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MOQ – 13
PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Professor: Rodrigo A. Scarpel
[email protected]
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Semanas
Conteúdo
1
Introdução à probabilidade (eventos, espaço amostral, axiomas, propriedades, probabilidade condicional e
independência).
2
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade.
Funções massa, densidade, e distribuição acumulada. Funções de variáveis aleatórias.
3
Valor esperado e variância. Momentos de uma variável aleatória. Função geradora de momentos. Principais
distribuições de probabilidade discretas (Bernoulli, Binomial e Poisson).
4
Principais distribuições de probabilidade contínuas (Exponencial negativa e Normal).
5
Feriado (2/4)
6
Variáveis aleatórias conjuntas, função distribuição conjunta e marginal. Independência estatística. Covariância
e Coeficiente de Correlação.
7
Prova
8
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central.
9
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros (Métodos dos
momentos e da máxima verossimilhança).
10
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses.
11
Testes de Hipóteses. Inferência baseada em 2 amostras (entre parâmetros de populações distintas).
12
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).
13
Feriado (4/6)
14
Prova
15 e 16
Regressão linear simples e correlação.
Aplicações de modelos de regressão linear.
MOQ – 13
VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS
UNIDIMENSIONAIS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
[email protected]
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Momentos de uma variável aleatória:
As variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade são
freqüentemente caracterizadas por um pequeno número de parâmetros,
os quais também têm uma interpretação prática.
Exemplo: “Valor médio” da variável aleatória
Matematicamente, isto é conhecido como o problema (generalizado) dos
momentos: para uma dada classe de variáveis aleatórias X, encontre
uma coleção de funções, {fi(X)} tais que os valores esperados E[fi(X)]
caracterizem completamente a distribuição da variável aleatória X.
Def: Momentos de uma variável aleatória: seja X uma variável aleatória
caracterizada por uma função distribuição de probabilidade f(x). Para
k=1,2,3,… seu k-ésimo momento é dados por E[Xk].
Parâmetro de posição: valor esperado
O valor esperado é o primeiro momento de uma v. aleatória (k=1, E[X])
Também é conhecido por esperança ou média da v.aleatória.
Caracteriza o centro (centro de massa) da distribuição da v.aleatória.
CASO DISCRETO:
µ = E ( X ) = ∑ xi .P( xi )
CASO CONTÍNUO:
µ = E(X ) =
i
+∞
∫ x. f (x )dx
−∞
Propriedades do valor esperado:
E [K] = K
E [ax+b] = a.E[x]+b
E [x ± y] = E[x] ± E[y]
Parâmetro de dispersão: variância
Caracteriza o momento de inércia baricêntrico de uma distribuição.
[
] ( )
VAR( X ) = σ 2 ( X ) = E ( X − µ )2 = E X 2 − E ( X )2
CASO DISCRETO:
Var ( X ) =
2
(
)
x
−
µ
∑ i .P(xi )
i
CASO CONTÍNUO:
Var ( X ) =
+∞
2
(
)
x
−
µ
. f (x )dx
∫
−∞
→ Desvio-padrão: σ(x) = σ = (σ
σ2)½
Propriedades da variância: σ2(k) = 0
σ2(k.x) = k2. σ2(x)
σ2(x+k) = σ2(x)
Função geradora de momentos:
Dada uma variável aleatória X e sua distribuição de probabilidade,
( )
Mx(t ) = E e tX
∑ etX p ( x ), se X é uma v.a. discreta

=  x tX
 ∫ e f (x )dx, se X é uma v.a. contínua
x
em que Mx(t) é sua função geradora de momentos. Desta forma, fazendo
k tX

x
e p ( x ), se X é uma v.a. discreta
∑
k
d Mx(t )  x
=  k tX
k
dt
 ∫ x e f ( x )dx, se X é uma v.a. contínua
x
Para t=0, obtém-se E[Xk]
MOQ – 13
PRINCIPAIS
DISTRIBUIÇÕES
DISCRETAS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
[email protected]
www.mec.ita.br/~rodrigo
Tipos de variáveis:
NOMINAL
QUALITATIVA
ORDINAL
- BERNOULLI
VARIÁVEL
DISCRETA
- POISSON
QUANTITATIVA
CONTÍNUA
1. f(x) ou P(x)
2. F(x)
O QUE É ESTUDAR UMA
VARIÁVEL ALEATÓRIA?
3. E(x)
4. Var(x)
5. Utilidade
- BINOMIAL
Distribuição de Bernoulli [x~Ber(p)]:
Def: Se uma variável aleatória X assumir apenas 2 valores (ex:
sucesso ou fracasso, 0 ou 1,…) com distribuição de probabilidade:
p(1)=p e p(0)=1-p, essa é chamada variável aleatória de Bernoulli.
Assim: Ω = {A,Ā}
X(w) =
1-p , para x=0
f(x) =
p
, para x=1
0
, caso contrário
E(X) = p
Var(X) = p(1-p)
0, w= Ā (se o resultado for fracasso)
1, w= A (se o resultado for sucesso)
0
, se x < 0
F(x) = 1-p , se 0 ≤ x < 1
1
, se x ≥ 1
Distribuição Binomial [x~Bin(n,p)]:
Def: Experimento Binomial:
•
Há um fenômeno do tipo fracasso (0) e sucesso (1)
•
São feitas n observações deste fenômeno
•
A probab. de sucesso em cada uma das n obs. é igual a p
•
As observações são independentes entre si
Def: Se X é uma variável aleatória que é igual ao número de
sucessos nas n observações de um experimento binomial, ela é
chamada variável aleatória binomial (ou que segue uma
distribuição binomial).
Distribuição Binomial [x~Bin(n,p)]:
Função de Distribuição de Probabilidade de X:
, x ∉ {0,1, K , n}
0
 n 
f ( x) = P( X = x) = 
  p x (1 − p )n − x , x ∈ {0,1, K , n}
 x 

Função de Distribuição Acumulada de X:
0
 x n

F ( x) = P ( X ≤ x) =  ∑   p j (1 − p )n − j
 j =0  j 
1
E(X) = n.p
Var(X) = n.p.(1-p)
,x < 0
,x<n
,x ≥ n
Distribuição de Poisson [x~Poi(λ
λ), λ>0]:
No caso da distribuição binomial (e das outras estudadas até
agora), a variável de interesse é o número de sucessos em um
intervalo discreto (n observações ou repetições). Muitas vezes,
entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo
contínuo - Exemplos:
•
Em um call center chegam, em média, 3 ligações por minuto;
•
Em um determinado processo de fabricação de cabos, em
média, aparece 1 falha a cada 400 metros.
Def: Se X é uma v.a. que é igual ao número de sucessos em um
intervalo contínuo, então diz-se que esta segue uma distribuição de
Poisson.
Distribuição de Poisson [x~Poi(λ
λ), λ>0]:
Função de Distribuição de Probabilidade de X:
 e -λ λ x

f ( x) = P( X = x) =  x!
 0
, x = 0,1, K, n
, caso contrário
Função de Distribuição Acumulada de X:
0
 x -λ j
F ( x) = P( X ≤ x) =  e λ
∑
j!
 j=1
E(X) = λ
Var(X) = λ
,x < 0
,x ≥ 0
Processo de Poisson:
Def: Quando a variável aleatória de interesse conta o número de
ocorrências do evento ao longo do tempo, têm-se um processo de
Poisson.
Suposições do processo de Poisson:
• As ocorrências são independentes e estacionárias (λ
λ:constante);
• O número de ocorrências é proporcional ao tamanho do intervalo;
• Em intervalos muito pequenos, a probabilidade de ocorrer mais de
um sucesso é desprezível.
Neste caso:
e-λt (λt )k
P( X = k ) =
k!
E(X) = λt
Var(X) = λt
Aproximação da Binomial pela Poisson:
O cálculo das probabilidades binomiais quando p é pequeno e n é
grande pode ser feito aproximadamente pela distribuição de Poisson
fazendo:
E(X) = n.p = λt
Valores de p < 0,10 fornecem boas aproximações.
Exemplo:
• Se retirarmos 50 peças defeituosas de uma máquina que produz 2%
das peças com defeito, a probabilidade de encontrarmos 2 peças
defeituosas será:
 50 
P( X = 2) =  (0,02)2 (0,98)48 = 0,1857
2
e -112
E(X) = n.p = 0,02. 50 = 1 ⇒ P ( X = 2) =
= 0,1839
2!
Distribuição Hipergeométrica [x~Hip(N,r,n)]:
No Experimento Binomial, a probabilidade de sucesso em cada
uma das n observações é igual a p. Assim, há 2 possibilidades:
•
Os experimentos feitos são com reposição;
•
A população é tão grande que a extração não altera o valor de p.
Nos casos em que as extrações devem ser feitas sem reposição e
a população não é suficientemente grande, a distribuição adequada é
a Hipergeométrica.
Def: Consideremos um conjunto de N elementos, r dos quais têm
uma determinada característica (r≤
≤N). Serão extraídos n elementos
sem reposição. Se X é uma v.a. que é igual ao número de elementos
com a referida característica que estarão entre os n retirados, ela é
chamada hipergeométrica (ou que segue essa distribuição).
Distribuição Hipergeométrica [x~Hip(N,r,n)]:
Função de Distribuição de Probabilidade de X:
  r  N − r 

  
  x  n − x 
, x = 0,1, K, n
f ( x) = P( X = x) =   N 
  
 n
 0
, caso contrário
Função de Distribuição Acumulada de X:
0
  r  N − r 

 x  
j n− j

F ( x) = P( X ≤ x) =  ∑  
N
 j =0
 

n
1

E(X) = n.p
Var(X) = n.p.(1-p).[(N-n)//(N-1)]
,x < 0
,x<n
,x ≥ n
Outras distribuições discretas notáveis:
Distribuição multinomial:
O experimento binomial se torna multinomial se
deixarmos que cada tentativa tenha mais de dois
resultados possíveis.
Distribuição binomial negativa:
A variável aleatória X é o número de tentativas para se
obter k sucessos.
Distribuição geométrica:
A variável aleatória X é o número da tentativa na qual o
primeiro sucesso ocorre.
Para casa:
• Lista de Exercícios 3 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Devore – cap. 3: Variáveis aleatórias discretas
Walpole et al. – caps. 3 e 5 (Algumas dist. prob. Discretas)