x - Valdemar Winkler

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
MATEMÁTICA, LICENCIATURA
Matemática Elementar Das relações às aplicações: álgebra estrutural
Quest(i)
Prof. Dr. Lucas Nunes Ogliari
Relações binárias
Tratando-se de um par ordenado, ou coordenada cartesiana,
(x, y), tem-se que x e y são variáveis em E (conjunto de partida)
e em F (conjunto de chegada), respectivamente. Uma sentença
p(x, y), para todo par ordenado (a, b)  E  F , a proposição
p(a, b) é verdadeira ou falsa. Se a proposição é verdadeira, dizse que “a está relacionado com b através de R”, e escreve-se
aRb , do contrário, bR a .
No entanto, chama-se relação binária de E em F todo o
subconjunto R de E  F , logo, R e relação de E em F se, e
somente se, R  E  F . Ou seja, R é um conjunto de pares
ordenados (a, b) pertencentes a E  F .
Procure por um exemplo de relação binária
Domínio e Imagem

Domínio e imagem: seja R uma relação de E em F,
chama-se domínio de R o subconjunto de E formados
pelos elementos x para cada um dos quais existe algum
y em F tal que x R y.
DR  x  E / y  F : xRy

Seja R uma relação de E em F, chama-se imagem de R
o subconjunto de F formados pelos elementos y para
cada um dos quais existe algum x em E tal que x R y.
ImR  y  F / x  E : xRy
Inversa de uma relação
Seja uma relação R de E em F, a inversa é a relação de F em
E indicada por R-1.
Estabelecendo relação abaixo.
E
a
c
b
R = {(a,a), (a,b), (b,c), (c,a)}
Propriedades de uma relação R sobre E
a) Reflexiva: todo o elemento de E se relaciona consigo mesmo.
b) Simétrica: R é simétrica se vale y R x sempre que vale x R y.
c) Transitiva: se x R y e y R z, então x R z.
d) Anti-simétrica: R é anti-simétrica se y = x sempre que x R y
e y R x.
Vamos representar por diagrama de flechas cada propriedade.
Vamos representar por diagrama de flechas cada propriedade
Relações de equivalência
Sendo uma relação R sobre um conjunto E não vazio, uma
relação de equivalência sobre E é a relação que goza das
propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Veja um exemplo:
E
a
c
Procure por um exemplo de inversa de uma relação
Relação sobre um conjunto
Quando E = F e R é uma relação de E em F, diz-se que R é
uma relação sobre E. O esquema de flechas a seguir é útil para
representar relações com poucos elementos. Nesse esquema, os
elementos de E são representados por pontos dentro de um
retângulo e as relações entre os elementos são indicadas por uma
flecha. Sendo uma relação de a em b, (a, b), a flecha tem origem
em a e extremidade e b, sendo uma relação de a em a, tem-se
um laço.
b
R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}
2
3) Seja a relação R sobre conjunto dos naturais – {0}, definida
pela sentença x + 3y = 10, pede-se:
Aplicação – Função
Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma
aplicação de E em F se, e somente se:
(i) o domínio de f é E, isto é, D(f) = E.
(ii) dado uma elemento a  D( f ) , é único o elemento b  F tal
que (a, b)  f .
Se f é uma aplicação de E em F, escrevemos que b = f(a) (lêse “b é imagem de a pela f”), e (a, b)  f . Usaremos também a
notação f: E→ F, onde E é o domínio e F o contradomínio.
E, dado um conjunto A  E chama-se imagem direta de
A, segundo f, e indica-se por f(A), o seguinte subconjunto de F:
f ( A)  { f ( x) / x  A} .
Exemplos e contraexemplos de aplicações
Dados E = {a, b, c, d} e F = {m, n, p, q, r}. Considere as relações de
E em F a seguir e defina quais relações são aplicações.
R1 = {(a,n), (b,p), (c,q)}
R2 = {(a,m), (b,n), (c,q), (d,r)}
R3 = {(a,n), (b,n), (c,q), (d,r)}
R4 = {(a,n), (b,n), (b,p), (c,r), (d, r)}
a) Os elementos de R.
b) O domínio e a imagem de R.
c) Descrever R-1.
4) Seja R a relação em E = {1,2,3,4,5} tal que xRy se, e somente
se, x – y é múltiplo de 2.
a) Quais são os elementos de R.
b) Faça o diagrama de flechas para R.
c) Indique se R é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou antisimétrica.
5) O conjunto E = {a, b, c, d, e} é formado pelos cinco filhos de
um mesmo casal. Seja R a relação sobre E assim definida: xRy
se, e somente se, x é irmão de y. Que propriedades R apresenta?
Nota: x é irmão de y quando x  y e x e y têm os mesmos pais.
6) R é uma relação sobre E = {a, b, c, d} dada pelo esquema de
flechas abaixo. Que propriedades R apresenta?
E
a
b
c
d
Aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras
 Dizemos que f é uma aplicação injetora se dois elementos
quaisquer de E têm imagens diferentes, ou seja, para quaisquer
x1, x2  E , tais que x1  x2 tem de valer f ( x1 )  f ( x2 ) .
 Dizemos que f é uma aplicação sobrejetora quando
Im( f )  F .
 Dizemos que f é uma aplicação bijetora quando f é injetora e
sobrejetora.
Aplicação Inversa
Se uma aplicação f de E em F tem inversa f –1, então f é
bijetora. Nesse caso, determine a aplicação inversa de
f : R  R definida por f ( x)  ax  b , com a e b constantes e
a  b.
Exercícios e Aplicações
1) Sejam a A = {1,3,5,7,9} e F = {0,2,4,6}. Enumere os
elementos das seguintes relações de E em F e estabeleça o
domínio e imagem de cada uma.
R1  x, y  / y  x  1
b) R2  x, y  / x  y
a)
c)
R3  x, y  / y  3x
2) Sendo E um conjunto de 5 elementos e R = {(a,b), (b,c), (c,d),
(d,e)} é uma relação sobre E. Pede-se:
a) Os elementos de E.
b) Domínio e imagem de R.
c) Domínio e imagem de R-1.
d) Esquema de flechas de R.
7) Se E = {1, 2, 3, 4} e F = {a, b, c}, quais das relações abaixo
são aplicações de E em F?
R1 = {(1,a), (2,b), (3,c)}
R2 = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,c)}
R3 = {(1,b), (1,c), (2,b), (3,c), (4,a)}
R4 = {(1,c), (2,c), (3,c), (4,c)}
8) Descreva como conjunto de pares ordenados a função
f : E  F dada pela lei:
 1, se x  Q
f ( x)  
 1, se x  Q
Dados E  
0,1,

1
7
, 2 ,  ,  e F = Z.
2
3
a aplicação f : Z  Z dada
é
injetora
mas não é Sobrejetora.
f (n)  2n, n  Z
9)
Mostre
que
pela
10) Explique com suas palavras o que é uma aplicação.
lei