Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana Parte A 1. (i

Lista de Exercícios de Cálculo 3
Sexta Semana
Parte A
1. (i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a
taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u.
1 √
( 3i − j)
2
p
√
1
f (x, y) = ln x2 + y 2 , P (−1, 2) e u = (2i + 5j)
3
√
x
1 √
f (x, y) = 2
, P (−2, 0) e u = ( 2i − 2j)
2
x +y
2
2
1
2
g(x, y, z) = xe2yz , P (3, 0, 2) e u = i − j + k
3
3
3
√
2
3
6
g(x, y, z) = x + yz, P (1, 3, 1) e u = i + j + k
7
7
7
(a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 , P (1, 1) e u =
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados
(a) x2 + y 2 + z 2 = 17;
(b) x = 12y;
2
(c) xy = 1;
(2, −2, 3)
(6, 3, 3)
(1, 1, 1)
(d) x − z = 4 arctan(yz);
(e) yz = ln(x + z);
(1 + π, 1, 1)
(0, 0, 1)
3. Determine se os vetores abaixo correspondem ao gradiente de uma função. Caso afirmativo, determine esta
função.
(a) 4xi − 3yj
(b) (yex + x) i + (xey − y) j
(c) (2xy − y sin x) i + x2 + cos x j
(d) 2xy + y 2 + 1 i + (x2 + 2xy + x)j
4. Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(a) f (x, y) = x3 y + 12x2 − 8y (2, −4) sela
(b) f (x, y) = (1 + xy)(x + y) (−1, 1) (1, −1) selas
1
1
(c) f (x, y) = xy + + (1, 1) mínimo
x y
2
2
(d) f (x, y) = (x2 + y 2 )ey −x (±1, 0) selas (0, 0) mínimo
1
(e) f (x, y) = 2
(0,0) máximo
x + y2 − 1
1
Parte B
1. Mostre as propriedades do gradiente considerando u e v como funções diferenciáveis.
(a) ∇(αu + βv) = α∇u + β∇v, onde α e β são constantes arbitrárias;
(b) ∇(uv) = u∇v + v∇u;
u v∇u − v∇u
=
;
(c) ∇
v
v2
(d) ∇un = nun−1 ∇u;
2. Suponha que f seja uma função diferenciável de uma variável e que r =
∇f (r) = f 0 (r)
p
x2 + y 2 + z 2 . Mostre que
xi + yj + zk
r
3. Duas superfícies são chamadas de ortogonais em um ponto de interseção se as suas retas normais são
perpendiculares neste ponto. Mostre que superfícies com equações F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 são ortogonais
no ponto P , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0 se, e somente se,
Fx Gx + Fy Gy + Fz Gz = 0
no ponto P .
4. Mostre que as esferas abaixo são tangentes no ponto (a, 0, 0).
x2 + y 2 + z 2 = a2 ;
(x − b)2 + y 2 + z 2 = (b − a)2 .
Faça um esboço das duas esferas definidas anteriormente.
5. Prove que toda reta normal a uma esfera passa pelo centro da esfera.
6. Mostre que a superfície x2 − 2yz + y 3 = 4 é perpendicular à qualquer superfície na família x2 + 1 = (2 −
4a)y 2 + az 2 no ponto de interseção (1, −1, 2).
7. Os três alelos A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos conhecidos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO)
e AB. A lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carrega dois tipos
diferentes de alelos é dada por
P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq,
em que p, q e r são as proporções de A, B ou O na população. Considerando que
p+q+r =1
mostre que o máximo da função P é 2/3.
8. Seja a temperatura de um disco circular de raio 1 dada por T = y − 2x2 − y 2 . (a) Encontre o maior valor de
T dentro do disco. (b) Encontre o maior valor de T na borda do disco.
Parte C
1. O potencial de Yukawa descreve aproximadamente a interação da força forte dentre dois prótons no núcleo
atômico e é dado pela fórmula
A
V (r) = − e−αr ,
r
p
onde r = x2 + y 2 + z 2 . (a) Calcule a força induzida por este potencial utilizando a fórmula F = −∇V . (b)
Qual é o módulo desta força?
2
2. Considere a função F dada por
n
X
2
F (m, b) =
(yi − mxi − b)2 = ky − Mck ,
i=1
em que y = (y1 , y2 , · · · , yn )T é um vetor constante,



M=

x1
x2
..
.
1
1
..
.
xn
1





é uma matriz constante e c = (m, b)T um vetor com as variáveis do problema. Encontre os valores das constantes m e b que correspondem a um ponto crítico desta função. Verifique que este ponto crítico corresponde
a um ponto de mínimo utilizando a desigualdade de Hölder
1
n
n
X
!2
|xi |
2
≤ kxk .
i=1
Além disso, determine sob quais condições o lado esquerdo pode ser igual ao lado direito na desigualdade.
Este problema é conhecido como regressão linear ou mínimos quadrados.
3. Considere a função
1
λ2
2
2
kAx − f k +
kΓx − gk .
2
2
A solução ótima desta função surge em diversos problemas da engenharia. Neste tipo de problema, os vetores
f e g são constantes e conhecidos, assim como o número real λ2 . A matriz A representa um filtro e a matriz
Γ é uma matriz de regularização, normalmente atuando como um filtro de derivadas. Considerando
a b
α β
x1
f1
g1
A=
, Γ=
, x=
, f=
e g=
c d
θ ω
x2
f2
g2
J(x) =
mostre que a solução ótima, que corresponde ao mínimo de J, é
x = (AT A + λ2 ΓT Γ)−1 (AT f + λ2 ΓT g).
Esse problema é conhecido como regularização de Tikhonov generalizada.
3
Resumo do Conteúdo
• Vetor Gradiente: o vetor gradiente de uma função z = f (x, y) em um ponto (a, b) é o vetor definido e
denotado por ∇f (a, b) = fx (a, b)i + fy (a, b)j.
– Características:
∗ o vetor gradiente é perpendicular as curvas de nível da função f ;
∗ partindo do ponto (a, b) no domínio da função, tem-se que a função cresce mais rapidamente na
direção do vetor ∇f (a, b);
∗ de forma equivalente, partindo do ponto (a, b), tem-se que a função decresce mais rapidamente na
direção do vetor −∇f (a, b);
∗ em uma direção u que é perpendicular a ∇f (a, b) 6= 0, a função z = f (x, y) tem crescimento nulo,
ou seja, é uma direção tangente a curva de nível de f ;
– Consulte o caderno/livro para demais casos!!!
• Derivada Direcional: diferentemente das derivadas parciais fx e fy que fornecem a variação da função
z = f (x, y) nas direções canônicas i e j, a derivada direcional fornece a variação da função em qualquer
direção u = u1 i + u2 j, com |u| = 1, a partir do ponto p = (a, b). A derivada direcional é definida como
f (p + su) − f (p)
∂f
(a, b) = lim
= ∇f (a, b) · u = fx (a, b) u1 + fy (a, b) u2 ;
s→0
∂u
s
• Plano Tangente: o plano tangente à uma superfície z = ƒ(x, y) no ponto p = (a, b, f (a, b)) é o plano que é
normal a ∇G, com G(x, y, z) = f (x, y) − z, em p. Sendo r = (x, y, z), o plano tangente é dado por
∂f
∂f
∇G · (r − p) =
(a, b),
(a, b), −1 · (x − a, y − b, z − f (a, b))
∂x
∂y
= fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) + (−1)(z − f (a, b))
=
0;
– Consulte o caderno/livro para demais casos!!!
• Pontos Críticos: um ponto (a, b) pertencente ao domínio de uma função z = f (x, y) é dito um ponto crítico
se fx (a, b) = fy (a, b) = 0, ou seja, se ∇f (a, b) = 0.
• Teste da Segunda Derivada: é necessário para testar se um ponto crítico (a, b) é um ponto de máximo,
ponto de mínimo ou ponto de sela para a função z = f (x, y). O teste da segunda derivada é baseado no
2
, conhecido como Hessiano da função f .
número H = fxx fyy − fxy
– Ponto de máximo em (a, b): se fxx (a, b) < 0 e H > 0 em (a, b);
– Ponto de mínimo em (a, b): se fxx (a, b) > 0 e H > 0 em (a, b);
– Ponto de sela em (a, b): se H < 0 em (a, b);
– Inconclusivo: se H = 0 em (a, b);
4
Gabarito
Parte A
1. Respostas
√
∂f
= −( 3 + 1);
∂u
√
xi + yj
1
∂f
1
= 2
;
(ii)
∇f
(−1,
2)
=
5);
(−i
+
2j);
(iii)
=
(−2
+
2
x + y2
5
∂u
15
√
(−x2 + y 2 )i − 2xyj
1
2
∂f
=
; (ii) ∇f (−2, 0) = − i; (iii)
=−
;
2
2
2
(x + y )
4
∂u
8
∂g
22
= e2yz i + 2xze2yz j + 2xye2yz k; (ii) ∇g(3, 0, 2) = i + 12j; (iii)
=− ;
∂u
3
√
√
√
√
i + zj + yk
6
6
6
∂g
11 6
= √
; (ii) ∇g(1, 3, 1) =
i+
j+
k; (iii)
=
;
2 x + yz
12
12
4
∂u
84
(a) (i) ∇f = −2xi + 2yj; (ii) ∇f (1, 1) = −2i + 2j; (iii)
(b) (i) ∇f
(c) (i) ∇f
(d) (i) ∇g
(e) (i) ∇g
2. Respostas
(a) 4(x − 2) − 4(y + 2) + 6(z − 3) = 0 e r(t) = (1 + 2t)(2, −2, 3);
(b) 12(x − 6) − 12(y − 3) = 0 e r(t) = (6, 3, 3) + t(12, −12, 0);
(c) (x − 1) + (y − 1) = 0 e r(t) = (1, 1, 1) + t(1, 1, 0);
(d) (x − 1 − π) − 2(y − 1) − 3(z − 1) = 0 e r(t) = (1 + π, 1, 1) + t(1, −2, −3);
(e) −x + y − (z − 1) = 0 e r(t) = (0, 0, 1) + t(−1, 1, −1);
3. Respostas
3
(a) f (x, y) = 2x2 − y 2 + c;
2
(b) Não
(c) f (x, y) = x2 y + y cos x + c;
(d) Não
4. Respostas
(a) (2, −4) sela
(b) (−1, 1) e (1, −1) selas
(c) (1, 1) mínimo
(d) (±1, 0) selas e (0, 0) mínimo
(e) (0, 0) máximo
Parte B
1. Basta utilizar as propriedades da derivada
2. Basta utilizar a regra da cadeia
3. As retas normais serem perpendiculares é equivalente a ∇F · ∇G = 0
4. As esferas são tangentes se seus planos tangentes são idênticos no ponto dado.
5. Dada uma esfera (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 , seu vetor normal no ponto (x0 , y0 , z0 ) é dado por
n = 2(x0 , y0 , z0 ) − 2(a, b, c). A reta normal é dada por r(t) = (1 + 2t)(x0 , y0 , z0 ) − 2t(a, b, c) e em t = −1/2
tem-se que r(−1/2) = (a, b, c), o centro da esfera.
5
6. Determine os vetores normais as superfícies nos pontos dados e verifique que a condição da questão 3 é
satisfeita.
7. Faça r = 1 − p − q, substitua na função P (p, q, r), encontre os pontos críticos e classifique-os.
8. (a) 1/4; (b) 0
Parte C
2. (Forma não tradicional de solução) Considere x = (x1 , · · · , xm ) um vetor m × 1 e f (x) uma função escalar,
isto é, f : D ⊂ Rm → R, definimos a derivada de f com relação ao vetor x como
∂f
∂f
∂f
=
, ···,
(gradiente da f ).
∂x
∂x1
∂xm
Agora perceba que
2
F (c) = ky − Mck = (y − Mc)T (y − Mc) = yT y − yT Mc − cT MT y + cT MT Mc.
Cada uma das parcelas yT y, yT Mc, cT MT y, cT MT Mc ∈ R, desta forma podemos calcular a derivada de cada
uma das parcelas com relação ao vetor c, e neste caso teremos (verifiquem!!!)
∂F
∂c
T
= −(yT M) − MT y + 2cT MT M
= −2MT y + 2MT Mc.
Portanto, o ponto crítico é c = (MT M)−1 MT y. A segunda derivada (Hessiano) com relação a variável c é dada
por
∂2F
= 2MT M.
∂c2
Para saber se o ponto é de mínimo precisamos verificar o determinante do Hessiano, que neste caso será
H
=
X
xi
2
−n
X
x2i
< 0,
pela desigualdade de Hölder. Logo c encontrado é um ponto de mínimo.
6