Modulo 4
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CURSO DE RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
MÓDULO 4: Estudo das Probabilidades
A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota não só à prática de
jogos "de azar" mas também, à instituição dos seguros que foram usados pelas
civilizações mais antigas, designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem a sua
atividade comercial marítima.
O Cálculo das Probabilidades parece ter nascido, na Idade Média, com as
primeiras tentativas de matematização dos jogos de azar, muito difundidos na época.
É sabido que sempre os jogos foram praticados como apostas mas também para
prever o futuro, decidir conflitos, dividir heranças, etc.
Devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as
primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Eles
limitaram-se, no entanto, a resolver alguns problemas concretos mas ainda sem
demonstração de teoremas, embora tivessem feito comparação de frequência de
ocorrências e estimativas de ganhos.
No entanto, a contribuição decisiva para o início da Teoria das Probabilidades
foi dado pela correspondência trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal
e seu amigo Pierre de Fermat, em que ambos, por diferentes caminhos, chegam à
solução correta do célebre problema da divisão das apostas em 1654. Este problema
teria sido proposto a Pascal pelo cavaleiro De Meré (considerado por alguns autores
jogador inveterado e por outros, filósofo e homem de letras) quando viajava em sua
companhia. Sem que Pascal e Fermat o soubessem, este problema era basicamente
o mesmo que, um século antes, interessara também Pacioli, Tartaglia e Cardano.
Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise
de jogos de azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o
cálculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época a expressão
que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número de
casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis).
Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades
começou a evoluir e ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros
aspectos da vida social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vacina
contra a varíola no século XVIII.
Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da
Matemática (como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos
da Genética), da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, etc.
A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que pesquisa e
desenvolve modelos visando estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Todos
esses modelos apresentam variações segundo sua complexidade, mas possuem
aspectos básicos comuns.
Elementos
Experimento Aleatório – É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes,
sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados
possíveis. Exemplos: lançamento de um dado, lançamento de uma moeda, loteria de
números, extração de uma carta de baralho, abertura de um livro ao acaso para ver o
número da página, escolha de um aluno ao acaso para perguntar quantos irmãos
tem, etc.
Espaço Amostral de um experimento aleatório – É o conjunto de todos os
resultados possíveis desse experimento. Notação: Ω (letra grega que se lê ômega)
ou S e indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω) ou Ω
( número de resultados possíveis).
Evento – É todo subconjunto de um espaço amostral de um experimento aleatório.
Notação: E ou qualquer letra para indicar o subconjunto e indicaremos o número de
elementos de um evento por n(E) ou E ( número de resultados favoráveis).
Probabilidade de um evento
Se, num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é
n(Ω) e o número de elementos do evento E é n(E) , então
a probabilidade de
ocorrer o evento E é o número P(E) tal que P( E ) n( E ) .
n()
Essa definição é válida, quando o espaço amostral Ω for equiprobabilístico,
isto é, quando todos os elementos de Ω tiverem a mesma probabilidade.
Observações:
1ª) P() = 0 e P(Ω) =1
2ª) Como 0 n(E) n(), tem-se que 0 P(E) 1.
3ª) É comum representarmos as probabilidades em porcentagem. Por exemplo, em
vez de dizermos P(E) = ½ , podemos dizer que P(E) = 50%.
Para fazer com os alunos:
Pedir aos alunos para jogarem 100, 200, 300, ... , 4000 vezes uma moeda e
verificar, em cada caso, quantas vezes ocorre cara.
A palavra probabilidade já é , certamente conhecida da linguagem corrente.
Muitas vezes ouvimos frases como:
a)
“Há boas possibilidades”;
b)
“Há 50% de chance”;
c)
“Com pouca probabilidade de chuva”.
Discutir o significado de cada uma das frases acima.
Analisar a probabilidade que aparece nos jogos de loteria.
Pesquisar sobre a utilização das probabilidades em:
cálculos atuariais, especialmente os associados aos seguros de vida .
os estudos demográficos e, em especial, os estudos de incidência de doenças
infecciosas e o efeito da vacinação.
a construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar: carteados,
roleta, lotos etc
probabilidades na Física
probabilidades na Estatística
probabilidades na Engenharia.
Exemplo 1: Lançar uma moeda equilibrada e observar a face superior. Qual o
espaço amostral?
Resposta: Ω = {cara , coroa}
Exemplo 2: Lançar um dado honesto e observar o número da face superior. Qual o
espaço amostral?
Resposta: Ω = {1,2,3,4,5,6}
Exemplo 3: Seja o lançamento de uma moeda honesta. Observa-se o resultado da
face superior. Qual a probabilidade e ocorrer cara?
Resposta: Ω = {cara, coroa} Ω = 2
E= { cara } E = 1
P(E) = E / Ω = ½ = 50%
Exemplo 4: Seja o lançamento de duas moedas honestas. Observam-se os
resultados das faces superiores. Qual a probabilidade de:
a) Ocorrer duas caras?
b) Ocorrer exatamente uma cara?
Resposta: Ω = {(cara,cara), (cara,coroa), (coroa,cara), (coroa,coroa)} Ω = 4
a) E= { (cara,cara } E = 1
P(E) = E / Ω = ¼ = 25%
b) E= { (cara,coroa, (coroa,cara) } E = 2
P(E) = E / Ω = 2/4 = 1/2 = 50%
Exemplo 5: Seja o lançamento de dois dados honestos. Qual a probabilidade de
obtermos pontos iguais nos dois dados?
Resposta: Ω = 6 x 6 = 36
Dados
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,1)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(5,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
E= { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } E = 6
P(E) = E / Ω = 6/30 = 1/6 16,7%
Exemplo 6: Seja P(A) = 8/10 e P(B) = 4 /10 e P(A∩B) = 3/10. Calcule: P(AUB)
Resposta: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(AUB) = 8/10 + 4/10 – 3/10
P(AUB) = 9/10 = O,90 = 90%
Exemplo 7: Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade
que ela seja vermelha?
Resposta: Ω = {A1,A2,A3,A4,V1,V2,V3,V4,V5,V6} Ω = 10
E= { V1,V2,V3,V4,V5,V6} E = 6
P(E) = E / Ω = 6/10 = 3/5= 0,6 =60%
Exemplo 8: Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um
número par?
Resposta: Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Ω = 10
E= { 2,4,6,8, 10} E = 5
P(E) = E / Ω = 5/10 = ½ = 0,5 = 50%
Exemplo 9: No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
a) o número 2;
Ω = {1,2,3,4,5,6} n(Ω) = 6
E= { 2 } n( E) = 1
P(E) = n(E) / n(Ω) = 1/6 = 0,1666... = 16,67%
b) um número par;
Ω = {1,2,3,4,5,6} n(Ω) = 6
E= { 2,4,6 } n( E) = 3
P(E) = n(E) / n(Ω) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%
c) um número múltiplo de 3.
Ω = {1,2,3,4,5,6} n(Ω) = 6
E= { 3,6 } n( E) = 2
P(E) = n(E) / n(Ω) = 2/6 = ⅓ = 0,3333... = 33,33%
Exemplo 10: De um baralho de 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição,
duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
a) as duas cartas são “damas”;
n(Ω) = 52 x 51 = 2652
Cálculo do número de elementos do evento E (duas damas).
Temos 4 damas, portanto A4,2 = 4X3 = 12
P(E) = 12 / 2652 = 1/221 = 0,45%
b) as duas cartas são de “ouros”.
n(Ω) = 52 x 51 = 2652
Cálculo do número de elementos do evento E: duas cartas de ouros.
Temos 13 cartas de ouros, logo A13,2 = 13 x 12 = 156
P(E) = 156 / 2652 = 13/221 = 1/17 = 5,9%
Tipos Especiais de Eventos
Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e
observação do número voltado para cima. O espaço amostral será: Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Evento certo: é o próprio espaço amostral.
Exemplo: evento A → ocorrência de um número menor que 8
A= {1,2,3,4,5,6}.
Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.
Exemplo: evento B→ ocorrência de um número maior que 10.
B = { } ou B =
Evento união: é a reunião de dois eventos.
O evento união de A e B (A B) equivale à ocorrência de A ou de B ou de
ambos.
Obs.: A B contém todos de A e todos os elementos de B.
Exemplo: evento A → ocorrência de um número ímpar A = {1,3,5}
evento B→ ocorrência de um número par primo B = { 2}.
evento A B → ocorrência de um número ímpar ou de um número par
primo A B = {1,2,3,5}
Evento interseção: é a interseção de dois eventos.
A ocorrência simultânea dos eventos A e B é chamado de evento Interseção.
Obs.: A B contém todos os pontos de Ω comuns a A e B.
Exemplo: evento A → ocorrência de um número par A = {2,4,6}
evento B→ ocorrência de um número múltiplo de 4 B = { 4 }.
evento A B → ocorrência de um número par e múltiplo de 4
AB ={4}
Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que têm conjuntos disjuntos.
Obs.: Dois eventos A e B são disjuntos quando a ocorrência de um deles
impossibilita a ocorrência do outro, ou seja, quando A B = .
Exemplo: evento A → ocorrência de um número par A= { 2,4,6}
evento B→ ocorrência de um número ímpar B = { 1,3,5 }.
A B = ou A B = { }
Eventos complementares: são dois eventos A e Ā tais que
A Ā = ( o evento união é o próprio espaço amostral)
A Ā = ( o evento interseção é o conjunto vazio)
Obs.:O evento complementar de A ( Ā ) contém todos os pontos de Ω que não
estão em A.
Exemplo: evento A → ocorrência de um número par A = {2,4,6}
Evento Ā → ocorrência de um número ímpar Ā = {1, 3,5}
Observe que A Ā = = {1, 2, 3, 4, 5,6}; A Ā =
Limites de Probabilidade
A probabilidade de um evento impossível é 0
A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é 1.
0 ≤P(A) ≤1
↓
↓
Evento
Impossível
Evento
Certo
0% ≤P(A) ≤100%
Probabilidade da união de dois eventos
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral, tem-se que:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Observação: Se A B = P(A B) = P() = 0, obtemos P(A B) = P(A) + P(B).
Exemplo 11: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou
um número ímpar?
O espaço amostral é Ω = {1,2,3,4,5,6} n(Ω) = 6
Os eventos são:
ocorrência do número 3 A = { 3} n(A) = 1
ocorrência de número ímpar B = { 1,3,5} n(B) = 3
A B= { 3} n(A B) = 1
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(A B) = n(A)/ n(Ω) + n(B)/ n(Ω) – n(A B)/ n(Ω)
P(A B) = 1/6 + 3/6 – 1/6 = 3/6 = ½ ou P(A B) = 50%
Outra maneira:
O evento ocorrência de número 3 ou número ímpar é E = {1,3,5} n(E)= 3 ,
logo P(A) = n(E) / n(Ω) = 3/6 = ½ = 50%
Aplicação da Regra da Adição
Probabilidade do evento complementar
Sejam A e Ā dois eventos de um espaço amostral Ω; sendo Ā o evento
complementar de A, temos P(A)+ P(Ā ) = 1.
Exemplo 12: Considere o lançamento de dois dados. Determine
a) a probabilidade de se obter um total de 7 pontos.
b) a probabilidade de não se obter um total de 7 pontos.
Espaço Amostral
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
(4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
(5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)
(6,5) (6,6)
a) n(Ω) = 36
A = { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} n(A) = 6
P(A) = n(A)/ n(Ω) = 6/36 = 1/6
b) P(Ā ) = 1 – 1/6 = 5/6
Experimentos não equiprováveis
Considere a roleta indicada na figura.
Observe que o espaço amostral é Ω = {1,2,3} e que os eventos elementares
{1}, {2} e {3} não são equiprováveis, isto é, não têm a mesma chance de ocorrência,
pois:
a área do número 1 corresponde à quarta parte do círculo;
a área do número 2 corresponde à quarta parte do círculo;
a área do número 3 corresponde à metade parte do círculo.
Assim, temos: P(1) = ¼ , P(2) = ¼ e P(3)= ½ , ou seja, P(3) = 2P(1)= 2P(2).
Logo, esse experimento é dito não equiprovável, pois os eventos elementares
do espaço amostral não apresentam a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo 13: Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara num lançamento
é igual quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Calcular a probabilidade de
ocorrer cara num lançamento dessa moeda.
Sejam os eventos: A→ocorrer “cara”
B→ocorrer “coroa”
Com P(A) = 4P(B)
Como os eventos são exclusivos, temos: P(A) + P(B)= 1 4P(B) + P(B) = 1
5P(B) = 1 P(B) = 1/5 P(B) = 0,2 = 20%
Fazendo a substituição:
P(A) + P(B) = 1 P(A) + 1/5 = 1 P(A) = 4/5 ou P(A) = 0,8 = 80%
Multiplicação de probabilidades
No Módulo III (Análise Combinatória), vimos o Princípio Fundamental da
Contagem; em probabilidade, há uma regra análoga, denominada Regra do Produto.
Enunciado→ Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e
independentes, de tal modo que
o primeiro evento é A e a sua probabilidade é P1,
o segundo evento é B e a sua probabilidade é P2,
o terceiro evento é C e a sua probabilidade é P3,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
o k-ésimo evento é K e a sua probabilidade é P k, então a probabilidade de que
os eventos A,B,C, ... , K ocorram nessa ordem é P1. P2. P3. ... Pk.
Exemplo 14: Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de que apareça
coroa nas quatro vezes?
Ω = {cara, coroa} n(Ω) = 2
1º lançamento P1 = ½
2º lançamento P2 = ½
3º lançamento P3 = ½
4º lançamento P4 = ½
Logo: P = P1 .P2 .P3 .P4 = ½ . ½ . ½. ½ = 1/16
Probabilidade condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um evento B
ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A dado B. Ela é denotada
por
e calculada por:
Essa expressão pode ser reescrita como:
A probabilidade do evento
é,
(complementar de A) dado que o evento B ocorreu, isto
, é expressa por:
Os eventos A e B são independentes se o fato de um deles ter ocorrido não
altera a probabilidade da ocorrência do outro, isto é,
Da regra da multiplicação temos:
Exemplo 15: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade
de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”?
Temos n(Ω) = 52.
Evento A: sair um “ás vermelho”
Evento B: sair “copas”
O que o problema pede é P(A/B), ou seja, a probabilidade de sair um “ás
vermelho” tendo saído “copas”.
Evento A: { ás de copas, ás de ouros}
Evento B: {carta de copas} n(B) = 13
A B ={ás de copas} n(A B) = 1
Logo, p(A B) = 1/52 e p(B) = 13/52. Portanto :
P( A / B)
P( A B) 1 / 52
1
P( B)
13 / 52 13
Assim, ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a probabilidade de sair
“ás vermelho” sabendo que ela é de “copas” é de 1/13.
Exemplo 16: Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a
família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem?
Nesse caso, chamando M: mulher e H: homem, temos:
Ω = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH, HMH, MHM} n(Ω) = 8
Evento A: a família tem 3 homens A = {HHH}
Evento B: a primeira criança é homem B= {HHH, HMM, HHM, HMH}
A B = {HHH}; p(A B) = 1/8; p(B)= 4/8
P( A / B)
P( A B) 1 / 8 1
P( B)
4/8 4
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a
probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não
terem ocorrido.
Ou melhor, Dizemos que dois eventos são independentes quando a
realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da
realização do outro e vice-versa. Se dois eventos são independentes, a probabilidade
de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de
realização dos dois eventos.
Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a
probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos
se realizem simultaneamente é dada por: P = P1 x P2
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo 17: Uma tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2
bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a
primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada
condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). A probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do
produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada foram
consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o
fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já
que ela foi reposta na urna.
Distribuição binomial
Suponhamos que um experimento consista de tentativas repetidas, cada uma
com dois possíveis resultados que podem ser vistos como sucesso ou fracasso.
Seja p a probabilidade de ocorrência do evento A (sucesso) e q = 1 – p, a
probabilidade de ocorrência do evento
(fracasso).
A probabilidade de obtermos r vezes o resultado desejado é dada por
n
r
r
nr
lei binomial
.
Essa expressão é conhecidaP como
das probabilidades. Só pode
p q
ser aplicada a experiências aleatórias com as seguintes características.
A experiência é repetida um número n de vezes, nas mesmas condições.
Após cada experiência ocorre A sucesso) ou evento
P é constante em todas as n experiências.
(fracasso).
As experiências são independentes uma da outra.
Exemplo 18: Jogando-se 5 vezes um dado honesto, qual a probabilidade de ocorrer
só três vezes o resultado 2?
3
2
Pela lei binomial das probabilidades, temos P 5 . 1 . 5 125
3 3888
6 6
5
5!
3
C 5
10
3! (5 3)!
3
(1/6)³ = 1/216
(5/6)² = 25/36
Outros exemplos de cálculo de probabilidades
Exemplo 19: De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática,
Física e Química, sabe-se que
a) 30 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino.
b) o total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química.
c) existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.
Nestas condições, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se
que é do sexo feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de
Matemática vale
( X ) 1/5 ( ) ¼ ( ) 1/3 ( ) ½ ( ) n.d.a.
A → evento: sexo feminino e do curso de Matemática
n(A) = 10
n(Ω) = 50 P = 10/ 50 P = 1/5
Masculino Feminino Total
Matemática 20
10
30
Física
20
30
50
Química
10
10
20
( ver tabela )
Total
50
50
100
Exemplo 20: Um colégio tem 400 alunos. Destes
100 estudam Matemática
80 estudam Física
100 estudam Química
20 estudam Matemática, Física e Química
30 estudam Matemática e Física
30 estudam Física e Química
50 estudam somente Química.
A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemática e química é
(X ) 1/10 ( ) 1/8 ( ) 2/5 ( ) 5/3 ( ) n.d.a.
P = 40 / 400 = 1/10
Exercícios
1- Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda?
2- O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um
campeonato para que fosse sorteado. Após escreverem seus nomes em papéis
idênticos, colocaram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que cada um
tem de ser sorteado?
3-No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um número
par?
4- Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8
pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade
de ela ser branca?
5-De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retiramos uma das cartas ao
acaso. Qual a probabilidade de
a) ser um ás?
b) ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?
6- Com os algarismos 1, 3 e 5 formamos todos os números de 3 algarismos
possíveis. Dentre eles escolhemos um número, ao acaso.
a) Qual a probabilidade de escolher um número que seja múltiplo de 3?
b) Qual a probabilidade de o número escolhido ser par?
7- De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao acaso.
a) Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei?
b) Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete, dama ou rei)?
8- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o número obtido ser menor
ou igual a 4?
9- No lançamento de dois dados, um verde e outro vermelho, qual é a probabilidade
de que a soma dos pontos obtidos seja
a) 7
b) 1
c) maior que 12
d) um número par
10- Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao
acaso, tenha média acima de 7,0 é 1/5 . Nesse mesmo grupo, a probabilidade de
que um jovem saiba jogar futebol é 5/6 . Qual a probabilidade de escolhermos um
jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?
11- Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um
baralho de 52 cartas?
12- Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas?
13- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa.
b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
14- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a
5.
15-De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro
baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho
ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
16- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5
bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4
verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas
retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca,
preta e verde?
17- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual
a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
18- Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas?
19- Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma
carta de um baralho de 52 cartas?
20- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número nãoinferior a 5?
21- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma
dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
22- Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser
10 ou maior que 10.
23- Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se
simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de
a) nenhuma ser vermelha.
b) todas sejam da mesma cor.
24- Determine a probabilidade de retirar do conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um número
ímpar ou um número divisível por 3.
25- Qual a probabilidade de se retirar do conjunto o número 3 (evento A) sabendo
que um número divisível por 3 ocorreu (evento B) ?
26- Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul
e 3 no branco?
27- Lançam-se dois dados honestos. Qual a probabilidade de que a diferença em
módulo das faces seja menor do que 2?
28- Qual é a probabilidade de se obter um número divisível por 2, na escolha ao acaso
de uma das permutações dos algarismos 1,2,3,4, 5?
29- em uma prova caíram dois problemas, A e B. Sabe-se que 200 alunos acertaram A,
90 erraram B, 120 acertaram os dois e 100 acertaram apenas um problema. Qual a
probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso não tenha acertado nenhum
problema?
30- Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao
acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se essa
experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores
distintas?
31- Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-se 3 bilhetes, qual a
probabilidade de
a) nenhum deles ser premiado?
b) apenas um ser premiado?
32- Lançando-se quatro vezes uma moeda honesta, qual a probabilidade de que ocorra
cara exatamente 3 vezes?
33- Após o lançamento de dois dados, obteve-se uma somo igual a 9. Determine a
probabilidade de um dos dados apresentar o número 5.
34- Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma
dos números dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os
dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter
ganho?
( )10/36 ( ) 5/32 ( ) 5/36 ( ) 5/35 ( ) n.d.a.
35- Você faz parte d eum grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos
prêmios iguais. A probabilidade de que você seja um dos premiados é
( ) 1/10 ( )1/5 ( ) 3/10 ( ) ⅓ ( ) n.d.a.
Respostas
1- ½ ou 50%
2- 1/5 = 0,2 = 20%
3- 3/6 = ½ = 50%
4- 2/10 = 1/5 / 0,2 = 20%
5- a) 4/54 = 0,07 = 7% b) 6/54= 0,11 = 11%
6- a) Como a soma dos algarismos 1 + 3 + 5 é igual a 9, que é um múltiplo de 3,
qualquer um dos números formados será múltiplo de 3. Assim, a probabilidade
de isso ocorrer será:P (múltiplo de 3) =6/6= 1
b) Como qualquer dos algarismos 1, 3 e 5 colocados no final do número
formado gera um número ímpar, não formaremos nenhum número par. Assim,
como a quantidade de casos favoráveis é zero, temos: p (par) = 0/6 = 0
7- a) 4/52 = 1/13 = 7,69%
b) 12/52 = 3/13 = 23%
8- 4/6= 2/3= 67%
9- a) 6/36 = 1/6 = 17%
b) 0
c) 0
d) 24/36 = 2/3= 67%
10- O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar
futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são
independentes. Considere então os eventos:
A: ter média acima de 7,0.
B: saber jogar futebol.
A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.
Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1/5
têm média acima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de 1/5 , ou seja, 5/6 ·
1/5= 1/6,sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 16.
Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então,
concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a
ver” um com o outro):
P (A e B) = P (A) · P (B) ou P (A B) = P (A) · P (B)
11- 1/52
12- 4/52 = 1/13
13- a) 4/12 = 1/3 b) 1 - 1/3 = 2/3
14-
4/36 = 1/9
15-
p1 = 4/52 = 1/13
16-
p1 = 3/9 = 1/3
17-
p1 = 1/52
18-
pr = 4/52 = 1/13
ou
19-
p2 = 1/52
p = p1 x p2 = 1/676
p2 = 2/8 = 1/4
p2 = 1/51
p3 = 4/9
p = p1 x p2 x p3 = 1/27
p = p1 x p2 = 1/2652
pd = 1/13
pv = 1/13
p = p1 + p2 + p3 = 3/13
p = 12/52 = 3/13
Pc = 13/52 = 1/4
po = 13/52 = 1/4
p = pc+ po= 1/2
20-
p = 1/6 + 1/6 = 1/3
21- p1 = 4/52 x 4/52 = 1/169
22-
p2 = 4/52 x 4/52 = 1/169
p = p1 + p2 = 2/169
n(10) = 3 p10 = 3/36
n(11) = 2 p11 = 2/36
p = p1 + p2 + p3 = 6/36 = 1/6
n(12) = 1 p12 = 1/36
23- a) ( 8 / 12 ) x (7 / 11 ) x (6/10 ) = 14/55
b) (4/12 ) x(3/11) x (2/10)+(5/12) x (4/11) x ( 3/10) + (3/12) x (2/11) x (1/10) = 3/44
24- A= {1,3,5} B={3,6}
A B ={ 3 }
P(A) = 3/6
P(B) = 2/6
P(A B) = 1/6
P(A B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 2/3
25- P (A | B) = n (A B) / n () / n(B)/n() = n (A B) / n ( B )
= 1/6 / 2/6 = 1/2
26- Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo Ω o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(Ω) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
27- P= 16/36= 4/9
28- P = 48/120 = 1/5 = 20%
29- P= 10/230 = 1/23
30- P = P1. P2. P3 = 3/3 . 2/3 . 1/3 = 2/9
31- a) P = C26,3 / C30,3 = 2600 / 4060 = 130 / 203
b) P = C4,1. C26,2 / C30,3 = 1300 / 4060 = 65/ 203
32-
3
1
4 1 1
1 1 1
P . . 4. .
8 2 4
3 2 2
33- ½
34- 5/32
35- P = C9,2 / C10,3 = 3/10
Recordando
Experimento aleatório: é o experimento que quando repetido em condições
idênticas pode fornecer resultados diferentes.
O conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório é
chamado de espaço amostral (Ω).
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral Ω.
Probabilidade é uma medida do nível de certeza em relação à ocorrência de
um determinado evento.
A probabilidade de um evento A é dada por
P(A)
número de pontos amostrais favoráveis à A
número total de pontos em
Propriedades da Probabilidade
AVALIAÇÃO D1
Esta avaliação corresponde a 50% da nota do quarto módulo.
Nome do (a) cursista: __________________________________________________
1ª. Questão:
Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 6 bolas pretas. Retirando-se ao acaso uma
bola, qual é a probabilidade de ela ser
a) vermelha?
b) preta?
2ª. Questão:
Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um
clube B e 200 de ambos. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso
ser sócia de A ou de B?
3ª. Questão:
Ao se jogar um dado, verificou-se que foi obtida face com número maior que 2. Qual
é a probabilidade de esse número ser primo?
4ª. Questão:
Numa sacola há 4 fichas brancas e 6 azuis. Qual é a probabilidade de retirarmos
sucessivamente, uma ficha branca e outra azul, com reposição?
5ª. Questão:
Uma caixa contém 10 etiquetas diferentes, sendo 4 com uma letra cada e 6 com um
algarismo cada. Novas etiquetas serão formadas agrupando-se as 10 etiquetas de 2
em 2. Calcule a probabilidade de uma etiqueta nova
a) ter 2 letras.
b) ter 2 algarismos.
6ª. Questão:
Três crianças do sexo masculino e três do sexo feminino são chamadas ao acaso
para submeterem-se a um exame biométrico. Qual é a probabilidade de serem
chamadas, alternadamente, crianças de sexos diferentes?
7ª.Questão:
Numa prova de 20 testes com 5 alternativas cada um, das quais uma única atende
às condições do teste, calcule a probabilidade de um aluno acertar a metade se ele
“chutar” todos os testes.
8ª.Questão:
Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar
com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é de 0,10.
a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose?
b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade
de que seja homem?
9ª.Questão:
Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das
quais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é
mínima a chance de encontrar a chave na 1ª tentativa, e chegam mesmo a dizer que
essa chave só vai aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa questão,
calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves,
a) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da 1ª tentativa.
b) a probabilidade de se acertar na 1ª tentativa.
c) a probabilidade de se acertar somente na última tentativa.
10ª.Questão:
Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C,
20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10
pertencem aos três clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a
probabilidade de ela
( ) pertencer aos três clubes é 3/5.
( ) pertencer somente ao clube C é zero.
( ) pertencer a dois clubes, pelo menos, é 60%.
( ) não pertencer ao clube B é 40%.
( ) n. d. a.
AVALIAÇÃO D2
Esta avaliação corresponde a 50% da nota do quarto módulo.
Nome do (a) cursista: __________________________________________________
1ª. Questão:
Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Retirandose uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?
2ª. Questão:
Numa turma de Ensino Médio, sabe-se que 20 alunos leem o jornal X, 23 o jornal y, 8
são leitores de ambos e 10 não leem nenhum deles. Calcular a probabilidade de
a) um aluno dessa turma ler X e Y.
b) um aluno, que lê X, ser leitor de y.
3ª. Questão:
No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de aparecerem faces
com números ímpares, com a condição de que a soma seja 8?
4ª. Questão:
Numa urna contém 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. Retirando-se
simultaneamente, 2 bolas, calcule a probabilidade de
a) ambas serem vermelhas.
b) ambas serem brancas.
5ª. Questão:
Com 5 engenheiros e 4 físicos serão formadas comissões de 5 pessoas. Calcule a
probabilidade de uma dessas comissões ser formada por 3 engenheiros e 2 físicos.
6ª. Questão:
Lançando –se um dado 7 vezes, calcule a probabilidade de se obter 4 vezes a face
de número 5.
7ª.Questão:
Numa cidade de 100.000 habitantes, fez-se um estudo para saber qual era a
distribuição dos diversos grupos sanguineos. Foram feitas análises com 1000
pessoas e obtidos os resultados indicados abaixo.
Grupo sanguineo
A
B
AB
Número de pessoas
350 116 22
O
512
Ao escolhermos uma pessoa ao acaso na cidade, quais das seguintes afirmações
seriam verdadeiras em relação a ela?
( ) A probabilidade de ter sangue do tipo A é de 35%.
( ) A probabilidade de ter sangue do tipo AB é de cerca de 2%.
( ) A probabilidade de não ter sangue do tipo O é de 51,2%.
8ª.Questão:
Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedoras do Fluminense, 5 são torcedoras do
Vasco e as demais são torcedoras do Flamengo. Escolhido ao acaso um elemento do
grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do Fluminense ou do Vasco é
( ) 0,40
( ) 0,25
( ) 0,50
( ) 0,30
( ) n.d.a.
9ª.Questão:
Três pessoas A,B e C vão participar de um concurso num programa de televisão. O
apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio entre C e o
vencedor do primeiro sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em cada
sorteio as duas pessoas têm a mesma “chance” de ganhar, qual é a probabilidade de
A iniciar o concurso?
( ) 12,5%
( ) 25%
( ) 50%
( ) 75%
( ) n.d.a.
10ª.Questão:
Considere dois eventos independentes A e B de um mesmo espaço amostral.
Sabendo que P(AB) = 0,9, P(A) = 0,4 e P(B) = x . Calcule x.
