S05 - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

MOQ – 13
PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Professor: Rodrigo A. Scarpel
[email protected]
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Semanas
Conteúdo
1
Introdução à probabilidade (eventos, espaço amostral, axiomas, propriedades, probabilidade condicional e
independência).
2
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade.
Funções massa, densidade, e distribuição acumulada. Funções de variáveis aleatórias.
3
Valor esperado e variância. Momentos de uma variável aleatória. Função geradora de momentos. Principais
distribuições de probabilidade discretas (Bernoulli, Binomial e Poisson).
4
Principais distribuições de probabilidade contínuas (Exponencial negativa e Normal).
5
Feriado (2/4)
6
Variáveis aleatórias conjuntas, função distribuição conjunta e marginal. Independência estatística. Covariância
e Coeficiente de Correlação.
7
Prova
8
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central.
9
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros (Métodos dos
momentos e da máxima verossimilhança).
10
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses.
11
Testes de Hipóteses. Inferência baseada em 2 amostras (entre parâmetros de populações distintas).
12
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).
13
Feriado (4/6)
14
Prova
15 e 16
Regressão linear simples e correlação.
Aplicações de modelos de regressão linear.
MOQ – 13
PRINCIPAIS
DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
[email protected]
www.mec.ita.br/~rodrigo
Tipos de variáveis:
NOMINAL
QUALITATIVA
ORDINAL
VARIÁVEL
DISCRETA
- UNIFORME
QUANTITATIVA
CONTÍNUA
1. f(x) ou P(x)
2. F(x)
O QUE É ESTUDAR UMA
VARIÁVEL ALEATÓRIA?
3. E(x)
4. Var(x)
5. Utilidade
- NORMAL
- EXPONENCIAL
- OUTRAS
Distribuição Uniforme [X~U(α
α,β
β)]:
Def: Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme se sua
função distribuição de probabilidade é dada por:
 1
, se α ≤ x ≤ β

f ( x) =  β - α
0
, caso contrário
0
 x - α
F ( x) = P( X ≤ x) = 
β -α
1
E(X) = (α+β) / 2
Var(X) = (β -α)2 / 12
,x < α
,α ≤ x ≤ β
,x > β
Distribuição Gamma [X~Gamma(α
α,β
β)]:
Def - Função Gamma: Γ(α ) =
∞
α −1 − x
x
∫ e dx
α>1, Γ(α)=(α-1). Γ(α-1)
0
Para n inteiro e positivo,
Γ(n)=(n-1)!
Γ(½) = π½
Def: Uma variável aleatória X tem distribuição gamma se sua
função distribuição de probabilidade é dada por:
 1
α -1 -x β
x
e
,x ≥ 0
 α
f ( x) =  β Γ(α )
 0
, caso contrário
, α > 0, β > 0
Distribuição Gamma [X~Gamma(α
α,β
β)]:
α
α
α
α
α
 1
xα -1 e -x β , x ≥ 0
 α
f ( x) =  β Γ(α )
 0
, caso contrário
β
β
β
β
β
, α > 0, β > 0
Família da Distribuição Gamma:
λ e -λx
,x ≥0
f
x
(
)
=

Distribuição Exponencial: α= 1 e β=1/λ
λ,
0, caso contrário
Distribuição Chi-quadrado: α= ν/2 e β=2
1

(ν 2) -1 - x 2
x
e
,x ≥ 0
 ν 2
f ( x) =  2 Γ(ν 2)
 0
, caso contrário
em que ν é o número de graus de liberdade de X
Distribuição Normal [X~N(µ
µ,σ
σ2)]:
Uma variável aleatória X tem distribuição Normal se sua f.d.p. é:
f ( x) =
1
e
2π σ
1  x−µ 
− 

2 σ 
→x∈ℜ
2
,−∞ < x < ∞
→ µ ∈ ℜ (-∞
∞ < µ < ∞)
→ σ ∈ ℜ+ (σ
σ > 0)
E [X] = µ
Var [X] = σ2
Propriedades:
σ=½
• Forma de sino centrado em µ
σ=1
• Simétrica
• Achatamento depende de σ
σ=2
• Há um único máximo global em x= µ
• f(x) é crescente para x < µ
• f(x) é decrescente para x > µ
µ
Distribuição Normal [X~N(µ
µ,σ
σ2)]:
Distribuição Normal Padronizada: Z~N(0,1): uma variável
aleatória Z tem distribuição Normal padronizada (ou reduzida) se
sua f.d.p. pode ser escrita como:
Z=
X −µ
σ
E[Z] =0
Var[Z]=1
1
f ( z) =
2π
1
− z2
e 2
Tabulação da Distribuição Normal Padronizada
,−∞ < z < ∞
Distribuição Normal [X~N(µ
µ,σ
σ2)]:
1
f ( x) =
e
2π σ
1  x−µ 
− 

2 σ 
2
,−∞ < x < ∞
→ E[X] = µ
→ Var[X] = σ2
Se X~N(µ
µ,σ
σ2) e se Z=(X- µ)/σ
/σ então Z~N(0,1)
Exemplo: Suponha que a demanda de energia em
megawatts/hora, em uma cidade, em um certo dia é uma
variável aleatória X~N(500,900). Qual a probabilidade do
consumo ser superior a 530 megawatts/hora?? E entre 440 e
560 megawatts/hora??
Aproximações da Distribuição Normal:
Distribuição Binomial: Se X~Bin(n,p) em que n é relativamente
grande (n≥
≥30) e n.p.(1-p)>5 pode ser aproximada à uma Normal
com µ = n.p e σ2 =n.p.(1-p), ou seja,
x − n. p
~ N (0,1)
n. p.(1 − p)
Distribuição de Poisson: Uma variável aleatória que segue uma
distribuição de Poisson com parâmetro λ ≥ 5 pode ser
aproximada à uma distribuição Normal com µ = λ e σ = λ½ , ou
seja,
x−λ
λ
~ N (0,1)
Outras Distribuições:
Distribuição Log-normal
Distribuição Weibull
Distribuição Beta
Distribuição Erlang
Distribuição Wald
Distribuição Cauchy
Distribuição Pareto
Distribuição Rayleigh
Para casa:
• Lista de Exercícios 4 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Devore – cap. 4: Variáveis aleatórias contínuas
Walpole et al. – cap. 6: Algumas dist. prob. contínuas