Para as funções f e g apresentadas abaixo, defina f + g, f g e f /g a) f (x) = x − 2, g(x) = x2 − 1 b) f (x) = x − 3, g(x) = x + 3 6 c) f (x) = √ 1 − x, d) f (x) = x+1 , x g(x) = x2 g(x) = 1 x2 21. Suponha que cpre (t) forneça o número de telefones celulares pré-pagos e cpos (t) forneça o número de celulares pós-pagos registrados no Brasil, no instante de tempo t (em anos) decorrido desde o ano 2000. Suponha, também, que p(t) forneça a população brasileira no instante t (também em anos a partir de 2000). a) Defina a função que fornece o número de telefones celulares registrados no Brasil, em relação a t. b) Defina a função que fornece o número de telefones celulares per capita em relação a t. c) Defina a função que fornece o percentual dos telefones celulares que são do tipo pré-pago, em relação a t. 22. Uma loja de informática lançou uma promoção de impressoras. Ela está vendendo qualquer modelo novo com um desconto de R$100, 00 para quem deixar sua impressora velha. Além disso, todas as impressoras da loja estão com 5% de desconto sobre o valor de fábrica (ou seja, sem o desconto de R$100, 00). a) Crie uma função p que forneça o preço real de uma impressora cujo preço original era x, para quem não deixar na loja sua impressora velha. b) Crie uma função q que forneça o preço real de uma impressora cujo preço original era x, para quem deixar uma impressora velha. c) Crie uma função d que forneça o desconto percentual que terá um cliente que comprar uma impressora cujo preço original era x, se o cliente deixar na loja sua impressora velha. 23. Com base nas figuras abaixo, trace o gráfico de h(x) = f (x) + g(x). 7 24. Resolva as equações trigonométricas. a) cos (x + π6 ) = −1 b) tan 5x = 0 c) sen(3x − π4 ) d) 3 tan (2x) = √ 3=0 25. Resolva as equações a seguir. a) cos x = cos 7π 12 π b) senx = sen 18 c) tan x = tan 9π 4 d) cos x = sen π9 26. Resolva as seguintes equações: a) 2senx cos x − cos x = 0 b) sen2 −senx = 0 c) tan2 x = 3 d) 2sen 2 x+ sen x − 1 = 0 e) cos 2x+sen x − 1 = 0 f) 4 cos x + 3 sec x = 8 8