Matemática

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Questão 1
Questão 3
A solução do sistema de equações lineares
 x − 2y − 2z = −1

− 2z = 3
 x

y
− z =1

Os números complexos 1 + i e 1 − 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais,
de grau 8.
O número de raízes reais deste polinômio, no
máximo, é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
é:
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
=
=
=
=
=
−5, y = −2 e z = −1.
−5, y = −2 e z = 1.
−5, y = 2 e z = 1.
5, y = 2 e z = −1.
5, y = 2 e z = 1.
alternativa E
x − 2y − 2z = −1
−2y + 3 = −1
x
− 2z = 3 ⇔ x − 2z = 3 ⇔
y − z =1
y − z =1
x =5
⇔ y = 2
z =1
V = {(5; 2; 1)}
Questão 2
Em um edifício residencial de São Paulo, os
moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores.
De quantas maneiras diferentes será possível
fazer estas escolhas?
a) 64. b) 126. c) 252. d) 640. e) 1260.
alternativa C
Temos que se1 + i e 1 − 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais, seus conjugados
1 − i e 1 + 2i também são. Como há 4 raízes não
reais e o polinômio possui 8 raízes, então podemos ter, no máximo, 4 raízes reais.
Questão 4
No triângulo QPP’ do plano cartesiano, temos Q = (a,0), com a < 0, P = (4,2) e P’ o simétrico de P em relação ao eixo x.
Sabendo que a área desse triângulo é 16, o
valor de a é:
a) −5.
b) −4.
c) −3.
d) −2.
e) −1.
alternativa B
Como P’ é simétrico de P em relação ao eixo x,
temos P’ = (4; −2).
Assim o triângulo QPP’ tem base PP’ = 2 − (−2) = 4
e altura de medida 4 − a.
alternativa E
Dentre os dez moradores, podemos escolher um
para ser síndico de 10 maneiras; como não pode
haver acumulação de cargos, os 4 membros do
conselho fiscal devem ser tomados dentre os 9 moradores restantes, o que pode ser feito de
9 
9 ⋅ 8 ⋅7 ⋅ 6
= 126 maneiras.
  =
4 
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Portanto as escolhas podem ser feitas de 10 ⋅ 126 =
= 1 260 maneiras diferentes.
Logo sua área é dada por
⇔ a = −4.
4 ⋅ (4 − a)
= 16 ⇔
2
matemática 2
Questão 5
Questão 7
Um número inteiro n, quando dividido por 7,
deixa resto 5. Qual será o resto na divisão de
n2 + n por 7?
Um ponto do plano cartesiano é representado
pelas coordenadas (x + 3y, −x − y) e também
por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo
sistema de coordenadas. Nestas condições, x y
é igual a
a) −8.
b) −6.
c) 1.
d) 8.
e) 9.
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
alternativa D
alternativa A
Seja q o quociente da divisão de n por 7.
Temos (x + 3y; −x − y) = (4 + y; 2x + y) ⇔
Temos n = 7q + 5, logo n 2 + n =
= (7q + 5)
= 7(7q
2
2
+ 7q + 5 = 49q
2
+ 77q + 30 =
+ 11q + 4) + 2 .
Assim, o resto da divisão de n 2 + n por 7 é 2.
⇔
x + 3y = 4 + y
x + 2y = 4
⇔
⇔
− x − y = 2x + y
−3x − 2y = 0
⇔
x = −2
y =3
Logo x y = ( −2) 3 = −8 .
Questão 6
A região do plano cartesiano, determinada simultaneamente pelas três condições
 x2 + y2 ≤ 16

y ≥ x2


x ≥ 0

b) B.
A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em
coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio 1 e centro
a) (−6, 4).
b) (6, 4).
c) (3, 2).
d) (−3, −2).
e) (6, −4).
alternativa D
Temos x
2
⇔ (x + 3)
é aquela, na figura, indicada com a letra
a) A.
Questão 8
c) C.
d) D.
+y
2
2
+ 6x + 4y + 12 = 0 ⇔
+ (y + 2) 2 = 12 ⇔
⇔ (x − ( −3)) 2 + (y − ( −2)) 2 = 12 .
Assim, a equação dada representa uma circunferência de raio 1 e centro (−3, −2).
e) E.
alternativa B
A desigualdade x 2 + y 2 ≤ 16 determina a circunferência de centro (0, 0) e raio 16 = 4 e seu
interior.
A desigualdade y ≥ x 2 determina a parábola dada
por y = x 2 e os pontos acima dela, ou seja, a região determinada pela parábola e que contém o
ponto (0, 1).
Finalmente, x ≥ 0 representa o semiplano de origem no eixo das ordenadas que está à direita do
mesmo.
A intersecção das regiões descritas anteriormente
é a indicada pela letra B.
Questão 9
 1, se 0 ≤ x ≤ 2,
Considere a função f(x) = 
 − 2, se − 2 ≤ x < 0.
A função g(x) = |f(x)| − 1 terá o seguinte gráfico:
a)
matemática 3
b)
Questão 10
O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c
números reais) contém os pontos (−1, −1),
(0, −3) e (1, −1). O valor de b é:
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
alternativa C
Os pontos (−1, −1) e (1, −1) pertencem ao gráfico
da função f(x) = ax 2 + bx + c. Assim,
c)
a( −1) 2 + b( −1) + c = −1
a(1) 2 + b(1) + c = −1
⇔
⇔
a − b + c = −1
⇒ b = 0.
a + b + c = −1
Questão 11
d)
Há funções y = f(x) que possuem a seguinte
propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções
são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?
a)
b)
e)
c)
alternativa D
d)
e)
Temos que:
1, se 0 ≤ x ≤ 2
f(x) =
⇒
− 2, se − 2 ≤ x < 0
⇒ |f(x)| =
1, se 0 ≤ x ≤ 2
⇔
2, se − 2 ≤ x < 0
0, se 0 ≤ x ≤ 2
1, se − 2 ≤ x < 0
Como g(x) = |f(x)| − 1, o gráfico que melhor representa a função g é o da alternativa D.
⇔ |f(x)| − 1 =
alternativa E
Uma função f: A → B, A ⊂ R e B ⊂ R é injetora se,
e somente se, toda reta y = b, b ∈ B, corta o gráfico de f no máximo uma única vez.
Dos gráficos apresentados, o único que pode satisfazer essa condição é o da alternativa E.
matemática 4
Questão 12
Questão 14
O valor de x que é solução da equação
log10 2 + log10 (x + 1) − log10 x = 1 é
A figura mostra
uma circunferência, de raio 4 e
centro C1 , que
tangencia internamente a circunferência maior, de
raio R e centro
C2 . Sabe-se que A
e B são pontos
da circunferência
maior, AB mede
8 e tangencia a circunferência menor em T,
sendo perpendicular à reta que passa por C1
e C2 .
A área da região hachurada é:
a) 9π.
b) 12π.
c) 15π.
d) 18π.
e) 21π.
a) 0,15. b) 0,25. c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55.
alternativa B
Temos log10 2 + log10 (x + 1) − log10 x = 1 ⇔
 2 ⋅ (x + 1) 
log10 
 = 1
x

2 ⋅ (x + 1)
= 10
⇔ x +1 > 0
⇔
⇔
x
x >0
x >0
⇔ x = 0,25
Questão 13
alternativa A
Seja a função f : R → R, dada por f(x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes.
1. A função f(x) é uma função par, isto é,
f(x) = f(−x), para todo x real.
2. A função f(x) é periódica de período 2π, isto
é, f(x + 2π) = f(x), para todo x real.
3. A função f(x) é sobrejetora.
π
4. f(0) = 0, f   =
 3
3
π
e f   = 1.
 2
2
São verdadeiras as afirmações
a) 1 e 3, apenas.
b) 3 e 4, apenas.
c) 2 e 4, apenas.
d) 1, 2 e 3, apenas.
e) 1, 2, 3 e 4.
alternativa C
Temos:
1) Falsa, pois f(−x) = sen(−x) = −sen x = −f(x).
2) Verdadeira, pois f(x + 2π) = sen(x + 2π) =
= sen(x) = f(x) para todo x real.
3) Falsa, pois como −1 ≤ sen x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ f(x) ≤ 1,
temos que, por exemplo, 2 não pertence à imagem de f.
4) Verdadeira, pois:
f(0) = sen 0 = 0
π
π
f   = sen
=
3 
3
π
π
f   = sen
=1
2
2
3
2
Temos que T é o ponto médio do segmento AB,
AB
ou seja, AT =
= 4.
2
Além disso, C 2 T é igual ao diâmetro da circunferência menor, subtraído do raio da circunferência
maior, ou seja, C 2 T = 8 − R.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
C 2 TA:
(8 − R) 2 + 4 2 = R 2 ⇔ 16R = 80 ⇔ R = 5
Assim, a área da região hachurada é:
π ⋅ 5 2 − π ⋅ 42 = 9π
Questão 15
Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45o.
b) 50o.
c) 55o.
d) 60o.
e) 65o.
alternativa A
Em um paralelogramo, dois ângulos internos consecutivos são sempre suplementares.
Assim, sejam x e180 o − x suas medidas.
x
1
Podemos ter
=
⇔ 3x =180 o − x ⇔
3
180 o − x
⇔ x = 45 o .
Assim, os ângulos internos do paralelogramo medem 45 o e 180 o − 45 o = 135 o . O menor ângulo
mede 45 o .
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