UFBA 2003 - 2ª fase

UFBA 2003 - 2ª FASE - MATEMÁTICA –
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS POR PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
Questão 01 (Valor: 10 pontos)
Esboce o gráfico da função f : R R definida por f(x) =  x 2  5x  4 , incluindo as
interseções com os eixos coordenados.
RESOLUÇÃO:
Raízes: -x² + 5 x – 4 = 0  - (x – 4)(x-1)  x = 1 ou x = 4.
25 25
9
5
5

4 
Vértice da função g(x) = -x² + 5 x – 4 : xv =
= 2,5 e yv = g   = 
4
2
4
2
2
4
y
3
2
1
x
1
1
2
3
4
5
6
1
Questão 02 (Valor: 10 pontos)
Determine os polinômios da forma p(x) = x³ + bx² + cx +d que são divisíveis por
x – 1 e x + 1, sabendo que b, c e d R e bd = -1.
RESOLUÇÃO:
p(1) = 1 + b + c + d = 0  b + c + d = -1.
p(-1) = -1 + b – c + d = 0  b – c + d = 1.
Resolvendo agora o sistema
b  c  d  - 1
 2b  2d  0

 b - c  d  1 somando as duas primeiras equações  
 bd  - 1
bd  - 1

se b  1 se b  - 1
b  - d


 d  - 1 ou d  1
 2
 b  1 c  - 1
c  - 1


Resposta: Os polinômios são p(x) = x³ + x² -x –1 e p(x) = x³ - x² - x +1
1
Questão 03 (Valor: 15 pontos)
Determine uma equação da circunferência de centro (-1,2), sabendo que a
equação 3x + y – 9 =0 representa uma reta tangente a essa circunferência.
RESOLUÇÃO:
Se a reta é tangente á circunferência, então a distância do centro (-1,2) à reta de
equação
3x + y – 9 =0 é também a medida do raio da circunferência .
3(1)  1(2)  9
 10
10
Então R =
.


9 1
10
10
A equação da circunferência é:
2
x  1  y  2   10   x 2  y 2  2x  4y  1  4  10  0 
 10 
2
2
x  y  2x  4y  5  0
2
2
Resposta a equação é x 2  y 2  2x  4y  5  0 .
Questão 04 (Valor: 15 pontos) Considere os números complexos z = -1 +
3i e
w=
3 + i e sejam A e B os pontos que representam, no plano cartesiano, os
z2
complexos zw e
, respectivamente.
w
A partir dessas informações, determine o cosseno do ângulo AOB, sendo O a
origem do plano cartesiano.
RESOLUÇÃO:
zw =  1  3i 3  i  - 2 3  2i  A =  2 3 ,2

 


- 1  3i  - 2  2 3i 3  i   4 3  4i - 3  i  B = 
z

w
4
 3  i 3  i
3 i
2

2
A reta AO forma com o eixo dos x o ângulo , tal que
2
3
tg =
  = 150°

3
2 3
A reta BO forma com o eixo dos x o ângulo , tal que
1
3
tg =
  = 30° .

3
3
Logo o ângulo AÔB mede 60°.
3 , 1
3
y
2
A
1
3
2
B
1
x
O
1
1
A
2
3
4
2
Questão 05 (Valor: 20 pontos)
Deseja-se fabricar bandeirolas com perímetro de 50cm e
formato obtido retirando-se um semi-círculo de um retângulo
em que um dos lados, medindo 2r cm, coincide com o diâmetro
do semi-círculo retirado, conforme figura.
Nessas condições, determine o valor de r para o qual a área da
bandeirola é máxima.
RESOLUÇÃO:
O perímetro da bandeirola é igual AB+CD+BD + r = 50  2x + 2r
+ r = 50 
50 - 2r - r
x=
 a área de cada bandeirola será : S = SABCD –
2
Ssemi círculo
2

3  4r 2
 50 - 2r - r  r
S = 2r 
= 
 50r

2
2

 2
 50
50
O valor de r para que a área seja máxima é r =

 3  4  3  4
2 

2 

cm.
C
D
x
x
A
2r
B
Questão 06 (Valor: 10 pontos)
A figura mostra a posição de um avião observado a
partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e
distantes 1km um do outro. Sabe-se que, nesse
instante, o avião dista, respectivamente, 88 km e
9km, dos pontos A e B.
Nessas condições, determine a altura do avião, em
relação ao solo, no instante considerado
3
C
No triângulo AHC: h² = 88 - (1+x)².
No triângulo BHC: h² = 81 - x².
Assim 88 - (1+x)² = 81 - x²  2x = 88 – 81 – 1  x = 3.
Logo h² = 81 – 9 = 72  h = 6 2 .
Resposta: Em relação ao solo a altura do avião é de 6 2 km .
88
A
1
h
9
B
x
H
Questão 07 (Valor: 20 pontos)
.
Considere um cone circular reto, de altura igual a 9 u.c. e raio de base medindo
3 3 u.c., contendo esferas S1, S2, ..., Sn , ... Sabe-se que S1 está inscrita no cone e
que cada esfera, a partir da segunda, é tangente à anterior e à superfície lateral do
cone. Com base nessas informações, calcule a soma infinita dos volumes das
esferas.
RESOLUÇÃO:
Os triângulos retângulos ABG e COG são semelhantes,
cujas hipotenusas medem, respectivamente, 6 3 e 9-r.
G
G
r
9
E
F 3r
D
9-r
63
C
6 3 3 3
9
r
C

 3r  9  r  3 .
Logo
r
O
9r
r
O
r
r
3
1
3
A razão de semelhança é então
.


B
B
A 33
A
33
3
3 3
3
A figura ao lado, seção meridiana do sólido formado, nos
sugere a construção de uma série de triângulos retângulos semelhantes nos quais os catetos
homólogos a 3 3 são os raios das diversas esferas.
Sendo r = 3 ; r1 = 3 .
3
=
3
3 ; r2 =
3.
sucessivamente.
Seja V o volume da primeira esfera: V =
 
3
3
3
= 1; r3 = 1.
=
; e assim
3
3
3
4
. 3³ = 36;
3
3
4
4  3 
4 3
 
3  4 3 ; V2 =
; V3 =
. 
,........
3
3  3 
27
Verificamos que os volumes , nesta ordem, formam uma PG infinita decrescente de razão
3
4 3 : 36 =
.
9
4
V1 =
.
3
3
4
A soma dos volumes das n esferas é
36
324
324 9  3 54 9  3
9 3



78
13
3 9 3
1
9





5