CIRCUNFERÊNCIA

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 24
CIRCUNFERÊNCIA
r
(a, b)
P
C
R
P
C
R
P
C
R
Como pode cair no enem
(UFRRJ) Em um circo, no qual o picadeiro tem — no plano cartesiano — a forma de um círculo
de equação igual a x2 + y2 - 12x - 16y - 300 ≤ 0, o palhaço acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço
com água localizado no ponto (24, 32).
Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro
até o momento em que chega ao poço.
-
Fixação
1) (CESGRANRIO)
y
0
-3
4
x
A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura acima é:
a) x2 + y2 - 3x - 4y = 0
b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0
c) x2 + y2 + 6x - 8y = 0
d) x2 + y2 + 8x - 6y = 0
e) x2 + y2 - 8x + 6y = 0
Fixação
2) Qual é a equação da circunferência que tem centro C (6, - 2) e que passa pelo ponto (1, 10)?
Fixação
3) Considere P e Q os pontos de interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os eixos coordenados x e y respectivamente.
a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q.
b) Determine a equação da circunferência que tem o segmento PQ como diâmetro.
Fixação
F
4) (UNIRIO) A equação x2 + y2 - 4x + 6y – 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e5
a
das coordenadas do centro é igual a:
a) -2
b) 3
c) 5
d) 8
e)15
b
c
Fixação
5) (UNIRIO) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a circunferência de equação x2 + y2 = 4x é:
a) b) c)
d)
y
y
x
x
y
x
e)
y
x
y
x
Proposto
1)
A feira de Caruaru
Faz gosto da gente ver
De tudo que há no mundo
Nela tem pra vender
(http://luiz-gonzaga.letras.terra.com.br)
A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua canção está indicada no mapa abaixo como
a origem de um sistema de eixos ortogonais x0y.
Considere que a região de influência da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema
de eixos pela inequação x2+ y2 ≤ 2,25, com x e y medidos em centímetros.
a) determine sua área, em km2, supondo que a escala do mapa seja de 1:10.000.000;
b) demonstre que uma cidade situada nas coordenadas
11 11 do sistema de eixos considerado não está nessa região.
–– , ––
10 10
Proposto
2) (UERJ) Observe o sistema: y = 1/x
x2 + y2 = r2
O menor valor inteiro de r para que o sistema acima apresente quatro soluções reais é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Proposto
3) (UNIRIO) O menor valor inteiro de m para que a equação x2 + y2 + 8x - 2y - m = 0 represente
uma circunferência é:
a) -17
b) -16
c) 0
d) 16
e) 17
Proposto
4) (UFRJ) Considere as retas paralelas de equações y = x + 3 e y = x - 1.
Determine a equação da circunferência tangente a essas retas e com centro no eixo y.
Proposto
5) (UFRJ) A reta y = x + k , k fixo, intercepta a circunferência x² + y² = 1 em dois pontos distintos,
P1 e P2, como mostra a figura a seguir.
y
P2
P1
x
a) Determine os possíveis valores de k.
b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função de k.
Proposto
,6) (UFF) Determine as coordenadas dos pontos da reta de equação y = 3x + 4 que distam
quatro unidades da origem.
Proposto
7) (UERJ)
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha.
a) Se, A, B e C pertencem à uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando:
• A está situado entre B e C;
• A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do
semieixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0, 0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente.
Proposto
8) (UFRJ) Os pontos (- 6, 2), (3, - 1), e (- 5, - 5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
-
Proposto
9) (UNICAMP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de
módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x - 7 = 0 e o
ciclista B, a trajetória descrita pela equação x2 + y2 - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo
plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para
que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?
Proposto
10) (PUC) Uma formiga caminha sobre um plano onde está localizado um referencial cartesiano. Inicia seu deslocamento S em um ponto sobre a curva de equação
x2 + y2 = 1 (x e y em cm) na qual está se movimentando, e não passa por um mesmo ponto
mais de uma vez. Então, S é um número real tal que:
d) 0 ≤ S < 2π
?a) 0 ≤ S ≤ 2π ab) π ≤ S ≤ 2πe) π ≤ S < 2π
c) 0 ≤ S ≤ π
Proposto
11) (UNICAMP) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio
de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a
unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo
de cada antena é de 20 km, pergunta-se:
a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua
resposta apresentando os cálculos necessários.
b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?
Proposto
o12) (UEL) Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x2 + y2 - 8x - 8y
+ 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta
placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano
xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada
de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas
placas e que, é necessária uma lata de tinta para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no
mínimo, quantas latas de tinta vermelha?
a) 12d) 32
b) 24
e) 48
c) 26
Proposto
13) (UFSM) A equipe de arquitetos e decoradores que fez o projeto de um shopping deseja circunscrever uma circunferência ao quadrado maior Q1, que possui lado de 10 m.
Se as coordenadas do centro da circunferência forem dadas pelo ponto (10, 8) e se forem
usadas a parede da porta de entrada (x) e a lateral esquerda (y) como eixos coordenados referenciais, a equação da circunferência será:
a) x2 + y2 - 20x - 16y + 139 = 0
b) x2 + y2 - 20x - 16y + 64 = 0
c) x2 + y2 - 20x - 16y + 114 = 0
d) x2 + y2 - 20x - 16y - 36 = 0
e) x2 + y2 - 16x - 20y + 139 = 0
Proposto
-14) (UFRS) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x2 +
y2 - 4 = 0.
A área do octógono é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 10
e) 20
-
Proposto
15) (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em
círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que
limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área
da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente:
a) 7 e 113,04
d) 14 e 113,04
b) 7 e 153,86
e) 14 e 153,86
c) 12 e 113,04
Proposto
m16) (UFU) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 + y2 = 5
e a reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B.
Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.
Proposto
17) (UFSM) Uma luminária foi instalada no ponto C(-5,10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30,5) e Q(-30,-15). O comprimento
da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que é iluminado por essa luminária, é:
a) 10 m
d) 40 m
b) 20 m
e) 50 m
c) 30 m
Proposto
-18) (UNICAMP) A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas
a catedral, a prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os
quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos
equidistantes da prefeitura e da Câmara de Vereadores.
O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por:
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1
c) x ∈ [1, 3], y ∈ [4, 6]
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2
d) x = 2, y ∈ [5, 7]
Proposto
19) (ENEM) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II – é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de – 1 a 1;
III – é o quadrado formado pelos vértices (– 2, 1), (– 1, 1), (– 1, 2) e (– 2, 2);
IV – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V – é o ponto (0, 0).
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
a)
c)
y
y
e)
y
9
3
3
-9
9
x
-3
3
x
-3
-3
-9
b)
y
d)
y
9
3
9
-9
x
-3
3
-3
-9
3
-3
x
x