OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista 4

OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA MÓDULO II
Lista 4
Data da lista:
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Coordenador:
03/12/2016
Natália
Todos
Francisco
1. Dados os polinômios f (x) = 5x4 + 3x2 − 2x − 1 e g(x) = 2x3 + 4x + 3,
calcule:
a) f + g
b) g − f
c) f.g
2. Sabendo que os polinômios m, n e p têm respectivamente grau 3, 5 e 7
determine o grau do polinômio q, sendo:
a) q = p + n
b) q = p − m
c) q = m.n
d) q = (m + n).p
e) q = (p.m) − n
3. Determine o quociente e o resto da divisão de p(x) por h(x), sendo:
a) p(x) = 4x5 − 2x4 − 10x + 15;
b) p(x) = x6 − 2x;
h(x) = 2x − 1
h(x) = x2 − 2x − 1
1
c) p(x) = 3x7 − 5x6 + 9x5 − 10x4 − 3X 3 + 15x2 − 19x + 18; h(x) =
3x2 − 5x + 3
4. Sem utilizar o método da chave, determine o resto da divisão de p(x)
por h(x) em cada item.
a) p(x) = x4 − 2x3 − 3x2 − 2x − 15; h(x) = x + 1
b) p(x) = 2x5 − 9x4 + 12x3 − 14x2 + 19x − 1;
h(x) = x − 3
c) p(x) = x4 − 3x3 − 7x2 + 31x − 10; h(x) = x − 3
d) p(x) = 3x7 − 15x6 + 5x5 − 25x4 − 7x3 + 35x2 ; q(x) = x − 5
e) p(x) = 4x6 − 16x5 + 8x4 − 32x3 − 12x2 + 48x − 7; q(x)x − 4
5. Determine quantas raízes complexas, não necessariamente distintas,
tem cada equação polinomial.
a) 2x3 − 5x2 + 3x − 1 = 0
b) 5x5 − 6x4 + 2x2 − x = 5x5 − 3x4 + x3 − 5
c) x2 (7x3 − 6x2 − 5x + 1) = 0
d) x3 − x2 (x4 − 5x + 1) = 0
6. Qual é o conjunto-solução da equação 15 (x − 3)4 (x − 1)2 (x + 2)3 = 0?
E qual é o grau dessa equação?
7. Decomponha o polinômio p(x) = 3x2 + 6x − 45 em termos de suas
raízes.
8. Decomponha cada um dos polinômios a seguir em termos de suas raízes.
a) p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6, em que 1, 3 e −2 são raízes
b) q(x) = x3 − 23 x2 − 9x − 4, em que 4, −1
e −2 são raízes
2
c) r(x) = x3 + 52 x2 −
53
x
2
+ 35, em que −7, 25 e 2 são raízes
9. Dentre as seis matrizes seguintes, cinco tem o determinante igual a zero.
Descubra quais são elas, usando as propriedades dos determinantes.
Justifique.


5 −4 10 −1
 3 9 6 6 

A=
 1 5 2 −3 
2 3 4 2
2


3 −2 9 6
 2 9 −1 8 

B=
 6 7
4 0 
6 7
4 0


8 0 0 0
 1 4 0 0 

C=
 −2 1 3 0 
3 2 1 5


3 0 2 4
 2 0 6 8 

D=
 −1 0 −3 6 
4 0 1 5


2 9 −3 4
 0 5 −2 2 

E=
 0 0 0 3 
0 0 0 7


−4 5 0 2
 3 −1 2 5 

F =
 4 −5 0 −2 
6
8 3 −5

2 5 −1 3
 0 3 0
1
10. Sendo A = 
 0 0 5 −1
o 0 0 10


, calcule detA.

11. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que
detA = 6 e detB = 4, calcule det(AB).


3 −1 0
1 2 , calcule detA−1 , se existir A−1 .
12. Sabendo que A =  0
−1 1 3
13. Calcule os determinantes usando a regra de Chió.


2 1 3
1
 −1 2 5
1 

a) 
 4 1 3
4 
0 0 −2 −1
3

1 1 1
 1 2 2
b) 
 1 2 3
1 2 3

1 1 0
 x 1 x
c) 
 x x 1
x 1 0

2
3
 5 −6
d) 
 2 −1
−3 2

1
2 

3 
4

0
0 

0 
1

0 −1
2 −4 

0
3 
−1 5
14. Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo com base em uma
tabela de valores da função em pontos que você escolheu.
√
a) f (x) = 1 + x
√
b) f (x) = 1 + x
c) f (x) =
2
x
15. Trace o gráfico das funções abaixo para x ∈ [−2, 4].
1, se x < 0
a) f (x) =
−1, se x ≥ 0
0, se x < 1
b) f (x) =
x2 − 1, se ≥ 1
16. As figuras abaixo mostram os gráficos de funções definidas por partes.
Escreva a expressão de cada função.
4
17. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo.
A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir
240km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no
sentido horário à medida que a velocidade aumenta.
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição
atual do ponteiro (0km/h) e sua posição quando o velocímetro
marca 104km/h.
5
b) Um determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do
veículo quando esse trafega a 20km/h, mas indica que o veículo
está a 70km/h quando a velocidade real é de 65km/h. Supondo
que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa
a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de xkm/h.
18. A frequência natural de vibração de uma corda (como a do violino) é
inversamente proporcional ao comprimento da corda. Suponha que
uma determinada corda produza uma frequência de 440Hz quando
mede 33cm.
a) Escreva uma função F (c) que relacione a fequência e o comprimento da corda do enunciado (em metros).
b) Determine a frequência da corda quando seu comprimento é reduzido para 25cm.
19. A tabela abaixo fornece o custo de envio de uma carta simples pelo
correio, em relação ao peso da carta. Escreva a função que representa
esse custo.
20. Para as funções f e g apresentadas abaixo, defina f + g, f g e f /g
a) f (x) = x − 2,
g(x) = x2 − 1
b) f (x) = x − 3,
g(x) = x + 3
6
c) f (x) =
√
1 − x,
d) f (x) =
x+1
,
x
g(x) = x2
g(x) =
1
x2
21. Suponha que cpre (t) forneça o número de telefones celulares pré-pagos
e cpos (t) forneça o número de celulares pós-pagos registrados no Brasil,
no instante de tempo t (em anos) decorrido desde o ano 2000. Suponha,
também, que p(t) forneça a população brasileira no instante t (também
em anos a partir de 2000).
a) Defina a função que fornece o número de telefones celulares registrados no Brasil, em relação a t.
b) Defina a função que fornece o número de telefones celulares per
capita em relação a t.
c) Defina a função que fornece o percentual dos telefones celulares
que são do tipo pré-pago, em relação a t.
22. Uma loja de informática lançou uma promoção de impressoras. Ela está
vendendo qualquer modelo novo com um desconto de R$100, 00 para
quem deixar sua impressora velha. Além disso, todas as impressoras
da loja estão com 5% de desconto sobre o valor de fábrica (ou seja, sem
o desconto de R$100, 00).
a) Crie uma função p que forneça o preço real de uma impressora cujo
preço original era x, para quem não deixar na loja sua impressora
velha.
b) Crie uma função q que forneça o preço real de uma impressora cujo
preço original era x, para quem deixar uma impressora velha.
c) Crie uma função d que forneça o desconto percentual que terá um
cliente que comprar uma impressora cujo preço original era x, se
o cliente deixar na loja sua impressora velha.
23. Com base nas figuras abaixo, trace o gráfico de h(x) = f (x) + g(x).
7
24. Resolva as equações trigonométricas.
a) cos (x + π6 ) = −1
b) tan 5x = 0
c) sen(3x − π4 )
d) 3 tan (2x) =
√
3=0
25. Resolva as equações a seguir.
a) cos x = cos 7π
12
π
b) senx = sen 18
c) tan x = tan 9π
4
d) cos x = sen π9
26. Resolva as seguintes equações:
a) 2senx cos x − cos x = 0
b) sen2 −senx = 0
c) tan2 x = 3
d) 2sen 2 x+ sen x − 1 = 0
e) cos 2x+sen x − 1 = 0
f) 4 cos x + 3 sec x = 8
8