Aula02

Conteúdo
2 Equações Lineares de Primeira Ordem
11
2.1 - Equações Lineares Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 - Equações Lineares de Primeira Ordem não-homogêneas . 13
1
Equações Lineares de Primeira Ordem
EDA
Aula
2
EUAÇÕES LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM
Objetivos
• Introduzir as Equações Diferenciais Lineares Homogêneas e Nãohomogêneas, como “generalizacões” da Equação Diferenciail Fundamental;
• Resolver as equações diferenciais lineares utilizando “multiplicadores”.
P Nobrega
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Capı́tulo 2
Equações Lineares de Primeira
Ordem
2.1 - Equações Lineares Homogêneas
Vamos chamar de equação diferencial linear de primeira ordem homogênea no intervalo I qualquer equação que pode ser posta na forma
dy
+ p(x)y = 0
dx
onde p é uma função contı́nua, conhecida, definida no intervalo I.
Obtenção de soluções da equação linear homogênea
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Equações Lineares de Primeira Ordem
EDA
Suponhamos que y 6= 0.
dy
dy/dx
+ p(x)y = 0 ⇐⇒
= −p(x)
dx
y
i
d h
⇐⇒
ln y(x) = −p(x)
dx
Observe que essa última é uma equação do tipo da fundamental.
Z
i
h
i
d h
ln y(x) = −p(x) ⇐⇒ ln y(x) = − p(x) dx + c
dx
Z
−
p(x) dx + c
⇐⇒ y(x) = e
ou ainda
Z
p(x) dx
−
y(x) = ce
Nas aplicações, normalmente estamos iteressados em descobrir uma
solução especı́fica y(x), que assume um valor dado (conhecido) y0 quando
a variável independente vale x0 .Ou seja ,desejamos calcular a função y(x)
que seja solução do Problema de Valor Inicial (PVI)

 dy
+ p(x)y = 0
dx

y(x ) = y
0
0
Z
−
p(x) dx
Uma maneira de fazer isso é calcular a solução y(x) = ce
,
dy
= p(x)y, envolvendo uma constante arbitrária c, e depois calcular o
de
dx
valor de c, para o qual no “instante inicial” x0 a solução assume o valor y0 .
Obtemos então a solução (única) do PVI.
Alternativamente , a solução do PVI acima pode ser dada diretamente
por
Z
x
−
y(x) = y0 e
P Nobrega
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x0
p(t) dt
.
Equações Lineares de Primeira Ordem
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Exercı́cio 2.1
a) Calcule a solução geral de (dy/dx) + 3xy = 0
Resp: y = Ce(−3/2)x
2
b) Determine o comportamento, quando x → +∞ das soluções da equação
(dy/dx) + axy = 0, sedo a uma constante real.
Resp: Se a > 0 as soluções tendem a zero. Se a < 0 e C < 0 as
soluções tendem a −∞. Se a < 0 e C > 0 as soluções tendem a +∞
c) Resolva o problema de valor inicial
(
dy/dt + (sen t)y = 0
y(0) = 3/2
Resp: y = 32 e(cos
t−1)
d) Resolva o problema de valor inicial
(
2
dy/dt = −et y
y(1) = 2
Z
Resp:y = 2 e
t
2
e−u du
1
Atenção !!! Quando a equação não está na forma normal (i.é: com
o coeficiente de dy/dx = 1), devemos, primeiramente, escrevê-la naquela
forma, especificando o intervalo onde se está trabalhando.
2.2 - Equações Lineares de Primeira Ordem
não-homogêneas
Por definição as equações diferenciais lineares de primeira ordem em
um intervalo I são as equações que podem ser postas na forma
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GMA-UFF
Equações Lineares de Primeira Ordem
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dy
+ p(x)y = q(x)
dx
sendo p e q funções contı́nuas em I.
Obtenção de soluções da equação linear não-homogênea
Seja
Z
µ(x) = e
p(x) dx
Multiplicando ambos os lados da equação não-homogênea por µ(x), obtemos
Z
Z
Z
p(x) dx
p(x) dx
p(x) dx
e
y ′ + p(x)e
y = q(x)e
Imediatamente percebemos que o lado esquerdo da equação multiplicada por
µ(x) é a derivada de
Z
e
p(x) dx
·y
A equação não-linear, depois de multiplicada por µ(x) se converte em
Z
Z
p(x) dx p(x) dx
d
e
y =e
q(x),
dx
que é uma equação do tipo fundamental.
Calculamos então (“integrando os dois lados”)
Z
Z
Z
p(x) dx
p(x) dx
q(x) dx + C
e
y= e
Assim as soluções da equação não homogênea são dadas por
Z
1 µ(x)q(x) dx + c
y=
µ(x)
ou ainda
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Z
y=e
−
p(x) dx h Z
Z
p(x) dx
e
q(x) dx + c
i
Obs: Quando g(x) é a função nula, a equação se reduz a uma equação homogênea. Consistentemente a fórmula acima se reduz à solução geral da
homogênea. Essa homogênea é dita ser a homogênea associada.
Exercı́cio 2.2
Calcule as soluções de (dy/dx) − 2xy = x
2
Resp:y = cex − 1/2
Observação Se estivermos interessados numa solução especı́fica da equação
linear não-homogênea satisfazendo à condição inicial y(x0 ) = y0 , isto é se
queremos resolver o problema de valor inicial

 dy
+ p(x)y = q(x)
dx
 y(x ) = y
0
0
então podemos obter a fórmula geral das soluções, envolvendo a constante c,
e depois determinar o valor de c adequado, ou então, alternativamente, utilizar a integral de Riemann e o teorema fundamental do Cálculo, integrando
diretamente ambos os lados de
Z
p(x) dx
d
µ(x)y = µ(x)q(x),
com µ(x) = e
dx
entre x0 e x obtendo
Z x
µ(x)y − µ(x0 )y0 =
µ(t)q(t) dt
x0
i.é
1 h
µ(x0 )y0 +
y=
µ(x)
Z
x
x0
i
µ(t)q(t) dt
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GMA-UFF
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Exemplo 2.1
Resolva o problema de valor inicial

dy
x2


 dx = 2e + y



y(0) = 1
2
Solução: f (x) = 1, g(x) = 2ex . Aplicando as fórmulas acima obtemos
µ(x) = e−x , e
Z x
n
o
x
−t t2
y =e 1·1+
e 2e de
0
i.é
x
y=e
1+2
Z
x
2 −t
et
0
dt
Exercı́cio 2.3
A função definida por
2
Erf(x) = √
π
Z
x
2
e−t dt
0
é chamada de função erro. Vamos mostrar que
1 2√
2
y(x) = ex + ex π Erf(x)
2
é a solução de

dy


 dx = 2xy + 1



y(0) = 1
Solução: Por um lado
2
2
√
2
2
√
y ′ (x) = 2xex + xex
= 2xex + xex
1 2√ 2
2
π Erf(x) + ex π √ e−x
2
π
πErf (x) + 1
Por outro lado, é imediato que
2
2xy + 1 = 2xex + xex
2
√
πErf (x) + 1
Além disso, claramente
1 x2 √
1 2√
2
x2
e + e
π Erf(x)
= e0 + e0 π Erf(0) = 1
2
2
x=0
o que conclui o exercı́cio.
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