NOTAS DE AULA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ
NOTAS DE AULA:
ANÁLISE REAL
Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro
Curso: Matemática, 4º ano
CAMPO MOURÃO
2013
Capı́tulo 1
Conjuntos e Funções
Neste capı́tulo vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos referentes a
conjuntos e funções que serão usados com frequência no decorrer dos capı́tulos seguintes.
1.1
Conjuntos
A palavra conjunto é usada para designar uma coleção qualquer de objetos,
os quais são denominados elementos do conjunto. Quando um objeto x é um dos
elementos que constitui o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A.
Para denotar que x não pertence a A escrevemos x ∈
/ A.
Usamos a notação X = {a, b, c, . . .} para representar o conjunto X cujos elementos são a, b, c, etc. Quando os elementos de X são números, dizemos que X é um
conjunto numérico. Por exemplo:
N = {1, 2, 3, . . .}: conjunto dos números naturais.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·}: conjunto dos números inteiros.
Q = {p/q| p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0}: conjunto dos números racionais.
Um conjunto pode ser definido especificando-se os seus elementos, o que nem
sempre é possı́vel, ou por meio de uma propriedade desses. Por exemplo,
X = {x ∈ N | x > 10}
é o conjunto formado pelos números naturais x que gozam da seguinte propriedade: x
é maior do que 10.
Um conjunto é dito vazio e denotado por ∅ quando é desprovido de elementos.
Por exemplo, X = {x ∈ N | 2 < x < 3} = ∅.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo
elemento de A é também elemento de B e denotamos esse fato por A ⊂ B (lê-se A
está contido em B) ou, ainda, B ⊃ A (lê-se B contém A). Por exemplo, sejam X o
2
conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos, então vale a seguinte inclusão:
X ⊂Y.
Quando escrevemos X ⊂ Y não excluı́mos a possibilidade de ser X = Y . No
caso em que X ⊂ Y e X 6= Y , dizemos que X é um subconjunto próprio de Y e
podemos representar esse fato pela notação X Y .
Para mostrar que X não é subconjunto de Y , deve-se obter x ∈ X tal que
x∈
/ Y . Assim, concluı́mos que o conjunto vazio ∅ é subconjunto de qualquer conjunto
X. De fato, se ∅ não fosse subconjunto de X, existiria algum x ∈ ∅ tal que x ∈
/ X.
Mas, como não existe x ∈ ∅, devemos admitir que ∅ ⊂ X, para qualquer conjunto X.
A relação de inclusão A ⊂ B é
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A;
Anti-simétrica: se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B;
Transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
A propriedade anti-simétrica diz que dois conjuntos A e B são iguais quando
possuem os mesmos elementos. Assim, quando tivermos que provar a igualdade entre
dois conjuntos, devemos primeiro mostrar que A ⊂ B e, depois, que B ⊂ A.
1.1.1
Operações entre conjuntos
1. União: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
2. Interseção: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
Quando A ∩ B = ∅, dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
3. Diferença: A − B = A \ B = {x | x ∈ A e x ∈
/ B}.
Não é necessário que B esteja contido em A para formar a diferença A − B.
Quando A e B são disjuntos, tem-se A − B = A. Quando se tem B ⊂ A,
a diferença A − B chama-se complementar de B em relação a A e escreve-se
A − B = {A B. No entanto, quando consideramos subconjuntos de um mesmo
conjunto X, a diferença X − A chama-se simplesmente complementar de A e
indica-se por X − A = Ac .
4. Produto cartesiano: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.
5. União infinita:
∞
[
An = {x | x ∈ An para algum n ∈ N}.
n=1
6. Interseção infinita:
∞
\
An = {x | x ∈ An para todo n ∈ N}.
n=1
3
1.1.2
Exercı́cios
1. Mostre que A ∪ B = B ∪ A.
2. Prove que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
3. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1ª) X ⊃ A e X ⊃ B,
2ª) Se Y ⊃ A e Y ⊃ B, então Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪ B.
4. Prove que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
5. Prove que B − A = B ∩ Ac .
6. (Leis De Morgan) Prove que (A ∪ B)c = Ac ∩ B c e (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
1.2
Funções
Uma função f : A → B é uma regra que associa cada elemento x ∈ A a
um único elemento f (x) ∈ B. O conjunto A é chamado domı́nio da função e B é
denominado contradomı́nio. Podemos dizer apenas “função f ” em vez de f : A → B,
ficando subentendidos o conjunto A, domı́nio de f , e o conjunto B, contradomı́nio de
f . É importante notar a diferença entre f e f (x): f é a função enquanto que f (x)
é o valor que a função assume em um elemento x de seu domı́nio. Funções reais de
variáveis reais são funções cujo domı́nio e contradomı́nio são subconjuntos dos números
reais.
Dada uma função f : A → B, o conjunto dos elementos y ∈ B para os quais
existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x) = y é chamado imagem de A pela função f
e designado por f (A). Assim, f (A) = {f (x) | x ∈ A}.
Exemplo 1.1 Seja f : R → R+ a função definida por f (x) = x2 , isto é, a função
que associa a cada real x o seu quadrado x2 . Temos que f (R) = R+ (aqui estamos
usando o fato, que ainda será provado, de que todo número real positivo possui uma
raiz quadrada) .
O gráfico de uma função f : A → B é o subconjunto G(f ) do produto cartesiano A × B formado pelos pares ordenados (x, f (x)), em que x ∈ A é arbitrário. Ou
seja,
G(f ) = {(x, y) ∈ A × B | x ∈ A e y = f (x)} .
Para que um subconjunto G ⊂ A × B seja o gráfico de uma função f : A → B, é
necessário e suficiente que, para cada x ∈ A, exista um único ponto (x, y) ∈ G cuja
primeira coordenada seja x.
4
Definição 1.2 Dizemos que a função f : A → B é
(i) injetiva quando para quaisquer x e y em A tais que x 6= y, tem-se f (x) 6= f (y)
ou, equivalentemente, quando para quaisquer x e y em A, f (x) = f (y) implica
x = y.
(ii) sobrejetiva quando para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x) = y,
isto é, quando f (A) = B.
(iii) bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Exemplo 1.3 A função f : Z → Z, definida por f (x) = 2x − 1 é injetiva, pois se
f (x) = f (y) então 2x − 1 = 2y − 1, donde segue que x = y. No entanto, f não é
sobrejetiva, pois não existe x ∈ Z tal que 2x − 1 = 0.
Definição 1.4 Considere uma função f : A → B e um conjunto Y ⊂ B. A imagem
inversa de Y pela função f é o conjunto f −1 (Y ), formado por todos os pontos x ∈ A
tais que f (x) ∈ Y . Assim, f −1 (Y ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Y }. Dado y ∈ B, escrevemos
f −1 (y) em vez de f −1 ({y}).
Exemplo 1.5 Seja f : Z → Z a função dada por f (x) = x2 . Para Y = {−3, −2, −1}
tem-se f −1 (Y ) = ∅. Temos ainda que f −1 (4) = {−2, 2}.
Definição 1.6 Sejam as funções f : A → B e g : C → D. Suponha que f (A) ⊂ C.
Assim, podemos definir a função composta g ◦ f : A → D que consiste em aplicar f e
depois g. Mais precisamente, podemos escrever (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para todo x ∈ A.
Exemplo 1.7 Sejam f : [−1, 1] → R e g : R+ → R+ e as funções dadas por f (x) =
√
√
1 − x2 e g(x) = x. Temos que g(f (x)) = 1 − x2 , x ∈ [−1, 1].
Definição 1.8 Seja f : A → B uma função bijetiva. Então, para cada x ∈ B existe
um único y ∈ A tal que f (y) = x. Isso nos permite considerar uma função g : B → A
dada por g(x) = y ⇔ f (y) = x. A função g denomina-se função inversa de f e,
geralmente, é denotada por f −1 . Quando f admite inversa, dizemos que f é inversı́vel.
Note que se g é a inversa de f , então g(f (x)) = x para todo x ∈ A e f (g(x)) = x
para todo x ∈ B.
Exemplo 1.9 A inversa da função bijetiva f : R → R dada por f (x) = 3x + 2 é a
x−2
função g : R → R dada por g(x) =
.
3
x
. Temos
Exemplo 1.10 Seja f : [0, 1) → [0, +∞) a função dada por f (x) =
1−x
−1
que f é bijetiva e, portanto, inversı́vel. Sua inversa é a função f : [0, +∞) → [0, 1)
x
dada por f −1 (x) =
.
1+x
5
√
Exemplo 1.11 Seja f : [−1, 0] → [0, 1] a função dada por f (x) = 1 − x2 . Temos
que f é bijetiva e, portanto, inversı́vel. Sua inversa é a função f −1 : [0, 1] → [−1, 0]
√
dada por f −1 (x) = − 1 − x2 .
1.2.1
Exercı́cios
1. Sejam a função f : A → B e os subconjuntos X e Y de A.
a) Prove que f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
b) Prove que f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ). Dê um contra-exemplo para mostrar
que f (X ∩ Y ) pode ser diferente de f (X) ∩ f (Y ).
c) Mostre que se f for injetiva então f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ).
d) Prove que f (X − Y ) ⊃ f (X) − f (Y ).
e) Mostre que se f for injetiva então f (X − Y ) = f (X) − f (Y ).
2. Mostre que f : A → B é injetiva se, e somente se, f (A − X) = f (A) − f (X) para
todo X ⊂ A.
3. Sejam a função f : A → B e os subconjuntos X e Y de B.
a) Prove que f −1 (X ∪ Y ) = f −1 (X) ∪ f −1 (Y ).
b) Prove que f −1 (X ∩ Y ) = f −1 (X) ∩ f −1 (Y ).
4. Dados a função f : A → B e um subconjunto Y de B, mostre que f −1 (B − Y ) =
A − f −1 (Y ).
5. Dada a função f : A → B, prove que:
a) f −1 (f (X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
b) f é injetiva se, e somente se, f −1 (f (X)) = X para todo X ⊂ A.
6. Dada a função f : A → B, prove que:
a) f (f −1 (Z)) ⊂ Z para todo Z ⊂ B;
b) f é sobrejetiva se, e somente se, f (f −1 (Z)) = Z para todo Z ⊂ B.
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Capı́tulo 2
Conjuntos Finitos e Infinitos
Discutiremos a seguir as definições formais de conjuntos finitos, infinitos e
enumeráveis. Vamos considerar inicialmente o conjunto dos números naturais.
2.1
Números Naturais
O conjunto dos naturais pode ser caracterizado a partir dos três axiomas dados
a seguir, conhecidas como axiomas de Peano.
Considere um conjunto N, cujos elementos são chamados números naturais e
uma função s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural n ∈ N chama-se
sucessor de n. A função s satisfaz aos seguintes axiomas:
1. s : N → N é injetiva.
2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N.
3. Se X ⊂ N é um subconjunto tal que 1 ∈ X e para todo n ∈ X tem-se s(n) ∈ X,
então X = N.
O axioma 3 é conhecido como Princı́pio da Indução e também pode ser enunciado da seguinte forma: Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, do fato
de um número natural n satisfazer P puder-se concluir que seu sucessor s(n) também
satisfaz P, então P é válida para todos os números naturais.
Exemplo 2.1 Mostre por indução que para todo n ∈ N tem-se s(n) 6= n.
2.1.1
Operações com naturais
No conjunto dos números naturais são definidas duas operações fundamentais:
a adição e a multiplicação, sendo caracterizadas por:
(i) m + 1 = s(m);
7
(ii) m + s(n) = s(m + n), isto é, m + (n + 1) = (m + n) + 1;
(iii) m · 1 = m;
(iv) m(n + 1) = m · n + m.
São válidas as seguintes propriedades da adição e da multiplicação:
Associatividade: (m + n) + p = m + (n + p), m · (n · p) = (m · n) · p;
Distributividade: m · (n + p) = m · n + m · p;
m · n = n · m;
Comutatividade: m + n = n + m,
Lei do corte: n + m = p + m ⇒ n = p e n · m = p · m ⇒ n = p.
2.1.2
Relação de ordem
Dados m e n naturais, dizemos que m é menor que n e escrevemos
m<n
quando existe p ∈ N tal que n = m + p.
A notação m ≤ n significa que m < n ou m = n.
A relação < goza das seguintes propriedades:
(i) Transitividade: se m < n e n < p, então m < p.
(ii) Tricotomia: dados m, n ∈ N, uma e somente uma das três alternativas é válida.
m = n ou m < n ou n < m.
(iii) Monotonicidade da adição: se m < n então, para todo p ∈ N tem-se m+p < n+p.
Exercı́cio 2.2 Mostre por indução que:
a) 1 + 2 + 3 + · · · + n = n
(n + 1)
2
b) n! > 2n para todo n ≥ 4.
Exercı́cio 2.3 Mostre que para qualquer n ∈ N, não existe p ∈ N tal que
n < p < n + 1.
Definição 2.4 Seja X um conjunto de números naturais. Diz-se que um número
p ∈ X é o menor elemento de X (ou elemento mı́nimo de X) quando se tem p ≤ n
para todo n ∈ X. Analogamente, um número q ∈ X chama-se o maior elemento de X
(ou elemento máximo de X) quando se tem q ≥ n para todo n ∈ X
8
O teorema a seguir estabelece que todo subconjunto não vazio dos naturais
possui um elemento mı́nimo. Já o elemento máximo nem sempre existe. O próprio N
não possui um maior elemento, uma vez que, para todo n ∈ N, n + 1 > n. No entanto,
quando o maior elemento de um conjunto X ⊂ N existe, ele é único. De fato, se p ∈ X
e q ∈ X são ambos elementos máximos, então p ≥ q e q ≥ p, logo, p = q.
Teorema 2.5 (Princı́pio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não vazio A ⊂ N
possui um menor elemento, isto é, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstração. Seja In = {p ∈ N | 1 ≤ p ≤ n}. Considere o subconjunto X ⊂ N formado pelos números n ∈ N tais que In ⊂ N − A. Assim, dizer que n ∈ X significa
que n ∈
/ A e que todos os números naturais menores que n também não pertencem
a A. Se 1 ∈ A, então 1 será o menor elemento de A. Porém, se 1 ∈
/ A, então como
I1 = {1} ⊂ N − A, temos que 1 ∈ X. Além disso, como X ⊂ N − A e A 6= ∅, então
X 6= N. Logo, a conclusão do axioma 3 não é válida. Assim, deve existir n ∈ X tal
que n + 1 ∈
/ X. Se n ∈ X então In ⊂ N − A. Logo, todos os inteiros desde 1 até
n pertencem ao complementar de A, mas n + 1 ∈ A. Dessa forma, n + 1 é o menor
elemento do conjunto de A, pois não existe número natural entre n e n + 1 (Exercı́cio
2.3).
Teorema 2.6 (Segundo Princı́pio de Indução) Seja X ⊂ N um conjunto com a
seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X contém todos os números naturais m tais que
m < n, então n ∈ X. Nessas condições, X = N.
Demonstração. Seja Y = N − X. Afirmamos que Y = ∅. De fato, se Y não fosse vazio,
pelo Teorema 2.5 exitiria um elemento mı́nimo p ∈ Y . Assim, para todo número natural
m < p, terı́amos m ∈ X. Mas, pela propriedade de X, isso nos leva à contradição
p ∈ X.
O Segundo Princı́pio da Indução constitui um método útil para demonstrar
proposições referentes a números naturais e também pode ser enunciado da seguinte
forma: seja P uma propriedade relativa a números naturais. Se, dado n ∈ N, do fato
de todo número natural m < n gozar da propriedade P puder ser inferido que n goza
de P, então todo número natural tem a propriedade P. O exemplo a seguir ilustra uma
aplicação desse método de demonstração.
Exemplo 2.7 (Teorema Fundamental da Aritmética) Dizemos que um número
natural p é primo quando p 6= 1 e não se pode escrever p = m · n com m < p e n < p.
Mostre que todo número natural se decompõe, de modo único, como produto de fatores
primos.
Resolução: Seja n ∈ N e suponha que todo número natural menor que n possa ser
decomposto como produto de fatores primos. Assim, ou n é primo, sendo de modo
9
trivial produto de fatores primos, ou então n = m · k, com m < n e k < n. Nesse
segundo caso, segue da hipótese de indução que m e k são produtos de fatores primos
e, portanto, n também o é. Assim, pelo Segundo Princı́pio da Indução, concluı́mos
que todo número natural é produto de números primos. Vamos mostrar agora que tal
decomposição é unica. Considere n ∈ N e suponha que a decomposição em fatores
primos de todo número natural menor que n seja única, exceto pela ordem dos fatores.
Se n for primo, não há o que provar. Caso contrário, como n se decompõe como produto
de fatores primos, podemos escrever n = pq, em que p é primo. Como q < n, temos pela
hipótese de indução que q admite uma única decomposição em fatores primos e, assim,
a decomposição de pq também é única. Mas como n = pq, segue que a decomposição de
n é única. Portanto, pelo Segundo Princı́pio da Indução, concluı́mos que todo número
natural se decompõe de modo único como produto de fatores primos.
2.2
Conjuntos finitos
Considere o conjunto In = {p ∈ N | p ≤ n} = {1, 2, 3, · · · , n}.
Definição 2.8 Um conjunto X é finito quando é vazio ou quando existe, para algum
n ∈ N, uma bijeção f : In → X.
No primeiro caso dessa definição dizemos que X tem zero elementos. No
segundo caso, dizemos que n ∈ N é o número de elementos de X, ou seja, que X possui
n elementos (n também pode ser chamado de número cardinal do conjunto finito X).
Intuitivamente, uma bijeção f : In → X representa uma contagem dos elementos de
X. Escrevendo f (1) = x1 , f (2) = x2 , · · · , f (n) = xn , temos X = {x1 , x2 , · · · , xn }.
Da Definição 2.8 segue que In é finito e possui n elementos. Além disso, se
f : X → Y é uma bijeção, um desses conjuntos é finito se, e somente se, o outro é.
Vejamos a seguir alguns dos importantes resultados sobre conjuntos finitos.
Lema 2.9 Se existe uma bijeção f : X → Y então, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe
também uma bijeção g : X → Y tal que g(a) = b.
Demonstração. Seja b0 = f (a). Como f é sobrejetiva, existe a0 ∈ X tal que f (a0 ) = b.
Vamos definir g : X → Y como g(a) = b, g(a0 ) = b0 e g(x) = f (x) se x ∈ X é diferente
de a e de a0 . Dessa forma, g também é uma bijeção.
Teorema 2.10 Se A é um subconjunto próprio de In , não pode existir uma bijeção
f : A → In .
Demonstração. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N o
menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A ⊂ In0 e uma
bijeção f : A → In0 . Se n0 ∈ A, então pelo Lema 2.9, existe uma bijeção g : A → In0
10
com g(n0 ) = n0 . Neste caso, a restrição de g a A − {n0 } é uma bijeção do subconjunto
próprio A − {n0 } sobre In0 −1 , o que contraria a minimalidade de n0 . Se, ao contrário,
tivermos n0 ∈
/ A então tomamos a ∈ A com f (a) = n0 e a restrição de f ao subconjunto
próprio A − {a} ⊂ In0 −1 será uma bijeção sobre In0 −1 , o que novamente vai contrariar
a minimalidade de n0 .
Corolário 2.11 Se f : Im → X e g : In → X são bijeções, então m = n.
Corolário 2.12 Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X → X é injetiva se,
e somente se, é sobrejetiva.
Corolário 2.13 Não pode existir uma bijeção f : X → Y de um conjunto finito X
sobre uma parte própria Y ⊂ X.
Teorema 2.14 Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y ⊂ X é finito.
Demonstração. Primeiro vamos provar que se a ∈ X então X − {a} é finito. De fato,
existe uma bijeção f : In → X a qual, pelo Lema 2.9, podemos supor que cumpre
f (n) = a. Se n = 1 então X − {a} = ∅, que é finito. Se n > 1, a restrição de f a In−1
é uma bijeção sobre X − {a}. Logo, X − {a} é finito e tem n − 1 elementos. Vamos
provar agora o caso geral por indução no número n de elementos de X. Suponha que
todo subconjunto de um conjunto com n elementos é finito. Sejam X um conjunto
com n + 1 elementos e Y um subconjunto qualquer de X. Se X = Y , o teorema está
provado. Caso contrário, existe a ∈ X tal que a ∈
/ Y . Então Y ⊂ X − {a}. Como
X − {a} tem n elementos, segue da hipótese de indução que Y é finito.
Definição 2.15 Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que
x ≤ p para todo x ∈ X.
Corolário 2.16 Um subconjunto X ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado.
Demonstração. Seja X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ N. Então, tomando p = x1 + x2 + · · · + xn ,
temos que x ≤ p para todo x ∈ X. Logo, X é limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N é
limitado, então existe p ∈ N tal que x ≤ p para todo x ∈ X. Logo, X ⊂ Ip . Como Ip
é finito, segue do Teorema 2.14 que X também o é.
Exercı́cio 2.17 Indicando por card(X) o número de elementos do conjunto finito X,
prove que:
a) Se X é finito e Y ⊂ X então card(Y ) ≤ card(X).
Resolução: Como X é finito, podemos supor X = In . Se Y ⊂ X, então Y é
finito. Logo, existe uma bijeção f : Im → Y e card(Y ) = m. Suponha que
m > n. Neste caso, In é um subconjunto próprio de Im e como Y ⊂ X, segue
que Y é subconjunto próprio de Im , contrariando o Corolário 2.13. Logo, m ≤ n
11
b) Se X e Y são finitos, então X ∪ Y é finito e
card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y ) − card(X ∩ Y ).
Resolução: Vamos considerar inicialmente o caso em que X e Y são disjuntos.
Temos que existem bijeções f : In → X e g : Im → Y , sendo card(X) = n e
card(Y ) = m. Vamos definir a função h : In+m → X ∪ Y como h(x) = f (x) se
1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se n + 1 ≤ x ≤ m + n. Logo, h é uma bijeção
e, portanto, X ∪ Y é finito e possui n + m elementos, ou seja, card(X ∪ Y ) =
card(X) + card(Y ).
Considere agora o caso em que X ∩ Y 6= ∅. Podemos escrever X e X ∪ Y como
a união de conjuntos disjuntos, da seguinte forma:
X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y )
(2.1)
X ∪ Y = (X − Y ) ∪ Y.
(2.2)
e
Observe que os conjuntos X − Y e X ∩ Y são finitos, pois são subconjuntos de
X. Logo, X ∪ Y é finito e de (2.1) e (2.2) segue que
card(X) = card(X − Y ) + card(X ∩ Y ) e card(X ∪ Y ) = card(X − Y ) + card(Y ).
Portanto, card(X ∪ Y ) = card(X) + card(Y ) − card(X ∩ Y ).
Exercı́cio 2.18 Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X.
Prove por indução que se X é finito, então card P(X) = 2card(X) .
Resolução: Se n = 1, então X = {a} possui dois subconjuntos, {a} e ∅. Logo,
card(P(X)) = 21 . Seja X um conjunto com n elementos e suponha que card P(X) =
2n . Considere o conjunto Y = X ∪ {a} tal que a ∈
/ X. Assim, card(Y ) = card(X) +
card({a}) = n + 1. Vamos mostrar que card P(Y ) = 2n+1 . Para tanto, basta observar
que os 2n subconjuntos de X também são subconjuntos de Y e, como a ∈
/ X, podemos
obter os demais subconjuntos de Y unindo cada subconjunto de X ao conjunto {a}.
Dessa forma, obtemos card P(Y ) = 2card P(X) = 2 · 2n = 2n+1 .
2.3
Conjuntos infinitos
Um conjunto é infinito quando não for finito. Assim, X é infinito quando não
é vazio e não existe, para qualquer n ∈ N, uma bijeção f : In → X.
Exemplo 2.19 O conjunto N do números naturais é infinito. Justifique.
12
Teorema 2.20 Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva
f : N → X.
Demonstração. Vamos definir uma função f : N → X recursivamente. Para isso,
definimos A1 = X e escolha x1 ∈ A1 . Note que esta escolha é possı́vel, pois como
X é infinito, A1 é não vazio. Agora definimos f (1) = x1 , A2 = X − {f (1)} e escolhemos x2 ∈ A2 . Prosseguindo dessa forma para n ≥ 3, tomamos xn ∈ An =
X − {f (1), f (2), . . . , f (n − 1)} e definimos f (n) = xn . Nestas condições, temos que f
é injetiva, pois se m 6= n, digamos m < n, então f (m) ∈ {f (1), f (2), . . . , f (n − 1)}
enquanto f (n) ∈ X − {f (1), f (2), . . . , f (n − 1)}. Logo, f (m) 6= f (n).
Corolário 2.21 Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção
g : X → Y sobre um subconjunto próprio Y ⊂ X.
Demonstração. Sejam X infinto e f : N → X uma aplicação injetiva, cuja existência
é garantida pelo Teorema 2.20. Escreva para cada n ∈ N, f (n) = xn e considere o
subconjunto próprio Y = X − {x1 }. Agora podemos definir uma bijeção g : X → Y ,
pondo g(x) = x se x não é um dos xn e g(xn ) = xn+1 , para todo n ∈ N. Reciprocamente,
se existe uma bijeção de X sobre um subconjunto próprio Y ⊂ X, então segue do
Corolário 2.13 que X é infinito.
Exercı́cio 2.22 Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números
ı́mpares positivos.
Exercı́cio 2.23 Dadas f : X → Y , prove que:
a) Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito.
b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
2.4
Conjuntos enumeráveis
Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção
f : N → X. Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo
f (1) = x1 , f (2) = x2 , · · · , f (n) = xn , · · · , temos X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · ·}.
Exemplo 2.24 O conjunto Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·} dos números inteiros é enun−1
merável. Basta considerar a bijeção f : N → Z, dada por f (n) =
para n ı́mpar
2
n
e f (n) = − para n par.
2
Teorema 2.25 Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
13
Demonstração. Se X é finito, então não há o que provar. Considere então X infinito.
Vamos definir uma função f : N → X da seguinte forma: f (1) = min {X} (a existência
do elemento mı́nimo é garantida pelo Princı́pio da Boa Ordenação, uma vez que X é não
vazio), f (2) = min {X − {f (1)}} , . . . , f (n + 1) = min {X − {f (1), . . . , f (n)}}. Note
que f é injetiva, pois f (n + 1) > f (n), para todo n ∈ N. Vamos mostrar que f também
é sobrejetiva. Suponha por absurdo que exista algum x ∈ X diferente de todos os f (n),
n ∈ N. Então, x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto
infinito Y = {f (1), f (2), . . . , f (n), . . .}. Dessa forma, Y seria limitado, contrariando o
Corolário 2.16. Logo, f : N → X é uma bijeção, ou seja, X é enumerável.
Corolário 2.26 Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é.
Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Corolário 2.27 Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.
Corolário 2.28 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
Demonstração. Sejam X e Y conjuntos enumeráveis, então existem sobrejeções f : N →
X e g : N → Y . Logo, a função h : N × N → X × Y , dada por h(m, n) = (f (m), g(n)) é
sobrejetiva. Portanto, usando o Corolário 2.27, basta mostrar que N × N é enumerável.
Para isto, considere a função ϕ : N × N → N dada por ϕ(m, n) = 2m · 3n . Pela
unicidadade da decomposição de um número em fatores primos, ϕ é injetiva. Logo,
pelo Corolário 2.26, N × N é enumerável.
Exemplo 2.29 Nem todo conjunto infinito é enumerável. Por exemplo, seja S o conjunto de todas as sequências infinitas cujos elementos são binários, ou seja, os elementos de S são da forma s = (011010001 . . .). Afirmamos que S é não-enumerável. De
fato, suponha que S seja enumerável. Nesse caso, podemos escrever
S = s1 , s 2 , . . . , s m , . . . .
m
∗
Seja sm
n o n−ésimo termo da sequência s ∈ S. Vamos formar uma nova sequência s
∗
tomando s∗m = 1 − sm
m . Assim, s é uma sequência com elementos 0 e 1 e, portanto está
∗
6 sm para todo m ∈ N, ou seja, s∗ ∈
/ S, o
em S. Mas, como s∗m 6= sm
m , temos que s =
que é uma contradição. Logo, S é não-enumerável. O raciocı́cio usado nesse exemplo
é devido ao matemático George Cantor e é conhecido como “método da diagonal”.
nm
o
Exemplo 2.30 O conjunto Q =
| m, n ∈ Z, n 6= 0 dos números racionais é enun
merável. De fato, podemos definir uma função sobrejetiva f : Z × Z ∗ → Q, como
m
f (m, n) = .
n
14
Exercı́cio 2.31 Sejam A um conjunto finito e B um conjunto enumerável. Mostre
que o conjunto A ∪ B é enumerável.
Exercı́cio 2.32 Mostre que se A e B são conjuntos infinitos enumeráveis, então A∪B
também é enumerável.
2.5
Lista de Exercı́cios
1. Use indução para provar que:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 2n − 1 = n2
3
b) 3 + 32 + 33 + · · · + 3n = (3n − 1)
2
(2n + 1)2
c) 1 + 2 + 3 + · · · + n <
8
d) 2n + 1 < 2n para todo n ≥ 3
e) (a − 1)(1 + a + · · · + an ) = an+1 − 1 para quaisquer a, n ∈ N
n n
n n−r r
n n−2 2
n n−1
n n
n
b
a b +···+
a b +·· ·+
a b+
a +
f) (a + b) =
n
r
1
0
2
n
n!
=
para todo n ∈ N, em que
(Binômio de Newton)
r
r!(n − r)!
2. Dados n, m ∈ N, com n > m, prove que ou n é múltiplo de m ou existem q, r ∈ N
tais que n = mq + r e r < m.
3. Dados m, n ∈ N, prove que se m < n então para todo p ∈ N tem-se mp < np
(monotonicidade da multiplicação).
4. Prove a lei do corte para multiplicação, isto é, dados m, n, p ∈ N, mp = np ⇒
m = n.
5. Seja X ⊂ N um subconjunto não vazio tal que m, n ∈ X ⇔ m, m + n ∈ X. Prove
que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k.
6. Prove que todo número primo maior que 2 é ı́mpar.
7. Prove o Princı́pio da Casa de Pombos: se m > n não existe função injetiva
f : Im → In (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que
pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).
8. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
15
Capı́tulo 3
Números Reais
3.1
Corpos
Um corpo K é um conjunto munido de duas operações, chamadas adição e
multiplicação, que satisfazem certas condições (axiomas de corpo) que serão especificadas a seguir. A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ K, sua soma
x + y ∈ K, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o produto x · y ∈ K.
Estas operações devem obedecer os seguintes axiomas:
1. Comutatividade: para quaisquer x, y ∈ K tem-se x + y = y + x e x · y = y · x.
2. Associatividade: para quaisquer x, y, z ∈ K tem-se (x + y) + z = x + (y + z) e
(x · y) · z = x · (y · z).
3. Existência de elementos neutros: existem em K dois elementos distintos 0 e 1
tais que x + 0 = x e x · 1 = x, para qualquer x ∈ K.
4. Existência de elementos inversos: para cada x ∈ K existe um elemento inverso
aditivo −x ∈ K tal que x + (−x) = 0 e, se x =
6 0, existe também um inverso
multiplicativo x−1 ∈ K tal que x · x−1 = 1.
5. Distributividade: para quaisquer x, y, z ∈ K, tem-se que x · (y + z) = x · y + x · z.
É fácil verificar que o conjunto Q dos números racionais é um corpo e o conjunto
Z dos números inteiros não é corpo.
Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ K.
Analogamente, 1 · x = x e, para x 6= 0, x−1 · x = 1. A soma x + (−y) será indicada por
x − y e chamada diferença entre x e y. Se y 6= 0, o produto x · y −1 será representado
também por x/y e chamado quociente de x por y. As operações (x, y) → x − y e
(x, y) → x/y chamam-se subtração e divisão, respectivamente.
Exercı́cio 3.1 Dados a e b em um corpo K, mostre que a equação a + x = b tem
solução única.
16
Exercı́cio 3.2 Dados a 6= 0 e b em um corpo K, mostre que a equação ax = b tem
solução única.
Exercı́cio 3.3 Mostre que dados x, y em um corpo K, com x · y = 0, tem-se x = 0 ou
y = 0.
3.1.1
Corpo ordenado
Um corpo K é ordenado se contiver um subconjunto P , chamado subconjunto
dos elementos positivos de K, com as seguintes propriedades:
(P1 ) x, y ∈ P implica x + y ∈ P e x · y ∈ P .
(P2 ) Dado x ∈ K, exatamente uma das três possibilidades ocorre: ou x = 0 ou x ∈ P
ou −x ∈ P .
Assim, se indicarmos por −P o conjunto dos elementos −x tais que x ∈ P ,
temos K = P ∪ (−P ) ∪ {0}, sendo os conjuntos P , −P e {0} dois a dois disjuntos. Os
elementos de −P chamam-se negativos.
Observe que em um corpo ordenado K, se a 6= 0, ou a ∈ P ou −a ∈ P . No
primeiro caso, a2 = a · a ∈ P . No segundo caso, a2 = (−a) · (−a) ∈ P . Logo, se a 6= 0,
a2 ∈ P . Em particular, 1 = 1 · 1 é sempre positivo e −1 ∈ −P .
Observação 3.4 O conjunto Q é um corpo ordenado, em que P é o conjunto Q+ dos
racionais positivos.
Em um corpo ordenado K podemos introduzir uma ordem estrita entre seus
elementos, da seguinte forma:
x < y (x é menor que y) se y − x ∈ P.
Escreve-se também y > x e diz-se: y é maior que x.
Note que se definirmos K + = {x ∈ K | x > 0}, segue que K + = P .
A relação de ordem x < y num corpo ordenado K goza das seguintes propriedade:
1. Transitividade: se x < y e y < z então x < z.
2. Tricotomia: dados x, y ∈ K, ocorre exatamente umas das seguintes possibilidades: ou x = y, ou x < y, ou y < x.
3. Monotonicidade da adição: se x < y então, para todo z ∈ K, tem-se x+z < y+z.
4. Monotonicidade da multiplicação: se x < y então, para todo z > 0, tem-se
xz < yz. Se, porém, z < 0, então x < y implica yz < xz.
17
Uma outra relação de ordem existente num corpo ordenado K é a relação ≤.
Essa notação indica que x < y ou x = y. Isso significa que
x ≤ y ⇔ y − x ∈ P ∪ {0} .
Observação 3.5 Em um corpo ordenado K as seguintes inclusões são válidas: N ⊂
Z ⊂ Q ⊂ K. De fato, como 1 > 0 temos que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . .. Logo, N ⊂ K.
Uma vez que dado n ∈ K temos que −n ∈ K e, ainda, 0 ∈ K, podemos concluir que
Z ⊂ K. Além disso, se m, n ∈ Z, com n 6= 0, então m/n = m · n−1 ∈ K, o que nos
permite concluir que Q ⊂ K.
Exercı́cio 3.6 Seja K um corpo ordenado.
1. Mostre que para quaisquer x, y ∈ K, x < y é equivalente a −y < −x.
2. Sejam a, b, c, d ∈ K. Mostre que se a < b e c < d então a + c < b + d.
3. Mostre que o inverso multiplicativo de um número positivo x ∈ K também é
positivo.
4. Mostre que se x, y ∈ K + e x < y, então y −1 < x−1 .
Exercı́cio 3.7 (Desigualdade de Bernoulli) Seja K um corpo ordenado e n ∈ N.
Mostre que se x ≥ −1 então (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Definição 3.8 Sejam K um corpo ordenado, A um subconjunto de K e a, b ∈ K.
(i) b é uma cota superior de A se b ≥ x, para todo x ∈ A
(ii) a é uma cota inferior de A se a ≤ x, para todo x ∈ A
Existem conjuntos que não possuem cotas superiores ou inferiores. Por exemplo, considere o corpo ordenado Q dos números racionais. Temos que N ∈ Q não possui
cota superior e Z ∈ Q não possui cota superior nem inferior.
Definição 3.9 Dizemos que um subconjunto A do corpo ordenado K é limitado superiormente quando possui cota superior e, limitado inferiormente, quando possui cota
inferior. Dizemos que A é limitado se é limitado inferior e superiormente.
Seja K um corpo ordenado e A ⊂ K um subconjunto não vazio limitado
superiormente. Um número b ∈ K chama-se supremo do conjunto A quando é a
menor das cotas superiores de A, e escreve-se b = sup A. Em outras palavras, b é
supremo de A quando cumpre as condições:
(i) x ≤ b para todo x ∈ A.
18
(ii) se c ∈ K e c 0 existe x ∈ A tal que b − ε < x.
Analogamente, se A ∈ K é não vazio e limitado inferiormente, um número
a ∈ A chama-se ı́nfimo do conjunto A, e escreve-se a = inf A, quando é a maior
das cotas inferiores de A. Ou ainda, dizemos que a é ı́nfimo de A quando cumpre as
condições:
(i) a ≤ x para todo x ∈ A.
(ii) se c ∈ K e a < c então existe x ∈ A tal que x < c. Equivalentemente, podemos
dizer que, para todo ε > 0 existe x ∈ A tal que x < a + ε.
Exercı́cio 3.10 Sejam K um corpo ordenado e X = {x ∈ K | a < x < b}. Mostre que
inf X = a e sup X = b.
Dizemos que b ∈ A é o maior elemento de A se x ≤ b para todo x ∈ A. Isto
significa que b é uma cota superir de A que pertence a A. Analogamente, a ∈ A é o
menor elemento de A se x ≥ a para todo x ∈ A. Assim, vemos que se um conjunto
possui elemento máximo, então este será seu supremo e, se possui elemento mı́nimo,
este será seu ı́nfimo. Reciprocamente, se sup A pertence a A então ele será o maior
elemento de A; se inf A pertence a A, então ele será seu menor elemento. A noção
de supremo (ı́nfimo) serve para substituir a ideia de maior (menor) elemento de um
conjunto quando esse maior (menor) elemento não existe.
Exemplo 3.11 Considere os conjuntos
A = {x ∈ Q | 0 < x < 1}
e
B = {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1} .
Temos que sup A = sup B = 1, inf A = inf B = 0. Assim, vemos que o inf e o sup de
um conjunto, quando existem, podem pertencer ou não ao conjunto.
Exercı́cio 3.12 Mostre que não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2.
Exercı́cio 3.13 Mostre que o conjunto A = {x ∈ Q | x2 > 2 e x > 0} não tem ı́nfimo
em Q.
Resolução: Suponha por absurdo que exista α ∈ Q tal que α = inf A. Como 0 é cota
inferior de A, temos que α ≥ 0. Além disso, sabemos que não existe número racional
cujo quadrado é igual a 2. Logo, ou α2 > 2 ou α2 < 2, isto é, ou α ∈ A ou α ∈ B, em
que B = {y ∈ Q | y 2 < 2 e y ≥ 0}. Observe que para quaisquer x ∈ A e y ∈ B, temos
que y 2 < 2 < x2 , ou seja, y < x. Logo, os elementos de B são cotas inferiores de A e os
elementos de A são cotas superiores de B. Vamos analisar agora as duas possibilidades
para α.
19
Se α ∈ A, então podemos mostrar que existe um número r ∈ Q+ tal que α − r ∈ A, o
que contraria o fato de α ser o ı́nfimo de A. Para provar a existência de tal número,
observe que se r ∈ Q+ , então
(α − r)2 = α2 − 2αr + r2 > α2 − 2αr.
α2 − 2
α2 − 2
Assim, tomando r <
, obtemos (α − r)2 > 2. Além disso, como
< α,
2α
2α
temos que α − r > 0. Portanto, α − r ∈ A.
Por outro lado, se α ∈ B, temos que existe um número racional 0 < r < 1 tal que
α + r ∈ B. De fato, se 0 < r < 1 então r2 < r e
(α + r)2 = α2 + 2αr + r2 < α2 + 2αr + r = α2 + r(2α + 1).
2 − α2
Assim, tomando r < min 1,
, obtemos (α + r)2 < 2 e, como α + r > 0, segue
2α + 1
que α + r ∈ B. Logo, α + r é cota inferior de A, o que contraria o fato de α ser ı́nfimo
de A, pois α < α + r.
Dessa forma, concluı́mos que A não possui ı́nfimo em Q.
Exercı́cio 3.14 Mostre que o conjunto B = {x ∈ Q | x2 < 2 e x ≥ 0} não tem supremo em Q.
3.1.2
Corpo ordenado completo
Um corpo K ordenado é dito completo quando todo subconjunto não vazio,
limitado superiormente, X ⊂ K, possui um supremo em K.
Resulta da definição acima que, num corpo ordenado completo, todo conjunto
não vazio limitado inferiormente, Y ⊂ K, possui um ı́nfimo em K. De fato, dado Y ,
seja X = −Y , isto é, X = {−y | y ∈ Y }. Então X é não vazio e limitado superiormente,
logo existe a = sup X e −a = inf Y .
Observe que nos Exercı́cios 3.13 e 3.14 temos que A é um conjunto limitado
inferiormente e B é um conjunto limitado de números racionais. Como A não tem
ı́nfimo e B não tem supremo em Q, vemos que Q não constitui um corpo ordenado
completo.
Vamos apresentar agora o Axioma Fundamental da Análise Matemática, o
qual estabelece que o conjunto R dos números reais é um corpo ordenado completo.
Axioma: Existe um corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos números
reais.
O teorema a seguir estabelece algumas das consequências da completeza de R.
20
Teorema 3.15
(i) o conjunto N ⊂ R dos números naturais não é limitado superiormente;
(ii) o ı́nfimo do conjunto X = {1/n | n ∈ N} é igual a 0;
(iii) dados a, b ∈ R+ , existe n ∈ N tal que n · a > b.
Demonstração.
(i) Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Assim, c − 1 não seria
cota superior de N, isto é, existiria n ∈ N com c − 1 < n. Daı́ resultaria c < n + 1
e, como n + 1 ∈ N, c não seria cota superior de R. Esta contradição prova (i).
1
(ii) Temos que 0 é uma cota inferior de X, pois > 0 para todo n ∈ N. Então, basta
n
mostrar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. De fato, dado c > 0, segue de (i)
1
1
que existe n ∈ N tal que n > e, portanto, < c. Logo, c não é cota superiror
c
n
de X.
b
(iii) Dados a, b ∈ R+ , segue de (i) que existe n ∈ N tal que n > . Logo, n · a > b.
a
As propriedades (i), (ii), e (iii) do teorema anterior são equivalente e significam
que R é um corpo arquimediano.
Da observação 3.5 temos que, sendo R um corpo ordenado completo, existem
elementos em R que não estão em Q. Tais elementos formam o conjunto dos números
irracionais R − Q = I.
Exercı́cio 3.16 Mostre que x, y ∈ R têm quadrados iguais, então x = ±y.
Exercı́cio 3.17 Prove que a equação x2 = 2 tem uma única solução real positiva, a
√
qual denotamos por 2.
Resolução: Como Q ⊂ R, temos que o cojunto A = {x ∈ Q | x2 > 2 e x > 0} dado
no Exercı́cio 3.13 é um subconjunto de R. Além disso, como A é não vazio e limitado
inferiormente, por exemplo por 1, temos pela definiçao de corpo ordenado completo,
que existe x ∈ R+ tal que x = inf A e, pelo que foi provado no Exercı́cio 3.13, temos
que o quadrado de x não pode ser maior nem menor que 2. Logo, x2 = 2, provando a
existência de solução para a equação dada.
Vamos provar agora a unicidade da solução. Suponha que existam a, b ∈ R+ tais que
a2 = 2 e b2 = 2. Então, a2 = b2 e, pelo Exercı́cio 3.16, a = b ou a = −b. Porém, a
segunda possibilidade contraria o hipótese de que a e b são positivos. Logo, a = b.
21
Pode-se provar o seguinte resultado que generaliza o Exercı́cio 3.17: dados
a > 0 em R e n ∈ N quaisquer, existe um único número real b > 0 tal que bn = a. O
√
número b chama-se raı́z n-ésima de a e é representado pelo sı́mbolo n a. Além disso,
√
como visto no Exercı́cio 3.12, 2 é um número irracional. Generalizando esse fato,
temos que dado n ∈ N, se um número natural a não possui uma raiz n-ésima natural,
√
também não possuirá uma raiz racional, ou seja, dados a, n ∈ N, se n a ∈
/ N então
√
n
a ∈ I.
3.2
Lista de Exercı́cios
1. Seja K um corpo. Dados a, b, c, d ∈ K, mostre que se b 6= 0 e d 6= 0
a) (b · d)
−1
=b
−1
−1
·d
−1
b
d
e conclua que
= .
d
b
a c
a·c
· =
.
b d
b·d
a c
a·d+b·c
c) + =
.
b d
b·d
b)
2. Dados x, y ∈ R, prove que se x2 + y 2 = 0, então x = y = 0.
3. Dados x ∈ R e n ∈ N, prove que (1 + x)2n ≥ 1 + 2nx.
4. Prove que se x e y forem reais positivos, então
√
1
xy ≤ (x + y).
2
5. Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}. Mostre
que sup(A + B) = sup A + sup B e inf(A + B) = inf A + inf B.
3.2.1
Valor Absoluto
A relação de ordem em R permite definir o valor absoluto (ou módulo) de um
número real x (assim como em qualquer outro corpo ordenado), da seguinte forma:
(
|x| =
x se x ≥ 0
,
−x se x < 0
ou, equivalentemente, |x| = max {x, −x}. Assim, temos que |x| ≥ x e |x| ≥ −x. Esta
última desigualdade pode ser escrita como −|x| ≤ x. Logo, −|x| ≤ x ≤ |x|, para todo
x ∈ R.
Teorema 3.18 Se x, y ∈ R então
(i) |x + y| ≤ |x| + |y|
(ii) |x · y| = |x| · |y|
22
Teorema 3.19 Dados a, x, r ∈ R, tem-se |x−a| ≤ r se, e somente se, a−r ≤ x ≤ a+r.
Exercı́cio 3.20 Dados a, b, m ∈ R, com a 0, encontre o conjunto solução
da equação |x − a| + |x − b| = m.
Exercı́cio 3.21 Seja A ⊂ R. Mostre que A é limitado se, e somente se, existe M > 0
tal que |x| ≤ M para todo x ∈ A.
3.2.2
Intervalos
No conjunto R dos números reais, assim como em qualquer corpo ordenado,
existe uma importante noção de intervalos, que são tipos especiais de conjuntos. Dados
a, b ∈ R, com a < b, usaremos as seguintes notações:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado)
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (intervalo fechado à esquerda)
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (intervalo fechado à direita)
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (intervalo aberto)
(−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b} (semi-reta esquerda fechada, de origem b)
(−∞, b) = {x ∈ R | x < b} (semi-reta esquerda aberta, de origem b)
[a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x} (semi-reta direita fechada, de origem a)
(a, +∞) = {x ∈ R | a < x} (semi-reta direita aberta, de origem a)
(−∞, +∞) = R
Os quatro primeiros intervalos são limitados, já os demais são ilimitados.
Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento e chama-se
intervalo degenerado.
É conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os números
reais como pontos dessa reta. Assim, a relação x < y significa que o ponto x está à
esquerda de y, os intervalos são segmentos de reta e |x − y| é a distância do ponto x
ao ponto y.
Exercı́cio 3.22 Descreva geometricamente os conjuntos
A=
1
1< <2
x
x2 + 1
B= x∈R|
≤5 .
x+3
e
Exercı́cio 3.23 Descreva geometricamente o conjunto {x ∈ R | |x − 2| ≤ |a − 2|}, considerando os vários casos possı́veis para o parâmetro a.
23
Teorema 3.24 (Intervalos encaixados) Dada uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃
. . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um
número real c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.
Demonstração. Note que as inclusões In ⊃ In+1 significam que
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 .
Portanto, o conjunto A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .} é limitado superiormente. Seja c = sup A.
Assim, an ≤ c para todo n ∈ N e, como bn é cota superior de A, temos que c ≤ bn para
todo n ∈ N. Portanto, c ∈ In , qualquer que seja n ∈ N.
Teorema 3.25 O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração. Já conhecemos uma demonstração para esse teorema usando o Método
da Diagonal de Cantor. Agora vamos ver uma prova que usa o Teorema 3.24. Para
tanto, basta mostrar que nenhuma função f : N → R pode ser sobrejetiva. Supondo f
dada, vamos contruir uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . de intervalos
fechados tais que f (n) ∈
/ In . Para tanto, tomamos I1 = [a1 , b1 ] tal que f (1) ∈
/ I1 e,
supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In tais que f (j) ∈
/ Ij , olhamos para In = [an , bn ]. Se
f (n + 1) ∈
/ In , podemos tomar In+1 = In . Porém, se f (n + 1) ∈ In , pelo menos um
dos extremos, digamos an , é diferente de f (n + 1), isto é, an < f (n + 1). Neste caso,
an + f (n + 1)
. Pelo Teorema
tomamos In+1 = [an+1 , bn+1 ], com an+1 = an e bn+1 =
2
3.24, existe um número real c que pertence a todos os In e, da forma com que os
intervalos foram construı́dos, nenhum dos valores de f (n) pode ser igual a c. Logo, f
não é sobrejetiva.
Como Q é enumerável, segue do Teorema 3.25 que o conjunto I dos número
irracionais não é enumerável, pois R = Q ∪ I e assim, se I fosse enumerável, R também
seria.
Teorema 3.26 Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração. Seja f : (0, 1) → (a, b) a função dada por f (x) = (b − a)x + a. Como
f é uma bijeção de (0, 1) em (a, b), basta provar que (0, 1) não é enumerável, pois
assim podemos concluir, pelo Corolário 2.26, que (a, b) também é não-enumerável. Na
verdade, já sabemos que (0, 1) é não enumerável pelo Método da Diagonal de Cantor.
Agora vamos ver uma forma alternativa de provar esse resultado. Ora, se (0, 1) fosse
enumerável, (0, 1] também seria e, consequentente, para cada n ∈ Z o intervalo (n, n+1]
seria enumerável, pois a função g : (0, 1] → (n, n + 1] dada por g(x) = x + n é uma
bijeção e, assim, a conclusão de que (n, n + 1] seria enumerável segue do Corolário
24
2.27. Mas, dessa forma, terı́amos que R =
[
(n, n + 1] é enumerável, contrariando o
n∈Z
Teorema 3.25 .
Teorema 3.27 Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais.
Demonstração. O intervalo I certamente contém números irracionais, pois do contrário
seria enumerável. Vamos provar que I também contém racionais. Para isso tomamos
1
[a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixando n ∈ N tal que < b − a,
n
m m+1
temos que os intervalos Im =
,
, com m ∈ Z, cobrem toda a reta, isto é,
n
n
[
R=
Im . Portanto, existe m ∈ Z tal que a ∈ Im . Como a é irracional, temos que
m∈Z
m
m+1
1
<a<
e, sendo o comprimento do intervalo Im menor do que b − a, segue
n
n
n
m+1
m+1
que
< b. Logo, o número racional
pertence ao intervalo [a, b] e, portanto,
n
n
a I.
3.3
Lista de Exercı́cios
1. Seja a ∈ R. Mostre que
√
a2 = |a|.
2. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que
a) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.
b) |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
3. Descreva geometricamente os seguintes conjuntos:
a) {x ∈ R | x2 − x − 6 < 0}
b) {x ∈ R | (x − 1)(x − 2)(x − 3) ≥ 0}
x+2 <4
c) x ∈ R | 2x − 3 d) {x ∈ R | 2x + 7 + |x + 1| ≥ 0}
4. Prove que para todo x ∈ R tem-se |x − 1| + |x − 2| ≥ 1.
5. Prove que se |a − b| < ε, então |a| < |b| + ε.
6. Mostre que se a ∈ R+ , então |x| > a ⇔ x > a ou x < −a.
25
Capı́tulo 4
Sequências de Números Reais
Uma sequência de números reais é uma função x : N → R, que associa a cada
número natural n um número xn , chamado n-ésimo termo da sequência. Denotaremos
uma sequência por (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), ou (xn )n∈N , ou simplesmente (xn ).
Definição 4.1 Uma sequência (xn ) diz-se limitada superiormente (inferiormente)
quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (xn ≥ c) para todo n ∈ N. A sequência é
dita limitada quando é limitada superior e inferiormente, ou seja, quando existe k ∈ R
tal que |xn | ≤ k para todo n ∈ N. Daı́ resulta que (xn ) é limitada se, e somente se,
(|xn |) é limitada.
Exemplo 4.2 A sequência x : N → R dada por xn = 0 para n par e xn = 1 para
n ı́mpar pode ser escrita como (1, 0, 1, 0, . . .). O conjunto dos termos da sequência é
{0, 1}. Assim, (xn ) é limitada.
Exercı́cio 4.3 Mostre que a sequência (a, a2 , a3 , . . . , an , . . .), com a > 1, é limitada
apenas inferiormente.
Definição 4.4 Uma subsequência de (xn ) é uma restrição dessa sequência a um subconjunto infinito N 0 = {n1 < n2 < . . . < nk < . . .} ⊂ N. Equivalentemente, uma subsequência de (xn ) é uma sequência do tipo (xn )n∈N0 ou (xnk )k∈N .
1
1
1
Exemplo 4.5 Considere a sequência (xn ) = 1, , 3, , 5, , . . . . Se N0 ⊂ N é o con2
4
6
00
junto dos números pares e N ⊂ N é oconjunto dos números
ı́mpares, então podemos
1 1
1
definir duas subsequências: (xn )n∈N0 =
, , . . . , , . . . e (xn )n∈N00 = (1, 3, . . . , n, . . .).
2 4
n
1
Observe que (xn )n∈N0 é limitada superiormente por e inferiormente por 0, enquanto
2
a subsequência (xn )n∈N00 é limitada apenas inferiormente por 1.
Definição 4.6 Uma sequência (xn ) chama-se monótona quando se tem xn ≤ xn+1
para todo n ∈ N ou então xn+1 ≤ xn para todo n ∈ N. No primeiro caso, diz-se
26
que (xn ) é monótona não-decrescente e, no segundo, diz-se que (xn ) é monótona nãocrescente. Se as desigualdades forem estritas diremos que (xn ) é crescente no primeiro
caso e decrescente no segundo.
Uma sequência não-decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo. Da mesma forma, uma sequência não-crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo. Para que uma sequência monótona seja limitada é
suficiente que ela possua uma subsequência limitada. De fato, seja (xn ) uma sequência
monótona, digamos não-decrescente, e xn1 ≤ xn2 ≤ . . . ≤ xnk ≤ . . . ≤ b uma subsequência limitade de (xn ). Então, para qualquer n ∈ N existe nk > n e, portanto,
xn ≤ xnk ≤ b. Logo, xn ≤ b para todo n ∈ N, donde segue que (xn ) é limitada.
Exemplo 4.7 A sequência constante xn = 1 é limitada, não-decrescente e também
não-crescente.
1
Exemplo 4.8 A sequência x : N → R dada por xn =
é monótona decrescente e
n
limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Definição 4.9 Diz-se que a ∈ R é limite da sequência (xn ) quando, para todo ε > 0
dado, é possı́vel obter n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε, sempre que n > n0 . Neste caso,
também dizemos que a sequência (xn ) converge para a (ou tende para a) e indicamos
esse fato por xn → a, ou lim xn = a, ou simplesmente lim xn = a. Uma sequência
n→∞
que possui um limite chama-se convergente. Do contrário, dizemos que a sequência é
divergente.
Lembre-se que |xn − a| < ε é equivalenete a xn ∈ (a − ε, a + ε). Assim,
dizer que a ∈ R é limite da sequência (xn ) significa para cada ε > 0, o conjunto
N0 = {n ∈ N | |xn − a| ≥ ε} é finito, ou seja, fora do intervalo (a − ε, a + ε) só poderão
estar, no máximo, os termos x1 , x2 , . . . , xn0 .
Teorema 4.10 (Unicidade do Limite) Uma sequência não pode convergir para dois
limites distintos, ou seja, se lim xn = a e lim xn = b então a = b.
Demonstração. Sejam a = lim xn e b um número real tal que b 6= a. Tomando ε =
|b − a|
, temos que os intervalos (a − ε, a + ε) e (b − ε, b + ε) são disjuntos. Além disso,
2
como lim xn = a, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε) e, portanto,
xn ∈
/ (b − ε, b + ε) para todo n > n0 . Logo, não podemos ter lim xn = b.
Exercı́cio 4.11 Mostre que o limite da sequência xn =
2n
= 2.
n→∞ n − cos 3n
Exercı́cio 4.12 Mostre que lim
27
3n2
é 3.
n2 + 5
Teorema 4.13 Se lim xn = a então toda subsequência de (xn ) converge para a.
Demonstração. Seja (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) uma subsequência de (xn ). Como lim xn =
a, temos que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε sempre que n > n0 . Como
os ı́ndices da subsequência formam um conjunto infinito, existe um nk0 > n0 . Então,
para nk > nk0 > n0 , temos que |xnk − a| < ε. Portanto, lim xnk = a.
Corolário 4.14 Se lim xn = a então, para todo k ∈ N, lim xn+k = a.
O limite de uma subsequência de (xn ) é denominado valor de aderência da
sequência (xn ). Pelo Teorema 4.13, temos que para mostrar que uma sequência (xn ) é
divergente basta obter duas subsequências de (xn ) com valores de aderência distintos.
Teorema 4.15 Toda sequência convergente é limitada.
Pelo Teorema 4.15, podemos concluir que a sequência dada no Exemplo 4.5
não é convergente, pois não é limitada superiormente. Note que esta sequência possui
um único valor de aderência.
É importante observar que a recı́proca do Teorema 4.15 não é verdadeira. Por
exemplo, a sequência dada no Exemplo 4.2 é limitada, porém não é convergente, pois
possui duas subsequências com valores de aderência distintos, a saber: a subsequência
formada pelos ı́ndices pares tem limite 0 e a subsequência formada pelos ı́ndices ı́mpares
tem limite 1.
Exercı́cio 4.16 A sequência xn = (−1)n +
1
é convergente?
n+1
O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para que uma sequência
seja convergente.
Teorema 4.17 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Seja (xn ) uma sequência monótona não-decrescente limitada. O conjunto X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} é limitado, logo possui um supremo. Seja então a =
sup X. Afirmamos que xn → a. De fato, dado ε > 0, o número a − ε não é cota
superior de X. Logo, existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn0 ≤ a. Dessa forma, temos que
para n > n0 , a − ε < xn0 ≤ xn < a + ε, donde segue que xn → a.
Segue do Teorema 4.17 que se (xn ) é não-decrescente e limitada, então lim xn
é o supremo do conjunto dos valores de (xn ). Analogamente, se (xn ) é não-crescente e
limitada, então lim xn é o ı́nfimo do conjunto dos valores de xn
Corolário 4.18 Se uma sequência monótona (xn ) possui uma subsequência convergente, então (xn ) é convergente.
28
Teorema 4.19 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Exercı́cio 4.20. Considere a sequência definida por x1 = 1, xn+1 =
que:
√
1 + xn . Mostre
a) 1 ≤ xn ≤ 2 para todo n ∈ N;
b) (xn ) é crescente;
c) (xn ) é convergente.
1
Exercı́cio 4.21. Considere a sequência definida por y1 = 0, yn+1 =
. Mostre
1 + 2yn
que:
a) 0 ≤ yn ≤ 1 para todo n ∈ N;
b) (y2n−1 )n∈N é crescente e (y2n )n∈N é decrescente;
Resolução: Apenas para exemplificar, temos: (yn ) =
1 3 5 11 21
0, 1, , , , , , . . . .
3 5 11 21 43
(a) Por indução: (i) É fácil observar que 0 ≤ y1 ≤ 1.
(ii) Supondo que 0 ≤ yn ≤ 1. Então, 0 ≤ 2yn ≤ 2 ⇒ 1 ≤ 1 + 2yn ≤ 3 ⇒
1
≤ yn+1 ≤ 1.
3
(b) Devemos mostrar que a subsequência dos ı́ndices ı́mpares é crescente, ou seja,
y2n+1 > y2n−1 para todo n ∈ N, e a subsequência dos ı́ndices pares é decrescente,
ou seja, y2n+2 < y2n para todo n ∈ N. Também faremos por indução:
(i) para n = 1 é claro, pois y3 > y1 e y4 < y2 .
(ii) Supondo que as desigualdades sejam válidas para n, temos
1 + 2y2n+1 > 1 + 2y2n−1 ⇒ y2n+2 < y2n ⇒ 1 + 2y2n+2 < 1 + 2y2n ⇒ y2n+3 > y2n+1
e,
1+2y2n+2 < 1+2y2n ⇒ y2n+3 > y2n+1 ⇒ 1+2y2n+3 > 1+2y2n+1 ⇒ y2n+4 < y2n+2 .
Exercı́cio 4.22 Sejam N0 e N00 subconjuntos de N tais que N0 ∪ N00 = N. Mostre que se
as subsequências (xn )n∈N0 e (xn )n∈N00 convergem para o mesmo limite a, então xn → a.
Resolução: Dado ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 , n ∈ N0 , implica |xn − a| <
ε e n > n2 , n ∈ N00 , implica |xn − a| < ε. Seja n0 = max {n1 , n2 }. Então, n > n0 ⇒
n > n1 e n > n2 . Logo, como N = N0 ∪ N00 , temos que |xn − a| < ε para todo n > n0 .
29
4.1
Propriedades dos Limites
Nessa seção veremos algumas propriedades dos limites e como eles se comportam relativamente às operações e desigualdades.
Teorema 4.23 Considere a sequência (xn ) e a ∈ R.
(i) lim xn = a se, e somente se, lim |xn − a| = 0.
(ii) Se lim xn = a, então lim |xn | = |a|. A recı́proca só é válida quando a = 0.
Demonstração.
(i) Esse item segue direto da definição de limite, usando o fato de que |xn − a| =
||xn − a| − 0|. Note que também vale lim xn = a se, e somente se, lim xn − a = 0.
(ii) A prova é imediata usando a desigualdade ||xn | − |a|| ≤ |xn − a|. Se lim |xn | = |a|
e a = 0, então por (i) concluı́mos que lim xn = 0, ou seja, nesse caso a recı́proca
é válida. No entanto, se a 6= 0 a recı́proca não é válida, pois, por exemplo, se
xn = (−1)n e a = 1, então lim |xn | = |a|, mas (xn ) não é convergente.
Teorema 4.24 Sejam a = lim xn e b ∈ R. Se b < a então, para todo n suficientemente grande, tem-se b < xn . Analogamente, se a 0 e b = a − ε. Logo,
pela definição de limite, existe n0 ∈ N tal que se n > n0 então a − ε < xn < a + ε e,
portanto, b < xn . Analogamente, se a < b, então tomando ε = b − a, temos ε > 0 e
b = a + ε. Logo, como a = lim xn , existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn < a + ε sempre que
n > n0 , portanto, xn n0 .
Corolário 4.25 (Permanência de sinal) Seja a = lim xn . Se a > 0 então, para
todo n suficientemente grande, tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0 então xn < 0
para todo n suficientemente grande.
Corolário 4.26 Sejam a = lim xn e b = lim yn . Se xn ≤ yn para todo n suficientemente grande então a ≤ b. Em particular, se xn ≤ b para todo n suficientemente
grande então lim xn ≤ b.
Demonstração. Se tivéssemos b < a poderı́amos tomar um c ∈ R tal que b < c < a
e pelo Teorema 4.24 existiria n0 tal que c < xn para todo n > n0 . Logo, como por
hipótese xn ≤ yn para todo n suficientemente grande, terı́amos também b < c < yn
para todo n suficientemente grande, contradizendo a hipótese de que yn → b.
30
Observação 4.27 Mesmo supondo xn < yn , para todo n, não se pode garantir que
1
lim xn < lim yn . Por exemplo, tomando xn = 0 e yn = , temos xn < yn para todo n,
n
porém, lim yn = 0.
Teorema 4.28 (Teorema do Sanduı́che) Se lim xn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn
para todo n suficientemente grande, então lim zn = a.
Demonstração. Dado ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ a − ε < xn < a + ε e
n > n2 ⇒ a − ε < yn < a + ε. Tomando n0 = max {n1 , n2 }, temos que n > n0 implica
a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε, donde segue que lim zn = a.
Exercı́cio 4.29 Seja p ≥ 1. Mostre que a sequência xn =
1
converge para zero.
np
Teorema 4.30 Se lim xn = 0 e (yn ) é uma sequência limitada (convergente ou não),
então lim xn · yn = 0.
Demonstração. Como (yn ) é limitada, existe c > 0 tal que |yn | ≤ c para todo n ∈ N.
Assim, temos que 0 ≤ |xn · yn | ≤ c · |xn | e, pelo Teorema do Sanduı́che, lim |xn · yn | = 0.
Portanto, lim xn · yn = 0.
1
Exemplo 4.31 Sejam xn =
e yn = cos n. Então, como |yn | ≤ 1 e xn → 0,
n
concluı́mos que lim xn yn = 0.
Teorema 4.32 Se lim xn = a e lim yn = b então:
(i) lim cxn = ca, onde c é uma constante.
(ii) lim(xn ± yn ) = a ± b.
(iii) lim(xn · yn ) = a · b.
(iv) lim
xn
a
= , se b 6= 0.
yn
b
Demonstração.
ε
. Logo, |cxn −ca| =
|c|
|c| · |xn − a| < ε para todo n > n0 , donde segue que lim cxn = ca.
(i) Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |xn −a| <
ε
(ii) Dado ε > 0 existem n1 , n2 ∈ N tais que |xn − a| <
para todo n > n1 e
2
ε
|yn − b| <
para todo n > n2 . Assim, tomando n0 = max {n1 , n2 } temos
2
que para todo n > n0 , |(xn + yn ) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε. Logo,
lim(xn + yn ) = a + b. Para provar que também vale lim(xn − yn ) = a − b, note
que xn − yn = xn + cyn , em que c = −1. Logo, usando o que acabamos de provar
juntamente com (i), concluı́mos que lim(xn − yn ) = a − b.
31
(iii) Temos que xn yn − ab = xn yn − xn b + xn b − ab = xn (yn − b) + b(xn − a). Pelo
Teorema 4.15, (xn ) é limitada. Como lim(yn − b) = lim(xn − a) = 0, usando
o Teorema 4.30, concluı́mos que lim xn (yn − b) = 0 e lim b(xn − a) = 0. Logo,
lim(xn yn − ab) = lim xn (yn − b) + lim b(xn − a) = 0 e, portanto, lim xn yn = ab.
xn b − ayn
xn a
(iv) Note que
− =
. Como lim(xn b−ayn ) = ab−ab = 0, basta mostrar
yn b
yn b
1
xn a
1
que
é limitada para concluir que lim
− = lim(xn b − ayn )
= 0 e,
yn b
yn
b
yn b
xn
a
b2
portanto, lim
= . Observe que yn b → b2 e seja c = . Como 0 < c < b2 ,
yn
b
2
segue do Teorema 4.24 que y
n b > c para todo n suficientemente grande. Portanto,
1
1
1
é limitada.
0<
< , ou seja,
yn b
c
yn b
Exemplo 4.33 Use o Teorema 4.32 para mostrar que a sequência xn =
2
converge para .
5
(2n − 3)(n + 2)
5n2 + 7
Exercı́cio 4.34 Use os resultados dos Exercı́cios 4.21 e 4.22 e as propriedades dos
1
limites para mostrar que a sequência definida por y1 = 0, yn+1 =
converge
1 + 2yn
1
para .
2
Resolução: Pelo Exercı́cio 4.21 temos que (y2n−1 )n∈N e (y2n )n∈N são monótonas e limitadas, portanto, ambas convergem, digamos y2n−1 → a e y2n → b. Vamos mostrar
1
1
1
agora que a = b = . Note que y2n =
e y2n+1 =
. Logo, como
2
1 + 2y2n−1
1 + 2y2n
1
1
(y2n+1 )n∈N é subsequência de (y2n−1 )n∈N , temos que b =
e a =
. Por1 + 2a
1 + 2b
1
tanto, b + 2ab = 1 e a + 2ab = 1, donde segue que a = b. Para ver que este valor é ,
2
basta notar que a + 2a2 = 1 e que a = lim y2n−1 ≥ 0. Mostramos então que os termos
1
de ordem par e os termos de ordem ı́mpar da sequência (yn ) têm o mesmo limite .
2
1
Assim, podemos concluir pelo Exercı́cio 4.22 que yn → .
2
Exercı́cio 4.35 Mostre que se xn > 0 para todo n ∈ N e lim
lim xn = 0.
xn+1
= a < 1, então
xn
nk
Exercı́cio 4.36 Sejam b > 1 e k ∈ N constantes. Mostre que a sequência xn = n
b
converge para zero.
Teorema 4.37 Sejam a = lim xn e k ∈ N.
√
√
lim k xn = k a.
32
Se xn ≥ 0 para todo n, então
Demonstração. Vamos provar este resultado para k = 2, considerando dois casos:
1º caso: a = 0
√
Vamos mostrar que lim xn = 0, ou seja, que dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0
√
implica | xn | < ε. Temos que xn → 0, então dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0
√
implica 0 ≤ xn < ε2 e, portanto, xn < ε.
2º caso: a > 0
a
a
Como xn → a e a >
temos que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > .
2
2
r
r
√
a
a √
√
√
Assim, xn >
e, portanto, xn + a >
+ a = c. Dessa forma, temos que
2
2
√
|xn − a|
|x − a|
√
√ < n
0 ≤ | xn − a| = √
. Como xn → a, temos que |xn − a| → 0.
c
xn + a
√
√
√
√
Portanto, segue do Teorema do Sanduı́che que | xn − a| → 0, ou seja, xn → a.
Exercı́cio 4.38 Calcule o limite da sequência definida por x1 = 1, xn+1 =
33
√
1 + xn .
4.2
Limites infinitos
Dada uma sequência (xn ), diz-se que “xn tende para mais infinito” e escreve-se
lim xn = +∞, quando para todo número M > 0, dado arbitrariamente, existir n0 ∈ N
tal que n > n0 implica xn > M . Analogamente, lim xn = −∞ significa que, para todo
M > 0 dado, pode-se achar n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn < −M .
Observação 4.39 Como +∞ e −∞ não são números reais, segue que as sequências
cujos limites são ±∞ não são convergentes.
Observação 4.40 Se lim xn = +∞ então a sequência (xn ) é ilimitada superiormente,
mas a recı́proca não é verdadeira. Observe que a sequência dada no Exemplo 4.5 é
ilimitada superiormente, porém lim xn 6= +∞, pois x2n → 0. Por outro lado, se (xn )
for não-decrescente, então (xn ) ilimitada implica lim xn = +∞. Assim, no Exercı́cio
4.3, ao mostrar que a sequência xn = an , com a > 1, é ilimitada superiormente,
provou-se que lim an = +∞.
Teorema 4.41 Seja xn > 0 para todo n. Então lim xn = 0 ⇔ lim
1
= +∞.
xn
Demonstração. Suponha que lim xn = 0. Então dado M > 0, existe n0 ∈ N tal que
1
1
n > n0 implica |xn | <
. Como xn > 0 para todo n ∈ N, temos que
> M , para
M
xn
1
1
n > n0 . Logo, lim
= +∞. Suponha agora que lim
= +∞. Então, dado ε > 0
xn
xn
1
1
> . Logo, xn < ε. Segue que lim xn = 0.
existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica
xn
ε
Exercı́cio 4.42 Seja 0 < p < 1. Mostre que a sequência xn =
1
converge para zero.
np
1
Resolução: Apenas para exemplificar, considere o caso em que p é da forma , com
k
1
k ∈ N, em particular, vamos tomar k = 3. Assim, temos xn = 1/3 . Primeiramente
n
1
1/3
= n . Note que y1 = 1, y8 = 2, y27 = 3, . . ., ou
vamos analisar a sequência yn =
xn
seja, yi3 = i, · · · , para todo i ∈ N. Dessa forma, temos que a sequência crescente (yn )
1
possui uma subsequência ilimitada e, portanto, yn → +∞. Segue que xn =
→ 0.
yn
Vamos provar agora que xn → 0, qualquer que seja 0 , com k ∈ N. Dado i ∈ N, tome ni = ik . Assim, temos que
k
(ni )p > (ni )1/k = i. Dessa forma, temos que (yn ) possui uma subsequência ilimitada e,
1
como (yn ) é crescente, concluı́mos que yn → +∞. Logo, xn =
→ 0.
yn
Nem todas as propriedades de limites de sequências convergentes podem ser
estendidas aos limites infinitos. Por exemplo, a propriedade lim(xn + yn ) = lim xn +
lim yn não é sempre verdadeira. Se tomarmos xn = n e yn = −n essa propriedade
34
implica em 0 = +∞ − ∞. Por outro lado, se tivéssemos xn = n2 + n e yn = −n, então
essa mesma propriedade implicaria em +∞ = +∞ − ∞, levando ao absurdo 0 = +∞.
Vejamos agora algumas das propriedade válidas para limites infinitos, sob certas condições.
Teorema 4.43 Considere as sequências (xn ) e (yn ).
(i) Se lim xn = +∞ e (yn ) é limitada inferiormente então lim(xn + yn ) = +∞.
(ii) Se lim xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N então lim(xn yn ) =
+∞.
(iii) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0 então lim
(iv) Se (xn ) é limitada e lim yn = +∞ então lim
xn
= +∞.
yn
xn
= 0.
yn
1
Exercı́cio 4.44 Considere as sequências xn = n, yn = 2 + (−1)n e zn = . Analise a
n
xn
yn
convergência de: (xn ), (yn ), (xn + yn ),
e
.
yn
zn
Exercı́cio 4.45 A sequência xn =
(−1)n
é convergente? Justifique.
n2
Exercı́cio 4.46 Seja a > 1. Mostre que lim
4.3
an
= +∞.
n2
Lista de Exercı́cios
1. Use a definição de limite para provar que:
n2 + n
1
=
n→∞ 3n2 + 15
3
5n + sen 2n
=5
b) lim
n→∞
n+1
a) lim
2. Mostre que a sequência xn = an converge para zero quando |a| < 1. Sugestão:
analise separadamente os casos: a = 0, 0 < a < 1 e −1 < a < 0.
3. Considere a sequência definida por x1 = 2 e xn+1 =
a) 2 ≤ xn ≤ 3.
b) (xn ) é crescente.
c) (xn ) é convergente e calcule seu limite.
35
xn + 3
. Mostre que:
2
4. Sejam a e b números positivos com a > b. Considere as sequências (xn ) e (yn )
dadas por:
x1 =
√
a+b
, y1 = ab,
2
xn+1 =
x n + yn
√
e yn+1 = xn yn .
2
a) Mostre que (xn ) é decrescente e (yn ) é crescente. Sugestão: Lembre-se que
x+y √
se x e y são números positivos, então
≥ xy.
2
b) Mostre que (xn ) e (yn ) são convergentes e convergem para o mesmo limite.
5. Seja (xn ) uma sequência limitada. Defina uma subsequência de (xn ) como segue.
(i) Considere [a0 , b0 ] um intervalo que contém a sequência toda e escolha um
elemento xn0 qualquer;
(ii) Dividindo o intervalo [a0 , b0 ] ao meio, sabemos que em pelo menos um dos
dois intervalos resultantes há uma infinidade de termos da sequência. Indique este intervalo por [a1 , b1 ] e escolha um elemento xn1 ∈ [a1 , b1 ], com
n1 > n0 ;
(iii) Indutivamente, repetindo o procedimento anterior, escolha xni ∈ [ai , bi ], com
ni > ni−1 .
Mostre que:
(a) (an ) e (bn ) convergem para o mesmo valor, digamos c ∈ [a0 , b0 ];
(b) lim xni = c.
i→∞
Note que obtemos deste exercı́cio uma demonstração do teorema de BolzanoWeierstrass.
an
n!
6. Mostre que as sequências xn = , com a > 1, e yn = n são convergentes e que
n!
n
ambas convergem para zero. Sugestão: use o Exercı́cio 4.35.
7. Seja (xn ) uma sequência de termos positivos. Mostre que se lim
√
n
xn < 1 então
an
lim xn = 0. Use esse resultado para mostrar que a sequência xn = n , com
n→∞
n
a > 1, converge para zero.
n→∞
ln n
converge para zero. Sugestão: Use a desigual8. Mostre que a sequência xn =
n
√
√
dade ln n < n.
9. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único
valor de aderência.
10. Diz-se que (xn ) é uma sequência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe
n0 ∈ N tal que m, n > n0 implica |xm − xn | < ε.
36
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência
distintos.
c) Prove que uma sequência (xn ) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
11. Considere a sequência definida por y1 = 1, yn+1 = 1 +
1
. Mostre que:
yn
a) 1 ≤ yn ≤ 2 para todo n ∈ N;
b) (y2n−1 )n∈N é crescente e (y2n )n∈N é decrescente;
√
1+ 5
.
c) yn →
2
12. Prove o Teorema 4.43.
13. Se lim xn = +∞, prove que lim
n→∞
hp
ln(xn + 2) −
p
i
ln xn = 0.
log(n + 1)
14. Mostre que lim
= 1. Sugestão: observe que
n→∞
log n
log(n + 1)
− 1 → 0.
log n
15. Seja a ∈ R. Dê exemplos de sequências satisfazendo xn → +∞ e yn → −∞ tais
que:
a) xn + yn → a
b) xn + yn → +∞
c) xn + yn → −∞
16. Seja a ∈ R. Dê exemplos de sequências satisfazendo xn → 0 e yn → +∞ tais
que:
a) xn yn → a
b) xn yn → +∞
c) xn yn → −∞
37
Capı́tulo 5
Séries numéricas
Neste capı́tulo vamos considerar a soma dos termos de uma sequência de
números reais (an ) a qual denominamos série numérica, representada por:
X
an =
∞
X
an = a1 + a2 + · · · + an + · · · .
n=1
A parcela an é denominada n-ésimo termo ou termo geral da série. Às vezes é conve+∞
X
niente considerar séries do tipo
an que começam em a0 em vez de a1 .
n=0
Seja (sn ) a sequência dada por
s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , · · · , sn = a1 + a2 + · · · + an ,
P
denominada sequência de somas parciais da série
an . Se existir o limite s = lim sn
P
então diremos que a série
an é convergente e s será a soma da série, caso contrário,
diremos que a série é divergente.
Exemplo 5.1 A série
+∞
X
(−1)n é divergente, pois s2n = 0 e s2n−1 = −1. Portanto,
n=1
(sn ) não converge.
Exemplo 5.2 A série geométrica
+∞
X
n=0
+∞
X
1
1−q
converge para
. Logo,
1−q
1−q
série diverge.
n+1
Exercı́cio 5.3 Mostre que
q n , com |q| < 1, é convergente, pois sn =
+∞
X
n=1
=
n=0
1
. Por outro lado, se |q| ≥ 1, então a
1−q
1
= 1.
n(n + 1)
A seguir estudaremos condições que devem ser satisfeitas para que uma série
seja convergente.
38
5.1
Séries convergentes
O teorema a seguir estabelece a primeira condição necessária para a convergência de uma série.
P
Teorema 5.4 Se
an é uma série convergente, então lim an = 0.
Demonstração. Sejam sn = a1 + a2 + · · · + an e s = lim sn . Então,
lim an = lim(sn − sn−1 ) = s − s = 0.
É importante observar que a condição dada no Teorema 5.4 é apenas necessária
√
√
e não suficiente. Por exemplo, a sequência an = n + 1 − n converge para zero. No
√
P
entanto, a série
an é divergente, pois lim sn = lim( n + 1 − 1) = +∞.
Um outro exemplo clássico de série divergente, cujo termo geral converge para
zero, é a série harmônica apresentada no exemplo a seguir.
+∞
X
1
Exemplo 5.5 A série harmônica
é divergente. Para provar esse resultado, basta
n
n=1
mostrar que (sn ) diverge. Com efeito, temos
s2n
1 1
1 1 1 1
1
1
1
+
+
+ + +
+ ··· +
··· + n
= 1+ +
2
3 4
5 6 7 8
2n−1 + 1
2
1 2 4
2n−1
n
> 1 + + + + ··· + n = 1 +
2 4 8
2
2
Segue que lim s2n = +∞ e, portanto, (sn ) não converge.
Note que o Teorema 5.4 nos fornece um teste para divergência de uma série, a
P
saber, se lim an =
6 0 ou não existe, então na série
an é divergente.
Exemplo 5.6 A série
+∞
X
n+1
n+1
1
= 6= 0.
n→+∞ 2n
2
não converge, pois lim
2n
P
P
Teorema 5.7 Se as séries
an e
bn são convergentes e c é uma constante, então
P
P
can e (an + bn ) também convergem e
n=1
X
can = c
X
an
e
X
(an + bn ) =
X
an +
X
bn .
O Teorema 5.7 é uma consequência imediata das propriedades análogas estabelecidas para sequências (Teorema 4.32). A partir desse resultado segue que se
verificarmos a convergência de uma série considerando apenas os termos com ı́ndices
superiores a k, então a série toda é convergente e vale a igualdade
+∞
X
an = sk +
n=1
+∞
X
n=1
39
an+k .
P
P
Teorema 5.8 (Critério da comparação) Sejam an e bn séries de termos nãonegativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que an ≤ cbn para todo n > n0 então a
P
P
convergência de
bn implica a convergência de
an , enquanto que a divergência de
P
P
an acarreta a divergência de
bn .
Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos assumir que an ≤ cbn para todo
n ∈ N. Como an ≥ 0 e bn ≥ 0 para todo n ∈ N, então as sequências de somas
P
P
parciais (sn ) e (tn ) de
an e
bn , respectivamente, são não-decrescentes e tem-se
P
0 ≤ sn ≤ ctn para todo n ∈ N. Assim, se
bn converge, (tn ) é convergente e,
portanto, limitada. Logo, a sequência monótona (sn ) também é limitada, donde segue
P
P
que
an é convergente. Por outro lado, se
an é divergente, pelo fato de (sn ) ser
sn
não-decrescente, segue que (sn ) é ilimitada e, como tn ≥
, tn também é ilimitada.
c
P
Portanto,
bn é divergente.
+∞
X
1
Exemplo 5.9 A série
é convergente, pois
n!
n=0
1
1
1
1
1
=
≤
= n−1 = 2 · n
n!
2 · 3···n
2 · 2···2
2
2
+∞
X
1
para todo n ≥ 0. Como
é convergente, segue que a série dada também é.
2n
n=0
X
+∞
1
1
1
1
Lembre-se que e = lim 2 + + + · · · +
=
.
n→+∞
2! 3!
n!
n!
n=0
+∞
X
1
Exercı́cio 5.10 Mostre que a série
é divergente se p ≤ 1 e convergente se
np
n=1
p > 1.
Exercı́cio 5.11 Mostre que a série
+∞ √
X
n n+1
é divergente.
2−3
n
n=1
+∞
X
n=1
5n3
15n + 2
√
é convergente e a série
+ 2n n + 2 − 3
Teorema 5.12 (Leibniz) Se (an ) é uma série monótona não-crescente que tende para
+∞
X
zero, então
(−1)n+1 an é uma série convergente.
n=1
Demonstração. Seja sn = a1 − a2 + · · · + (−1)n+1 an . Assim, temos que
s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ s2n , pois a2n+1 − a2n+2 ≥ 0
e,
s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 ≤ s2n−1 , pois − a2n + a2n+1 ≤ 0.
40
Logo, (s2n ) é monótona não-decrescente e (s2n−1 ) é monótona não-crescente. Além
disso, como s2n−1 ≥ s2n+1 = s2n + a2n+1 e a2n+1 ≥ 0, temos que s2n−1 ≥ s2n . Com isso,
concluı́mos que (s2n ) e (s2n−1 ) são monótonas limitadas, pois
s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n ≤ · · · ≤ s2n−1 ≤ · · · ≤ s3 ≤ s1 ,
portanto, convergentes. Além disso, temos que lim s2n = lim s2n+1 , pois lim an = 0.
Logo, (sn ) converge.
Exemplo 5.13 A série
+∞
X
(−1)n+1
n
n=1
é convergente, pois an =
1
é monótona decresn
cente e lim an = 0.
+∞
X
cos nπ
√
Exercı́cio 5.14 A série
é convergente?
n
n=1
5.2
Convergência absoluta e condicional
P
P
Dada uma série an , podemos considerar a série correspondente |an |, cujos
P
termos são os valores absolutos da série dada. Assim, a série
an chama-se absolutaP
P
P
mente convergente se a série |an | for convergente. Quando an converge mas |an |
P
é divergente, dizemos que
an é condicionalmente convergente. Evidentemente, toda
série convergente cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente.
Exemplo 5.15 A série
+∞
X
an , com −1 < a < 1 é absolutamente convergente, pois
n=0
|an | = |a|n , com 0 ≤ |a| < 1.
Exemplo 5.16 A série
+∞
X
(−1)n+1
n
é convergente, mas não absolutamente conver-
n=1+∞
+∞ X
(−1)n+1 X
1
=
gente, pois
.
n
n
n=1
n=1
O exemplo anterior mostra que nem toda série convergente é absolutamente
convergente. No entanto, o teorema a seguir estabelece que a recı́proca é sempre
verdadeira.
Teorema 5.17 Toda série absolutamente convergente é convergente.
X
Demonstração. Seja
an uma série absolutamente convergente. Para cada n ∈ N
considere
pn = max {an , 0}
e
qn = max {−an , 0} .
Observe que pn + qn = |an | e pn − qn = an , para todo n ∈ N. Dessa forma, temos que
P
P
pn ≤ |an | e qn ≤ |an |. Logo, pelo Teorema 5.8, as séries
pn e
qn são convergentes
X
X
X
e, portanto, segue do Teorema 5.7 que
an =
pn −
qn é convergente.
41
Exercı́cio 5.18 Mostre que a série
+∞
X
2 + (−1)n
n!
n=1
Exercı́cio 5.19 Mostre que a série
n+1
(−1)
n=1
vergente.
5.3
+∞
X
é convergente.
1
log 1 +
n
é condicionalmente con-
Testes de convergência
Os teoremas a seguir estabelecem os principais testes para verificar a convergência de uma série dada.
P
bn umasérie absolutamente convergente, com bn 6= 0 para
P
an
todo n ∈ N. Se a sequência
for limitada, então a série
an será absolutamente
bn
convergente.
an Demonstração. Por hipótese, existe c > 0 tal que ≤ c para todo n ∈ N e, portanto,
bnP
temos |an | ≤ c|bn |. Logo, pelo Teorema 5.8, a série
an é absolutamente convergente.
Teorema 5.20 Seja
Teorema 5.21 (Teste de d’Alembert)
Seja an 6= 0 para todo n ∈ N. Se existir
an+1 ≤ c < 1 para todo n suficientemente grande (em
uma constante c tal que a
n
an+1 P
< 1) então a série
particular, se lim an será absolutamente convergente.
an Demonstração.
temos que exite c < 1 tal que para todo n suficientemente
Por
hipótese
n+1
an+1 c
|an+1 |
|an |
≤c=
grande vale , ou seja, n+1 ≤ n . Assim, exite n0 ∈ N tal que para
n
an
c
c
c |an |
n > n0 a sequência de números não-negativos
é não-crescente e, portanto, limcn
P n
itada. Como a série geométrica
c é absolutamente convergente, segue
do
Teorema
an+1 P
= L < 1,
5.20 que
an é absolutamente convergente. Se, em particular, lim an an+1 < c para
podemos escolher um número c tal que L < c < 1. Assim, teremos an todo n suficientemente grande e a demonstração segue como feito no caso geral acima.
Na
calcular
prática, quando aplicamos o Teste de d’Alembert, procuramos
an+1 an+1 = L. Se L > 1, então a série é divergente, pois dessa forma temos lim an > 1,
an ou seja, |an+1 | > |an |, para todo n suficientemente grande e, portanto, a sequência (an )
não converge para zero. Se L = 1 o teste é inconclusivo, pois pode convergir, como no
X 1
X1
caso de
,
ou
divergir,
como
no
caso
de
.
n2
n
42
Teorema 5.22 (Teste de Cauchy) Considere a sequência (an ). Se existir um número
p
real c tal que n |an | ≤ c < 1 para todo n ∈ N suficientemente grande (em particular
p
P
quando lim n |an | < 1), a série
an será absolutamente convergente.
p
Demonstração. Seja c um número real tal que n |an | ≤ c < 1, então |an | ≤ cn para
P n
todo n suficientemente grande. Como a série
c é convergente, segue do critério
p
P
da comparação que
an converge absolutamente. Se, em particular, lim n |an | < 1,
p
podemos escolher c tal que L < c < 1 e assim teremos n |an | ≤ c para todo n
suficientemente grande, recaindo assim no caso mais geral.
Como no Teste de d’Alembert, no Teste de Cauchy tentamos inicialmente
p
P
calcular lim n |an | = L. Se L > 1, a série
an diverge, pois nesse caso, tem-se
p
n
|an | > 1 para todo n suficientemente grande, ou seja, |an | > 1. Assim, o termo geral
da série não tende para zero. Quando L = 1 a série pode divergir ou convergir, como
pode ser observado analisando-se as mesmas séries mencionadas no teste anteiror.
Teorema 5.23 (Teste da integral) Sejam f uma função contı́nua, positiva e decrescente em x ≥ 1 e an = f (n). Então,
Z +∞
+∞
X
(i) se
f (x)dx < +∞ a série
an converge.
1
n=1
Z
+∞
(ii) se
f (x)dx = +∞ a série
1
+∞
X
an diverge.
n=1
Exercı́cio 5.24 Teste a convergência das séries a seguir:
a)
+∞
X
n=1
d)
1
2
n − 3n + 1
n
+∞ X
log n
n
n=1
g)
+∞
X
ne
−n
n!
n=1
+∞ n
X
e
e)
nn
n=1
h)
n=1
5.4
b)
+∞ n
X
a
+∞
X
n=2
1
n(ln n)
Lista de Exercı́cios
1. Mostre, calculando sn , que
a)
+∞
X
n=1
b)
1
1
=
, com a > −1.
(a + n)(a + n + 1)
a+1
+∞
X
n−1
n=2
n!
=1
43
+∞
X
n!
c)
nn
n=1
+∞
X
(n!)2
f)
(2n)!
n=1
c)
+∞
X
(−1)n (n + 2)
n(n + 1)
n=1
d)
= 1 − 3(log 2), sabendo que log 2 =
+∞
X
(−1)n (2n + 5)
n=0
(n + 2)(n + 3)
+∞
X
(−1)n−1
n=1
=
n
1
2
2. Sejam an ≥ 0 e bn ≥ 0, prove que se as séries
P
então a série
an bn também é convergente.
P
a2n e
P
b2n são convergentes,
P 2
3. Use o resultado do exercı́cio anterior para provar que se an ≥ 0 e
an é converX an
gente, então
converge.
n
P
4. Prove que se (an ) é uma sequência não-crescente e an converge, então nan → 0.
5. Analise a convergência das seguintes séries.
a)
+∞
X
n=2
b)
+∞
X
n=1
c)
1
log n
√
1
n3
+∞
X
n=1
4n3
+1
√
n2 − 23n + 9
n + 7 − 2n + cos3 n2
+∞
X
2 − sen2 3n
d)
2n + n 2 + 1
n=1
P
6. Seja
an convergente, com an ≥ 0 para todo n ∈ N. Mostre que:
P
an xn é absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1]
P
P
b)
an sen(nx) e
an cos(nx) são absolutamente convergentes para todo x ∈
R.
a)
1 2 1 2 1 2 1 2 1
7. A série 1 − + − + − + − + − + · · · tem termos alternadamente
2 3 3 4 4 5 5 6 6
positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente.
Por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz?
5.5
O número e
n
1
. Desenvolvendo os itens a seguir, vamos mostar que (xn ) é
Seja xn = 1 +
n
convergente e então definiremos e como sendo o limite de (xn ).
44
1. Use a fórmula do Binômio de Newton para mostrar que o termo geral da sequência
(xn ) pode ser escrito como:
x1 = 2
e
xn = 2 +
n X
k=2
1
1−
n
2
1−
n
k−1
··· 1 −
n
1
para n ≥ 2.
k!
(5.1)
2. Use (5.1) para justificar o fato de que (xn ) é crescente.
3. Use (5.1) para concluir que, para todo n ≥ 2,
xn ≤ 2 +
1
1
1
+ + ··· + .
2! 3!
n!
(5.2)
4. Mostre por indução que 2n ≤ (n + 1)! para todo n ≥ 1 e use esse resultado,
juntamente com (5.2), para concluir que para n ≥ 2,
xn ≤ 2 +
1
1
1
+ 2 + · · · + n−1 .
2 2
2
(5.3)
1
1
1
+ 2 + · · · + n−1 é a soma dos n − 1 primeiros termos
2 2
2
1
de uma PG com primeiro termo e razão iguais a . Lembrando que a soma dos
2
termos de uma PG infinita de razão q (com |q| < 1) e primeiro termo a é dada
a
, mostre que Sn−1 < 1 e conclua que 2 ≤ xn < 3, para todo n ∈ N.
por S =
1−q
5. Observe que Sn−1 =
6. Use os resultados dos itens anteriores para concluir que (xn ) é convergente.
1
1
1
7. Vejamos agora que e = lim 2 + + + . . . +
.
n→∞
2! 3!
n!
1 1
1
Seja an = 2+ + +. . .+ . Primeiramente, note que pelo que foi desenvolvido
2! 3!
n!
nos itens anteriores, (an ) é limitada, pois 2 ≤ an < 3. Além disso, por ser
uma soma de parcelas positivas, (an ) é crescente. Vamos mostrar que lim an =
n→∞
lim xn = e. Para tanto, observe que para m > n, de (5.1) obtemos
n→∞
xm > 2 +
n X
k=2
1
1−
m
2
1−
m
k−1
··· 1 −
m
Aplicando limite com m → ∞ em (5.4), obtemos
n
X
1
1
1
1
e≥2+
= 2 + + + ··· + .
k!
2! 3!
n!
k=2
45
1
.
k!
(5.4)
Agora, fazendo n → ∞ nesta última desigualdade, segue que
e ≥ lim
n→∞
1
1
1
2 + + + ··· +
2! 3!
n!
.
Por outro lado, fazendo n → ∞ em (5.2), obtemos
e ≤ lim
n→∞
1
1
1
2 + + + ··· +
2! 3!
n!
.
Portanto, segue dessas duas últimas desigualdades que
e = lim
n→∞
5.5.1
1
1
1
2 + + + ··· +
2! 3!
n!
.
O número e é irracional
Vamos mostrar agora que o número e é irracional. Suponha, por absurdo, que
p
existam inteiros não nulos p e q tais que e = . Como 2 < e < 3, vemos que e não é
q
inteiro e, portanto, q deve ser pelo menos igual a 2. Sabemos que
+∞
X
1
1
1
1
1
1
1
1
e=
= 1+ + + +...+
+
+
+
+ . . . (5.5)
n!
1! 2! 3!
(q − 1)! (q)! (q + 1)! (q + 2)!
n=0
Assim, multiplicando ambos os lados de (5.5) por q!, obtemos no lado esquerdo
e · q! =
p
· 1 · 2 · 3 · . . . · q = p · 1 · 2 · 3 · . . . · (q − 1)
q
(5.6)
e, no lado direito,
[q! + q! + 3 · 2 · . . . · q + 4 · 5 · . . . · q + . . . + q + 1] +
1
1
+
+ . . . (5.7)
q + 1 (q + 1)(q + 2)
Note que o resultado da soma em (5.6) é um inteiro. Em (5.7), vemos que
a parte entre colchetes também é uma soma de inteiros, enquanto que as parcelas
restantes são não inteiros, pois cada denominador é pelo menos 3. Vejamos agora que
a soma de tais parcelas também não é inteira. De fato, como q ≥ 2, temos
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... ≤ +
+ ... < + 2 + 3 + ... = ·
q + 1 (q + 1)(q + 2)
3 3·4
3 3
3
3 1−
1
3
1
= .
2
Assim, temos que o lado esquerdo da equação (5.5) multiplicada por q! é um número
inteiro, enquanto que o lado direito é não inteiro, o que é uma contradição. Segue que
o número e é irracional.
46
Capı́tulo 6
Noções de topologia na reta
Veremos neste capı́tulo alguns conceitos topológicos referentes a subconjuntos
de R.
6.1
Conjunto aberto
Dado um conjunto X ⊂ R, dizemos que um ponto x ∈ X é interior a X
quando existe um intervalo aberto (a, b) tal que x ∈ (a, b) ⊂ X. O conjunto dos pontos
interiores a X é denominado interior do conjunto X e representado por int(X). Para
que x ∈ X seja um ponto interior do conjunto X é necessário e suficiente que exista
um número ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ X. Equivalentemente, x ∈ int(X) se, e
somente se, existe ε > 0 tal que |y − x| < ε ⇒ y ∈ X. Temos que int(X) ⊂ X e se
X ⊂ Y , então int(X) ⊂ int(Y ).
A vizinhança de um ponto x é qualquer conjunto que o contenha internamente.
Assim, quando a ∈ intX, diz-se que X é uma vizinhança do ponto a. Em particular,
dado ε > 0, o intervalo V = (a − ε, a + ε) é uma vizinhança de a.
Definição 6.1 Quando todos os pontos de um conjunto A ⊂ R são interiores a A,
dizemos que A é um conjunto aberto, nesse caso temos A = int(A).
Observações:
1. Se um conjunto X possui algum ponto interior, ele deve conter pelo menos um
intervalo aberto, logo é infinito. Assim, se X = {x1 , x2 , . . . , xn } é um conjunto
finito, então int(X) = ∅.
2. O interior dos conjuntos dos números racionais e irracionais é vazio.
3. O conjunto vazio é aberto.
4. Se X = (a, b), X = (−∞, b) ou X = (a, +∞), então int(X) = X.
47
5. Sejam X = [a, b], Y = (−∞, b] ou Z = [a, +∞), então int(X) = (a, b), int(Y ) =
(−∞, b) e int(Z) = (a, +∞).
6. O limite de uma sequência pode ser reformulado em termos de conjuntos abertos:
tem-se a = lim xn se, e somente se, para todo aberto A contendo a existe n0 ∈ N
tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A.
Teorema 6.2 (i) Se A1 ⊂ R e A2 ⊂ R são abertos, então A1 ∩ A2 é aberto.
(ii) Seja (Aλ )λ∈L uma famı́lia arbitrária de conjuntos abertos Aλ ⊂ R. A reunião
[
A=
Aλ é um conjunto aberto.
λ∈L
Demonstração.
(i) Se x ∈ A1 ∩ A2 então x ∈ A1 e x ∈ A2 . Como A1 e A2 são abertos, existem ε1 > 0 e
ε2 > 0 tais que (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ A1 e (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ A2 . Seja ε = min {ε1 , ε2 }.
Então (x − ε, x + ε) ⊂ A1 e (x − ε, x + ε) ⊂ A2 , logo (x − ε, x + ε) ⊂ A1 ∩ A2 .
Assim, todo ponto x ∈ A1 ∩ A2 é um ponto interior, ou seja, A1 ∩ A2 é aberto.
(ii) Se x ∈ A então existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, existe ε > 0 tal
que (x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A. Logo, todo ponto x ∈ A é interior, ou seja, A é
aberto.
Segue da parte (i) do Teorema 6.2 que a interseção de um número finito de
conjuntos abertos é um conjunto aberto. No entanto, a interseção de uma infinidade
de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto. Por exemplo, considere os
+∞
\
1 1
conjuntos abertos An = − ,
, n = 1, 2, 3, . . . , temos
An = {0}, e o conjunto
n n
n=1
{0} não é aberto.
6.2
Conjuntos fechados
Diz-se que um ponto a é aderente ao conjunto X ∈ R quando a é limite de
alguma sequência de pontos xn ∈ X. Assim, todo ponto a ∈ X é aderente a X, basta
tomar xn = a para todo n ∈ N. Por outro lado, podemos ter também pontos aderentes
a X que não pertencem a esse conjunto, sendo este o caso de maior interesse. Por
1
exemplo, se X = (0, +∞), então 0 ∈
/ X, mas 0 é aderente a X, uma vez que 0 = lim ,
n
1
onde ∈ X para todo n.
n
É importante observar que todo valor de aderência de uma sequência (xn ) é um
ponto aderente do conjunto X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}, mas a recı́proca é falsa, ou seja,
nem todo ponto aderente a X é valor de aderência de (xn ). Por exemplo, se lim xn = a,
48
o único valor de aderência de (xn ) é a, mas todos os pontos xn são aderentes a X, uma
vez que pertencem a esse conjunto.
O conjunto formado por todos os pontos aderentes a X é denominado fecho de
X e é denotado por X. Segue dessa definição que X ⊂ X e se X ⊂ Y , então X ⊂ Y .
Definição 6.3 Um conjunto X diz-se fechado quando X = X, isto é, quando todo
ponto aderente a X pertence a X.
Dessa forma, para que X seja fechado é necessário e suficiente que se cumpra
a seguinte condição: se xn ∈ X para todo n ∈ N e lim xn = a, então a ∈ X.
Exemplo 6.4 O fecho do intervalo aberto (a, b) é o intervalo
os
[a, b]. De
fato, fechado
1
1
pontos a e b são aderentes ao intervalo (a, b) pois a = lim a +
e b = lim b −
.
n
n
Assim, o fecho de (a, b) inclui pelo menos o intervalo fechado [a, b]. Por outro lado,
se a < xn < b e lim xn = c, então a ≤ c ≤ b. Logo, todo ponto aderente ao intervalo
aberto (a, b) pertence ao intervalo fechado [a, b]. O intervalo fechado [a, b] também é
fecho dos intervalos [a, b), (a, b] e [a, b]. Temos que todo intervalo limitado fechado é um
conjunto fechado. São fechados também os conjuntos: [a, +∞), (−∞, b] e (−∞, +∞).
Quando X ⊂ R é não vazio, limitado e fechado, tem-se sup X ∈ X e inf X ∈ X.
Exemplo 6.5 O fecho dos conjuntos dos números racionais e dos números irracionais
é a reta R.
Sejam X, Y conjuntos de números reais, com X ⊂ Y . Dizemos que X é denso
em Y quando todo ponto de Y for aderente a X, ou seja, quando Y ⊂ X. Por exemplo,
Q é denso em R.
Teorema 6.6 Um ponto a ∈ R é aderente a um conjunto X ⊂ R se, e somente se,
toda vizinhança de a contém algum ponto de X.
Demonstração. Seja a um ponto aderente a X. Então, a = lim xn , onde xn ∈ X
para todo n ∈ N. Pela definição de limite, temos que dada uma vizinhança V de a,
xn ∈ V para todo n suficientemente grande. Logo, V ∩ X 6= ∅. Por outro lado, se toda
vizinhança
de a contémpontos de X podemos escolher um ponto xn ∈ X em cada
1
1
1
intervalo a − , a +
, n ∈ N. Dessa forma, |xn − a| < e, portanto, lim xn = a.
n
n
n
Logo, a é aderente a X.
Dessa forma, a fim de que um ponto a não pertença a X é necessário e suficiente
que exista uma vizinhança V de a tal que V ∩ X = ∅.
Corolário 6.7 O fecho de todo conjunto X ⊂ R é um conjunto fechado, isto é, X = X.
49
Demonstração. Seja a um ponto aderente a X, ou seja, a ∈ X, então toda vizinhança
V de a contém algum ponto b ∈ X e, assim, V é também uma vizinhança de b. Como
b é aderente a X, temos que V contém algum ponto de X. Logo, qualquer ponto a
aderente a X é também aderente a X, ou seja, a ∈ X.
Teorema 6.8 Um conjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, seu complemento
A = R − F é aberto.
Demonstração. Sejam F fechado e a ∈ A, isto é a ∈
/ F . Pelo Teorema 6.6, existe uma
vizinhança V de a que não contém pontos de F , isto é, V ⊂ A. Assim, todo ponto
a ∈ A é interior a A, ou seja, A é aberto. Por outro lado, se o conjunto A é aberto e o
ponto a é aderente a F = R − A então toda vizinhança de a contém pontos de F , logo
a não é interior a A. Dessa forma, como A é aberto, temos que a ∈
/ A, ou seja, a ∈ F .
Assim, todo ponto aderente a F pertence a F , logo F é fechado.
Teorema 6.9 (i) O conjunto R e o conjunto vazio são fechados.
(ii) Se F1 e F2 são fechados então F1 ∪ F2 é fechado.
(iii) Se (Fλ )λ∈L é uma famı́lia qualquer de conjuntos fechados então a interseção
T
F = λ∈L Fλ é um conjunto fechado.
Demonstração.
(i) R é complemento do aberto ∅ e ∅ é complemento do aberto R.
(ii) Sejam A1 = R − F1 e A2 = R − F2 . Pelo Teorema 6.8, A1 e A2 são abertos. Assim,
pelo Teorema 6.2 A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2 ) é aberto. Portanto, segue do Teorema
6.8 que F1 ∪ F2 é fechado.
(iii) Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ é aberto e, portanto, A =
Como A = R − F , segue do Teorema 6.8 que F é fechado.
S
λ∈L
Aλ é aberto.
Exemplo 6.10 Todo conjunto finito F = {x1 , x2 , . . . , xn } é fechado.
Definição 6.11 Chama-se fronteira de X ⊂ R ao conjunto formado pelos pontos x ∈
R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e pontos de R − X e denota-se
por ∂X.
Exemplo 6.12 Sejam X = [2, 5], Y = (1, 2) ∪ (2, 3). Então, ∂X = {2, 5} e ∂Y =
{1, 2, 3}. Para o conjunto dos números inteiros e racionais temos, ∂Z = Z e ∂Q = R.
50
6.3
Pontos de acumulação
Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando toda
vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a, ou seja, quando
todo intervalo aberto (a − ε, a + ε) de centro em a contém algum ponto x ∈ X diferente
de a.
O conjunto de todos os pontos de acumulação de X é representado por X 0 .
Assim, a ∈ X 0 significa que para todo ε > 0 tem-se (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅.
Portanto, pelo Teorema 6.6, a ∈ X 0 se, e somente se, a ∈ X − {a}.
Observamos que um ponto de acumulação de X pode ou não pertencer a X.
Por exemplo, se X = (a, b), então a e b pertencem a X 0 mas não pertencem a X. Além
disso, para esse exemplo, temos que se x ∈ X então x ∈ X 0 , ou seja, todos os pontos
de X são pontos de acumulação desse conjunto.
Se a ∈ X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado
desse conjunto e isso significa que existe ε > 0 tal que a é o único ponto de X no
intervalo (a − ε, a + ε). Um conjunto X é denominado discreto quando todos os seus
pontos são isolados. O conjunto Z dos números inteiros é um exemplo de conjunto
discreto.
Exemplo 6.13
(a) 2 é um ponto de acumulação dos conjuntos X = (2, 4) e Y = [2, 4).
(b) Todos os pontos de X = [1, 3] são pontos de acumulação de X.
1 2
n
(c) O conjunto X =
, ,...,
, . . . é discreto. Seu único ponto de acumulação
2 3
n+1
é 1 que não pertence a X.
(d) Se X = Q, então X 0 = R.
Teorema 6.14 Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) a é um ponto de acumulação de X;
(2) a é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X − {a};
(3) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.
Demonstração. Vamos mostrar que (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1). Para provar a primeira
implicação considere
a ∈ X 0 . Então, para todo n ∈ N podemos encontrar um xn ∈ X
1
1
na vizinhança a − , a +
, com xn 6= a. Logo, lim xn = a. Agora, supondo (2),
n
n
temos que para qualquer n0 ∈ N o conjunto A = {xn | n > n0 } é infinito, pois se A fosse
finito, existiria um xn1 que se repetiria infinitas vezes e assim terı́amos uma sequência
51
constante com limite xn1 6= a. Isto leva a uma contradição, pois supondo (2) temos
que lim xn = a e assim toda subsequência de (xn ) também deveria convergir para a.
Portanto, pela definição de limite concluı́mos que (2) ⇒ (3). A última implicação segue
da definição de ponto de acumulação.
Segue da afirmação (3) do Teorema 6.14 que se X é finito, então X 0 = ∅, ou
equivalentemente, se X 0 6= ∅, então X é infinito.
O teorema a seguir é uma versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass em termos
de ponto de acumulação.
Teorema 6.15 Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos
um ponto de acumulação.
Demonstração. Seja X ⊂ R infinito e limitado. Então, X possui um subconjunto
enumerável {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. Fixando essa enumeração, temos uma sequência (xn )
de termos dois a dois distintos pertencentes a X e, portanto, é uma sequência limitada. Assim, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 4.19), (xn ) possui uma
subsequência convergente. Podemos então desprezar os termos que estão fora dessa
subsequência e usar novamente a notação (xn ) para representar essa nova sequência
convergente. Seja a = lim xn . Como os termos de (xn ) são distintos, no máximo um
deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de um
sequência de pontos xn ∈ X − {a}. Logo, pelo Teorema 6.14, a é ponto de acumulação
de X.
6.4
Conjuntos compactos
Definição 6.16 Um conjunto X ⊂ R chama-se compacto quando é limitado e fechado.
Observações:
1. Todo conjunto finito é compacto.
2. Qualquer intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto.
3. O conjunto Z não é compacto pois é ilimitado, embora seja fechado, uma vez que
seu complementar R − Z é a reunião dos intervalos abertos (n, n + 1), n ∈ Z, logo
é um conjunto aberto.
Teorema 6.17 Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda sequência de
pontos em X possui uma subsequência que converge para um ponto de X.
52
Demonstração. Se X ⊂ R é compacto, toda sequência de pontos de X é limitada, logo
possui uma subsequência convergente, cujo limite é um ponto de X, pois X é fechado.
Por outro lado, se X ⊂ R é um conjunto tal que toda sequência de pontos xn ∈ X possui
uma subsequência que converge para um ponto de X, então X é limitado, porque do
contrário, para cada n ∈ N poderı́amos encontrar xn ∈ X com |xn | > n. A sequência
(xn ), assim obtida, não possuiria subsequência limitada, logo não teria subsequência
convergente. Além disso, X é fechado pois do contrário existiria um ponto a ∈
/ X
com a = lim xn , onde cada xn ∈ X. Dessa forma, a sequência (xn ) não possuiria
subsequência alguma convergindo para um ponto de X, pois todas suas subsequências
teriam limite a. Logo, X é compacto.
Observamos que se X ⊂ R é compacto então a = inf X e b = sup X pertencem
a X. Assim, todo conjunto compacto contém um elemento mı́nimo e um elemento
máximo. Em outras palavras, se X é compacto, então existem x0 , x1 ∈ X tais que
x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X.
6.5
Exercı́cios
1. Prove que para todo X ⊂ R tem-se int(int(X)) = int(X) e conclua que int(X) é
um conjunto aberto.
2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência (xn ) que
converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo
n suficientemente grande”. Prove que A é aberto.
3. Sejam A, B ⊂ R. Prove que int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B) e int(A ∩ B) =
int(A)∩int(B). Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A∪B) 6= int(A)∪int(B).
4. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = int(X)∪int(R−X)∪∂X.
5. Prove que A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩ ∂A = ∅.
6. Prove que para todo X ⊂ R vale X = X ∪ ∂X. Conclua que X é fechado se, e
somente se, X ⊃ ∂X.
7. Use a definição de conjunto fechado para provar as partes (ii) e (iii) do Teorema
6.9.
8. Para todo X ⊂ R, prove que R − int(X) = R − X e R − X = int(R − X).
9. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia então X = ∅ ou X = R.
10. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪ X 0 . Conclua que X é fechado se,
e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
53
11. Prove que, para todo X ⊂ R, X 0 é um conjunto fechado.
12. Prove que uma reunião finita e uma intersecção arbitrária de conjuntos compactos
é um conjunto compacto.
13. Prove que se X é compacto, então os conjuntos A = {x + y | x, y ∈ X} e B =
{x · y | x, y ∈ X} também são compactos.
54
Referências Bibliográficas
[1] G. Ávila. Análise matemática para licenciatura. 3.ed. São Paulo: Edgard Blücher,
2006.
[2] D. G. de Figueiredo. Análise I. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[3] E. L. Lima. Análise real volume 1 - Funções de uma variável, 11.ed. Rio de Janeiro:
IMPA, 2011.
[4] E. L. Lima. Curso de análise. volume 1, 12.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
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