O Teorema de Wedderburn

Monografia
O Teorema de Wedderburn
Charles
Paula
Daniel
Lucas
Almeida
Moreira
Fadel
Glazar
Dezembro de 2012
Resumo
Neste trabalho, expomos brevemente a teoria de corpos finitos e damos uma
demonstração, seguindo [1], do teorema de Wedderburn, que diz respeito a uma
condição suficiente para que um anel de divisão seja um corpo (comutativo), a
saber a condição de ser finito.
O texto segue de perto, expondo alguns detalhes omitidos pelo livro, a seção
Selected Topics de [1]. Outra referência foi [2].
1
Introdução
Para fixar terminologia, começamos com um apêndice de algumas definições básicas.
Uma operação binária em um conjunto A é uma função da forma · : A × A −→ A.
Quando denotarmos (A, ·) será para enfatizar que queremos nos referir ao conjunto A
munido da operação binária · : A×A −→ A. Ademais, a·b será denotado por justaposição,
i.e., a · b := ab.
Definição 1. Um anel associativo é um conjunto A munido de duas operações binárias
+ : A × A 3 (a, b) 7−→ a + b ∈ A (soma) e · : A × A 3 (a, b) 7−→ ab ∈ A (multiplicação)
satisfazendo:
• (A, +) é um grupo abeliano, cujo elemento neutro será denotado por 0;
• (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ A (i.e. · é associativa);
1
• (a + b)c = ac + bc e c(a + b) = ca + cb, ∀a, b, c ∈ A (i.e. · é distributiva com relação
à +).
Se, além disso, a operação de multiplicação em A for comutativa, i.e., ab = ba ∀a, b ∈ A,
então dizemos que A é um anel comutativo. Ademais, um anel é dito finito quando o
conjunto subjacente A tem finitos elementos.
Definição 2. Seja (A, +, ·) um anel. Dizemos que A é um anel de divisão quando
(A\{0}, ·) é um grupo. Se existem a, b ∈ A não-nulos tais que ab = 0, dizemos que a
e b são divisores de zero do anel A. Além disso, A é dito um domı́nio de integridade
quando não possui divisores de zero e é comutativo. Por fim, diremos que A é um anel
com elemento unidade quando existe (sempre que existe é único) o elemento neutro multiplicativo 1 ∈ A.
Talvez a definição básica mais importante deste trabalho é a de um corpo.
Definição 3. Um corpo é um anel de divisão comutativo.
Em geral, denotaremos um corpo por F ou K.
2
Corpos Finitos
Antes de iniciarmos a demonstração do teorema de Wedderburn, que diz respeito a anéis
de divisão finitos, vamos estudar a natureza dos corpos finitos. Iremos classificar todos
os corpos finitos (a menos de isomorfismo) e expor algumas de suas propriedades mais
importantes. Os corpos finitos têm muitas aplicações em vários ramos da matemática
tais como em teoria dos números, grupos e geometria projetiva. Nos restringiremos aqui
ao necessário para o entendimento da demonstração do teorema principal deste trabalho.
Começamos a seção com alguns resultados preliminares e logo em seguida desenvolvemos
alguns resultados importantes para classificação de corpos finitos.
Teorema 1. O anel Zn é um corpo se, e somente se, n é primo.
Demonstração. (⇒) Suponha que n não é primo. Se n = 1 então Zn = Z/Z que tem
apenas um elemento e então não pode ser um corpo. Se n > 1 então n = rs com r e s
inteiros menores que n. Colocando I = nZ temos:
(I + r)(I + s) = I + rs = I.
2
Mas I é o elemento zero de Z/I, enquanto I + r e I + s não o são. Como em um corpo
o conjunto dos divisores de zero é vazio, segue que Z/I não é um corpo. Em ambos os
casos obtemos contradição, pois estamos supondo que Zn é corpo; logo n é primo.
(⇐) Agora suponha que n é primo. Seja I + r um elemento não-nulo de Zn = Z/I,
onde I = nZ. Ora, podemos supor que 1 ≤ r < n. Assim, como n é primo, r e n são
coprimos e portanto existem inteiros a e b tais que ar + bn = 1. Daı́, temos que
(I + a)(I + r) = (I + 1) − (I + n)(I + b) = (I + 1),
e de modo análogo
(I + r)(I + a) = I + 1.
Agora, como I + 1 é o elemento identidade de Z/I, encontramos um inverso multiplicativo
para um dado elemento I + r. Como cada elemento não nulo de Zn tem inverso, e Zn é
comutativo, segue que Zn é um corpo.
Definição 4. Um subcorpo primo de um corpo K é a interseção de todos os subcorpos
de K.
Lema 1. Seja F um corpo finito com q elementos e suponha que F ⊂ K, onde K também
é um corpo finito. Então K possui q n elementos onde n = [K : F ].
Demonstração. K é um espaço vetorial de dimensão finita [K : F ] := n sobre F , já que
K é finito. Assim, K possui uma base com n elementos sobre F ; sejam {v1 , . . . , vn }
uma tal base. Então, todo elemento em a ∈ K tem uma única representação na forma
a1 v1 + . . . + an vn com ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , n}. Como cada coeficiente pode ter q
valores, concluimos que K possui q n elementos.
Teorema 2. Se F é um corpo finito, então F tem caracterı́stica p > 0, e o número de
elementos em F é pn , onde n é o grau de F sobre seu corpo primo.
Demonstração. Seja P o subcorpo primo de F . Certamente, P não é isomorfo a Q, uma
vez que Q é infinito, mas então P deve ser isomorfo a algum Zp , com p primo, onde
estamos utilizando o fato de que todo corpo infinito contém uma cópia isomorfa de Q
como subcorpo e todo corpo finito contém uma cópia de Zp para algum p primo e, por
definição, P é a interseção de todos os subcorpos de F . Agora, como F é isomorfo à
Zp , este deve ter caracterı́stica p. Como F é um espaço vetorial sobre P , que possui um
3
número finito de elementos, segue que F deve ser finitamente gerado. Logo, existe n ∈ N
tal que [F : P ] = n (finito). Sejam x1 , . . . , xn uma base de F sobre P . Assim, cada
elemento de F pode ser expresso de forma única como
a1 x 1 + . . . + an x n ,
com ai ∈ P cada ai pode ser escolhido dentre p elementos e, como |P | = p, temos pn
expressões deste tipo, logo |F | = pn .
Segue deste teorema que não existem corpos finitos com 6, 10, 12, 14, 18, 20 . . . elementos (note que nenhum desses números são produtos repetidos de um único primo). É
importante ressaltar uma diferença com a teoria de grupos finitos: dado qualquer inteiro
positivo n é possı́vel encontrar um grupo com n elementos, mas do que vimos isto não
acontece para corpos. Por outro lado, grupos de mesma ordem podem ser não isomorfos,
mas para corpos isso não ocorre, como veremos mais adiante.
m
Corolário 1. Se o corpo finito F tem pm elementos, então todo a ∈ F satisfaz ap = a.
Demonstração. Se a = 0, o resultado é trivial. Agora, para o caso em que a 6= 0, basta
observar que todos elementos não nulos de F formam um grupo mulltiplicativo de ordem
pm − 1, e assim temos que ap
m −1
= 1 para todo a não nulo em F . Donde o resultado
segue multilicando-se por a ambos os lados da igualdade.
Deste corolário temos o seguinte lema:
m
Lema 2. Se o corpo finito F tem pm elementos, então o polinômio xp − x em F [x]
Q
m
decompõe-se em F [x] como xp − x = λ∈F (x − λ).
m
Demonstração. Como F é corpo finito com pm elementos, então o polinômio xp − x
tem no máximo pm raı́zes em F . Mas pelo corolário anterior, segue que todo elemento
m
de F é raı́z desse poliômio, pois ap − a = 0 para todo a ∈ F . Assim, temos que
Q
m
xp − x = λ∈F (x − λ).
m
Corolário 2. Se F tem pm elementos então F é o corpo separante para xp − x.
m
Demonstração. Pelo lema anterior xp − x decompõe-se em F . No entanto ele não se
decompõe em nenhum corpo menor, pois tal corpo teria de conter todas as raı́zes deste
polinômio e assim deveria possuir pelo menos pm elementos. Assim, F é o corpo separante
m
de xp − x.
4
Lema 3. Quaisquer dois corpos finitos com o mesmo número de elementos são isomorfos.
Demonstração. Ora, de teorema anterior, por serem corpos finitos, existem inteiros positivos p e m, com p primo, de tal forma que o número de elementos destes corpos é pm .
m
Assim, pelo corolário anterior, ambos são corpos separantes de xp − x sobre Zp , logo são
isomorfos.
Combinando os últimos resultados,
Teorema 3. Para todo p primo, e todo inteiro positivo m, existe um corpo com pm
elementos.
m
Demonstração. Consideremos o polinômio xp − x em Zp [x]. Seja K o corpo separante de
m
m
xp − x. Em K seja F = {a ∈ K: ap = a }. Os elementos de F são, portanto, as raı́zes
m
de xp − x, as quais pelo corolário 2 do lema 2 são distintas, logo F possui pm elementos.
m
m
Mostremos que F é um corpo. Se a, b ∈ F , então ap = a e bp = b e assim:
m
m
m
(ab)p = ap bp = ab,
e então ab ∈ F . Além disso, como K tem caracterı́stica p, segue que
m
m
m
(a ± b)p = ap ± bp = a ± b
. Logo a ± b ∈ F . Logo F é um subcorpo de K, portanto é um corpo. Como F tem pm
elementos, segue o resultado.
Vamos provar agora um resultado que vamos utilizar na demonstração que apresentaremos do Teorema de Wedderburn.
Lema 4. Se F é um corpo finito e k 6= 0, l 6= 0 são dois elementos de F , então podemos
determinar elementos a e b em F tais que 1 + ka2 + lb2 = 0
Demonstração. Se a caracterı́stica de F é 2, F tem 2n elementos e todo elemento x ∈ F
satisfaz x2n = x. Assim, todo elemento em F é um quadrado. Em particular k −1 = a2
para algum a ∈ F . Usando tal a e b = 0, temos 1 + ka2 = 1 + 1 = 0, pois F é de
caracterı́stica 2. Se a caracterı́stica de F é um número ı́mpar p, F possui pn elementos.
Seja Wk = {1+kx2 : x ∈ F }. Para determinar a cardinalidade de Wk , precisamos verificar
quantas vezes é que 1 + kx2 = 1 + ky 2 desta relação temos kx2 = ky 2 que implica x2 = y 2 .
5
Daı́ x = ±y. Assim para cada x 6= 0, obtemos a partir de cada par x e −x um elemento
em Wk , e para x = 0 obtemos 1 ∈ Wk . Assim Wk tem 1 + (pn − 1)/2 = (pn + 1)/2
elementos. Analogamente, Wl = {−lx2 : x ∈ F } possui (pn + 1)/2 elementos. Como Wl e
Wk possuem, cada um, mais da metade dos elementos de F , necessariamente Wl ∩Wk 6= ∅.
Seja c ∈ Wl ∩ Wk . Segue que c = 1 + ka2 , para algum a ∈ F , e c = −lb2 . Assim, igualando
as relações, temos 1 + ka2 + lb2 = 0.
Em suma, os resultados apresentados nesta seção ilustram a forte relação entre a
finitude do número de elementos de um corpo e a complexidade de sua estrutura algébrica.
De fato, a hipótese de finitude do número de elementos de um corpo foi essencial para
podermos classificá-los completamente. O resultado que mostraremos na seção seguinte,
que é tema central deste trabalho, é surpreendente neste sentido, pois relaciona duas coisas
à prióri não relacionadas: o número de elementos de um conjunto com uma certa estrutura
algébrica e sua multiplicação. Em verdade, o teorema de Wedderburn dirá basicamente
que a condição de uma anel de divisão ser finito garante a comutatividade do mesmo,
sendo necessariamente um corpo.
3
O Teorema
Começaremos a seção expondo mais alguns aparatos necessários no desenvolvimento da
prova do teorema de Wedderburn. Ao final, demonstraremos o resultado.
Primeiramente, vamos recapitular, sem vistas a fazer uma exposição completa (já
pressupondo conhecimentos prévios da teoria), algumas definições e alguns resultados
sobre grupos finitos que serão úteis no decorrer da prova. Em seguida, damos algumas
definições à respeito da teoria dos polinômios ciclotômicos, conceitos que serão utilizados
na demonstração do teorema.
Definição 5. Seja (G, ·) um grupo. O conjunto Z(G) := {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ G}
é dito o centro de G. Analogamente, dado um elemento a ∈ G diremos que o conjunto
Za (G) := {g ∈ G : ga = ag} é o centralizador de a em G.
Assim, o centro de um grupo é o conjunto dos elementos de G que comutam com
todos os elementos de G e, de modo análogo, o centralizador de um elemento a do grupo
é o conjunto de todos os elementos deste que comutam com a. Segue da definição que
Z(G) e Za (G), ∀a ∈ G, são subgrupos de G.
6
Definição 6. Se H é um subgrupo de G então o ı́ndice de H em G, denotado por [G : H],
é o número de classes laterais à direita de H em G.
Teorema 4 (Lagrange). Se G é um grupo e H é um subgrupo de G, então |H|[G : H] =
|G| .Em particular, |H| divide |G|.
Definição 7. Dado G grupo, para cada a ∈ G, definimos a classe de conjugação de a
como sendo o conjunto Ca := {x−1 ax : x 6= 0, x ∈ G}
Dado G um grupo finito, podemos particioná-lo em classes de conjugação de elementos g ∈ G. De fato, a conjugação de a ∈ G por um elemento não-nulo de G dá origem
a uma relação de equivalência, a saber àquela onde a ∼ b se, e somente se, ∃x ∈ G, x 6= 0,
tal que b = x−1 ax. Assim, se H é um subconjunto de G que contém um único elemento a
de cada partição, podemos escrever a ordem de G como a soma do número de elementos
de Ca para cada a ∈ H.
O seguinte teorema será de extrema importância e dará uma maneira prática de
calcular o número de elementos de uma classe de conjugação.
Teorema 5. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então o número de elementos conjugados
de a, i.e., a ordem de Ca , é igual ao ı́ndice de Za (G) em G; em sı́mbolos |Ca | = [G :
Za (G)] = |G|/|Za (G)|.
Corolário 3. Se G é um grupo finito, então
|G| =
X
|G|
,
|Za (G)|
onde a soma se estende sobre um subconjunto de G que contém um único elemento a de
cada classe de conjugação de G.
Assim como em grupos, podemos definir as noções análogas de centro de um anel
A, centralizador de um elemento a ∈ A, e de classe de conjugação sem nenhuma mudança apenas utilizando a operação de multiplicação da estrutura do anel. Doravante,
utilizaremos as notações Z(A), Za (A) e Ca para o centro do anel A, centralizador de um
elemento a ∈ A e a classe de conjugação de a, respectivamente. Note ainda que A é um
anel comutativo se, e somente se, A = Z(A). Além disso, dados x, y, z ∈ Z(A), com
z 6= 0, então x ± y, xy e (se ∃z −1 ∈ A) z −1 são elementos de Z(A) trivialmente; portanto,
Z(A) herda estrutura de subanel de A e, se A é um anel de divisão, Z(A) é um subanel
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de divisão de A. Observe também que, para cada a ∈ A, Za (A) também é um subanel de
divisão de A, e este contém o centro Z(A) de A.
Antes de finalizar o trabalho com a demonstração do teorema, seguem algumas
definições que serão úteis no decorrer da prova.
Seja C o corpo dos números complexos. Uma raı́z n-ésima da unidade em C é um
número complexo λ tal que λn = 1; uma n-ésima raı́z primitiva da unidade é um número
complexo θ tal que θn = 1 e θm 6= 1, para todo inteiro positivo m < n. A existência de
raı́zes primitivas pode ser assegurada de várias formas, um exemplo é tomar θ = exp( 2πi
).
n
É imediato verificar que de fato θn = 1 e que para todo inteiro positivo m < n, θm 6= 1.
Q
Um polinômio do tipo (x − θ) ∈ C[x], onde o produto se estende sobre todas as
n-ésimas raı́zes primitivas da unidade, é dito um polinômio ciclotômico.
Agora, estamos prontos para enunciar e demonstrar o teorema central deste trabalho:
Teorema 6 (Wedderburn). Um anel de divisão finito é um corpo.
Demonstração. Seja A um anel de divisão finito; queremos mostrar que A é comutativo.
Para tanto, consideremos Z(A) e suponha que este contenha q elementos. Se A é um
espaço vetorial de dimensão n sobre Z(A), segue de lema anterior que A tem q n elementos
e, portanto, que A é comutativo se, e somente se, n = 1. Agora, para cada a ∈ A, como
Za (A) é um subanel de divisão de A que contém o centro Z(A), este deve conter q n(a)
elementos, onde n(a) é a dimensão de Za (A) sobre Z(A) como espaço vetorial.
Afirmação 1. n(a) divide n. De fato, os elementos não-nulos de Za (A) formam
um subgrupo de ordem q n(a) − 1 do grupo multiplicativo de elementos não-nulos de A,
cuja ordem é q n − 1 e, portanto, pelo teorema de Lagrange, q n(a) − 1 divide q n − 1. Ora,
mas isso força n(a) dividir n.
Pelo teorema 5 desta seção, o número de elementos em A que é conjugado à a,
para cada a ∈ A, é o ı́ndice do centralizador de a como subgrupo do grupo multiplicativo
dos elementos não-nulos de A, i.e.,
|Ca | = |A|/|Za (A)| =
qn − 1
.
q n(a) − 1
Agora, a é um elemento do centro de A se, e somente se, Za (A) é o próprio A ou,
equivalentemente, n(a) = n (pelo que vimos até então). Portanto, como há q−1 elementos
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no centro do grupo multiplicativo dos elementos não-nulos de A, tem-se pelo corolário do
teorema 5
X
n
q −1=q−1+
n(a)|n,n(a)6=n
qn − 1
,
q n(a) − 1
(1)
onde a soma se estende sobre um subconjunto de G contendo um único elemento de cada
classe de conjugação desde que este elemento não esteja no centro de A \ {0}.
Em suma, conseguimos reduzir o problema de mostrar que A é comutativo para
o de mostrar que a equação (1) só tem solução quando n = 1. Agora, queremos achar
um inteiro positivo que divida (q n − 1)/(q n(a) − 1), para todos divisores n(a) de n, exceto
n(a) = n, e que não divida q − 1. Assim, a equação (1) não será satisfeita qualquer que
seja n inteiro positivo, a menos quando n = 1. De fato, se n 6= 1 um inteiro que divida
cada termo do somatório do lado direito de (1) dividirá o lado esquerdo da equação e,
portanto, deveria dividir q − 1; no caso em que n = 1, temos Z(A)=A, logo o termo do
somatório não existe e a equação é satisfeita trivialmente. Assim, terı́amos forçosamente
A comutativo, i.e., o teorema estará provado. Para tanto, vamos utilizar um pouco da
teoria de polinômios ciclotômicos introduzida anteriormente.
Consideremos o polinômio xn − 1 em C[x]. Como C é algebricamente fechado,
xn − 1 =
Y
(x − λ),
onde o produto é tomado sobre cada λ raı́z n-ésima da unidade, i.e., λn = 1. Considere
Q
também o produto sobre todas as n-ésimas raı́zes primitivas da unidade, i.e., (x − θ) =:
Φn (x), onde θn = 1 e θm 6= 1, para todo m < n.
Afirmação 2. Φn (x) é um polinômio mônico com coeficientes inteiros.
Com efeito, note que com a ajuda de polinômios ciclotônicos, podemos escrever
Y
xn − 1 =
Φd (x).
d|n
Agora, por indução, podemos assumir que Φd (x) é um polinômio mônico com coeficientes
inteiros para d|n, d 6= n. Então, xn − 1 = Φn (x)g(x) onde g(x) é um polinômio mônico
com coeficientes inteiros, o que implica (dividindo e comparando os coef.) que Φn (x) é
um polinômico mônico com coeficientes inteiros.
Afirmação 3. Para qualquer divisor (inteiro positivo) d de n, onde d < n,
Φn (x)|
xn − 1
xd − 1
9
e o quociente é um polinômio com coeficientes inteiros.
Assim, uma vez provada esta afirmação, dado qualquer m inteiro positivo, encontramos um inteiro Φn (m) que divide (mn − 1)/(md − 1), pra qualquer divisor d de n, com
d 6= n, restaria portanto mostrar que Φn (m) não divide porém m − 1, e assim o teorema
estará provado pelo que foi feito até então.
Provemos a afirmação 3. Primeiramente, notemos que
xd − 1 =
Y
Φk (x),
k|d
e, por hipóstese d|n, portanto todo divisor de d é divisor de n, assim reagrupando os termos
Q
do lado direito da expressão xn − 1 =
Φm (x) (∗), fatoramos o produtório nos produtos
m|n
de Φk (x), para todo k divisor de d, e Φl (x) para todo l divisor de n que não é divisor de d,
aparecendo o termo xd − 1 do lado direito de (∗); ainda, como d < n, xd − 1 não contém
o termo Φn (x), e assim a fatoração do produto fica da forma xn − 1 = Φn (x)(xd − 1)f (x),
onde
f (x) =
Y
Φk (x),
com o produto varrendo os inteiros positivos k tais que k|d e k não divide n, possui
coeficientes inteiros, o que prova a afirmação.
Afirmação 4. Se n > 1 e q é um inteiro positivo, então Φn (q) > q − 1. Em
particular, Φn (q) não divide q − 1.
De fato, como |q − θ| > |q − 1|, para todo θ 6= 1 raı́z primitiva n-ésima da unidade,
Q
segue que |Φn (x)| = |q − θ| > q − 1.
Portanto, do que provamos no inı́cio, a equação em (1) só pode ser satisfeita quando
n = 1, o que prova o teorema.
Referências
[1] I. N. Herstein. Topics in Algebra. John Wiley and Sons, 1975.
[2] I. STEWART. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973.
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