TEOREMA DE WEDDERBURN Disciplina: MA 673 – Elementos de

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
TEOREMA DE WEDDERBURN
Disciplina: MA 673 – Elementos de Álgebra
Professor :Fernando Torres Orihuela
Aluno: Alan Henrique de Souza RA 072723
CAMPINAS
2015
Resumo
O presente trabalho visa apresentar o teorema de Wedderburn, que afirma que todo anel com
divisão finito é um corpo.
Palavras chaves: Wedderburn, anel finito, anel com divisão, corpo.
Definição: A=(A,+,*) é um anel se, e somente se:
a) (A,+) é grupo abeliano e * é uma operação binária interna;
b) a*(b+c)=a*b+a*c, para ∀a,b,c ∈A;
c) (a+b)*c=a*c+b*c, para ∀a,b,c ∈A;
Definição: Um conjunto A com uma operação binária + é um grupo abeliano, ou comutativo, se
são satisfeitas as seguintes condições:
i) a operação é associativa;
ii) a operação tem elemento neutro;
iii)todo elemento possui inverso;
iv)a operação é comutativa.
Para que (a,+) fosse um grupo bastaria que fossem satisfeitas as três primeiras condições, isto é,
(a,+) não precisaria ser comutativo para ser um grupo( embora ,nesse caso, seria um grupo
não-abeliano).
Vamos adotar a seguinte notação:
0=neutro de (A,+).
-a=inverso(aditivo) de a∈A.
Definição: (A,+,*) é um anel de divisão se (A\{0},*) é um grupo.
Definição: (K,+,*) é um corpo se, e somente se:
a) (K,+,*) é um anel;
b) (K\{0},*) é um grupo abeliano.
Teorema de Wedderburn: Todo anel de divisão finito é um corpo.
Prova: precisamos mostrar que sendo (A,+,*) é um anel de divisão então:
A é finito⇒(A\{0},*) satisfaz a propriedade comutativa.
Como sabemos, por hipótese, que (A\{0},*) é grupo então:
a)
b)
c)
d)
∃1∈ A\{0} tal que 1*a=a*1=a;
1 é diferente de 0, pois 0 não é elemento de A\{0};
Existe inverso multiplicativo para todo elemento de A\{0};
(A\{0},*) é associativa.
Notações:
Elemento neutro multiplicativo de (A\{0},*) := 1.
Inverso multiplicativo de a := a-1.
Vamos usar a*b=ab.
o(H)= número de elementos de H.
Vamos supor que (A\{0},*) não seja comutativo.
Seja Z={z ∈ A | zx=xz, ∀ x ∈ A} seu centro.
Logo, A é extensão de Z. Assim, se Z tiver q elementos, a terá q n elementos(n natural maior ou
igual a 1).
Queremos então mostrar Z=A, ou seja, n=1. Porém, por hipótese estamos considerando Z≠A, ou
seja, n>1. Vamos mostrar que tal situação não é possível para A.
Se a ∈ A, Seja N(a) = { x ∈ A | xa=ax} o normalizador de a em A. Então N(a) contém Z e N(a) é
subanel de A. Logo, N(a) tem qn(a) elementos.
Como N(a)\{0} com a operação * de A é um grupo. Então, pelo teorema de Lagrange,
(qn(a)-1)|(qn-1) ⇒ n(a)|n.
No grupo (A\{0}, *) temos que a é conjugado de b se a=x-1bx, para algum x≠0 em K.
Vamos utilizar agora o teorema abaixo:
Se G é grupo finito, então o número de elementos conjugados de a em G é o(G)/o(N(a)).
Assim o número de elementos de A\{0} conjugados de é o(A)/o(N(a)).
a ∈ Z ⇔n(a) = n.
Portanto,
(1)
qn-1 = q-1+∑[( n-1)/(qn(a)-1)]
n(a)|n
n(a)≠n
Temos que mostrar que (1) não tem solução inteira.
Tentaremos encontrar um inteiro b tal que b divide [ (qn-1)/(qn(a)-1)] mas b não divide q-1.
Sabemos que xn-1 tem n raízes distintas no corpo dos complexos. Um número complexo α é a
n-ésima raiz primitivas de 1 se αn=1 mas αm≠1 para 1≤ < .
Seja φn(x)=∏(x- α) o n-ésimo polinômio ciclotômico, onde o produto é estendido sobre todas as
raízes primitivas de 1.
Observe que xn-1=∏(x- λ) onde produto ocorre para λn=1, pode ser reagrupado de forma a
obtermos:
(2) xn-1=∏ φd(x)
d|n
Pode-se mostrar por indução que φn(x) é um polinômio mônico de coeficientes inteiros.
Agora vamos mostrar que φn(x) divide [xn-1/xd-1], d|n e d≠n.
Observe que xd-1=∏ φk(x). Note que k|d⇒k|n,. Portanto, reagrupando (2) , temos:
k|d
n
d
x -1= φn(x) (x -1)f(x)
Onde f(x) = ∏ φk(x) tem coeficientes inteiros.
k|n
k+d
Logo, φn(x) divide [xn-1/xd-1].
Aplicando esse fato em 1 temos:
φn(q) divide [qn-1/qn(a)-1] e φn(q) divide qn-1.
Observe que:
|φn(q)|= ∏|q- α|>q-1.
Logo φn(q) não divide q-1. Uma contradição.
Portanto, n=1 ⇒ A=Z⇒(A\{0},*) é grupo comutativo.
Portanto, (A,+,*) é corpo.
Curiosidades:
Este teorema homenageia Joseph Wedderburn(1882-1948) que em 1905 publicou a primeira
prova do teorema, e posteriormente publicou provou o mesmo teorema de duas outras maneiras
distintas. Porém, de acordo com a historiadora da matemática Karen Hunger Parshal em um
artigo publicado em 1983, haveria um erro na prova original, o que significaria que a primeira
prova correta do teorema deveria ser creditada ao matemático Leonard Eugene Dickson(18741954) já que sua demonstração é anterior as duas outras feitas por Wedderburn.
Um aluno de Wedderburn chamado Nathan Jacobson(1910-1999) provou uma generalização do
teorema de Wedderburn conhecido como teorema de Jacobson.
Bibliografia
I.N. Herstein. Topics in Algebra. John Wiley and Sons, 1975.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Wedderburn
https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn's_little_theorem