Livro _Vilma e Elias_ - Capítulo 1

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UMA INTRODUÇÃO À LÓGICA CLÁSSICA
Um estudo da Lógica de Primeira Ordem, segundo Mendelson.
(Título Provisório)
Maria Vilma Fernandes de Lucena
Elias Humberto Alves
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PARTE 1
CÁLCULO PROPOSICIONAL
1.1) Introdução
Neste capítulo, examinaremos a parte mais elementar da lógica
matemática: a lógica sentencial ou cálculo proposicional. Esta parte da lógica estuda as
propriedades lógicas das várias formas de composição sentencial, por meio das quais
sentenças podem ser ligadas, resultando em sentenças compostas. Estaremos
interessados, principalmente, no problema de distinguir dentre as sentenças em geral,
aquelas que são verdadeiras somente em virtude das propriedades lógicas dos
conectivos sentenciais: a chamada classe das tautologias. São as sentenças que são
verdadeiras, como dizemos, somente em virtude dos significados dos seus próprios
conectivos sentenciais. Tais sentenças formam a parte mais fundamental das verdades
lógicas.
A abordagem da lógica sentencial – e de várias partes mais
avançadas da lógica a serem tomadas em capítulos subseqüentes – será em parte
sintática, e em parte semântica. Na sintaxe, nós nos fixaremos somente nos aspectos
tipográficos, ou estruturais, das expressões com as quais estamos tratando. Neste caso,
nenhum significado ou interpretação são pressupostos; símbolos e expressões em geral
são considerados como não interpretados. Na semântica, contudo, estaremos
interessados não somente nos aspectos estruturais das expressões, mas também nas
interpretações. Assim, na semântica símbolos e expressões são interpretados, e certas
expressões são ditas verdadeiras, e outras falsas, uma vez dadas certas interpretações
para tais expressões.
Embora estejamos falando de sentenças, é importante destacar que
estamos falando daquelas sentenças que englobam uma asserção factual definida,
podendo ser ou verdadeiras ou falsas. Chamaremos estas sentenças de proposições.
Portanto, toda proposição é uma sentença, mas nem toda sentença é uma proposição.
Exemplos de proposições: “Marcos estuda matemática”; “Maria não é brasileira”; “Se
João trabalhou então está cansado”. Observemos que para estas sentenças pode ser
atribuído um valor de verdade, ou verdadeiro ou falso. Como exemplos de sentenças
que não podem ser consideradas proposições podemos ter: “Que lindo dia!”; “Qual o
autor de Gabriela?”; “Saia da sala”. Para estas sentenças, não pode ser atribuído nem
verdadeiro nem falso. Deste modo, quando falarmos em sentenças estaremos falando
daquelas sentenças consideradas como proposições.
Exercício l: Identifique entre as sentenças abaixo quais as que são proposições, de
acordo com a definição dada no texto.
1.a) Quem fechou a porta?
1.b) Carlos é estudante do curso de Direito.
1.c) Saia da classe.
1.d) Lindo!
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1.e) Não fume.
1.f) Jorge Amado escreveu o romance "Gabriela".
As proposições podem ser simples ou complexas. As proposições
simples são tomadas como unidades.
Exemplos de proposições simples:
1) João trabalhou;
2) João está cansado;
3) Maria é brasileira.
As letras maiúsculas do nosso alfabeto, com ou sem número
subscrito, serão usadas para representar proposições simples e serão chamadas de letras
sentenciais (ou variáveis proposicionais). Portanto, A, B, C, .....Z, A1, B1.......Z1,
An........Zn são letras sentenciais e a simbolização das três proposições acima poderia ser:
1) T (esta letra sentencial representando a proposição simples “João
trabalhou”);
2) C (esta letra sentencial representando a proposição simples “João
está cansado”);
3) B1 (esta letra sentencial representando a proposição simples
“Maria é brasileira”);
É importante observar que qualquer letra sentencial poderia ter sido
usada para representar cada proposição simples acima. Entretanto, não podemos atribuir
a mesma letra sentencial a duas proposições simples diferentes, dentro de uma mesma
simbolização. Isto é, na exemplificação acima, não poderíamos ter usado a letra
sentencial C para representar as proposições (1) e (2) ao mesmo tempo.
Com a utilização de partículas como “e”, “ou”, “se...então”, “se e
somente se”, “não”, podemos formar proposições complexas.
Exemplos de proposições complexas:
1)João trabalhou e está cansado;
2) João trabalhou ou está cansado;
3) Se João trabalhou então está cansado;
4) João trabalhou se e somente se está cansado;
5) João não está cansado.
As proposições (simples ou complexas) quando simbolizadas são
chamadas formas sentenciais. Desse modo, toda letra sentencial é também uma forma
sentencial. Para representar uma forma sentencial qualquer vamos utilizar as letras
maiúsculas A, B, C, D, ....Z . Os símbolos ~, ∧, ∨, →, ↔ serão chamados de
conectivos proposicionais. Toda sentença construída por aplicação desses conectivos
tem um valor de verdade que depende dos valores de verdade das sentenças
constituintes. Para tornar esta dependência clara, vamos aplicar o nome forma
sentencial para uma expressão construída a partir das letras sentenciais, A, B, C, etc. por
apropriadas aplicações dos conectivos proposicionais.
Considerando que as proposições simples “João trabalhou” e “João
está cansado” foram representadas, respectivamente, pelas letras sentenciais T e C,
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podemos usar esta mesma notação para simbolizar as proposições complexas (1) – (5)
exemplificadas acima, como segue:
1) (T ∧ C)
2) (T ∨ C)
3) (T →C)
4) (T ↔ C)
5) (∼C)
As proposições simbolizadas nos itens (1) – (5) são, portanto,
exemplos de formas sentenciais.
Definindo formas sentenciais de modo mais preciso, temos:
(1) Todas as letras sentenciais (letras maiúsculas do alfabeto romano)
e tais letras com numerais subscritos (como por exemplo, A1, A2, B3,....) são formas
sentenciais.
(2) Se A e B são formas sentenciais quaisquer, então (~A), (A ∧ B),
(A ∨ B), (A → B) e (A ↔ B) são formas sentenciais.
(3) Somente são formas sentenciais aquelas expressões que são
determinadas por meio de (1) e (2).
Exercício 2: Traduza as formas sentenciais abaixo para a linguagem natural.
Sejam E = Carlos estuda lógica; C = Carlos estuda matemática; D = Carlos desenvolve
sua criatividade;
2.a) (E→C)
2.b) ((∼E) → (∼D))
2.c) (E → (C ∧ D))
2.d) (∼ (∼E) ∨ (∼C)))
2.e) (((∼E) ∧ (∼C)) → (∼D))
1.2.Conectivos Proposicionais. Tabelas de verdade
Vamos considerar somente combinações veri - funcionais, que são
aquelas nas quais a verdade ou a falsidade da nova sentença é determinada pela verdade
ou falsidade de suas sentenças componentes. Nós usamos V e F para denotar os valores
de verdade verdadeiro e falso, respectivamente.
a) Negação:
É uma das operações mais simples aplicadas às sentenças. Embora
uma sentença na linguagem natural possa ser negada de várias maneiras, adotaremos um
procedimento uniforme que é o de colocar um símbolo para a negação, o símbolo “~”,
em frente da sentença inteira. Assim, se C representa a sentença “João está cansado”,
então ~C denota a negação de C e representa a sentença “João não está cansado”. Desse
modo, se for verdadeira a sentença “João está cansado”, então será falsa a sentença
“João não está cansado” (e vice-versa).
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O caráter veri-funcional da negação é mostrado pela seguinte tabela de
verdade, onde A representa uma proposição qualquer:
A
(~A)
V
F
F
V
Notemos que existem duas linhas na tabela, correspondendo ao
número de possíveis atribuições de valores de verdade a A.
Quando A é verdadeira, (~A) é falsa; quando A é falsa, (~A) é verdadeira.
É importante observar que expressões como "não é verdade que",
"não ocorre que", "não é o caso que", etc. alcançam toda a proposição que vem depois
delas. Deste modo, quando formos simbolizar proposições complexas nas quais
aparecem estes tipos de expressões deveremos usar parênteses para indicar o alcance da
negação. Consideremos, por exemplo, a seguinte proposição: Não é verdade que João
trabalhou e não está cansado. A expressão "não é verdade que" alcança todo o restante
da proposição, isto é, “João trabalhou e não está cansado”.
Então: ∼ (João trabalhou e não está cansado)
Alcance do conectivo ∼
Simbolizando a proposição toda: (∼
∼(T ∧ (∼C)))
Como podemos ver, devemos colocar todo o alcance da negação
dentro de parênteses, quando este alcance se tratar de uma proposição complexa.
Os parênteses são usados como símbolos auxiliares na formação de
expressões mais complexas. Servem também para evitar ambigüidades na leitura das
formas sentenciais e para identificar o conectivo principal. Eles são como sinais de
pontuação da linguagem, auxiliam a leitura, mas não são lidos.
b) Conjunção:
Considere a sentença, “João trabalhou e está cansado”. Não é difícil
ver que esta sentença implica a sentença “João trabalhou”, no sentido de que é
impossível para a primeira sentença ser verdadeira sem a última ser verdadeira.
Podemos dizer que esta implicação vale em virtude da própria natureza da conjunção
sentencial.
Uma sentença composta da forma A e B é chamada uma conjunção,
com A e B como seus conjuntivos. A conjunção de A e B é verdadeira somente no
caso em que a sentença A e a sentença B são ambas verdadeiras. Este é um dos quatro
casos possíveis: A e B ambas verdadeiros; A verdadeira, B falsa; A falsa, B verdadeira;
e A e B ambas falsas. Somente no primeiro destes quatro casos a conjunção A e B é
verdadeira.
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Por exemplo, considere as sentenças “Jorge Amado era brasileiro”,
“Jorge Amado era escritor”, e “Santos Dumont era espanhol”. Esta última é uma
sentença falsa e as duas primeiras são sentenças verdadeiras. Portanto, a conjunção
“Jorge Amado era brasileiro e Jorge Amado era escritor” é uma sentença verdadeira,
enquanto a conjunção “Jorge Amado era brasileiro e Santos Dumont era espanhol” é
uma sentença falsa.
A conjunção de sentenças A e B (considerando A e B como
sentenças quaisquer) será designada por (A ∧ B). A tabela de verdade para o conectivo
sentencial “∧” é como segue:
A
B
(A ∧ B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Notemos que existem quatro linhas na tabela, correspondendo ao
número de possíveis atribuições de valores de verdade a A e B.
(A ∧ B) é verdadeira quando e somente quando A e B são
verdadeiras. A e B são chamados os conjuntivos de (A ∧ B).
Esse uso do conectivo e concorda, razoavelmente bem, com a
maneira segundo a qual a expressão e é usada no discurso informal. Difere desse uso,
principalmente, pelo fato de que, na lógica sentencial, quaisquer duas sentenças A e B
podem ser unidas por esse conectivo sem que estejam relacionadas uma a outra no tema
que elas expressam, isto é, em seus respectivos conteúdos. Assim, por exemplo, as duas
sentenças “Jorge Amado era brasileiro” e “2 é um número par” podem ser unidas para
se obter a sentença composta “Jorge Amado era brasileiro e 2 é um número par”. No
discurso ordinário, esta sentença, talvez nunca seja usada, uma vez que não existe
“conexão” entre os conteúdos das duas sentenças. Mas, na lógica sentencial nenhuma
“conexão” deste tipo é requerida, nem neste caso nem no caso dos demais conectivos
sentenciais. O fato de não requerer tal conexão é que faz a lógica sentencial ser muito
mais simples do que poderia ser de outra maneira.
c) Disjunção:
Uma sentença composta da forma A ou B é chamada uma disjunção,
com A e B como seus disjuntivos.
Na linguagem natural existem dois usos do ou, o inclusivo e o
exclusivo. De acordo com o uso inclusivo, A ou B significa A ou B ou ambos, enquanto
que para o uso exclusivo, o significado é A ou B, mas não ambos.
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O conectivo para a disjunção é aqui entendido no chamado sentido
inclusivo; a disjunção é considerada verdadeira não somente nos casos em que um
disjuntivo é falso e o outro é verdadeiro, mas também no caso onde ambos os
disjuntivos são verdadeiros. Uma disjunção é falsa somente quando nenhum dos seus
disjuntivos é verdadeiro. Por exemplo, a disjunção “Jorge Amado era brasileiro ou
Jorge Amado era escritor” é uma sentença verdadeira, como também é verdadeira a
sentença “Jorge Amado era brasileiro ou Santos Dumont era espanhol”. Contudo, se
tomarmos a sentença “Santos Dumont era espanhol” para ambos disjuntivos, do lado
esquerdo e do lado direito, obtemos a sentença falsa: “Santos Dumont era espanhol ou
Santos Dumont era espanhol”.
Como já visto, foi introduzido um símbolo especial, ∨, para o
conectivo inclusivo. A tabela de verdade para (A ∨ B), portanto, é como segue
(lembrando que A e B representam proposições quaisquer):
A
B
(A ∨ B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Assim, (A ∨ B) é falsa quando e somente quando ambas A e B são
falsas. (A ∨ B) é chamada uma disjunção, com os disjuntivos A e B.
Para o uso exclusivo do ou usamos o símbolo ⊕. Como exercício, é
deixado para o leitor escrever a tabela de verdade deste conectivo.
d) Condicional:
Uma outra importante operação veri-funcional é a condicional, se A
então B , em símbolos (A → B).
A definição dos lógicos para este conectivo é reconhecidamente bem
peculiar, em desacordo com o uso ou os usos ordinários, da expressão se...então. Para
esta expressão, como para os casos de e e ou, não é exigido que as sentenças ligadas
por este conectivo tenham algo em comum nos seus conteúdos. Quaisquer duas
sentenças podem ser combinadas por meio do se...então e o resultado será considerado
sempre como uma sentença.
Em uma sentença da forma se A então B, a sentença A é chamada de
antecedente, e a sentença B é chamada de conseqüente. Uma sentença dessa forma será
falsa somente quando seu antecedente for verdadeiro e o seu conseqüente for falso.
Assim, por exemplo, as sentenças (1) “Se Jorge Amado era brasileiro então Jorge
Amado era escritor”; (2) “Se Santos Dumont era espanhol então Jorge Amado era
escritor”; (3) “Se Santos Dumont era espanhol então Santos Dumont era espanhol” são
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todas verdadeiras. Contudo, a sentença (4) “Se Jorge Amado era brasileiro então Santos
Dumont era espanhol” é uma sentença falsa.
A tabela de verdade para se A então B, em símbolos (A → B), onde A
e B representam sentenças quaisquer, é como segue:
A
B
(A → B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Observemos que os valores na tabela de verdade correspondentes aos
exemplos (1), (2) e (3) acima estão, respectivamente, nas linhas (1), (3) e (4). Na linha
2, observamos o único caso em que A → B é falsa: quando o antecedente é verdadeiro
e o conseqüente é falso.
Poder-se-ia objetar que esta tabela de verdade dificilmente exprimiria o
que entendemos ordinariamente pela expressão “implica logicamente”. E naturalmente
ela não o faz, nem estamos pretendendo aqui que ela o faça. A análise da implicação
formal (ou lógica) é, com certeza, uma tarefa fundamental da lógica dedutiva. Esta
análise, contudo, pode ser feita somente depois da lógica ter sido desenvolvida até um
certo ponto, e certamente não é dada pela tabela de verdade para se...então. De fato,
quando dizemos que uma sentença implica uma outra, mencionamos estas duas
sentenças, ao invés de usá-las. O que usaríamos ao dizer isso, não seriam essas próprias
sentenças, mas expressões que se referissem a elas. Seriam, por exemplo, nomes para
essas expressões (tais como o resultado de colocar aspas em volta das sentenças).
Contudo, os conectivos sentenciais situam-se entre as próprias sentenças, e não entre
nomes de sentenças. Só por essa razão, não poderíamos, na lógica sentencial, substituir
a expressão se...então pelo termo “implica”.
Além de querer, simplesmente, substituir a expressão se...então pelo
termo “implica”, poder-se-ia também propor que, se uma condicional se A então B é
verdadeira, então “a sentença A implica a sentença B”. Por exemplo, uma vez que a
sentença ‘se a neve é branca então a grama é verde’ é verdadeira, então a sentença ‘a
neve é branca’ implica a sentença ‘a grama é verde’. Mas, fazer isso seria usar o termo
‘implica’ num sentido muito mais fraco do que é ordinariamente usado. Não
utilizaremos o termo ‘implica’, desta maneira, neste livro, mas somente num sentido
muito mais forte, que estará mais próximo do sentido ordinário do termo ‘implica’ ou
‘implica logicamente’. Contudo, alguns lógicos usam a expressão ‘implica
materialmente’ neste sentido fraco, afirmando assim que ‘a neve é branca’ implica
materialmente ‘a grama é verde’, embora não implique logicamente ‘a grama é verde’.
Nós não seguiremos essa prática aqui, pois pode provocar confusão dizer, por exemplo,
que ‘a neve é branca’ implica ‘a grama é verde’ em um sentido qualquer do termo
‘implica’. Ao invés de seguir essa prática, diremos, simplesmente, que a condicional ‘se
a neve é branca , então a grama é verde’ é verdadeira.
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É preciso admitir, contudo, que o uso dos lógicos para a expressão
se....então representa um certo afastamento do uso ou dos usos ordinários dessa
expressão. Como os exemplos mostram, essa expressão não é, ordinariamente, usada
veri – funcionalmente, como é na lógica. Entretanto, o lógico não pretende permanecer
o mais perto possível do uso ordinário, mas, ao contrário, está preparado para se afastar
do uso corrente de um termo – às vezes a qualquer preço – se o objetivo é esclarecer
algum conceito que satisfaça melhor seus propósitos do que algum outro conceito ou
uso já existentes. No presente caso, o que satisfaz melhor a finalidade da lógica é aquela
prática, segundo a qual:
(a) quando o antecedente de uma condicional é verdadeira,
identificamos o valor-verdade da condicional com o valor de verdade de seu
conseqüente;
(b) quando o antecedente é falso, consideramos a condicional como
verdadeira.
e) Bicondicional:
Finalmente, temos o conectivo para a bicondicional: se e somente se. A
bicondicional A se e somente se B é verdadeira quando e somente quando as sentenças
A e B tem o mesmo valor de verdade; caso contrário, ela é falsa. Vejamos alguns
exemplos: (1) a sentença “Jorge Amado era escritor se e somente se era brasileiro” é
uma sentença verdadeira uma vez que são verdadeiras as sentenças “Jorge Amado era
brasileiro” e “Jorge Amado era escritor”. (2) Também é verdadeira a sentença “Santos
Dumont era espanhol se e somente se era toureiro” uma vez que tanto a sentença
“Santos Dumont era espanhol” como a sentença “Santos Dumont era toureiro” são
falsas. (3) A sentença “ Jorge Amado era escritor se e somente se era espanhol” é falsa,
já que é verdadeira a sentença “Jorge Amado era escritor” e falsa a sentença” Jorge
Amado era espanhol”. Vamos representar A se e somente se B por (A↔B) . Sua tabela
de verdade, então, é como segue:
A
B
(A ↔ B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
Os exemplos (1), (2) e (3), dados acima, correspondem na tabela de
verdade às linhas (1), (4) e (3), respectivamente.
Observações similares àquelas feitas em relação a se ...então aplicamse também a se e somente se. Dizer que a bicondicional entre duas sentenças é
verdadeira não é o mesmo que afirmar que essas duas sentenças sejam logicamente
equivalentes. O conceito de equivalência lógica será definido mais adiante.
É importante observar que esses conectivos sentenciais não são todos
independentes uns dos outros. Alguns deles podem ser introduzidos a partir de outros já
dados. Assim, considere os conectivos não e se...então. Podemos considerar todas as
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sentenças da forma A ou B como abreviações para sentenças da forma se não A então B
pois, como a tabela – verdade mostra, para dadas sentenças A e B, a sentença da
primeira forma é verdadeira se e somente se a sentença correspondente da segunda
forma é verdadeira. Similarmente, poderíamos considerar todas as sentenças da forma A
e B simplesmente como abreviações para sentenças da forma não(se A então não B); e
todas as sentenças da forma A se e somente se B como abreviações para sentenças da
forma se A então B, e se B então A.
Portanto, poderíamos, em princípio, dispensar os conectivos e, ou e se
e somente se todos de uma vez, ou considerar as sentenças contendo essas expressões
somente como abreviações definicionais de outras sentenças. A mesma coisa pode ser
feita, de maneira análoga, se começamos com não e e, ou com não e ou. (Fica a cargo
do leitor a demonstração desse fato).
Sabe-se, além disso, que todos os conectivos sentenciais podem ser
introduzidos em termos de apenas um dos dois conectivos abaixo (H.M.Sheffer, 1913):
A
B
Nem A nem B
Não ambos A e B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
O leitor pode verificar como introduzir os demais conectivos, a partir
dos conectivos de Sheffer, utilizando as definições de não A como nem A nem A e
não ambos A e A.
Cada um dos conectivos considerados anteriormente é um conectivo
veri – funcional, dando origem a contextos veri – funcionais. Isto significa que cada
aplicação destes conectivos, para sentenças dadas, origina um contexto, ou sentença
composta, cujo valor de verdade depende somente dos valores de verdade daquelas
sentenças. Em particular, o valor de verdade da sentença composta não depende de seu
significado ou do significado de suas sentenças constituintes. Podemos, então, substituir
qualquer sentença que ocorra nesses contextos por outra sentença, tendo o mesmo valor
de verdade, sem mudar o valor de verdade desse contexto.
Isso pode ser enunciado mais precisamente do seguinte modo: Para
quaisquer fórmulas A, B, C e D, se D resulta de C, substituindo-se uma ou mais
ocorrências de A em C por ocorrências de B, então se A e B têm o mesmo valor de
verdade, então C e D têm também o mesmo valor de verdade. Este é o Princípio de
Substituição para a lógica sentencial. Por exemplo, se em uma sentença composta A e
B, substituirmos B por qualquer outra sentença, tendo o mesmo valor que B, o valor de
verdade da sentença resultante será o mesmo da sentença original.
O discurso ordinário, contudo, contém diversos contextos sentenciais
que não são veri-funcionais. Por exemplo, ambas as expressões “acredita que....” e
“afirma que ...” dão origem a sentenças cujos valores-verdade não são veri-
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funcionalmente dependentes dos valores de verdade das sentenças que ocorrem nelas,
após essas expressões. Assim, por exemplo, embora a sentença “Aristóteles acreditava
que o mundo é redondo” seja verdadeira, quando substituímos sua sub-sentença,
verdadeira, “o mundo é redondo” pela sentença, também verdadeira, “a terra não é o
centro do universo”, o resultado é uma sentença que é falsa, isto é, com um valor de
verdade diferente do valor de verdade da sentença inicial. O contexto de crença não é,
portanto, um contexto veri-funcional.
Algumas vezes, os filósofos falam do valor-verdade de uma sentença
como sua extensão. Vimos, há pouco, que todos os contextos da lógica sentencial são
contextos veri-funcionais. Por essa razão, esses contextos são chamados,
freqüentemente, de contextos extensionais, e o Princípio da Substituição para a lógica
sentencial é referido como o Princípio da Extensionalidade. Além do mais, a própria
lógica sentencial é chamada de lógica extensional, no sentido de que todos os seus
contextos são extensionais.
Uma lógica que contém contextos de crença, por outro lado, seria uma
lógica não-extensional, nesse sentido. Um outro exemplo de lógica não-extensional é a
lógica modal, onde são estudados os contextos de necessidade e possibilidade. Embora,
as sentenças “Dois mais dois é igual a quatro” e “A neve é branca”, por exemplo, sejam
ambas verdadeiras, quando substituímos a primeira pela segunda na sentença verdadeira
“Necessariamente, dois mais dois é igual a quatro”, o resultado é uma sentença falsa,
qual seja: “Necessariamente, a neve é branca”.
Apesar de lógicas não – extensionais poderem ser importantes, do
ponto de vista filosófico, entretanto, para os objetivos da matemática tradicional, não é
necessário estudar tais lógicas. Assim, todos os sistemas que consideraremos neste livro
são extensionais em algum sentido apropriado.
Como uma última observação introdutória, lembramos que, além da
abordagem padrão de dois valores, para a lógica sentencial, na qual os únicos valores
sentenciais reconhecidos são o verdadeiro e o falso, os lógicos têm também estudado
abordagens chamadas poli –valentes, nas quais três ou mais valores sentenciais são
aceitos. Também existe a abordagem intuicionista, que difere da lógica sentencial
clássica por não aceitar sem restrições a lei do terceiro excluído, de acordo com a qual
toda sentença ou é verdadeira ou é falsa. Contudo, não vamos tratar, aqui, dessas
abordagens alternativas à lógica sentencial clássica.
1.3. Tabelas de verdade para formas sentenciais em geral.
Para cada atribuição de valores de verdade V ou F às letras sentenciais
que ocorrem numa forma sentencial qualquer, corresponde - em virtude das tabelas de
verdade para os conectivos proposicionais - uma tabela de verdade para esta forma
sentencial. Assim, cada forma sentencial determina uma função de verdade, que pode
ser graficamente representada por uma tabela de verdade. Por exemplo, a forma
sentencial (((~A)∨B)→C) tem a seguinte tabela de verdade, dada em forma de colunas:
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A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
(~ A)
F
F
F
F
V
V
V
V
((~A)∨B)
V
V
F
F
V
V
V
V
(((~A)∨B)→C)
V
F
V
V
V
F
V
F
Se existem n letras distintas numa forma sentencial, então existem 2n
possíveis atribuições de valores de verdade para as letras sentenciais e, portanto, 2n
linhas na tabela de verdade.
Uma tabela de verdade pode ser abreviada escrevendo somente a
forma sentencial completa, colocando os valores de verdade das letras sentenciais
embaixo de todas as ocorrências dessas letras, e escrevendo, passo a passo, o valor de
verdade de cada forma sentencial componente sob o conectivo principal da forma.
Como um exemplo, para ((A↔B)→((~A)∧B)), nós obtemos
(( A ↔ B) → (( ~ A) ∧ B))
VV V F FV FV
V F F V FV FF
F F V V VF VV
F V F F VF FF
Podemos também fazer a tabela de verdade fazendo a avaliação por
linhas. Consideramos uma linha de cada vez. Em cada uma, substituímos as letras
sentenciais na expressão pelo valor que elas têm na dada linha. Em seguida, de acordo
com as regras dos conectivos, damos o valor de cada conectivo que aparece na
expressão até obter o valor final para aquela linha. Vejamos um exemplo.
Considere a mesma forma sentencial dada acima:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
(( A ↔ B) → (( ~ A) ∧ B))
((V ↔ V) → ( (F) ∧ V)) = (V → F) = F
((V ↔ F) → ( (F) ∧ F)) = (F → F) = V
((F ↔ V) → ((V) ∧ V)) = (F → V) = V
((F ↔ F) → ( (V) ∧ F)) = (V → F) = F
Observemos que o valor final das quatro colunas do exemplo acima é
o mesmo da tabela abreviada feita anteriormente para esta mesma forma sentencial.
Exercício 3: Simbolize as proposições abaixo, dando uma notação para cada proposição
simples e escreva a tabela de verdade das mesmas.
3.a) Se tenho dinheiro então vou ao teatro e não vou ao cinema.
3.b) Se não trabalho ou não estudo, não obtenho bons resultados.
3.c) Não é verdade que vou ao teatro e não vou ao cinema.
3.d) Não ocorre que não estudo lógica e estudo metafísica.
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3.e) Vou ao teatro e ao cinema se e somente se tiver ingressos.
Exercício 4: Escreva as tabelas de verdade das formas sentenciais abaixo:
(4.a) ((A → (~B)) → ((~B) ↔ (~ A)))
(4.b) ((A ∨ B) ↔ ~((~A) ∧ (~ B)))
1.4) Algumas observações sobre o uso dos parênteses
Como já foi dito, os parênteses são usados como símbolos auxiliares
na formação de expressões mais complexas. São, nesse sentido, importantes para evitar
ambigüidades na leitura de formas sentenciais e para identificar o conectivo principal.
Entretanto, para evitar o uso excessivo de parênteses, o que dificultaria muito a leitura
das formas sentenciais, é desejável que se faça algumas convenções para a omissão de
alguns deles.
Daremos, a seguir, algumas convenções para eliminação de parênteses
que serão adotadas em todo o texto. Na notação rigorosa, nenhuma omissão deve ser
permitida; as omissões são permitidas somente em contextos informais.
(1) Na apresentação de exemplos de formas sentenciais complexas,
omitiremos o par de parênteses mais externos, uma vez que isto não levará a nenhuma
ambigüidade. (No caso de letras sentenciais, não existem parênteses exteriores)
(2) Os conectivos são ordenados na seguinte ordem crescente de
importância : ~, ∧, ∨, →, ↔. Os parênteses são eliminados de acordo com as seguintes
regras:
2.a) ~ se aplica à menor forma sentencial que o segue e;
2.b) ∧ liga as menores formas sentenciais que o circundam.
Similarmente para ∨, →, ↔.
(3) Seguindo uma ordem de importância, temos:
(3.a) ~ liga mais estritamente do que ∨ ou ∧, exceto quando este
alcança uma forma sentencial complexa que tenha estes conectivos ;
(3.b) ∨ e ∧ ligam mais estritamente do que →;
(3.c) → liga mais estritamente do que ↔.
Exemplo 1: Seguindo as regras acima, teríamos as seguintes eliminações de parênteses:
(A ↔ (((~B) ∨ C) →A)).
A ↔ (((~B) ∨ C) →A ) - regra 1
A ↔ ((~B) ∨ C) →A - (regras 2 ,2.b e 3.c)
A ↔ (~B) ∨ C →A - (regras 2, 2.b e 3.b )
A ↔ ~B ∨ C →A - (regras 2, 2.a e 3.a)
Observando de baixo para cima, podemos detectar o processo de
restaurar os parênteses desta forma sentencial.
Exemplo 2: Restaurando os parênteses da seguinte forma sentencial:
C∨~A∧B
C ∨ (~ A) ∧ B
14
C ∨ ((~ A) ∧ B)
(C ∨ ((~ A) ∧ B))
Exemplo 3: Aplicando a restauração de parênteses para várias ocorrências de um
mesmo conectivo - sendo este conectivo o ∧ ou ∨ ou → ou ↔ - em uma forma
sentencial, procedemos da esquerda para a direita:
A→~B→C
A → (~ B) → C
(A → (~ B)) → C
((A → (~ B)) → C)
Exemplo 4: Aplicando a restauração de parênteses para várias ocorrências consecutivas
de ~ em uma forma sentencial, procedemos da direita para a esquerda :
B→~~A
B → ~ (~ A)
B → (~ (~ A))
(B → (~ (~ A)))
Nem toda forma sentencial pode ser representada sem o uso de
parênteses. Por exemplo, os parênteses não podem ser completamente eliminados da
forma sentencial A → (B → C), uma vez que A → B → C é ((A → B) → C), pois
concencionamos que formas sentenciais que apresentem vários conectivos iguais,
devem ter seus parênteses colocados da esquerda para a direita. Também, parênteses
não podem ser removidos de ~ (A∨ B) ou de A ∧ (B → C).
Exemplo 5: Eliminando tantos parênteses quanto possíveis:
((A ↔B) ↔ (~ (C ∨ D)))
(A ↔B) ↔ (~ (C ∨ D))
(A ↔B) ↔ ~ (C ∨ D)
A ↔B ↔ ~ (C ∨ D)
Exercício 5: Restaure os parênteses das formas sentenciais abaixo:
5.a) A →B →C →A
5.b) A ∧ ~ B → C ∨ ~ A
Exercício 6: Elimine os parênteses das formas sentenciais abaixo (aqueles que forem
possíveis de serem eliminados):
6.1) (((A→(∼B)) ∧ A)→B)
6.2) (∼(A ∨ B) ↔ ((∼A) ∧ (∼B)))
I.5) Tautologias – Contradições – Contingências
Uma função de verdade de n argumentos é definida como uma função
de n argumentos, os argumentos e valores dos quais são os valores de verdade V ou F.
15
Como já foi dito, toda forma sentencial determina uma correspondente função de
verdade.
Uma forma sentencial que é sempre verdadeira, não importando quais
possam ser os valores de verdade de suas letras sentenciais, é chamada uma tautologia.
Isto é, uma forma sentencial é uma tautologia se e somente se sua correspondente
função de verdade toma somente o valor de verdade V, ou equivalentemente, se, em sua
tabela de verdade, a coluna abaixo do conectivo principal da forma sentencial contiver
apenas V’s.
Uma forma sentencial que assume sempre o valor de verdade F,
quaisquer que sejam os valores de verdade de suas formas sentenciais constituintes, isto
é, cuja tabela de verdade só apresenta F's abaixo do conectivo principal, é chamada uma
contradição.
Notemos que uma forma sentencial A é uma tautologia se e somente se
~A for uma contradição, e vice-versa.
Uma forma sentencial cuja tabela de verdade, abaixo do conectivo
principal, apresenta ambos os valores de verdade V e F é chamada uma contingência.
Exercício 7: Verifique se as formas sentenciais abaixo são tautologias ou não e
justifique a sua resposta:
(7.a) (A ∧ B) → A
(7.b) (A → B) → (~B → A)
Exercício 8: Confirme ou desaprove o que é afirmado abaixo e justifique a sua
resposta:
8.a) (P→Q)→(∼Q→∼P) é uma tautologia.
8.b) ∼(P ∧ Q) ∨ ∼(Q ∧ ∼ P) é uma contradição.
8.c) ((R ∨ (P ∧ Q)) →Q)→ (R →P) é uma contingência.
1.6) Implicações tautológicas e equivalências tautológicas.
Uma forma sentencial qualquer A implica tautologicamente uma
forma sentencial qualquer B - ou dito de outro modo, B é uma conseqüência tautológica
de A – quando e somente quando A → B for uma tautologia.
Exemplo: Seja A a forma sentencial A ∧ B, e seja B a forma sentencial A. Então, pela
definição, A ∧ B implica tautologicamente A se, e somente se (A ∧ B) → A for uma
tautologia.
Fazendo a tabela de verdade:
16
A B A ∧ B ( A ∧ B) → A
V V
V
V
V F
F
V
F V
F
V
F F
F
V
Considerando a tabela – verdade acima, a forma sentencial (A ∧ B) →A é uma
tautologia e, portanto, a forma sentencial A ∧ B implica tautologicamente a forma
sentencial A.
Exercício 9: Verifique se a forma sentencial (~A ∨ B) implica tautologicamente a
forma sentencial (~B → A).
Exercício 10: Confirme ou desaprove o que é afirmado abaixo:
10.a) ∼B → A implica tautologicamente ∼A → ∼B
10.b) A ↔B implica tautologicamente ( A→B) ∧ (B→A)
10.c) ∼A ∨ B implica tautologicamente B ∨ ∼ A
Duas formas sentenciais quaisquer A e B são tautologicamente
equivalentes quando e somente quando A ↔ B for uma tautologia.
Exemplo: Seja A a forma sentencial A→B e , seja B a forma sentencial ∼A ∨ B .
Então, pela definição, A→B é tautologicamente equivalente a ∼A ∨ B quando e
somente quando (A→B) ↔ (∼A ∨ B) for uma tautologia.
Verificando pela tabela de verdade:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
∼A
F
F
V
V
A→B
V
F
V
V
∼A ∨ B
V
F
V
V
(A→B)↔(∼A ∨ B)
V
V
V
V
Conferindo pela tabela – verdade acima, vemos que (A→B)↔(∼A ∨ B) é uma
tautologia e, portanto, A→B é logicamente equivalente a ∼A ∨ B.
Podemos observar que as formas sentenciais A→B e ∼A ∨ B tem os
mesmos valores na tabela- verdade acima. Isto é uma propriedade de todas as formas
sentenciais que são tautologicamente equivalentes entre si. Desse modo, podemos
também dizer que, duas ou mais formas sentenciais são tautologicamente equivalentes
se, e somente se elas tiverem a mesma tabela de verdade.
Exercício 11: Verifique, através da tabela-verdade, as seguintes equivalências
tautológicas:
11.a) (A ∧ B) ↔ (B ∧ A)
11.b) ((A ∧ B) ∧ C) ↔ (A ∧ (B ∧C)
11.c) ∼(A ∨ B) ↔ (∼A ∧ ∼B)
17
A seguir, serão destacados alguns importantes “esquemas” de
equivalências tautológicas. Dizemos “esquemas” porque A, B, C, etc representam
formas sentenciais quaisquer.
a) Equivalências envolvendo os conectivos →, ∨, ~ :
a.1) (A → B ) ⇔ (~ A ∨ B ) - Implicação Material (IM)
Neste tipo de equivalência há uma troca do conectivo → pelo conectivo ∨, negando o
antecedente, sem alterar o conseqüente (vale também o outro lado da equivalência:
troca do ∨ pelo → negando o primeiro disjuntivo, sem alterar o segundo disjuntivo).
O símbolo ⇔ está sendo utilizado na metalinguagem para expressar
uma relação de equivalência tautológica entre as formas sentenciais. Observemos que
para testar se as formas sentenciais são realmente equivalentes, através da tabela de
verdade, deve ser usado o símbolo ↔ da linguagem objeto. Para tornar mais claro o que
é dito aqui, define-se linguagem objeto como a linguagem que está sendo estudada (em
nosso caso, as letras sentenciais, os conectivos lógicos e os parênteses - como símbolos
auxiliares) e metalinguagem como a linguagem que é utilizada para estudar a linguagem
objeto (em nosso caso, o português e símbolos que não são da linguagem objeto como,
por exemplo, ⇔, ⇒, ⊃, { }, [ ], etc.)
a.2) (A → B ) ⇔ (~ B → ~ A ) - Contraposição (Cont.)
Uma forma sentencial que tem o → como conectivo principal é equivalente a uma outra
forma sentencial, também com o → como conectivo principal, sendo que há uma
mudança na posição do antecedente e do conseqüente e ambos são negados quando
mudam de posição.
b) Equivalências envolvendo os conectivos ∧ , ∨, ~ :
b.1) ~(A ∧ B) ⇔ (~ A ∨ ~ B) - De Morgan (D.M.)
b.2) ~(A ∨ B) ⇔ (~ A ∧ ~ B) - De Morgan (D.M.)
No item b.1, a negação de uma forma sentencial tendo o ∧ como conectivo principal é
equivalente a uma forma sentencial tendo o ∨ como conectivo principal e com seus
disjuntivos negados. (Vale também a inversa: Uma forma sentencial tipo disjunção, com
os seus disjuntivos negados, é equivalente à negação de uma forma sentencial tipo
conjunção com os seus conjuntivos afirmados).
O item b.2 é semelhante ao item b.1, havendo somente a mudança dos conectivos do
lado esquerdo e do lado direito do símbolo ⇔: a negação de uma forma sentencial tipo
disjunção é equivalente a uma forma sentencial tipo conjunção com os seus conjuntivos
negados (e vice – versa).
Para uma melhor assimilação do uso da equivalência De Morgan
(D.M.), apresentamos abaixo algumas variantes da mesma:
18
~(~ A ∨ B) ⇔ (A ∧ ~ B)
~(~ A ∨ ~ B) ⇔ (A ∧ B)
~(A ∧ ~ B) ⇔ (~ A ∨ B)
~(~ A ∧ ~ B) ⇔ (A ∨ B)
Dando continuidade a apresentação das equivalências envolvendo ∧ ,
∨, ~, temos as seguintes:
b.3) ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C)) - Associação (Ass.)
b.4) ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C)) - Associação (Ass.)
Convém observarmos que a equivalência acima se realiza entre formas sentenciais com
conectivos iguais ( ∧ ∧ ) ou então (∨ ∨) . Observemos, também, que no item b.3., a
forma sentencial do lado esquerdo do ⇔ tem como conectivo principal o segundo ∧ (da
esquerda para a direita). A sua equivalente do lado direito do ⇔ tem como conectivo
principal o primeiro ∧. O mesmo pode ser observado em relação à equivalência do item
b.4. Na realidade, ocorre apenas uma mudança na posição dos parênteses nas formas
sentenciais que estão do lado esquerdo do ⇔, ocasionando uma mudança do conectivo
principal nas formas sentenciais que estão do lado direito do ⇔.
b.5) (A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
- Distribuição (Dist.)
b.6) (A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C))
- Distribuição (Dist.)
Ao contrário da equivalência apresentada nos itens b.3 e b.4 (Associação), a
distribuição é uma equivalência que se verifica entre formas sentenciais que apresentam
ao mesmo tempo os conectivos ∨, ∧.
É importante notar que no item b.5, a forma sentencial que está do lado esquerdo do
símbolo ⇔ tem como conectivo principal o ∧. A subforma dentro dos parênteses tem
como conectivo principal o ∨ . A forma sentencial do lado direito é o resultado da
distribuição do ∧ com os dois disjuntivos que estão na subforma do lado esquerdo da
equivalência. Observe, portanto, que do lado direito da equivalência, o conectivo
principal passou a ser o ∨. Observação similar vale para o item b.6.
b.7) (A ∧ A) ⇔ A
b.8) (A ∨ A) ⇔ A
- Idempotência (Idemp.)
- Idempotência (Idemp.)
b.9) (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) – Comutação (Com.)
b.10) (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A) – Comutação (Com.)
Na equivalência do item b.9, uma forma sentencial cujo conectivo principal é o ∧
mantém a mesma tabela de verdade quando a posição dos seus dois conjuntivos é
mudada. Observe que do lado esquerdo do ⇔ a forma sentencial A é o primeiro
conjuntivo, passando a ser o segundo conjuntivo do lado direito. A forma sentencial B,
19
que é o segundo conjuntivo do lado esquerdo do ⇔, passa a ser o primeiro conjuntivo
do lado direito.
Observação similar pode ser feita em relação à disjunção na equivalência apresentada
no item b.10.
A comutação também vale para o ↔. Esta será apresentada no item c,
a seguir.
c) Equivalências envolvendo os conectivos ↔ , →, ∧:
c.1) (A ↔ B) ⇔ (B ↔ A) – Comutação (Com.)
Para a equivalência acima, valem as mesmas observações feitas no item b.9.
c.2) (A ↔ B) ⇔ ((A → B) ∧ (B → A)) – Equivalência Material (E. M.)
Uma forma sentencial do tipo bicondicional (lado esquerdo do símbolo ⇔) é
equivalente à uma conjunção de duas condicionais (lado direito do símbolo ⇔), sendo a
primeira condicional escrita na forma direta (indicando condição suficiente) e a segunda
condicional escrita na forma inversa (indicando condição necessária).
d) Equivalência envolvendo o conectivo ~:
Além das equivalências envolvendo a negação, já apresentadas,
destacamos a seguinte equivalência:
~~A⇔A
- Dupla Negação (D.N)
A negação de uma forma sentencial que já está negada é equivalente a uma forma
sentencial afirmada.
Por meio de tabelas de verdade, nós temos procedimentos efetivos
para determinar se uma forma sentencial é uma tautologia, e para determinar se uma
forma sentencial implica tautologicamente ou é tautologicamente equivalente a uma
outra forma sentencial.
Falaremos, portanto, do teste de tabela-verdade como um teste
mecânico, ou um teste efetivo. Estamos usando o conceito intuitivo de mecânico, ou de
efetivo. A título de ilustração, podemos dizer que a matemática familiar nos fornece um
grande número de procedimentos efetivos. Por exemplo, o método para determinar a
soma e o produto de quaisquer dois números, o método para extrair a raiz quadrada, e o
método para resolver equações quadráticas, são procedimentos efetivos. Estes
procedimentos são chamados freqüentemente de algoritmos. São procedimentos
efetivos ou algorítmicos no sentido de que eles nos fornecem instruções para determinar
algo de uma maneira sistemática, passo a passo. Qualquer conceito que é definido, de
maneira que exista um procedimento efetivo para determinar se esse conceito se aplica a
cada caso particular, é chamado de conceito efetivamente definido.
20
1.7) Algumas conseqüências das definições dadas
Proposição 1.1:
Se A e A→B são tautologias, então B é uma tautologia.
Prova: (Por redução ao absurdo, isto é, assumindo a negação do que se quer provar.
Com isto se chega a uma contradição, o que significa que aquilo que foi assumido como
hipótese não vale e conseqüentemente vale a conclusão.)
Assuma o seguinte: (1) A é uma tautologia
(2) A→B é uma tautologia
(3) B não é uma tautologia (hipótese da redução
ao absurdo).
Pela hipótese (3), B toma o valor F para alguma atribuição de valor de
verdade às suas letras sentenciais. Como pela hipótese (1) A sempre toma o valor V
para qualquer atribuição de valores de verdade às suas letras sentenciais, então, em
alguma atribuição de valores para as letras sentenciais de A e B, A toma o valor V e B
toma o valor F e, portanto, A→B toma o valor F. Mas, isto contradiz a hipótese (2).
Logo, B não pode tomar o valor F e assim, B é uma tautologia.
Proposição 1.2
Se A é uma tautologia contendo como letras sentenciais A1,A2,
A3,...,An e B vem de A por substituir A1,A2,....,An por formas sentenciais C1, C2,...,Cn,
respectivamente, então B é uma tautologia; ou seja, substituição em uma tautologia
produz uma tautologia.
Exemplo:
Seja A: (A1 ∧ A2) → (A1 ∨ A2) - Tautologia
Seja C1: (B ∧ C)
Seja C2: (C ∨ D)
Então, B é : ((B ∧ C) ∧ (C ∨ D)) → ((B ∧ C) ∨ (C ∨ D)) - Tautologia
Prova:
Tome como hipóteses:
(1) A é uma tautologia contendo como letras sentenciais A1, A2,...,An
(2) B vem de A substituindo A1, A2,...,An por formas sentenciais C1,
C2,...,Cn, respectivamente
Devemos provar que B é uma tautologia.
Para qualquer atribuição de valores de verdade às letras sentenciais de
B, as formas sentenciais C1,...,Cn tem os valores de verdade x1,...,xn (onde cada xi é V ou
F).
Se nós assinalarmos os valores x1,...,xn para C1,...,Cn, respectivamente,
então o valor de verdade resultante de A é o valor de verdade de B para a dada
21
atribuição de valores de verdade. Uma vez que A é uma tautologia, pela hipótese (1),
esse valor deve ser V. Logo, B sempre toma o valor V e, portanto, é uma tautologia.
Ilustrando o exemplo dado acima, temos :
A: (A1 ∧ A2) → ( A1 ∨ A2)
(x1) F
V(x2) (x1) F
F
- Tautologia
V (x2)
V
V ( para este assinalamento)
B: ((B ∧ C) ∧ (C ∨ D)) → ((B ∧ C) ∨ (C ∨ D))
V F
F
(x1) F
V
V
V (x2)
F
F
(x1) F
- Tautologia
V
V (x2)
F
V
V
Proposição 1.3:
Se B1 vem de A1 por substituir A por uma ou mais ocorrências de B,
então (A ↔ B) → (A1 ↔ B1) é uma tautologia. Portanto, se A e B são
tautologicamente equivalentes, então A1 e B1 são tautologicamente equivalentes.
Exemplo: Seja A: A→B
Seja B: A ∨ B
((A → B) ↔ A ∨ B)) → (B → A → B)) ↔ B → (A ∨ B))
1424
3
1
424
3
1
424
3
1
424
3
A
B
A
B
144244
3
14
4244
3
A1
B1
Prova:
Considere qualquer assinalamento de valores de verdade para as letras
sentenciais. Vamos considerar dois casos:
1º) A e B tem valores de verdade opostos nesse assinalamento:
Então, A ↔ B toma o valor F.
Portanto, (A ↔ B) → ( A1 ↔ B1) toma o valor V
22
2º) A e B tem os mesmos valores de verdade. Então A1 e B1 tem também os mesmos
valores, já que B1 difere de A1 somente por conter B em alguns lugares onde A1 contém
A. Assim, neste caso, A ↔ B é V e A1 ↔ B1 também é V.
Logo, ((A ↔B) → (A1 ↔ B1)) é V.
O leitor não deve ter dificuldades em verificar que os seguintes
resultados seguem facilmente das definições e proposições acima (onde A, B e C são
fórmulas quaisquer):
(1) A implica tautologicamente B se e somente se a condicional A →
B for uma tautologia.
(2) A e B são tautologicamente equivalentes se e somente se a
bicondicional A ↔ B for uma tautologia.
(3) Se Γ é uma classe de tautologias, e A é uma conseqüência
tautológica de Γ então A é uma tautologia.
(4) Se A implica tautologicamente B, e B implica tautologicamente C,
então A implica tautologicamente C. Portanto, implicação tautológica é transitiva.
(5) A é equivalente a A.
(6) Se A é equivalente a B então B é equivalente A.
(7) Se A é equivalente a B e B é equivalente C então A é
equivalente a C.
(8) Quaisquer duas tautologias são tautologicamente equivalentes.
(9) Uma tautologia é implicada tautologicamente por qualquer fórmula
(ou classe de fórmulas); e uma fórmula tautologicamente inconsistente implica
tautologicamente qualquer fórmula.
(10) Uma fórmula A é uma tautologia se e somente se ela for implicada
tautologicamente pelo conjunto vazio de fórmulas (isto é, o conjunto que não tem
nenhuma fórmula).
Vamos demonstrar esta última proposição.
Temos uma parte dela pelo item (9), pois se A for uma tautologia, então
ela é implicada tautologicamente pelo conjunto vazio. Para estabelecer a outra parte,
suponhamos que A é tautologicamente implicada pelo conjunto vazio. Então todas as
atribuições de valores de verdade para as letras sentenciais que ocorrem em A e nas
fórmulas do conjunto vazio, e que tornam verdadeiras as fórmulas do conjunto vazio,
23
também tornam A verdadeira. Mas, uma vez que não existem fórmulas no conjunto
vazio, tais atribuições tornam essas fórmulas vacuamente verdadeiras. Desse modo, A é
verdadeira em qualquer atribuição de valores de verdade. Portanto, A é uma tautologia.
Fica, assim, demonstrada a proposição (10).
Observemos que a implicação tautológica é uma forma especial de
implicação lógica. Trata-se da implicação lógica que decorre somente dos significados
dos conectivos sentenciais. Definiremos um conceito geral de implicação lógica mais
adiante, onde a implicação tautológica será incluída formalmente na implicação lógica.
E, similarmente, para a equivalência tautológica e a equivalência lógica.
Exercício 12: Diga, em cada linha (a partir da linha 02), qual(quais) a(s) equivalência(s)
foi (foram) utilizada(s) para fazer a substituição da forma sentencial (ou da subforma
sentencial) da linha anterior pela sua equivalente :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
∼ (A ∧ B) ∨ (B ∨ C) - Forma sentencial dada (f. s.d)
(∼A ∨ ∼B) ∨ (B ∨ C)
_____________
(∼A ∨ ∼B) ∨ ∼ (∼B ∧ ∼C) ______________
(A → ∼B) ∨ ∼ (∼B ∧ ∼C) ______________
∼ (A → ∼B) → ∼ (∼B ∧ ∼C) _____________
(∼B ∧ ∼C) → (A → ∼B)
_____________
(∼B ∧ ∼C) → (B → ∼ A) ______________
(∼C ∧ ∼B) → (B → ∼ A) ______________
Exercício 13: Complete cada linha da cadeia de equivalências abaixo, de acordo com o
que está sendo solicitado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
A → (B ∨ C) - f.s.d.
__________________________ 1/IM (Conectivo Principal)
__________________________ 2/ Ass.
__________________________ 3/DM (10 Disjuntivo)
__________________________ 4/IM
__________________________ 5/ Cont.
__________________________ 6/ Com. (Consequente)
Exercício 14:A partir da forma sentencial dada, construa uma cadeia de equivalências,
utilizando o número máximo de linhas delimitado abaixo:
1) (A ∨ B) → C
- f. s. d.
2) __________________________
3) __________________________
4) __________________________
5) __________________________
1.8) Dualidade:
24
Se A é uma forma sentencial envolvendo somente ~, ∧ e ∨, e A' vem
de A pela substituição de cada ∧ por ∨ e cada ∨ por ∧, mostre que:
(I) A é uma tautologia se e somente se ~A' é uma tautologia.
(II) Se A →B é uma tautologia então B' → A' é uma tautologia.
(III) Se A ↔ B é uma tautologia então A' ↔ B' é uma tautologia.
Prova de (I)
(⇒) : Provaremos que, se A é uma tautologia, então ~A' é uma tautologia.
Assumiremos como hipótese: A é uma tautologia.
Provaremos: ~A' é uma tautologia.
Se A é uma tautologia (por hipótese), substituímos todas as letras sentenciais de A por
suas negações. Então obtemos uma tautologia (pela proposição 1.2). Depois jogamos
para fora todas os novos símbolos de negação (usando equivalências). O resultado é
~A' e é uma tautologia.
Exemplo:
A é A ∨ ~A - Tautologia
Substituindo as letras sentenciais por suas negações, fica : ~ A ∨ ~~A.
Jogando os novos símbolos de negação para fora (usando equivalências), temos:
~ (A ∧ ~A)
A’
(⇐ ): Provaremos que, se ~A' é uma tautologia então A é uma tautologia.
Assumiremos como hipótese: ~A' é uma tautologia.
Provaremos: A é uma tautologia.
Se ~A' é uma tautologia, seja B, ~A'. Pela 1ª parte, como B é uma tautologia (por
hipótese), temos que ~B' é uma tautologia. Mas ~B' é ~~A. Portanto, A é uma
tautologia.
Entendendo melhor, através de um exemplo (tomando o exemplo anterior):
~A' é ~ ( A ∧ ~ A ) - Tautologia
Chame ~A' de B, isto é, ~ ( A ∧ ~ A ) é B.
Então B' é ~ ( A ∨ ~ A)
Assim, ~B' é ~~( A ∨ ~A)
A
25
Ora, pela 1ª parte, se B é uma tautologia, então ~B' é também uma tautologia. Mas, ~B'
é ~~A que é equivalente a A. Logo, A é uma tautologia.
Prova de (II):
A → B é equivalente a ~A ∨ B que por sua vez é equivalente a B ∨ ~ A. Esta forma
sentencial só é constituída de ~, ∧, ∨, e é uma tautologia (por hipóteses). Chame a
forma B ∨ ~A de Z.
Ora, Z' vem de Z trocando ∨ por ∧ e vice-versa.
Então, Z' é B' ∧ ~ A'.
Pela parte (I) já provada, se Z é uma tautologia, então ~Z' é uma tautologia, isto é, ~(
B' ∧ ~A') é uma tautologia. Usando equivalências, temos que ~ ( B' ∧ ~A') é
equivalente a B' → A'. Mas, isto é o que queríamos provar.
Vamos mostrar um exemplo:
Seja A → B a forma sentencial (A ∧ ~A) → (B ∧ C) - Tautologia.
Usando equivalências, temos:
((A ∧ ~ A) → (B ∧ C)) ⇔ (~(A ∧ ~A) ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((B ∧ C) ∨ ~(A ∧ ~A)).
Chamemos (B ∧ C) ∨ ~(A ∧ ~A) de Z e lembremos que Z é uma tautologia.
Então Z' é (B ∨ C) ∧ ~(A ∨ ~A). Pela parte (I), ~Z' é uma tautologia já que Z é
tautologia. Isto é, ~((B ∨ C) ∧ ~(A ∨ ~A)) é uma tautologia. Mas, esta forma sentencial
é equivalente a (B ∨ C) → (A ∨ ~A), isto é, B' → A'.
Logo, B' →A' é uma tautologia.
Prova de (III):
Por hipótese A ↔B é uma tautologia. Mas, A ↔B é equivalente a (A
→ B ) ∧ (B → A), que por sua vez é equivalente a (~A ∨ B ) ∧ (~B ∨ A).
Chamemos esta forma sentencial de Z. Então, Z´ é ((~A´ ∧ B´ ) ∨ (~B´ ∧ A´ )).
Assim, ~ Z´ é ~ ((~A´ ∧ B´ ) ∨ (~B´ ∧ A´ )). Como Z é uma tautologia, então ~ Z´ é
uma tautologia (Proposição 1.3). Usando equivalências, ~ Z´ é equivalente a:
~ ((~B´ ∧ A´) ∨ (~A´ ∧ B´ )) – Comutação.
~ (~ (B´ ∨ ~A´) ∨ ~ (A´ ∨ ~B´ )) – De Morgan (nos dois disjuntivos).
~ (~ (~B´ → ~A´) ∨ ~ (~A´ → ~B´ )) – Implicação material (nos dois disjuntivos).
~ (~ (A´ → B´) ∨ ~ (B´ → A´ )) – Contraposição (nos dois disjuntivos).
(A´ → B´) ∧ (B´ → A´ ) – De Morgan
Mas, (A´ → B´) ∧ (B´ → A´ ) é A´ ↔B ´ e é uma tautologia, pois ~ Z´ é uma
tautologia.
26
Vejamos um exemplo:
Seja A ↔B a seguinte forma sentencial: (A ∧ B) ↔ (B ∧ A) – Tautologia.
1) (A ∧ B) ↔ (B ∧ A) é equivalente a ((A ∧ B) → (B ∧ A)) ∧ ((B ∧ A) → (A ∧ B));
2) ((A ∧ B) → (B ∧ A)) ∧ ((B ∧ A) → (A ∧ B)) é equivalente a (~ (A ∧ B) ∨ (B ∧ A)) ∧
(~ (B ∧ A) ∨ (A ∧ B));
3) Chamemos (~ (A ∧ B) ∨ (B ∧ A)) ∧ (~ (B ∧ A) ∨ (A ∧ B)) de Z;
4) Z´ é (~ (A ∨ B) ∧ (B ∨ A)) ∨ (~ (B ∨ A) ∧ (A ∨ B));
5) ~Z´ é ~ ((~ (A ∨ B) ∧ (B ∨ A)) ∨ (~ (B ∨ A) ∧ (A ∨ B)));
6) Pela 1a parte, ~Z´ é uma tautologia. Usando equivalências, temos:
7) ~ ((~ (B ∨ A) ∧ (A ∨ B)) ∨ (~ (A ∨ B) ∧ (B ∨ A))) – Comutação (ver linha 5);
8) ~ (~ ((B ∨ A) ∨ ~ (A ∨ B)) ∨ ~ ((A ∨ B) ∨ ~ (B ∨ A))) – De Morgan;
9) ~ (~ (~(B ∨ A) → ~ (A ∨ B)) ∨ ~ (~ (A ∨ B) → ~ (B ∨ A))) – Implicação Material;
10) ~ (~ ((A ∨ B) → (B ∨ A)) ∨ ~ ((B ∨ A) → (A ∨ B))) – Contraposição;
11) ((A ∨ B) → (B ∨ A)) ∧ ((B ∨ A) → (A ∨ B)) – De Morgan;
12) (A ∨ B) ↔ (B ∨ A) – Equivalência Material.
13) Mas, (A ∨ B) ↔ (B ∨ A) é A´ ↔B´ e é uma tautologia.(Isto é o queríamos
provar).
Exercício 15:
15.a) A é ~(A ∧ B) ∨ B e é uma tautologia. Mostre que ~A' é também uma tautologia.
15.b) ~A' é ~(~(A ∨ B) ∧ B) e é uma tautologia. Mostre que A é uma tautologia.
15.c) Seja A → B : (A ∨ B) → (B ∨ A) - Tautologia.
Mostre que B' → A' é uma tautologia.
Nas formas sentenciais constituídas somente de ∧, ∨, ~, podemos
derivar uma equivalência lógica a partir de outra equivalência lógica, seguindo os
procedimentos abaixo:
a) Nega os dois lados da bicondicional (continua sendo uma tautologia)
b) Troca todas as letras sentenciais por suas negações (uso da Proposição1.2)
c) Usa De Morgan quantas vezes sejam necessárias.
Vejamos um exemplo:
Derive (A ∨ (B ∧ C)) ↔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) a partir de (A ∧ (B ∨ C)) ↔ ((A ∧ B) ∨
(A ∧ C)).
Então, começamos com (A ∧ (B ∨ C)) ↔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) e seguimos os
procedimentos ditos acima:
(a) Nega os dois lados da bicondicional:
~(A ∧ (B ∨ C)) ↔ ~((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
(b) Troca todas as letras sentenciais por suas negações:
~(~A ∧ (~B ∨ ~C)) ↔ ~((~A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~C))
(c) Usa De Morgan:
27
(c.1) (A ∨ ~ (~B ∨ ~ C)) ↔ (~(~A ∧ ~B) ∧ ~(~A ∧ ~C))
(c.2) (A ∨ (B ∧ C)) ↔((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) - Esta é a equivalência desejada no início do
exercício.
Exercício 16:
16.a) Derivar ((A ∨ B) ⇔ (B ∨ A)) a partir de ((A ∧ B) ⇔ (B ∧ A)).
16.b) Derivar (((A ∨ B) ∧ ~B)⇔ (A ∧ ~B)) a partir de (((A ∧ B)∨~B) ⇔ (A∨~B)).
16.c) Derivar ((A ∧ (A ∨ B)) ↔ A) a partir de ((A ∨ (A ∧ B)) ↔ A)
Se A é uma forma sentencial envolvendo somente ~, ∧ , ∨, então
chamamos A* a forma sentencial resultante de trocarmos ∧ por ∨ e vice-versa e
substituirmos cada letra sentencial por sua negação. Pode-se provar que A* é
equivalente a ~A.
Prova:
A prova é por indução sobre o grau de A, isto é, sobre o número de ocorrências
de ∧ e ∨ em A.
Base: A é de grau zero. Então A é uma letra sentencial afirmada ou uma letra sentencial
negada.
Caso 1: A é uma letra sentencial A. Então A ↔A é uma tautologia. Ora, ~A ↔~A é
uma tautologia. Mas, ~A é A* (por definição). Logo, ~A ↔ A*.
Caso 2: A é uma letra sentencial negada, isto é, ~A. Então A ↔~A é uma tautologia.
Mas, ~A ↔~~A é uma tautologia. Ora, ~~A é A* (por definição). Logo, ~A ↔ A*.
Hipótese da indução: ~B ↔ B* e ~C ↔ C*.
O que queremos provar vale para B e C , já que B e C tem menor número de
ocorrências de ∧ e ∨ do que B ∧ C e B ∨ C .
Passo indutivo:
Caso 1: Seja A, a forma sentencial B ∧ C .
Então, A ↔(B ∧ C) é uma tautologia. Mas, ~A ↔ ~( B ∧ C) continua sendo uma
tautologia. Usando equivalência, temos ~A ↔ (~B ∨ ~C) é também tautologia. Pela
hipótese da indução, temos que ~A ↔ ( B* ∨ C*) . Por definição, temos ~A ↔ ( B ∧
C ) *. Mas, ( B ∧ C ) * é A*. Logo, ~A ↔ A*.
Caso 2: Seja A, a forma sentencial B ∨ C . Então, A ↔(B ∨ C) é uma tautologia.
Mas, ~A ↔ ~( B ∨C) é uma tautologia. Usando equivalência, temos ~A ↔ (~B ∧
~C) é tautologia. Pela hipótese da indução, temos que ~A ↔ ( B* ∧ C*) . Por
definição, temos ~A ↔ ( B ∨ C ) *. Mas, ( B ∨C ) * é A*. Logo, ~A ↔ A*.
28
Exemplo:
Considere a forma sentencial abaixo:
(~A ∧ ~B) ∨ ~C - Chame esta forma sentencial de B
Então: (1) B* é (~~A ∨ ~~B) ∧ ~~C)
(2) ~B é ~((~A ∧ ~B) ∨ ~C))
Pelo que foi dito na proposição acima, (1) e (2) são equivalentes e isto pode ser
mostrado através de tabela de verdade ou pelo uso de equivalências.
Exercício 17: Considere a seguinte forma sentencial: (A ∨ ~ B) ∧ ~C - Chame-a de K
.(17.a) Identifique K*
(17.b) Identifique ~K
(17.c) Mostre que K* e ~K são equivalentes.
Exercício 18: Seja A a forma sentencial: (A ∨ ~B) ∧ A ∧ (~C ∨ (A ∧ C)). Descubra
uma forma sentencial equivalente à negação de A, na qual ~ aplica-se somente a letras
sentenciais.
1.9. Conjuntos adequados de conectivos
Toda forma sentencial contendo n letras sentenciais gera uma
correspondente função - verdade de n argumentos e esta função - verdade pode ser
exposta por meio de uma tabela - verdade. O problema recíproco se coloca: Para toda
função – verdade dada, existe uma forma sentencial que a determina? Vamos provar na
proposição 1.4 que isto acontece e que a forma sentencial que determina a função
envolve apenas os conectivos ~, ∧, ∨.
Proposição 1.4:
Toda função de verdade é determinada por uma forma sentencial
envolvendo os conectivos ~, ∧, ∨.
Prova: Para uma melhor compreensão, vamos dar a prova acompanhada com um
exemplo.
(i) Seja f(x1,...xn) uma função de verdade. Claramente, f pode ser representada por
uma tabela-verdade de 2n linhas, onde cada linha representa alguma atribuição de
valores – verdade para as variáveis x1,...xn, seguida pelo correspondente valor de
f(x1,...xn).
Para f(x1,...xn):
x1
V
F
V
F
x2
V
V
F
F
........
........
........
........
........
xn
V
V
V
V
F(x1,x2,......xn)
.
.
.
.
29
.
.
.
.
........
........
.
.
.
.
Na construção de uma forma sentencial apropriada para f(x1,...xn) devemos associar
letras sentenciais A1,......,An às variáveis x1,....xn.
Seguindo com um exemplo:
Seja f(x1,x2). Então f pode ser representada por uma tabela – verdade.
x1
V
V
F
F
x2
V
F
V
F
f(x1,x2)
F
F
V
V
Na construção de uma forma sentencial apropriada para f(x1,x2), devemos associar as
letras sentenciais A1, A2 às variáveis x1, x2.
(ii) Se 1≤ i ≤ 2n, seja Ci a conjunção Ui1 ∧ Ui2 ∧ ..... ∧ Uin, onde Uij é Aj se
na ith linha da tabela – verdade xj toma o valor V, e Uij é ~Aj se xj toma o valor
F.
No exemplo acima:
- na terceira linha: C3 é ~A1 ∧ A2
- na quarta linha: C4 é ~A1 ∧~A2
(iii) Seja D a disjunção de todos os Ci ´s tal que f toma o valor V para a ith linha
da tabela-verdade (Se não existem tais linhas, então f toma sempre o valor F e
consideramos D como A1 ∧~A1 que satisfaz o teorema. Certamente, qualquer
contradição determina f).
No exemplo dado:
D é (~A1 ∧ A2) ∨ (~A1 ∧~A2)
(iv) Agora vamos mostrar que D determina (ou gera) a função – verdade f, isto
é, que D tem f como sua função – verdade correspondente.
Seja dada uma atribuição de valores-verdade para as letras sentenciais A1,......,An
e assumamos que a atribuição correspondente para as variáveis x1,....xn é a linha
K da tabela – verdade para f. Então, CK toma o valor V para esta atribuição, na
qual todos os outros Ci ´s tomam o valor F.
Se f toma o valor V para a linha K, então CK é um disjuntivo de D. Assim, D
toma também o valor V para esta atribuição.
30
Se f toma o valor F para a linha K, então CK não é um disjuntivo de D e todos os
disjuntivos de D tomam o valor F para esta atribuição. Desse modo, D também
toma o valor F. Logo, D gera (ou determina) a função de verdade f.
Tomando o exemplo anterior (dado no item (i)):
D é (~A1 ∧ A2) ∨ (~A1 ∧~A2)
a) Seja dada uma atribuição de valores-verdade para as letras sentenciais A1, A2;
b) Assumamos que a correspondente atribuição de valores para as variáveis x1,x2 é a
linha 1 da tabela-verdade para f.
C1
C2
C3
C4
A1
V
V
F
F
A2
V
F
V
F
D
?
?
?
?
c) Então, C1 toma o valor V para esta atribuição e todos os outros Ci ´s tomam o valor F
(para a mesma atribuição).
C1 é A1 ∧ A2
C2 é A1 ∧ ~A2
C3 é ~A1 ∧ A2
C4 é ~A1 ∧ ~A2
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
d) Para a linha 1 da tabela feita para f(x1,....x2), f toma o valor F (ver tabela feita no
item (i)). Então, C1 não é um disjuntivo de D e todos os disjuntivos de D tomam o
valor F para esta atribuição. Logo, D toma também o valor F.
e) Na linha 2 da tabela para f(x1,....x2), f toma o valor F. Então, C2 é a linha 2 da tabelaverdade para F e tem valor V para esta atribuição, e todos os outros Ci ´s tomam o valor
F.
C2 é A1 ∧ ~A2
C1, C3 e C4 tomam o valor F
V V
V
Como f toma o valor F nesta linha, então C2 não é um disjuntivo de D e todos os
disjuntivos de D tomam o valor F para esta atribuição. Logo, D toma também o valor
F.
f) f tem o valor V na linha 3 da tabela – verdade. Então C3 é a linha 3 da tabela-verdade
e toma o valor V para esta atribuição de valores dada e todos os outros Ci ´s tomam o
valor F.
C3 é ~A1 ∧ A2
C1, C2 e C4 tomam o valor F
V V
V
Como f toma o valor V nesta linha, então C3 é um disjuntivo de D. Como C3 toma o
valor V para esta atribuição, D toma também o valor V.
31
g) f tem o valor V na linha 4 da tabela – verdade. Então C4 é a linha 4 da tabela-verdade
e toma o valor V para esta atribuição de valores dada e todos os outros Ci ´s tomam o
valor F.
C4 é ~A1 ∧ ~A2
C1, C2 e C3 tomam o valor F.
V V
V
Como f toma o valor V nesta linha, então C4 é um disjuntivo de D. Como C4 toma o
valor V para esta atribuição, D toma também o valor V.
Logo, D , isto é, (~A1 ∧ A2) ∨ (~A1 ∧~A2) gera (ou determina) a função verdade
f(x1,x2).
Completando a tabela-verdade para D , com base nos itens (d) , (e), (f) e (g), temos:
A1
A2
D
C1
V
V
F
C2
V
F
F
C3
F
V
V
C4
F
F
V
Exercício 19: Descubra formas sentenciais nos conectivos ~, ∧, ∨ que tenham as
seguintes funções de verdade:
x1
V
V
V
V
F
F
F
F
x2
V
V
F
F
V
V
F
F
x3
V
F
V
F
V
F
V
F
f (x1,x2,x3)
V
V
V
F
F
F
F
V
g (x1,x2,x3)
V
V
V
F
V
F
V
F
h (x1,x2,x3)
V
V
F
F
V
V
F
F
j (x1,x2,x3)
V
V
F
F
F
F
F
V
Por um conjunto adequado de conectivos entende-se ser uma coleção
β de conectivos tal que toda função de verdade é determinada por uma forma sentencial
nos conectivos de β. Então, pelo que foi dito acima, {~,∧,∨} é um conjunto adequado
de conectivos.
Como um corolário do resultado acima, podemos provar que toda
função de verdade corresponde a uma forma sentencial contendo como conectivos
somente ∧ e ~, ou somente ∨ e ~, ou somente → e ~. Isto é, cada um dos conjuntos
{~,∧}, {~,∨} e {~,→} é um conjunto adequado de conectivos.
Prova do corolário:
Pela Proposição 1.4, {~,∧,∨} é um conjunto adequado de conectivos.
Mas, substituindo-se qualquer forma sentencial A ∨ B pela sua equivalente ~ (~A ∧
32
~B), obtemos, para toda forma sentencial em {~,∧,∨} uma forma sentencial
logicamente equivalente em {~,∧}.
Para {~,∨}, procedemos como acima, substituindo toda forma
sentencial A ∧ B pela sua equivalente ~ (~A ∨ ~B ).
Para {~,∨}, procedemos como acima, substituindo toda forma
sentencial A ∨ B pela sua equivalente ~A →B e toda forma sentencial A ∧ B pela
equivalente ~ (A → ~B ).
Exercício 20:
(20.a) Seja A a forma sentencial (~A ∨ ~B) → (~A ∨ ~C). Encontre uma forma
sentencial com somente ∧, ~ equivalente a A..
(20.b) A partir de (A → B) ∧ (~B ∧ ~B) encontre uma forma sentencial equivalente
com somente ∨,~.
(20.c) A partir da forma sentencial (~A ∨ B) ∧ ~C encontre uma forma sentencial
equivalente com somente ~,→.
(20.d) Considere a função f(x1,x2) e a seguinte tabela:
x1
x2
f(x1,x2)
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
(20.d.1) Encontre a forma sentencial que determinou esta função;
(20.d.2) Pelo corolário da Proposição 1.4, esta função verdade corresponde a uma forma
sentencial contendo como conectivos somente {~,∧} ou somente {~,∨} ou somente
{~,→}. Derive estas formas sentenciais encontradas a partir da forma sentencial
encontrada no item (20.d.1) e mostre que elas são equivalentes entre si.
Pelo Corolário da Proposição 1.4 acima, foi provado que existem
certos pares de conectivos – como {~,∧}, {~,∨}, {~,∨} em termos dos quais todas as
outras funções de verdade são definíveis. Pode-se verificar que existe um único
conectivo, ↓ (negação da união), que fará o mesmo trabalho. Sua tabela de verdade é
como segue:
A
B
A↓B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
A↓B é verdadeira quando e somente quando nem A nem B é
verdadeira. Claramente ~ A ↔ (A ↓A) e (A ∧ B) ↔ ((A↓A)↓(B↓B )) são tautologias.
Portanto, a adequação de ↓ para a construção de todas as funções de verdade seguem do
corolário visto acima.
Um outro conectivo,(negação alternativa), é também adequado
para esse propósito. Sua tabela de verdade é a seguinte:
33
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
AB é verdadeira quando e somente quando não ocorrer que ambos
A e B sejam verdadeiros. A adequação de  segue das tautologias ~ A ↔ (AA ) e (A
∨ B) ↔ ((AA )(BB )).
Proposição 1.5:
Os únicos conectivos binários que sozinho são adequados para a
construção de todas as funções – verdade são ↓ e .
Prova:
Assuma que h (A, B) é um conectivo adequado. Ora, se h(V,V)
fosse V, então qualquer forma sentencial construída usando somente h deveria tomar o
valor V quando todas as suas letras sentenciais tomam o valor V. Portanto, ~A não seria
definível em termos de h. Logo, h(V,V) =F. Do mesmo modo, h(F,F)=F. Assim, temos
a tabela de verdade parcial :
A
B
h (A, B)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
Se a segunda e a terceira linhas na última coluna da tabela acima forem FF, ou VV,
então h é ↓ ou . Se elas fossem F,V, então h (A, B) ↔ ~ A seria uma tautologia; e se
elas fossem V,F, então h (A, B) ↔ ~ B seria uma tautologia. Em ambos os casos, h
seria definível em termos do ~ . Mas, o conectivo ~ não é adequado por ele mesmo
porque as únicas funções – verdade de uma variável definíveis a partir dela são a função
identidade e a própria negação, enquanto que a função de verdade que é sempre V não
seria definível.
Exercício 21:
21.a) Prove que cada um dos pares →,∨ e ~, ↔ sozinhos não são adequados para
expressar todas as funções – verdade.
21.b) Com uma variável A, existem quatro funções verdade:
A
~A
A∨~A
A ∧ ~A
V
F
V
F
F
V
V
F
21.b.1) Com duas variáveis, A e B, quantas funções – verdade existem?
21.b.2) Quantas funções de n variáveis existem?
34
1.10) Formas normais disjuntivas (FND) e Formas normais conjuntivas (FNC)
Por uma literal chamamos uma letra sentencial ou uma negação de
uma letra sentencial.
Uma forma sentencial está em forma normal disjuntiva (FND) se ela é
uma disjunção consistindo de um ou mais disjuntivos, cada um dos quais é uma
conjunção de uma ou mais literais. Ex: (A ∧B) ∨ (~A ∧ C); (A ∧ B ∧ C) ∨ (C ∧ ~B) ∨
(A ∧ ~C); A; A ∧ B; A ∨ (B ∧ C).
Uma forma sentencial está em forma normal conjuntiva (FNC) se ela
é uma conjunção de um ou mais conjuntivoss, cada um dos quais é uma disjunção de
uma ou mais literais. Ex.: (B ∨ ~ C) ∧ (A ∨ D); A ∧ (B ∨ A) ∧ (~B ∨ A); A; A ∧ B; A
∨ ~B.
É importante notar que literais são consideradas como conjunções e
disjunções degeneradas.
A prova da Proposição 1.4 mostra que qualquer forma sentencial A é
logicamente equivalente a uma forma sentencial em forma normal disjuntiva. Pode-se
achar esta forma sentencial por tabela de verdade ou usando equivalências. Vejamos um
exemplo:
Seja A: ((A ∨ B) → ~B
1) Fazemos a tabela de verdade:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
~B
F
V
F
V
A∨B
V
V
V
F
(A ∨ B) → ~B
F
V
F
V
Consideramos somente os valores V abaixo do conectivo principal e pegamos os valores
das letras sentenciais correspondentes. Se o valor abaixo da letra for V, consideremos a
letra afirmada, se o valor for F, neguemos a letra sentencial. Então, no exemplo acima,
vamos considerar somente as linhas 2 e 4 da tabela. A forma sentencial em forma
normal disjuntiva equivalente a A é:
(A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~B).
Uma outra maneira de obter a FND é usar equivalências.
Considerando a mesma forma sentencial A, temos:
1) (A ∨ B) → ~B
2) ~(A ∨ B) ∨ ~B - de 1/ por Implicação Material
3) (~A ∧ ~B) ∨ ~B - de 2/ por De Morgan.
35
Observemos que as formas sentenciais em FND obtidas por tabela de
verdade e por equivalências são equivalentes entre si e também são equivalentes a A.
Vejamos as tabelas de verdade:
(A ∧ ~) ∨ (~A ∧ ~B)
A
B ~A ~B
V
V F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
(~A ∧ ~B) ∨ ~B
A B ~A ~B
V V F
F
V F F
V
F V V
F
F F V
V
A ∧ ~B
F
V
F
F
~A ∧ ~B
F
F
F
V
~A ∧ ~B
F
F
F
V
(A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~B)
F
V
F
V
(~A ∧~B) ∨ ~B
F
V
F
V
Pela Proposição 1.4, vimos que qualquer forma sentencial A é
logicamente equivalente a uma forma sentencial em forma normal disjuntiva (FND).
Podemos observar que A é também equivalente a uma forma sentencial em forma
normal conjuntiva (FNC), que pode também ser obtida por tabela de verdade ou usando
equivalências. Vejamos, a seguir, como proceder pela tabela de verdade.
Seja A a mesma fórmula considerada anteriormente: (A ∨ B) → ~B.
Sua tabela já está feita mais acima. Vimos que A é equivalente à forma sentencial (A ∧
~B) ∨ (~A ∧ ~B) que está em FND e foi obtida por tabela de verdade. Na tabela de
verdade, encontramos os valores de verdade para ~A e encontramos a FND equivalente
a ~A. Então, temos:
~A ↔ ((A ∧ B) ∨ (~A ∧ B) - em FND
Agora, negamos os dois lados da bicondicional:
~~A ↔ ~((A ∧ B) ∨ (~A ∧ B))
Usamos, agora, equivalências:
A ↔ (~(A ∧ B) ∧ ~(~A ∧ B))
A ↔ ((~A ∨ ~B) ∧ (A ∨ ~B)) - em FNC
Uma maneira mais simples de obter a FNC pela tabela de verdade é ir
direto na tabela da forma sentencial A, pegar somente os casos de F abaixo do conectivo
principal, e ao construir os conjuntivos considerar as letras sentenciais da seguinte
maneira: Se a letra sentencial toma valor V na tabela então nega-se esta letra e se ela
toma valor F, afirma-se esta letra.
Vejamos a tabela de verdade para A, do exemplo anterior, isto é, a
tabela de (A ∨ B) → ~B. Selecionemos os casos de F abaixo do conectivo principal, ou
seja, selecionemos as linhas 1 e 3 da tabela de verdade. Na linha 1, as letras sentenciais
A e B tomam valor V. Para construirmos o primeiro conjuntivo tomemos estas duas
36
letras negadas, ficando então ~A ∨ ~B. Na linha 3, A é F e B é V, então tomemos, para
construir o segundo conjuntivo, A afirmado e B negado, ficando então A ∨ ~B.
Portanto, a forma sentencial em FNC obtida foi (~A ∨ ~B) ∧ (A ∨
~B) e é equivalente a A. Observemos que foi a mesma forma sentencial obtida no
procedimento anterior, que é também por tabela de verdade, mas aplicada a ~A.
Exercício 22: Seja A: (~A ∨ ~B) → B
22.a) Pela Proposição 1.4, A é equivalente a uma forma sentencial em FND. Por aplicar
este resultado a ~A, mostre que A é equivalente também a uma forma sentencial em
FNC.
22.b) Encontre, pela tabela de verdade (direto), a forma sentencial em FNC equivalente
a A.
Exercício 23: Descubra formas sentenciais em FNC e em FND equivalentes à forma
sentencial abaixo (usando proposição 1.4 e/ou usando equivalências):
~(A → B) ∨ (~A ∧ C).
Vamos chamar uma letra sentencial A e sua negação ~A de literais
com a letra A.
Uma forma normal disjuntiva é chamada completa (FNDC) se
nenhum disjuntivo contém duas ocorrências de literais com a mesma letra e, se uma
letra que ocorre em um disjunto também ocorrer em todos os outros.
Ex: (A ∧ B ∧ C) ∨ (~A ∧ B ∧ C) ∨ (~A ∧ ~B ∧ C)
Uma forma normal conjuntiva é chamada completa (FNCC) se
nenhum conjuntivo contém duas ocorrências de literais com a mesma letra e, se uma
letra que ocorre em um conjuntivo também ocorrer em todos os outros.
Observemos que o procedimento por tabela de verdade vai nos dar
sempre FNDC e FNCC.
Exercício 23: Descubra FNDC e FNCC para as seguintes formas sentenciais:
23.a) (A ∧ B) ∨ ~ A
23.b) ~ (A → B) ∨ (~A ∧ C)
Podemos provar que toda forma sentencial A que não é uma
tautologia é logicamente equivalente a uma forma normal conjuntiva completa B.
Vamos dar o procedimento de prova, acompanhando com um exemplo.
Seja A a forma sentencial ~(A→B) ∨ (~A ∧ C)
1) Resolva A em forma normal conjuntiva D1 ∧ D2 ∧ ..... ∧ Ds usando equivalências .
1.1) ~(~A ∨ B) ∨ (~A ∧ C) - IM
37
1.2) (A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ C) - DM
1.3) (A ∨ ~A) ∧ ( A ∨ C) ∧ (~B ∨ ~A) ∧ (~B ∨ C) - DIST.
2) Por hipótese A não é uma tautologia. Portanto, existe ao menos um Di (1≤i≤s) que
não possui uma letra sentencial junto com sua negação.
- O exemplo confirma.
3) Por equivalências do tipo (B ∧ (C ∨ ~C)) ↔ B, pode-se eliminar todos os Di’s nos
quais uma letra ocorre afirmada e negada.
- No exemplo é eliminado o primeiro conjuntivo, isto é, D1, ficando então:
(A ∨ C) ∧ (~B ∨ ~A) ∧ (~B ∨ C)
4) Pode-se também, por equivalências do tipo B ↔ (B ∨ B) eliminar as repetições de
letras.
- No exemplo não há casos deste tipo.
5) Assim, sobram coisas do tipo D1 ∧ .....∧ D k , onde cada D j é uma disjunção de
/
/
/
diferentes letras, cada uma das quais pode estar afirmada ou negada.
- O exemplo confirma.
/
6) Agora, pega-se cada D j e faz-se com que nele apareçam todas as letras, da seguinte
maneira: D j ∨ ( X1 ∧ ~ X1 ) ∨ ( X 2 ∧ ~ X 2 ) ∨ ..... ∨ ( X k ∧ ~ X k ) , onde os Xi’s são
/
/
letras que não estão em D j .
- No exemplo, temos:
(A ∨ C) - falta a letra B, então faz-se: (A ∨ C) ∨ (B ∧ ~B)
(~B ∨ ~A) - falta a letra C: (~B ∨ ~A) ∨ (C ∧ ~ C)
(~B ∨ C) - falta a letra A : (~B ∨ C) ∨ (A ∧ ~A)
7) Aplica-se distribuição e obtém-se como resultado final a forma sentencial B isto é,
uma forma sentencial em FNCC.
- Desenvolvendo no exemplo:
(A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ ~B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ C) ∧ ( ~A ∨ ~B ∨ ~ C) ∧ ( A ∨ ~B ∨ C) ∧
(~A ∨ ~B ∨ C). Cortando os conjuntivos repetidos, obtemos:
(A ∨ B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ C) ∧ (A ∨ ~B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ ~ C) - FNCC
Exercício 24:
(24.a) Prove que cada forma sentencial A que não é uma contradição é logicamente
equivalente a uma forma sentencial B em FNDC. (Dar um exemplo, mostrando os
passos da prova)
(24.b) Descubra FNC e FND equivalentes a (A →~B) →(~C → ~B) e (A ∨ B) → (~B
∨ C), usando equivalências. Depois, transforme (se for o caso) as FNC e FND em
FNCC e FNDC.
(24.c) Para cada forma sentencial abaixo:
(I) (~ A ∨ B) ∧ ( A → ~ C )
(II) ~ (~ A ∨ B) ∨ (~ A ∧ ~ B )
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(III) (( A → ~ B) → B) → ( A → ~ B)
a) Encontre uma forma sentencial logicamente equivalente em F.N.C., fazendo uso de
equivalências lógicas.
b) Transforme, se for o caso, a F.N.C em F.N.C.C. completando as literais que
estiverem faltando.
c) Encontre a F.N.C.C utilizando tabela de verdade.
d) Encontre uma forma sentencial logicamente equivalente em F.N.D, fazendo uso de
equivalências lógicas.
e) Transforme, se for o caso, a F.N.D em F.N.D.C. completando as literais que
estiverem faltando.
f) Encontre a F.N.D.C utilizando tabela de verdade.