Capítulo 10 - Gravitação O movimento dos astros celestes

Capítulo 10 - Gravitação
O movimento dos astros celestes fascina a humanidade há milênios.
Os primeiros modelos astronômicos propunham que as estrelas e os planetas se
movimentavam em esferas celestes com centro na Terra. Somente 5 planetas
eram então conhecidos: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno (Urano, 1781;
Netuno, 1846; e o planeta anão Plutão só em 1930).
Os primeiros modelos não conseguiam explicar o movimento retrógrado dos
planetas.
Teoria Geocêntricas - Ptolomeu e os epiciclos
Cláudio Ptolomeu de Alexandria (século II, D.C.) propôs um modelo geocêntrico
de epiciclos. No seu primeiro modelo, a Terra estava no centro de uma
circunferência e os planetas giravam em epiciclos, isto é, em círculos cujos
centros percorriam o perímetro da grande circunferência. Circunferências e
esferas, durante milênios foram as únicas formas plausíveis de manisfestação da
natureza, pela sua estética e simetria.
No segundo e último modelo de Ptolomeu, para ajustá-lo aos dados
astronômicos, Ptolomeu deslocou a Terra do centro do grande círculo (veja fig.).
1
Este modelo vigorou por 15 séculos e tinha uma precisão de cerca de 2% na
determinação das posições dos planetas.
Para os árabes, a obra de Ptolomeu era tão magistral que seu livro ficou
conhecido como o “Almagesto” que significa, “o maior dos livros”.
Teoria Heliocêntrica - Copérnico
Um dos primeiros a propor a teoria heliocêntrica foi Aristarco de Samos (século
III A.C.) . Seus contemporâneos rejeitaram essa teoria porque ela conduziria ao
efeito paralaxe das estrelas (só observada em 1838, com o telescópio).
Nicolau Copérnico (1473 - 1543) propôs, à guisa de simplificação matemática (e
isto o salvou da Inquisição), o modelo heliocêntrico.
Sua teoria permitiu, por exemplo, estimar as escalas relativas das distâncias dos
planetas em relação ao Sol. Planetas internos como Mercúrio e Vênus nunca são
observados muito afastados do Sol. Para Mercúrio (Vênus) o ângulo máximo é
( ). Se
é a distância Terra-Sol (que define 1 unidade astronômica =
150 milhões de km) e a distância do planeta então
.
Para planetas externos é só inverter
e
na equação. A tabela abaixo mostra
que os resultados obtidos por Copérnico foram muito bons
Em 1600, Giordano Bruno defendeu a doutrina de Copérnico e, por este motivo,
foi queimado em Roma. A obra de Copérnico foi colocada no Index em 1616,
pelaa Igreja.
O livro do Moysés traz uma ótima revisão histórica dos primórdios da
Astronomia.
2
Tycho Brahe e Kepler
O dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) passou sua vida inteira fazendo
observações astronômicas muito cuidadosas das posições dos planetas. Suas
medidas se revelaram pelo menos 2 vezes mais precisas do que as anteriores.
Johannes Kepler (1571-1630) foi seu assistente (por apenas 1 ano, logo em
seguida Tycho faleceu) e ficou com o legado dos dados astronômicos de Tycho
Brahe.
Inicialmente, Kepler adotou a teoria de Copérnico com os planetas executando
órbitas circulares em torno do Sol. Entretanto, para a órbita de Marte persistia um
desvio de 8 minutos de arco (sendo que os dados de Tycho Brahe eram
confiáveis dentro de pelo menos 4 minutos de arco). Kepler resolve então
abandonar o mundo perfeito das órbitas circulares e pensar na órbita elíptica. Daí
surgiram as 3 Leis de Kepler.
A 1a. Lei de Kepler (lei das órbitas)
“As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol num
dos focos”.
A equação da elipse é dada por
onde ( ) é o semi-eixo maior (menor) e estamos escolhendo o semi-eixo maior
ao longo do eixo x.
A excentricidade da elipse é definida por
, onde é a distância do foco à
origem
do sistemas de coordenadas e vale
. Logo,
3
A circunferência tem excentricidade zero.
Vemos na tabela da figura, que Mercúrio e depois Marte são os planetas
(conhecidos na época) com maior valor de excentricidade.
A 2a. Lei de Kepler (lei das áreas)
“O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos
iguais”
É uma consequência direta da conservação do vetor momento angular já que sua
derivada é o torque cujo valor é nulo para força central.
Na figura abaixo temos a área infinitesimal varrida num tempo infinitesimal
Logo,
Como L é constante, a chamada velocidade areolar,
, também será constante.
Isso demonstra a 2ª. lei de Kepler. Isso explica porque no periélio um planeta se
move mais rapidamente do que no afélio (
).
4
A 3a. Lei de Kepler (lei dos períodos)
“Os quadrados dos períodos de revolução de 2 planetas T1 e T2 estão entre si
como os cubos de suas distâncias médias ao Sol, R1 e R2”
Como veremos adiante, esta lei é uma consequência direta da força gravitacional
variar com o inverso do quadrado da distância. Abaixo segue uma tabela dos
valores obtidos por Copérnico e os valores atuais.
Kepler foi um dos primeiro escritores de ficção científica, no livro Somnium ele
descreve uma viagem à Lua.
Galileu Galilei (1564-1642)
Galileu tomou conhecimento da teoria de Copérnico. Ele não inventou o
telescópio, mas construiu um bem poderoso para a época e o dirigiu para a Lua e
depois para Júpiter. Perto de Júpiter encontrou 4 pontos luminosos que por vezes
se eclipsavam – eram 4 satélites orbitando Júpiter. Logo a primazia de ter corpos
celestes orbitando em volta não mais pertencia à Terra – Júpiter tinha 4 satélites.
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Convencido de que a teoria heliocêntrica de Copérnico e depois de Kepler era a
correta começou a defendê-la abertamente. Julgado pelo Santo Ofício, teve que
abjurar seus erros e heresias.
Isaac Newton (1642-1727)
Newton teve saúde muito frágil quando ele era criança, mas viveu até idade bem
avançada. Foi um dos formuladores do Cálculo Integral e Diferencial (junto com
Leibnitz).
Quando uma peste se abateu sobre Londres dizimando 1/7 da população, ele se
retirou para sua fazenda. Com ou sem a lenda da maçã, foi lá que ele propôs a
sua Teoria da Gravitação Universal.
A Força variando com o inverso do quadrado da distância
Supondo uma órbita circular de raio
a sua 2ª. Lei,
e período para um planeta, conhecendo
e combinado com a 3ª. Lei de Kepler,
, teremos
Supondo que essa força deveria depender também da massa
concluiu que
Que é a chamada Lei da Gravitação Universal de Newton.
universal.
do Sol ele
é a constante
Para testar sua teoria Newton se perguntou: essa força é a mesma para Terramaçã e Terra-Lua?
Ele já sabia o valor do módulo da aceleração que a Terra faz sobre a Lua, pois,
O período da Lua conhecido desde priscas eras e a distância Terra-Lua
determinada havia sido determinada por Hiparco 1700 anos antes.
A Distância Terra-Lua
Hiparco de Nicéia (190-120 A.C.) baseou-se em uma idéia de Aristarco de
Samos (320-250 A.C.)
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Na figura acima vemos um eclipse lunar. O ponto T3 da Lua ingressa na sombra
terrestre e sai em T4. Hiparco cronometrou esse intervalo de tempo Ts (em
minutos). Como ele sabia que o ciclo da Lua em sua órbita é de 29,5 dias =
42.480 minutos, ele pôde calcular o ângulo 2β que a sombra da Terra faz para um
observador na Terra. Supondo velocidade constante e órbita circular, temos por
uma simples regra de três:
360o __________ 29,5 dias
2β __________ Ts
2β ~ 1,3o
O ângulo 2α é o ângulo com que um observador da Terra vê o diâmetro aparente
do Sol. A Lua e o Sol têm, praticamente, o mesmo diâmetro aparente com
2α ~ 0,5o
Da figura, vemos que
α+β=a+b
O ângulo a pode se tomado igual a zero, devido à enorme distância Terra-Sol.
Dessa maneira, determina-se o ângulo b. Da trigonometria, sabemos que
DTL sen(b) = RT
Como o raio da Terra já era conhecido desde Eratóstenes, Hiparco obteve a
distância Terra-Lua: 385.079 km, nada mal ... pois o resultado atual é de 384.400
km . Observe que, deste resultado, segue imediatamente o raio da Lua RL
Como a aceleração da gravidade
da Terra ele já sabia que
Pela sua teoria
é a aceleração da maçã na superfície
, onde
são a massa e o raio da
Terra, respectivamente. Logo
7
Por outro lado,
, logo
Portanto,
Validando sua teoria !!
A sua obra monumental, Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, dá
explicações científicas para:
Os Cometas
Como a queda da maçã e a aceleração da Lua eram explicadas por sua fórmula,
Newton concluiu que os cometas, como os planetas, também tinham órbitas
elípticas só que com excentricidade muito próxima de 1. Na sua época, o cometa
de Halley já havia reconhecido em 3 aparições: 1531, 1607 e 1682, com um
período de 75 a 76 anos.
A forma da Terra
Newton sabia que, caso a Terra não girasse em torno do seu eixo, os efeitos
apenas gravitacionais deveriam torná-la numa esfera perfeita. Mas o efeito da
força centrífuga de rotação deveria achatá-la nos polos transformando-a num
esferóide oblato.
Newton estimou que a razão do diâmetro polar para o diâmetro do equador
deveria ser algo como
, conduzindo a uma elipticidade de
(elipticidade =
, na fórmula da elipse). Os valores de hoje dão para a
elipticidade um valor um pouco menor
.
8
A Precessão dos Equinócios
Hiparco em 130 A.C. já havia reparado que a posição do Sol nos equinócios
migravam em relação às estrelas fixas ao longo dos séculos. Como vimos no
capítulo 12, essa precessão se deve ao torque cuja origem está no achatamento
dos nosso planeta. A Lua tem maior contribuição para a precessão do que o Sol.
As marés
Newton também foi o primeiro a atribuir a existência das marés à força
gravitacional da Lua (e, menor escala, do Sol).
Na figura abaixo temos uma ideia do porque temos duas marés altas e duas marés
baixas no dia. Há que se acrescentar ainda o efeito da força centrífuga sobre as
marés.
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A Existência de Satélites Artificiais
Newton também previu a possibilidade de satélites artificiais orbitando a Terra
(veja figura abaixo). Mesmo sem conhecer o valor da constante universal ,
podemos calcular o período de rotação de um satélite em órbita circular de raio
O primeiro satélite artificial, o Sputnik 1 (1957), tinha uma altitude média de 550
km e, portanto, período de aproximadamente 96 minutos.
Se fizermos
, obteremos para a distância (ou altura do satélite) de cerca
de 42.000 km, são os satélites em órbita geoestacionária, “estacionados” sobre o
mesmo ponto do planeta.
10
A Determinção de G – A Experiência de Cavendish
Para determinar
é necessário medir a força gravitacional entre dois corpos.
Como essa força é muito pequena, levou um século desde o lançamento do “
Principia” de Newton. Em 1798, Cavendish utilizou a balança de torção no
experimento que determinou . Ao par de massas , ligados por uma barra em
cujo centro há uma fibra fina de quartzo, aproxima-se o par de massas . Isso
produz um torque que gira um espelho onde reflete um feixe de luz.
Calibrado o pêndulo e medindo o ângulo de giro do espelho, Cavendish conclui
encontrou o valor
, muito próximo do valor atual
Cavendish denominou seu experimento de a Pesagem da Terra, já que sua
determinação permite imediatamente calcular a massa da Terra
A Massa do Sol
Uma vez conhecido o valor de
pode-se calcular a massa do Sol
Onde
é a distância Terra-Sol. Essa distância havia sido (muito mal) estimada
por Aristarco no século III A.C. Kepler determinou por paralaxe a distância
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Terra-Marte. Como a razão entre as distâncias Terra-Sol e Marte-Sol eram
conhecidas da sua 3ª. Lei. Segue-se que
cerca de 333.000 vezes a massa da Terra.
Os Satélites de Júpiter e a Velocidade da Luz
O satélite mais interno de Júpiter descoberto por Galileu, Io, tem período
conhecido e pequeno
. O astrônomo dinamarquês Olaf Römer em 1675
observou que o intervalo entre 2 eclipses consecutivos de Io aumentava quando a
Terra se afastava de Júpiter (ponto 2 na fig) e diminuía quando se aproximava
(ponto 4 na fig). O intervalo de tempo independente da velocidade da luz poderia
ser obtido nos pontos 1 e 3. Conhecendo a velocidade de rotação da Terra em
torno do Sol, ele encontrou o valor
, cerca de 25 % inferior ao
de hoje
Outros Planetas
Com a popularização dos telescópios, a busca por novos planetas se intensificou
e, em 1781, William Herschel detectou Urano. Entretanto, a órbita de Urano
apresentava desvios da Teoria da Gravitação de Newton. Confiantes na teoria de
Newton, Adams e depois Le Verrier propuseram a existência de um outro planeta
e utilizando a lei de Bode ( 17712) para o n-ésimo planeta do sistema solar
12
Por sorte, Netuno estava numa posição tal da órbita que as consequências desse
erro eram mínimas. Assim Galle, descobriu Netuno a
da posição prevista por
Adams e Le Verrier. Descobriu-se depois que Lalande, 50 anos antes já havia
encontrado Netuno no telescópio, mas pensava ser uma estrela.
Além do Sistema Solar
Com a melhoria dos telescópios, ficou claro que as estrelas também não eram
fixas. Várias estrelas duplas e triplas foram descobertas.
Indo além das estrelas detectáveis pelos telescópios (que estão todas em nossa
galáxia – a Via Láctea), existiam as nebulosas. Em 1871, Charles Messier
catalogou cerca de 100 delas (catálogo e nomenclatura usados até hoje). Messier
não queria estudar as nebulosas, apenas localizá-las para que esses irritantes
objetos não fossem confundidos com cometas.
As nebulosas só foram reconhecidas como outras galáxias em 1923, quando
Hubble mediu suas distâncias usando as cefeídas.
A nossa galáxia é espiral e suas dimensões estão mostradas na figura abaixo
A Via Láctea é bem achatada. O sistema solar está há cerca de 30.000 anos luz
do seu centro, com velocidade orbital de
e período de rotação de
anos. Se tratarmos esse movimento como um movimento circular com
uma massa da Via Láctea
no seu centro (
Se considerarmos o Sol uma estrela típica (
estimativas de
estrelas na Via Láctea !
) obtemos
.
) teremos uma
Todo esse sucesso imenso da Mecânica de Newton levou Laplace a enunciar a
ideia de uma dinâmica completamente determinística: “Dê-me as posições e as
velocidades de todos os corpos celestes e eu te direi o futuro do Universo”.
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O Caos Determinístico
O entusiasmo com o determinismo da Mecânica diminuiu tremendamente mesmo
no contexto da Mecânica Clássica (na Mecânica Quântica, o Princípio da
Incerteza de Heisenberg, automaticamente joga por terra os ideais
determinísticos de Laplace). Poincaré demonstrou que equações diferenciais
podem ter condições iniciais infinitesimalmente próximas e levar a resultados
completamente diferentes. Esse caos determinístico foi descrito por Lorenz
(1963) num artigo intitulado “ o bater das asas de uma borboleta no Brasil pode
provocar uma furacão no Texas? “
A meteorologia, que trata de um sistema enormemente complexo como a
atmosfera, é uma das ciências que mais sofre com o caos determinístico.
Energia Potencial e Princípio de Superposição
Vimos que a força gravitacional
associada a ela uma energia potencial
é conservativa. Portanto, tem
O vetor deslocamento
pode ser decomposto numa base ortogonal de
coordenadas esféricas
, portanto,
.
Integrando a equação (1), temos
onde a constante de integração é nula pois, escolhemos o referencial zero no
infinito (
.
Para um sistema de N partículas interagindo gravitacionalmente vale o princípio
de superposição (propriedade das equações diferenciais lineares, como a 2ª. Lei
de Newton).
onde é a distância entre as partículas de massas
para não contar 2 vezes a interação entre i e j.
e
e o fator ½ aparece
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Para corpos macroscópicos e contínuos de massa M (não pontuais), podemos
calcular a energia potencial gravitacional infinitesimal de interação desse corpo
com uma partícula pontual de massa m e que está a uma distância s do
infinitésimo de massa dM
A Casca Esférica homogênea de raio a
Seja uma casca esférica homogênea de raio a e uma partícula pontual de massa m
a uma distância r do centro da casca
A área infinitesimal da “fatia” mostrada na figura vale
logo
Substituindo em dU
ou
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A lei dos cossenos fornece
Derivando a equação acima em relação a θ (a e r constantes)
ou
que pode ser substituída imediatamente na expressão (4), só precisamos
reescrever os limites de integração da variável θ para a variável s
quando
Para a região exterior r > a
que é a energia potencial como se toda a massa M da casca estivesse concentrada
no seu centro.
Para a região interior r < a
Observe que na fronteira
Como
a energia potencial gravitacional é contínua !
, teremos
A força é descontínua na fronteira !
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No mundo real não existe casca de espessura zero e veremos a força decair como
na figura abaixo
Esfera maciça homogênea de raio R
A Terra é uma esfera não homogênea com a densidade aumentando no seu centro
por um fator próximo de 5
Para uma esfera maciça e homogênea de raio R, a energia potencial fora da
esfera, r > R, se comportará como a superposição de camadas ou cascas, logo
e a força
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No interior, r < R e a contribuição para o potencia vem exclusivamente da esfera
de raio r e massa Mr .
então
A força acima é restauradora e, ao longo do eixo radial, se comporta como uma
mola de constante
Como
podemos integrar e obter a energia potencial
A constante de integração c pode ser obtida pela continuidade de
fronteira r = R
ou seja
na
, portanto
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Duas Esferas
A figura abaixo mostra duas esferas cujos centros estão a uma distância r. Como
elas se comportam como se toda a massa tivesse colapsado no seu centro, a força
entre elas é a mesma que de duas partículas de massas m1 e m2 separadas entre si
pela distância r.
Massa Reduzida
A 1ª. Lei de Kepler está incorreta, pois tanto os planetas como o próprio Sol
giram elipticamente em torno do CM. Como a massa do Sol é muito maior
(99,9% da massa do sistema solar corresponde à massa do Sol). Vejamos onde
está o CM do sistema Terra-Sol
T
150 x 106 km
O
S
Com a origem no centro do Sol, teremos
Como o raio do Sol é de 700 mil km, o CM está praticamente no centro do Sol.
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A situação é muito diferente no caso, por exemplo, das estrelas duplas. Elas tem
massas da mesma ordem de grandeza. Para analisar isso vejamos a situação de 2
partículas de massas m1 e m2 passando do referencial de laboratório (origem O da
figura) para o referencial de CM (origem O´ na figura).
No lab, o vetor posição do CM é
Definindo o vetor de coordenadas relativas
E, lembrando que:
e
As equações de movimento no CM são
onde
Substituindo (1) e (2) nas 2 equações de (3) obtemos uma única equação
onde
é a chamada massa reduzida
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A equação (5) mostra que o problema de 2 corpos foi transformado no problema
de um único corpo de massa reduzida μ, com vetor posição e sujeito à força
Vemos que se uma massa, por exemplo, m2 é muito maior do que a outra m1
então
ou seja, a massa reduzida se aproxima da do corpo de menor massa. Se as
massas forem iguais,
então
Voltando à equação (5), tudo se passa como se uma partícula fictícia de massa
igual à massa reduzida estivesse sob a ação da força gravitacional.
O que acontece se essa partícula fictícia executa um movimento circular?
então
mas a aceleração centrípeta vale
de (6) e (7) concluímos
Isso corrige a 3ª. Lei de Kepler, onde a única massa que aparece é a massa do
Sol.
A equação (8) continua válida para elipses, é só substituir o raio do círculo pela
distância média (ou, equivalentemente, pelo semi-eixo maior).
Observação: pelas equações
Vemos que se a partícula fictícia de massa reduzida tem o seu vetor posição
descrevendo uma elipse então de (1) e (2) os corpos 1 e 2 também descreverão
uma elipse.
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Para comparar vejamos o sistema Sol com o maior planeta Júpiter, supondo uma
órbita circular. Dados:
Logo o corpo fictício de massa
circular de raio
, executa um movimento
. O CM do sistema Sol-Júpiter está a uma
distância (do centro do Sol)
que é um pouco maior
do que o raio do Sol de
circular de raio
. Portanto, Júpiter executará um movimento
em torno do CM e o Sol executará
um movimento circular de raio
em torno do CM (que
está um pouquinho além do seu raio). Podemos imaginar uma barra sem massa
ligando Sol-Júpiter, com o Sol numa extremidade e Júpiter na outra e girando em
torno do CM.
Esse movimento (wobble) do Sol e de qualquer estrela devido à presença de um
planeta bem massivo foi a primeira técnica utilizada na determinação de
exoplanetas. A outra técnica é a de trânsito do planeta na frente de sua estrela, já
que altera a luminosidade medida dessa estrela.
Se 2 astros têm mesma massa e estão separados por uma distância L, então eles
giram em torno do CM num movimento circular de raio L/2.
O Campo Gravitacional
Definimos para uma partícula de massa
o campo gravitacional
Dizemos que o corpo de massa cria ou gera em todos os pontos do espaço 3D,
um vetor campo gravitacional . A cada ponto do espaço está associado um
vetor
.
Se o corpo de massa
for macroscópico, então para calcular o campo
gravitacional temos que integrar
dM
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Para ilustrar o cálculo de campo gravitacional, vamos generalizar o exercício
10.17 do Moysés.
Um fio homogêneo de massa
tem a forma de um anel circular de raio .
Perpendicular a seu plano e com direção passando pelo centro está uma barra
unidimensional de densidade uniforme, massa
, comprimento
e cuja
extremidade está a uma distância
do centro do anel. Calcule a força
gravitacional exercida pelo anel sobre a barra.
dM
M
α
D
a
m
dm
L
x
Por simetria, as componentes y e z (plano que contém o anel) se anulam já que
para toda contribuição haverá outra igual mas de sentido oposto a
. Logo, o
campo gravitacional infinitesimal gerado por M será
e
integrando, teremos
Esse campo cria uma força infinitesimal sobre
onde
chamando
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A hipótese de uma estrela ter a mesma densidade que a Terra é ruim. Vejamos a
Terra e o Sol.
ou seja, o Sol é cerca de 4 vezes menos denso do que a Terra.
Sejam
raio e a densidade da estrela, conforme proposto por Laplace.
, a massa, o
Então,
Um corpo de massa
velocidade de escape
para escapar da superfície dessa estrela tem ter uma
A massa da estrela calculada é cerca de 100 milhões de vezes a massa do Sol...a
Relatividade Geral reduziu esse valor para cerca de 10 vezes a massa do Sol.
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